三角形重心、外心、垂心、內(nèi)心的向量表示及其性質(zhì)55627

1、三角形“四心”向量形式的充要條件應用1. O是iABC 的重心二 OA+OB+OC=0若0是ABC的重心，則S BOCL( pa 3 iPGS -.A OC=S1:AOB 二 3 S -ABC 故=G為. ABC的重心.OA OB OC = 02. 0是心ABC 的垂心 u OA OB =OB OC = OC OA若o是MBC（非直角三角形）的垂心，則S厚oc : S彈oc : S出ob = tan A : tan B : tanC故 tan AOA tan BOB tanCOC =0H L L .2 .2 .23. O 是 ABC 的外心二 lOAIOBFIOCI(或 OA -O B -OC

2、 )若 O是 ABC 的外心則 S BOC： S AOC： S aob =sin BOC：sin AOC：sin AOB = sin2A:sin2B:sin2C故 sin2AOA sin2BOB sin2COC 二 0OA4. O是內(nèi)心 ABC的充要條件是AB AC(TArAC)=OBBA - BC)=OCCACB(|CA I - I CB |)= 0引進單位向量，使條件變得更簡潔。如果記ab,bc,ca的單位向量為ei，e2，e3，則剛才O是FFBIFFFABC內(nèi)心的充要條件可以寫成O A g e3) = O B (ee2p O C (e2 e3) = 0ABC內(nèi)心的充要條件也可以是aOA

3、bOB cO 00若O是 ABC的內(nèi)心，則S BOC : S AOC : S AOB - a : b : CC故 aOA bOB cOC = 0或 sinAOA sinBOB sinCOC = 0；| AB | PC |BC|PA |CA|PB =0二 P 是 ABC 的內(nèi)心;向量（嚴 車）（ “）所在直線過 ABC的內(nèi)心（是BAC的角平 |AB| |AC|分線所在直線）；（一）將平面向量與三角形內(nèi)心結合考查例1 . O是平面上的一定點，A,B,C是平面上不共線的三個點，動點P滿足OP =OA (AB AC），- 0：則P點的軌跡一定通過 ABC的（ ）AB AC（A）外心（B）內(nèi)心（C）重心

4、（D）垂心解析：因為AB是向量AB的單位向量設AB與AC方向上的單位向量分別為ei和e?,又HOP -0A二AP，則原式可化為 AP （q e2），由菱形的基本性質(zhì)知AP平分.BAC ,那么在ABC 中，AP平分.BAC，則知選B.（二）將平面向量與三角形垂心結合考查“垂心定理”例2.H是厶ABC所在平面內(nèi)任一點，HA 二HB 二HC HA：=點H是厶ABC的垂心.由 HA HB =HB HC：= HB （HC _HA） =0= HB AC =0= HB _ AC ,同理HC_AB， HA_BC.故H是厶ABC的垂心.（反之亦然（證略）例3.（湖南）P是厶ABC所在平面上一點，若 PA卩B =

5、 PB卩C = PC PA，貝U P是厶ABC（ D ）A.外心B.內(nèi)心C.重心D.垂心解析：由 PA 卩B = PB 卩C得PA PB - PB PC = 0 .即 PB （PA - PC）二 0,即 PB CA 二 0則PB_CA，同理PA_BC,PC_AB 所以P為 ABC的垂心.故選D.（三）將平面向量與三角形重心結合考查“重心定理”例4.6是厶ABC所在平面內(nèi)一點，GA GB 6C=0u點6是厶ABC的重心.證明 作圖如右，圖中GB GC =GE連結BE和CE則CE=GB BE=GC BGC助平行四邊形二D是BC的中點，AD為BC邊上的中 線將 Gb Gc =GE 代入 GA gb

6、GC=0，得GA - EG =0= GA - GE - -2GD，故6是厶ABC的重心.（反之亦然（證略）例5.P是厶ABC所在平面內(nèi)任一點.G是厶ABC的重心u P-（PA PB PC）.3證明PG =PA AG BG CG 二 3pg =（ag bg cg） （pa pb pc）/ G是厶 ABC的重心 GA GB GC=0 AG BG CG =0，即卩 3PG 二 PA PB PCA由此可得P- （PA PB PC）.（反之亦然（證略）3T T T 彳例6若O 為 ABC內(nèi)一點，OA OB OC = 0，則O 是厶ABC 的（）A.內(nèi)心B .外心C .垂心D .重解析：由OA+OB+OC

