概率論與數(shù)理統(tǒng)計公式總結(jié)【已整理可直接打印】

1、x+第一章p()(a)(b)- p()對離散型隨機(jī)變量特別地，當(dāng) a、b 互斥時， p()(a)(b) 條件概率公式對連續(xù)型隨機(jī)變量f ( x ) =p ( x x ) =-f (t ) dtp ( a | b ) =p ( ab )p ( b )分布函數(shù)與密度函數(shù)的重要關(guān)系：f ( x) = f ( x)概率的乘法公式f ( x ) =p ( x x ) =xf (t ) dtp ( ab ) =p ( b ) p( a | b ) =p ( a) p ( b | a) 全概率公式：從原因計算結(jié)果-二元隨機(jī)變量及其邊緣分布 分布規(guī)律的描述方法np ( a ) = p ( b ) p ( a

2、| b )k kk =1公式：從結(jié)果找原因聯(lián)合密度函數(shù) 聯(lián)合分布函數(shù)0 f(fx(,xy,)y)01f ( x, y ) f ( x, y )p ( b | a) = knp ( b ) p ( a | b ) i ip ( b ) p ( a | b ) k k+ +f ( x, y) =px x, y y- -聯(lián)合密度與邊緣密度f ( x, y ) dxdy =1k =1第二章二項分布（分布）()f ( x) = x+-f (x, y)dyp(x =k) =ckpk (1-p)n-k，(k =0,1,.,n)nf ( y) = y+-f (x, y)dx泊松分布( )離散型隨機(jī)變量的獨(dú)立性

3、p ( x =k ) =lkk !e-l，( k =0,1,.)px =i , y = j =px =ipy = j 連續(xù)型隨機(jī)變量的獨(dú)立性概率密度函數(shù) f ( x ) dx =1f ( x, y ) = f ( x) f ( y )x y第三章-怎樣計算概率p(a x b )數(shù)學(xué)期望離散型隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望定義e( x ) =+x pk kk =-p ( a x b ) =bf ( x )dx連續(xù)型隨機(jī)變量，數(shù)學(xué)期望定義e ( x ) =+x f ( x ) dxa-均勻分布()l e(a)，其中 a 為常數(shù) l e()(x)，其中 a、b 為常數(shù)f ( x) =1b -a( a x b )

4、l e()(x)(y)，x、y 為任意隨機(jī)變量指數(shù)分布 ( )隨機(jī)變量 g(x)的數(shù)學(xué)期望e ( g ( x ) = g ( x ) pkkkf ( x ) =1e-x /q( x 0)常用公式q分布函數(shù)f ( x ) =p ( x x ) = p ( x=k1) / 4e(x) = x pi iji jk x2n1nie ( x ) =xf ( x, y )dxdy獨(dú)立與相關(guān) 獨(dú)立必定不相關(guān)相關(guān)必定不獨(dú)立 不相關(guān)不一定獨(dú)立e( xy) =x y pi j ij第四章正態(tài)分布 x n (m,s2)i je ( x +y ) =e ( x ) +e (y )1f ( x ) = e2ps-( x

5、 -m) 2s2e ( xy ) =xyf ( x, y )dxdye ( x ) =m, d ( x ) =s2標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計算f( a) =1 -f(-a)當(dāng)x與y獨(dú)立時, e ( xy ) =e ( x ) e (y ) 方差定義式標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的概率計算公式p ( z a ) =p ( z a ) =1 -f(a)d ( x ) =+-(x-e( x )2f ( x) dxp ( a z b ) =f(b ) -f(a )常用計算式常用公式d ( x ) =e ( x 2 ) -e(x)2p ( -a z a ) =f(a ) -f(-a) =2f( a ) -1 一般正態(tài)分布的概

6、率計算d ( x +y ) =d ( x ) +d (y ) +2 e( x -e ( x )(y -e (y ) 當(dāng) x、y 相互獨(dú)立時：x n (m,s2) z =x -ms n (0,1)d ( x +y ) =d ( x ) +d (y ) 方差的性質(zhì)d(a)=0，其中 a 為常數(shù) d()2d(x)，其中 a、b 為常數(shù) 當(dāng) x、y 相互獨(dú)立時，d()(x)(y)一般正態(tài)分布的概率計算公式a -mp ( x a ) =p ( x a ) =1 -f(s)協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)e x-e(x)y-e(y)=e(xy)-e(x) e (y ) cov ( x , y ) =e ( xy ) -e

