圓中常見輔助線

1、圓中常見輔助線的做法遇到弦時(shí)（解決有關(guān)弦的問(wèn)題時(shí)）1.常常添加弦心距， 或作垂直于弦的半徑 （或直徑）或再連結(jié)過(guò)弦的端點(diǎn)的半徑作用：利用垂徑定理；利用圓心角及其所對(duì)的弧、弦和弦心距之間的關(guān)系；利用弦的一半、弦心距和半徑組成直角三角形， 根據(jù)勾股定理求有關(guān)量。大圓的弦 AB 交小圓于 C、D 二點(diǎn).求證：AC = BD例：如圖，在以 O 為圓心的兩個(gè)同心圓中， 證明 :過(guò) O 作 OE AB 于 E O為圓心， OE AB AE = BE CE = DE AC = BD練習(xí)：如圖， AB為 O的弦， P是 AB上的一點(diǎn)， AB = 10cm ， PA = 4cm. 求 O的半徑 .2. 有等弧或

2、證弧等時(shí)常連等弧所對(duì)的弦或作等弧所對(duì)的圓心角 例：如圖，已知 AB是 O的直徑，M、N分別是 AO、BO的中點(diǎn)，CMAB,DNAB,求證： AC BD證明：（一）連結(jié) OC、 ODM、N分別是 AO、 BO的中點(diǎn)11 OM = AO、ON = BO22 OA = OBOM = ONMONABCMOA、DNOB、OC = OD RtCOMRtDON COA = DOB AC BD二）連結(jié) AC、 OC、OD、BD M、N分別是 AO、 BO的中點(diǎn) AC = OC BD = OD OC = OD AC = BD AC BD3. 有弦中點(diǎn)時(shí)常連弦心距例：如圖，已知 M、 N分別是 O 的弦 AB、C

3、D的中點(diǎn) ,AB = CD ，求證： AMN = CNM 證明：連結(jié) OM、 ONO為圓心， M、 N 分別是弦 AB、CD的中點(diǎn)1 / 12COM AB ON CD AB = CD OM = ON OMN = ONM AMN = 90o OMN CNM = 90o ONM AMN = CNM4. 證明弦相等或已知弦相等時(shí)常作弦心距例：如圖，已知 O1與 O2為等圓， P為 O1、 O2的中點(diǎn)，過(guò) P的直線分別交 O1、 O2于 A、 C、 D、B.求證： AC = BD證明：過(guò) O1作 O1MAB于 M,過(guò) O2 作 O2NAB于 N，則 O1MO2NO1M O1PO2N O2PO1P =

4、O2P O1M = O2N AC = BD 二. 有弧中點(diǎn)（或證明是弧中點(diǎn)）時(shí)，常有以下幾種引輔 助線的方法：連結(jié)過(guò)弧中點(diǎn)的半徑 連結(jié)等弧所對(duì)的弦連結(jié)等弧所對(duì)的圓心角例：如圖，已知 D、E分別為半徑 OA、OB的中點(diǎn)， C為弧 AB的中點(diǎn)，求證： CD = CE 證明：連結(jié) OCC 為弧 AB的中點(diǎn) AB BC AOC = BOCD、E分別為 OA、OB的中點(diǎn)，且 AO = BO11OD = OE = AO = BO22又 OC = OC ODC OEC CD = CE三. 有直徑時(shí)常作直徑所對(duì)的圓周角，再利用直徑所對(duì)的圓周角為直角證題 例：如圖， AB為 O的直徑， AC為弦， P為 AC延

5、長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且 AC = PC,PB的延長(zhǎng)線交O于 D，求證： AC = DC證明：連結(jié) ADBCPAB為 O的直徑 ADP = 90 o AC = PC1 AC = CD = AP22 / 12例（2005 年自貢市）如圖 2，P 是 O 的弦 CB 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn) A 在 O 上，且 BAPC 。求證： PA 是 O 的切線。證明： 作 O 的直徑 AD ，連 BD，則C D, ABD 90 即 D BAD 90 CBAD 90 CPAB BAD PAB 90 即 AP ADPA 為 O 的切線。四遇到 90 度的圓周角時(shí) 常常連結(jié)兩條弦沒有公共點(diǎn)的另一端點(diǎn)。作用：利用圓周角的性質(zhì)，可得