7、=0得OB+OC = -oA，如圖以 OB OC為相鄰兩邊構作平行四邊形，則 OB+OC=OD，由平行四邊形性質(zhì)知 OE 冷OD， OA=2OE，同理可證其它兩邊上的這個性質(zhì)，所以是重心，選a（四）將平面向量與三角形外心結合考查例 7 若 O 為UABC 內(nèi)一點，OA =0B =0CA.內(nèi)心B .外心C .垂心解析：由向量模的定義知 O到：ABC的三頂點距離相等。故 O是UABC的外心（五）將平面向量與三角形四心結合考查，則O是；ABC的（D .重心，選Bo例8.求證證明已知向量 OPi，OP2，OP3 滿足條件 OPi +OP2 +OP3 =0，| OPi |=| OP2 |=| P1P2P

8、3是正三角形.（數(shù)學第一冊（下），復習參考題五B組第6題） 由已知OPi+Op2=- OP3，兩邊平方得 OP1 OP2 = -1，2OP3 | = 1 ,同理OP2 OP3 =OP3 OR=*，丨 PP21=1 P2P31=1 P3P11= 、3，從而 P1P2P3是正三角形.反之，若點O是正三角形 P1P2P3的中心，則顯然有OR +OP2 +OP3 =0且| OR |=| OP2 |=| OP3 |.即。是厶ABC所在平面內(nèi)一點，OP +OP2 +OP3 =0 且I OR |=| OP2 | = | OPj I 二點 0是正 P1P2P3 的中心.例9.在 ABC中，已知Q G H分別是

9、三角形的外心、重心、垂心。求證： 線，且 QG:GH=1:2【證明】：以A為原點，AB所在的直線為x軸，建立如圖所示的直角坐標系 （X1,0 ）、C（X2,y 2），D E、F分別為 AB BC AC的中點，則有： D（竺0）、E（ 紅込、F（0,空）由題設可設Q（巫2 2 2 2 2 2G （X1 X2 y2Q G H三點共設 A(0,0)、B卜F(.2 2 2 2.) AH gMhQF =(乎亡十-y3)33222Xi y2i t1_,AH 廠 BCAH *BC =x2(x2y2y4 =0.X2(X2-X1)y4y207q_ AC.QF.ACg1） 丫2（孥73）=oX2（X2-Xi ）丄

10、丫22 石2兀x 1z 2x 2 _ Xi 3x 2（X2 _ x 1）2y22 x132x 2 -x1 =（W -1 -= _QH3X1 討 2、.、（ 2X2 -X1巧丁y3）（T3X2（X2 -X1） y26y2Z 土（X2-XJ Y2 3 _1 /2x2 - x16）匕（亍2y22）3X2（X2-xj 鳥 2、2）2y2即 QH =3QG，故 QG H三點共線，且QG GH=1：例10.若0、H分別是 ABC的外心和垂心.求證QH %2一才宀“）（2 12（2 1）0H =0A 0B 0C .證明 若厶ABC的垂心為H,外心為0,如圖.連B0并延長交外接圓于D,連結AD，CD AD _

11、 AB , CD _ BC .又垂心為 H, AH _ BC , CH _ AB , AH/ CD CH/ AD四邊形AHC助平行四邊形， AH =DC =D0 0C，故 0H =0A AH =0A 0B 0C .重心、垂心的位置關系:著名的“歐拉定理”講的是銳角三角形的“三心”一一外心、(1) 三角形的外心、重心、垂心三點共線一一“歐拉線”，(2) 三角形的重心在“歐拉線”上，且為外一一垂連線的第一個三分點，即重心到垂心的距 離是重心到外心距離的2倍?！皻W拉定理”的向量形式顯得特別簡單，可簡化成如下的向量問題求證 0G JoH3例11. 設0 G H分別是銳角 ABC的外心、重心、垂心.證明

12、 按重心定理 6是厶ABC的重心二0G (OA OB 0C)3按垂心定理 0H =0A 0B 0C1由此可得 OG 0H .3“重心”的向量風采【命題1】G是厶ABC所在平面上的一點，若 GA，GBGC=O，則G是厶ABC的重心.如圖.動點 P滿足T T T +OP =OA(AB AC) ,(0, ：)，則P的軌跡一定通過 ABC的重心._I-1 -1-1【解析】直線的向量,“垂心”的向量風采【命題3】P是厶ABC所在平面上一點，若 PA PB=PB PC=：PC PA，貝U P是厶ABC的垂心.PC，得忒PA耳0,即毘乩0，所以【解析】由PA P-PBPB丄CA .同理可證PC丄AB, PA