7、 ( x ) e (y )p ( a x b ) =f( 第五章卡方分布b -m a -m) -f(s s)rxy=cov( x ,y ) d( x )d(y)若x n (0,1)，則x 2 c2ii =1( n)協(xié)方差的性質(zhì)cov ( x , x ) =e ( x 2 ) -(e(x ) )2=d( x ) cov ( ax , by ) =abcov ( x , y )cov ( x +y , z ) =cov ( x , z ) +cov (y , z )若y n ( m,s2), 則 (y-m)2c2(n)s2i =1t 分布x若x n (0,1), y c2 ( n), 則 t (

8、n)y / n2 / 4121 22f 分布x t ( n -1) ncc/ 2a/2s2s2( )1 2 a/2nnna/2u / n若u c2( n ), v c2( n ), 則 1 f ( n , n )v / n s 小樣本、正態(tài)總體、標(biāo)準(zhǔn)差s a/2正態(tài)總體條件未知下ta/2( n -1) 自由度為 n -1的t分布的分位點(diǎn)x n (m,s2n)x -ms/ n n (0,1)樣 本 均 值 的 分布：( n -1) s 2s2的分布： c2( n -1)x -ms / n t ( n -1)樣本方差( n -1) s2,( n -1) s2)s2 樣本方差s 2 / s 2 1

9、2s2 / s2 1 2 f ( n -1, 1n -1)2兩個正態(tài)總體的方差之比2 2 c2 卡方分布的分位點(diǎn) a 1-a/2正態(tài)總體方差的區(qū)間估計兩個正態(tài)總體均值差的置信區(qū)間第六章大樣本或正態(tài)小樣本且方差已知 x -x z 1 + 2 n n 1 2 兩個正態(tài)總體方差比的置信區(qū)間l =p f ( x ; q)ii =1l =npi =1p ( x ;iq)點(diǎn)估計：參數(shù)的 估 計 值為 一個 常數(shù)s 2 / s 21 2f ( n -1, n -1) a/ 2 1 2,s 2 / s 2 1 2 f ( n -1, n -1) a/ 2 1 2矩估計 最大似然估計第七章 假設(shè)檢驗的步驟x z

10、a/ 2sn似然函數(shù) 根據(jù)具體問題提出原假設(shè) h0 和備擇假設(shè) h1 根據(jù)假設(shè)選擇檢驗統(tǒng)計量，并計算檢驗統(tǒng)計值 看檢驗統(tǒng)計值是否落在拒絕域，若落在拒絕域則xsnza/2 樣本均值 標(biāo)準(zhǔn)差(通常未知，可用樣本標(biāo)準(zhǔn)差s代替) 樣本容量(大樣本要求n 50) 正態(tài)分布的分位點(diǎn)拒絕原假設(shè)，否則就不拒絕原假設(shè)。 不可避免的兩類錯誤第 1 類(棄真)錯誤：原假設(shè)為真，但拒絕了原假設(shè) 第 2 類(取偽)錯誤：原假設(shè)為假，但接受了原假設(shè) 單個正態(tài)總體的顯著性檢驗l 單正態(tài)總體均值的檢驗均值的區(qū)間估計大樣本結(jié)果 p (1 -p) p z a/2 p 樣本比例n 樣本容量(大樣本要求n 50) 大樣本情形z 檢驗 正態(tài)總體小樣本、方差已知z 檢驗 正態(tài)總體小樣本、方差未知 t 檢驗l 單正態(tài)總體方差的檢驗 正態(tài)總體、均值未知卡方檢驗 單正態(tài)總體均值的顯著性檢驗za/2 正態(tài)分布的分位點(diǎn)統(tǒng)計假設(shè)的形式小樣本、正態(tài)總體、標(biāo) 準(zhǔn)差 s已知(1) h : m=m00h : mm 10雙邊檢驗 s x z (2) h :0mm0h :1mm0右邊檢驗單正態(tài)總體均值的 z 檢驗z =x -m0s / n（大樣本情形s未知時用s代替）拒絕域的代數(shù)表示雙邊檢驗 z za/2左邊檢驗 z -za右邊檢驗 z za