6、到直徑練習(xí)：如圖，在 Rt ABC中， BCA = 90o , 以 BC為直徑的 O交 AB于 E， D為 AC中點(diǎn)，連結(jié) BD交O于 F. 求證：BC CFBE EF五. 有等弧時(shí)常作輔助線有以下幾種： 作等弧所對(duì)的弦 作等弧所對(duì)的圓心角 作等弧所對(duì)的圓周角BD = CE， 1 = 2，求證： AB = AC練習(xí)： 1.如圖， O的直徑 AB垂直于弦 CD，交點(diǎn)為 E，F(xiàn)為 DC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，連結(jié) AF交 O于 M.求證： AMD = FMC（提示：連結(jié) BM） 2.如圖， ABC內(nèi)接于 O，D、E在 BC邊上，且 （提示如圖）BC3 / 12六 . 有弦中點(diǎn)時(shí)，常構(gòu)造三角形中位線1 例：已

7、知，如圖，在 O中， AB CD， OE BC于 E，求證： OE = AD2 證明：作直徑 CF，連結(jié) DF、 BFCF為 O的直徑 CD FD 又 CD ABAB DF AD BFAD = BF OE BC O 為圓心 CO = FO1CE = BE OE = BF21OE = AD2七. 圓上有四點(diǎn)時(shí)，常構(gòu)造圓內(nèi)接四邊形.例：如圖， ABC內(nèi)接于 O，直線 AD平分 ABAC = ADAE 證明：連結(jié) BE 1 = 3 2 =1 3 = 2四邊形 ACBE為圓內(nèi)接四邊形 ACD = E ABE ADCAE ABAC ADABAC = ADAE八 . 兩圓相交時(shí)，常連結(jié)兩圓的公共弦 例：如

8、圖， O1與O2相交于 A、B，過(guò) A的直線分別交 O1、 O2于 C、D，過(guò) B的直線分別交 O1、 O2于 E、 F.求證： CEDF 證明：連結(jié) AB四邊形為圓內(nèi)接四邊形 ABF = C 同理可證： ABE = D ABF ABE = 180 C D = 180 CE DF九. 在證明直線和圓相切時(shí)，常有以下兩種引輔助線方法：當(dāng)已知直線經(jīng)過(guò)圓上的一點(diǎn)，那么連結(jié)這點(diǎn)和圓心，得到輔助半徑，再證明所 作半徑與這條直線垂直即可 .如果不知直線與圓是否有交點(diǎn)時(shí)，那么過(guò)圓心作直線的垂線段，再證明垂線段 的長(zhǎng)度等于半徑的長(zhǎng)即可 .4 / 12例 1：如圖， P為 O外一點(diǎn)，以 OP為直徑作圓交 O于

9、A、 B兩點(diǎn)，連結(jié) PA、 PB.求證： PA、 PB為 O的切線 證明：連結(jié) OA PO為直徑 PAO = 90o OA PAOA為 O的半徑PA為 O的切線 同理： PB也為 O 的切線CD是小例 2：如圖，同心圓 O，大圓的弦 AB = CD，且 AB 是小圓的切線，切點(diǎn)為 E，求證：圓的切線證明：連結(jié) OE，過(guò) O作 OF CD于 F OE為半徑， AB為小圓的切線 OEABOFCD, AB = CD OF = OE CD為小圓的切線練習(xí)：如圖，等腰 ABC，以腰 AB為直徑作 O交底邊 BC于 P，PE AC于 E,求證： PE是 O 的切線十. 當(dāng)已知條件中有切線時(shí)，常作過(guò)切點(diǎn)的半

10、徑，利用切線的性質(zhì)定理證題.BD為直例：如圖，在 RtABC中， C = 90o，AC = 12，BC = 9，D是 AB上一點(diǎn)，以 徑的 O 切 AC于 E，求 AD長(zhǎng).解：連結(jié) OE，則 OE ACBC AC OEBCOEBCAOAB在 Rt ABC中， AB =AC2 BC122 92 15OE AB OB15 OEAB45OE = OB =845 BD = 2 OB =415AD = ABDB = 15 4541515答：AD 的長(zhǎng)為 15.45 / 12練習(xí)：如圖， O的半徑 OAOB，點(diǎn) P在 OB的延長(zhǎng)線上，連結(jié) AP交O于 D，過(guò) D作 O 的切線 CE交 OP于 C，求證：

