初三數(shù)學(xué)圓知識點(diǎn)總結(jié)

1、初三數(shù)學(xué) 圓知識點(diǎn)總結(jié) 、本章知識框架 基本元素：戀匕 弧I弦I圓心、半徑 對禰性：旋轉(zhuǎn)對稱、軸對稱、中心對椒 圓的認(rèn)識 垂徑定理 圓心角、弧、弦、弦尤距關(guān)系 號圓有黃的算 圓心常 圓周杯 弦切角 直與圓 *狡 與圓有關(guān)的位置關(guān)專直線與砸切一切線及切繪長 相離 園與圓的位置關(guān)系種) 圓中的有關(guān)計 弧長和扇形、弓形的面枳 舁t圓錐與圓錐的側(cè)面展開圖 二、本章重點(diǎn) 1. 圓的定義： (1) 線段0A繞著它的一個端點(diǎn)0旋轉(zhuǎn)一周，另一個端點(diǎn)A所形成的封閉曲線, 叫做圓. (2) 圓是到定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合. 2. 判定一個點(diǎn)P是否在。0上. 設(shè)。0的半徑為R, 0吐d,則有 dr 點(diǎn)P在O 0

2、夕卜； d = 點(diǎn) P在O 0 上; dvr 點(diǎn)P在O 0內(nèi). 3. 與圓有關(guān)的角 (1) 圓心角：頂點(diǎn)在圓心的角叫圓心角. 圓心角的性質(zhì)：圓心角的度數(shù)等于它所對的弧的度數(shù). 圓周角：頂點(diǎn)在圓上，兩邊都和圓相交的角叫做圓周角. 圓周角的性質(zhì)： 圓周角等于它所對的弧所對的圓心角的一半. 同弧或等弧所對的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相 等. 90的圓周角所對的弦為直徑；半圓或直徑所對的圓周角為直角. 如果三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個三角形是直角三角形. 圓內(nèi)接四邊形的對角互補(bǔ)；外角等于它的內(nèi)對角. (3) 弦切角：頂點(diǎn)在圓上，一邊和圓相交，另一邊和圓相切的角叫弦切

3、角. 弦切角的性質(zhì)：弦切角等于它夾的弧所對的圓周角. 弦切角的度數(shù)等于它夾的弧的度數(shù)的一半. 4. 圓的性質(zhì)： 旋轉(zhuǎn)不變性：圓是旋轉(zhuǎn)對稱圖形，繞圓心旋轉(zhuǎn)任一角度都和原來圖形重合； 圓是中心對稱圖形，對稱中心是圓心. 在同圓或等圓中，兩個圓心角，兩條弧，兩條弦，兩條弦心距，這四組量中的 任意一組相等，那么它所對應(yīng)的其他各組分別相等. 軸對稱：圓是軸對稱圖形，經(jīng)過圓心的任一直線都是它的對稱軸. 垂徑定理及推論： (1) 垂直于弦的直徑平分這條弦，并且平分弦所對的兩條弧. (2) 平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦，并且平分弦所對的兩條弧. (3) 弦的垂直平分線過圓心，且平分弦對的兩條弧. (4)

4、平分一條弦所對的兩條弧的直線過圓心，且垂直平分此弦. (5) 平行弦夾的弧相等. 5. 三角形的內(nèi)心、外心、重心、垂心 (1) 三角形的內(nèi)心：是三角形三個角平分線的交點(diǎn)，它是三角形內(nèi)切圓的圓心， 在三角形內(nèi)部，它到三角形三邊的距離相等，通常用“I”表示. (2) 三角形的外心：是三角形三邊中垂線的交點(diǎn)，它是三角形外接圓的圓心，銳 角三角形外心在三角形內(nèi)部，直角三角形的外心是斜邊中點(diǎn)，鈍角三角形外心 在三角形外部，三角形外心到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，通常用0表示. 三角形重心：是三角形三邊中線的交點(diǎn)，在三角形內(nèi)部；它到頂點(diǎn)的距離是 到對邊中點(diǎn)距離的2倍，通常用G表示. (4) 垂心：是三角形三

5、邊高線的交點(diǎn). 6. 切線的判定、性質(zhì)： (1)切線的判定： 經(jīng)過半徑的外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線. 到圓心的距離d等于圓的半徑的直線是圓的切線. 切線的性質(zhì)： 圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑. 經(jīng)過圓心作圓的切線的垂線經(jīng)過切點(diǎn). 經(jīng)過切點(diǎn)作切線的垂線經(jīng)過圓心. 切線長：從圓外一點(diǎn)作圓的切線，這一點(diǎn)和切點(diǎn)之間的線段的長度叫做切線 長. (4)切線長定理：從圓外一點(diǎn)作圓的兩條切線，它們的切線長相等，這一點(diǎn)和圓 心的連線平分兩條切線的夾角. 7. 圓內(nèi)接四邊形和外切四邊形 (1)四個點(diǎn)都在圓上的四邊形叫圓的內(nèi)接四邊形，圓內(nèi)接四邊形對角互補(bǔ)，外角 等于內(nèi)對角. 各邊都和圓相切的四邊形叫圓外切