13、丄. P是厶ABC的垂心.如圖._ CIaC cosCBA B, C是平面上不共線的三個點，動點P滿足+B，-(0, * )，則動點P的軌跡一定通過 ABC的垂心.由題意 (AB AC)，當(0,：)時，由于 (AB AC)表示BC邊上的中線所在 所以動點P的軌跡一定通過 ABC的重心，如圖.(Tt、111 _AB+AC，由于_AB+ tACAB cosBAC cosCJAB cosB 1 AC cosCBC = 0，【解析】由題意AP二即糾 BC + AC BC AB cosBAC BCAC cosC-BC -CB -0,所以AP表示垂直于BC的向量，即P點在過點A且垂直于BC的直線上，所以

14、動點P的軌跡一定通過 ABC的垂心，如圖.三、“內(nèi)心”的向量風采【命題5】 已知I為 ABC所在平面上的一點，且AB =c , AC =b， BC =a .若alA bIB cIC =0，貝U I是厶ABC的內(nèi)心.【解析】IB 費 AB，式1A 7C，圖 .則由題意得(a b c)IA bAB cA = 0,二 AIT T T T T T/ bAB +cAC = AC AB + AB AC =bc緝+.AB.啟a+b+c |ab忌啟國十顯,A D1 AC與竺分別為ACABACAB和AC方向上的單位向量, AI與/ BAC平分線共線，即AI平分.BAC .同理可證：BI平分.ABC，CI平分.A

15、CB .從而I是厶ABC的內(nèi)心，如圖.【命題6】 已知O是平面上一定點，A B, C是平面上不共線的三個點，動點定點P滿足OP =OA【解析】由題意得AP -，二當（0, * ）時，AP表示 BAC的平分線所在直，（0, :：），則動點P的軌跡一定通過 ABC的內(nèi)心.線方向的向量，故動點P的軌跡一定通過 ABC的內(nèi)心，如圖.四、“外心”的向量風采【命題7】 已知O是 ABC所在平面上一點，若0A?二OB2 = 0C2，則O是 ABC的外心.竺）T2 22，2 T2 圖 T T【解析】 若OA =0B2 =0C2，貝U 0A 屈問2 ,. 0AOB：=|OC，則 0 是厶 ABC 的 外心如圖。

16、【命題7】 已知O是平面上的一定點，A B, C是平面上不共線的三個點，動點P滿足【解析】fT1、ABAC-T -TcosBACcosCJ肚 OC 2,（0, * ），則動點P的軌跡一定通過 ABC的外心。由于羊嚴過BC的中點，當（0宀）時,BAC cosC表示垂直于AB cosBBC的向量（注意：理由見二、4條解釋。），所以P在BC垂直平分線上，動點P的軌跡一定通過 ABC的外心，如圖。補充練習1 已知A、B、C是平面上不共線的三點，O是三角形ABC的重心，動點P滿足 1 1 1 OP= （ -OA + -OB+2OC）,貝U點 P一定為三角形 ABC的（B ）3 22A.AB邊中線的中點B

17、.AB邊中線的三等分點（非重心）C.重心D.AB邊的中點1. B 取 AB 邊的中點 M 貝U OA OB =2OM，由 OP =- （ OA +OB +2OC ）可得3 2 23OP=3OM 2MC ,：mp=2MC，即點P為三角形中AB邊上的中線的一個三等分點，且3點P不過重心，故選B.|4 -H 12 2 2 2 22在同一個平面上有 UBC及一點o滿足關系式：oa + BC = OB + CA = OC +42AB，則o為 ABC 的（ D ）A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心2. 已知 ABC的三個頂點 A、B、C及平面內(nèi)一點 P滿足：PA PB P-0，貝U P為厶ABC的（

18、C ）A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心3已知O是平面上一 定點，A、B、C是平面上不共線的三個點，動點 P滿足:OP =OA （AB AC），貝U P的軌跡一定通過厶ABC的P滿足:A 外心 B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心 4已知 ABC P為三角形所在平面上的動點，且動點PAPC PAPB PB -0，貝U P點為三角形的A 外心P滿足：a卩A b卩B c PC = 0，貝U P點B 內(nèi)心 C 重心 D 垂心5 已知 ABC P為三角形所在平面上的一點，且點為三角形的（B ）A外心B 內(nèi)心 C重心D垂心6.在三角形ABC中，動點P滿足：2CA2 二CB - 2AB-CP，貝U P點軌跡一