11、PC = CD一 遇到兩相交切線時(shí)（切線長(zhǎng)） 常常連結(jié)切點(diǎn)和圓心、連結(jié)圓心和圓外的一點(diǎn)、連結(jié)兩切點(diǎn)作用：據(jù)切線長(zhǎng)及其它性質(zhì)，可得到： 角、線段的等量關(guān)系；垂直關(guān)系；全等、相似三角形 十二遇到三角形的內(nèi)切圓時(shí) 連結(jié)內(nèi)心到各三角形頂點(diǎn)，或過(guò)內(nèi)心作三角形各邊的垂線段。作用：利用內(nèi)心的性質(zhì)，可得： 內(nèi)心到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的連線是三角形的角平分線； 內(nèi)心到三角形三條邊的距離相等。在處理內(nèi)心的問(wèn)題時(shí)， 常需連結(jié)頂點(diǎn)與內(nèi)心， 以便利用內(nèi)切圓的圓心是三角 形內(nèi)角平分線交點(diǎn)這一性質(zhì)。 十三遇到三角形的外接圓時(shí)，連結(jié)外心和各頂點(diǎn) 作用：外心到三角形各頂點(diǎn)的距離相等。十四遇到兩圓外離時(shí)（解決有關(guān)兩圓的外、內(nèi)公切線的問(wèn)

12、題） 常常作出過(guò)切點(diǎn)的半徑、連心線、平移公切線，或平移連心線。作用：利用切線的性質(zhì)； 利用解直角三角形的有關(guān)知識(shí)。 十五遇到兩圓相交時(shí) 兩個(gè)相交圓不離公共弦 常常作公共弦、兩圓連心線、連結(jié)交點(diǎn)和圓心等。作用： 利用連心線的性質(zhì)、解直角三角形有關(guān)知識(shí)； 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)；6 / 12 利用兩圓公共的圓周的性質(zhì)；垂徑定理1. 作相交兩圓的公共弦 利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)或公共圓周角，溝通兩圓的角的關(guān)系。A 、B 兩點(diǎn)，過(guò) A、B 分別作直線 CD、EF，且 CD/EF ，例 1. 如圖 1， O1 和 O2 相交于 與兩圓相交于 C、D 、E、 F。分析： CE 和 DF 分別是 O1 和O2

13、 的兩條弦，難以直接證明它們相等，但通過(guò)連結(jié) AB ，則可得圓內(nèi)接四邊形 ABEC 和 ABFD ，利用圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，則易證明。證明：連結(jié) AB因?yàn)?DABE， CAB F又 DAB CAB 180所以 E F 180 即 CE/DF又 CD/EF所以四邊形 CEFD 為平行四邊形即 CE DF2. 作兩相交圓的連心線 利用過(guò)交點(diǎn)的半徑、公共弦、圓心距構(gòu)造直角三角形，解決有關(guān)的計(jì)算問(wèn)題。例 2. O1和O2相交于 A、B 兩點(diǎn)，兩圓的半徑分別為 6 2 和 4 3，公共弦長(zhǎng)為 12。求 O1AO2 的度數(shù)。O1 AO2 的度數(shù)，可利用角的圖2 分析：公共弦 AB 可位于圓心 O1、O2

14、同側(cè)或異側(cè)，要求和或差來(lái)求解。 解：當(dāng) AB 位于 O1、O2 異側(cè)時(shí)，如圖 2。連結(jié) O1、 O2，交 AB 于 C，則 O1O2 AB 。分別在 Rt AO1C 和 Rt AO2C 中，利用銳7 / 12角三角函數(shù)可求得O1AC 45 ， O2 AC 30故 O1AO2O1ACO2 AC 75當(dāng) AB 位于 O1、O2 同側(cè)時(shí)，如圖 3則 O1AO2O1AC O2 AC 15 綜上可知 O1AO2 75 或15例 2：已知， O1與O2交于 A、B，O1的弦 AC 切O2于 A，過(guò) B 作直線交兩圓于 D 、 E。求證： DCAE。分析:由口訣“兩個(gè)相交圓不離公共弦” ,連結(jié) AB,可得

15、D=CAB, 由切線知 CAB= E, 即D=E即得證。練習(xí)：如圖 O1和O2都經(jīng)過(guò) A、B兩點(diǎn)。經(jīng)過(guò)點(diǎn) A的直線 CD 與 O1交于點(diǎn) C，與 交于點(diǎn) E，與 O2 交于點(diǎn) F。求證： CEDF.例、如圖 8，在梯形 ABCD中，以兩腰 AD、BC分別為直徑的兩個(gè)圓相交于 M、N 兩點(diǎn)， 過(guò) M、N 的直線與梯形上、下底交于 E、F。求證： MN AB。8 / 12分析：因?yàn)?MN是公共弦，若作輔助線 O1O2，必有 MNO1O2，再由 O1O2 是梯形的中位線，得 O1O2/AB ，從而易證MNAB。證明 連結(jié) O1O2交 EF于 G = MNO1O2。DO 1=O1A，CO2=O2B =