6、四邊形，圓外切四邊形對邊之和相等. 8. 直線和圓的位置關(guān)系： 設(shè)。0半徑為R,點(diǎn)0到直線I的距離為d. (1) 直線和圓沒有公共點(diǎn)直線和圓相離=dR (2) 直線和。0有唯一公共點(diǎn)=直線I和。0相切=d= R. (3) 直線I和。0有兩個公共點(diǎn)二直線I和。0相交二dr)，圓心距-一 J . 第10頁共8頁 (1) J沒有公共點(diǎn)，且每一個圓上的所有點(diǎn)在另一個圓的外部= -1 -夕卜離=dR+ r. (2) 丄卞一沒有公共點(diǎn)，且二l亠的每一個點(diǎn)都在-外部-1 - -一內(nèi) 含二 dR r (3) 丄-i卞一有唯一公共點(diǎn)，除這個點(diǎn)外，每個圓上的點(diǎn)都在另一個圓外部 = 1 -1 -一外切=d= R+

7、r. 1 一有唯一公共點(diǎn)，除這個點(diǎn)外，.二的每個點(diǎn)都在：內(nèi)部= 1 一內(nèi)切=d= R- r. -有兩個公共點(diǎn) 二 亠相交=R- rdpi=pa =p點(diǎn)為-中點(diǎn). 小結(jié)：此題運(yùn)用垂徑定理進(jìn)行推斷. 例2下列命題正確的是（） A. 相等的圓周角對的弧相等 B. 等弧所對的弦相等 C三點(diǎn)確定一個圓 D.平分弦的直徑垂直于弦. 解： A. 在同圓或等圓中相等的圓周角所對的劣弧相等，所以A不正確. B. 等弧就是在同圓或等圓中能重合的弧，因此 B正確. C三個點(diǎn)只有不在同一直線上才能確定一個圓. D.平分弦（不是直徑）的直徑垂直于此弦. 故選B. 例 3 四邊形 ABCD內(nèi) 接于。0,/ A：Z B：Z

8、 C= 1 : 2 : 3,求/ D. 分析：圓內(nèi)接四邊形對角之和相等，圓外切四邊形對邊之和相等. 解： 設(shè)/ A= x，/ B= 2x，/ C= 3x，則/ D=/ A+Z CZ B= 2x. x + 2x + 3x+ 2x= 360， x = 45. Z D= 90. 小結(jié)：此題可變形為：四邊形 ABCE外切于。0,周長為20,且AB： BC： CD= 1 :2 : 3, 求 AD的長. 例4為了測量一個圓柱形鐵環(huán)的半徑， 某同學(xué)采用如下方法：將鐵環(huán)平放在水 平桌面上，用一個銳角為30的三角板和一個刻度 尺，用如圖23-4所示方法得到相關(guān)數(shù)據(jù)，進(jìn)而可以 求得鐵環(huán)半徑.若測得 P心5cm則鐵

9、環(huán)的半徑是 cm 分析：測量鐵環(huán)半徑的方法很多，本題主要考查切 線長性質(zhì)定理、切線性質(zhì)、解直角三角形的知識進(jìn)行合作解決，即過P點(diǎn)作直線OP! PA再用三角板畫一個頂點(diǎn)為 A、一邊為AP 大小為60的角，這個角的另一邊與 0P的交點(diǎn)即為圓心0,再用三角函數(shù)知識 求解. 解： tanZPAO = =0P= PA tan60&= 5 x PA 小結(jié)：應(yīng)用圓的知識解決實(shí)際問題，應(yīng)將實(shí)際問題變成數(shù)學(xué)問題，建立數(shù)學(xué)模 型. 例5已知-一一相交于A、B兩點(diǎn)，-一的半徑是10,-的半徑是17, 公共弦A吐16,求兩圓的圓心距. 解：分兩種情況討論： 若一亠位于AB的兩側(cè)（如圖23-8） 連結(jié)-二，則一-垂直平

10、分AB, 又 A吐16 二 AC= 8. 在RtAOA中 0Q 八-直巴=6 在 RLE 小 中 03C=- AC3 =15 故 若位于AB的同側(cè)（如圖23-9）, 與AB交于C,連結(jié). 垂直平分AB, AC=-AB 又 A吐 16, AC= 8 . 在或20 |CA 中_ -A.C =盲 在中 03C= 7o2A3 - AC3 =15 故 i亠| 一 -注意：在圓中若要解兩不等平行弦的距離、兩圓相切、兩圓相離、一個點(diǎn)到圓 上各點(diǎn)的最大距離和最小距離、相交兩圓圓心距等問題時，要注意雙解或多解 問題. 三、相關(guān)定理： 1. 相交弦定理 圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。(經(jīng)過圓內(nèi)