19、定通過厶ABC的(B )A外心B 內(nèi)心 C重心D垂心7.已知非零向量AB與AC滿足（-AB +-AC ） BC=0且|Aeb| |AC|Aeb|AC| 2A.三邊均不相等的三角形B.直角三角形 C.等腰非等邊三角形D.等邊三角形T T解析：非零向量與滿足（B AC ） =0，即角 A的平分線垂直于BC,. ABAC，又|AB| |AC|T cos A AB A=1，/ A=，所以 ABC為等邊三角形，選D.| AB| |AC| 238. ABC的外接圓的圓心為 O,兩條邊上的高的交點為 H, OH = m（OA OB OC），則實數(shù)m=_J 9點O是 ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足 OAOB =

20、OB OC = OC OA，則點O是 ABC的（B ）（A）三個內(nèi)角的角平分線的交點（B）三條邊的垂直平分線的交點（C）三條中線的交點（D）三條高的交點10.如圖1,已知點G是ABC的重心，過G作直線與ABAC兩邊分別交于MN兩點，且気M，AN =yAC，則 1 1 =3。x y證 點G是ABC的重心，知GA GB GC = O,得 _AG （a-ag） （AC-AG）。又M, N, G三點共線（A不在直線MN3上）,I于是存在，使得AGvAMAN（且m亠-i）,有記二 xAB JyACjAB AC),31厶3。x y =1得1，于是得1kx = Uy =31、課前練習-.2 -.2 21.1

21、已知0是厶ABC內(nèi)的一點，若OA =OB =OC，貝U 0是厶ABC的A、重心 B 、垂心 C 、外心 D 、內(nèi)心1.2 在厶 ABC中，有命題 AB-AC 二BC : AB BC CA = 0 ;若 AB AC AB-AC =0，則厶ABC為等腰三角形；若A*AC 0，則厶ABC為銳角三角形，上述命題中正確的是A、B 、 C 、 D、例1、已知 ABC中，有AB AC T BC=0和 AB AC 1|ab|,試判斷 ABC的形狀。AC 2練習1、已知 ABC中, AB=a，BC二b，B是厶ABC中的最大角，若ab：0,試判斷 ABC 的形狀。4、運用向量等式實數(shù)互化解與三角形有關的向量問題陰

22、2+岡2=岡2+岡2=|例2、已知O是厶ABC所在平面內(nèi)的一點，滿足2 FOC + AB2，則O 是厶 ABC的:A、重心B 、垂心 C 、外心 D 、內(nèi)心5、運用向量等式圖形化解與三角形有關的向量問題例3、已知P是厶ABC所在平面內(nèi)的一動點，且點 P滿足OP =0A些+腔AB網(wǎng)，九 E （0,畑）,則動點P 一定過 ABC的:A、重心B 、垂心練習2、已知O為平面內(nèi)一點C 、外心 D 、內(nèi)心,A、B、C平面上不共線的三點，動點P滿足OP =OA + 丸 AB +丄65 ,2則動點P的軌跡一定通過厶ABCA、重心 B 、垂心例 4、已知 O是C ABC、外心所在平、內(nèi)心的一點，動OP = OA

23、 丁AB+AB cosBAC0,：,則動點P 一定過 ABC的:AC cosCA、重心B練習 3、已知、垂心O 是CABC、外心 D 、內(nèi)心 所在平面內(nèi)的一點，動A、重心例5、已知點AB;+aB cosBB 、垂心G是的重心，ACAC cosC-0,=,則動點P 一定過 ABC的:C 、外心 D 、內(nèi)心過G作直線與AB、AC分別相交于M、N兩點， 一 一 11AM 二 x AB,AN 二 y AC，求證：-3x y7、作業(yè)1、已知O是厶ABC內(nèi)的一點，若OA OB OC =0，貝U O是厶ABC的:A、重心B 、垂心、外心D 、內(nèi)心2、若厶ABC的外接圓的圓心為O,半徑為1,且 OA OB OC=0，貝U OMOB 等于12已知O是厶ABC所在平面上的一點A、12C、所對的過分別是a、b、ca *OA b *OB c *O0，貝U 0是厶 ABCA、重心B 、垂心C 、外