16、 O1O2是梯形 ABCD的中位線 = O1O2/AB = EFA= EGO1=Rt = MN AB說(shuō)明，由兩圓相交連心線垂直于公共弦想到作連心線。十六遇到兩圓相切時(shí)兩個(gè)相切圓不離公切線 常常作連心線、公切線。作用：利用連心線性質(zhì)；弦切角性質(zhì)； 切線性質(zhì)等。例 3. 如圖 4， O1和 O2外切于點(diǎn) P，A 是 O1上的一點(diǎn)，直線 AC 切O2于 C，交 O1 于 B，直線 AP 交 O2于D。求證 PC平分 BPD 。圖4分析：要證 PC平分 BPD ，即證 BPC DPC 而 BPC 的邊分布在兩個(gè)圓中，難以直接證明。若過(guò) P 作兩圓的公切線 PT，與 AC 交于 T 易知 BPC TPB

17、 TPC 由弦切角定理，得 TPB A 又 DPC 是 APC 的一個(gè)外角 所以 DPC A ACP 又 TPC ACP 從而有 BPC DPC 即 PC 平分 BPD例 3:已知, O1和O2外切于 A,直線 BC切O1于 B,切 O2于 C。 求證： AB AC（人教版課本 P87例 4）9 / 12分析 1：口訣“兩個(gè)相切圓不離公切線” ,過(guò) A 作兩圓的公切線 ,則 1= 2, 3=4,又 1+2+3+4=180,則2+3=90 即AB AC。分析 2：口訣“兩圓三圓連心線” ，連結(jié) O1O2、O1B、O2C,則點(diǎn) A 在 O1O2 上,易知 O1BO2C, 顯然 1+2=90,故 A

18、B AC1. 相切兩圓常添公切線作輔助線 .例 2 如圖 2, 已知 O1、 O2外切于點(diǎn) P，A是 O1上一點(diǎn)，直線 AC切 O2于點(diǎn) C，交O1一點(diǎn) B，直線 AP交 O2于點(diǎn) D .(1) 求證:PC平分 BPD;(2)將“ O1與 O2外切于點(diǎn) P” 改為“ O1、 O2 內(nèi)切于點(diǎn) P”，其它條件不變，中的結(jié)論是否仍然成立？畫出圖形并證明 你的結(jié)論 ( 武漢市中考題) .證明: (1) 過(guò)P點(diǎn)作兩圓公切線 PQ QPC=PCQ, QPB=A,CPD= A+QCP， CPD= CPB,即 PC平分 BPD(2) 上述結(jié)論仍然成立 .如圖 3, 過(guò)點(diǎn) P 作兩圓公切線 PM,則 MPB=

19、A. BPC=MPC MPB= BCP A= CPA,說(shuō)明: 作公切線的“公”字聯(lián)系了小圓弦切角與大圓弦切角2、遇到三個(gè)圓兩兩外切時(shí) 兩圓三圓連心線 常常作每?jī)蓚€(gè)圓的連心線。作用：可利用連心線性質(zhì)。10 / 123. 兩圓三圓時(shí)常作連心線作為輔助線例 3 如圖 4, 施工工地水平地面上有三根外徑都是 1 米的水泥管 , 兩兩外切堆放在一起則最高點(diǎn)到地面距離是 （ 遼寧省中考題 ）.解: 連 O1O2、O2O3、O3O1，過(guò) O1作 AO1O2O3交 O1 于 A，交 O2O3于 B O1、 O2、 O3是等圓 , O1O2O3是等邊三角形 .說(shuō)明 : 三圓兩兩相切時(shí)作連心線后注意挑選直角三角形解題.十七遇到四邊形對(duì)角互補(bǔ)或兩個(gè)三角形同底并在底的同向且有相等“頂角”時(shí)常常添加輔助圓。作用：以便利用圓的性質(zhì)。過(guò)小圓圓心作大圓半徑的垂線 有關(guān)公切線問(wèn)題常過(guò)小圓的圓心作大圓半徑的垂線，構(gòu)造直角三角形。例 5. 如圖 6， O1與O2外切于點(diǎn) O，兩外公切線 PCD 和 PBA 切 O1、 O2于點(diǎn) C、 D、B、 A ，且其夾角為 60 ， AB 2 3 ，求兩圓的半徑。圖611 / 12分析：如圖 6，連結(jié) O1O2、O1A、O2B，過(guò)點(diǎn) O2作 O2E O1 A ，構(gòu)造 Rt O1O2E ，下面很容易求出結(jié)果。十八相交兩