11、一點(diǎn)引兩 條線，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等) 說明：幾何語言： 若弦AB CD交于點(diǎn)P,貝U PA- PB=PC PD (相交弦定理) 例1.已知P為。O內(nèi)一點(diǎn)，二二二士吃，。0半徑為士叱，過 P任作一弦AB設(shè)二S，:，則F關(guān)于工的函數(shù)關(guān)系式 為。 滬卽27 y y = 解：由相交弦定理得-，即 ，其中- - 2. 切割線定理 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的 比例中項(xiàng) 說明：幾何語言：若 AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P,則PCA2=PA- PB 例2.已知PT切。0于T，PBA為割線，交0C于D, CT為直徑，若0C=BD=4cm 心二6，帀=2 (舍)

12、 由勾股定 AD=3cm 求 PB長。 解：設(shè)TD-，BP*，由相交弦定理得: 即- -,.v 由切割線定理，二 理， ADDB = CDTD 四、輔助線總結(jié) 1圓中常見的輔助線 1) .作半徑，利用同圓或等圓的半徑相等. 2) .作弦心距，利用垂徑定理進(jìn)行證明或計算，或利用“圓心、弧、弦、弦心 距”間的關(guān)系進(jìn)行證明. 3) .作半徑和弦心距，構(gòu)造由“半徑、半弦和弦心距”組成的直角三角形進(jìn)行 計算. 4) .作弦構(gòu)造同弧或等弧所對的圓周角. 5) .作弦、直徑等構(gòu)造直徑所對的圓周角一一直角. 6) .遇到切線，作過切點(diǎn)的弦，構(gòu)造弦切角. 7) .遇到切線，作過切點(diǎn)的半徑，構(gòu)造直角. 8) .欲

13、證直線為圓的切線時，分兩種情況：(1)若知道直線和圓有公共點(diǎn)時，常 連結(jié)公共點(diǎn)和圓心證明直線垂直； 不知道直線和圓有公共點(diǎn)時，常過圓心向 直線作垂線，證明垂線段的長等于圓的半徑. 9）遇到三角形的外心常連結(jié)外心和三角形的各頂點(diǎn). 10）遇到三角形的內(nèi)心，常作：（1）內(nèi)心到三邊的垂線； 連結(jié)內(nèi)心和三角形 的頂點(diǎn). 11）遇相交兩圓，常作：（1）公共弦；（2）連心線. 12）遇兩圓相切，常過切點(diǎn)作兩圓的公切線. 13）求公切線時常過小圓圓心向大圓半徑作垂線，將公切線平移成直角三角形 的一條直角邊. 2、圓中較特殊的輔助線 1）過圓外一點(diǎn)或圓上一點(diǎn)作圓的切線. 2）將割線、相交弦補(bǔ)充完整. 3）作輔

14、助圓. 例1如圖23-10, AB是的直徑，弦CDLAB,垂足為E， 如果AB= 10，CD= 8,那么AE的長為（） A. 2B. 3 C. 4D. 5 分析：連結(jié)OC由AB是。0的直徑，弦CDL AB知CD- DE設(shè) AE= x，則在 Rt CEO, L 一 一 一亠丨一一，即 ： I I，則 T -，：-（舍去）. 答案：A. 例2如圖23-11，CA為O 0的切線，切點(diǎn)為 A,點(diǎn)B在。0 上，如果/ CAB= 55，那么/ AOB等于（） A. 35B. 90 C. 110D. 120 分析：由弦切角與所夾弧所對的圓心角的關(guān)系可以知道/ A0 2/ BAG2X 55= 110.答案：C

15、. 圖財11 例3如果圓柱的底面半徑為4cm,母線長為5cm那么側(cè)面積等于（） A.b .4Dhot? c . 20cm2 D . 40 cm3 分析：圓柱的側(cè)面展開圖是矩形，這個矩形的一邊長等于圓柱的高，即圓柱的 母線長；另一邊長是底面圓的周長，所以圓柱的側(cè)面積等于底面圓的周長乘以 圓柱的高，即：；11 71：1 .答案:B. 例4如圖23-12，在半徑為4的O0中，AB CD是兩條 直徑，M為0B的中點(diǎn)，延長CM交O 0于E,且EMM,連 結(jié) OE DE,=. 23-12 求：EM的長. 簡析： 由DC是O O的直徑，知DEL EC,于是.設(shè)Eg x, 則 AM- MB= x(7 x)，即 i-! - L .所以-1-.而 EMM,即 EM =4. 例5如圖23-13 , AB是O O的直徑，PB切O O于點(diǎn)B, PA交O 0于點(diǎn)C, PF分 別交AB BC于E、D,交O 0于F、G,且BE BD恰好是關(guān)于x的方程 “和:(其中m為實(shí)數(shù))的兩根. (1) 求證：BE= BD (2) 若-匸-亠，求/ A的度數(shù). 簡析：(1)由BE BD是關(guān)于x的方程 X -血斗(m2