本科畢業(yè)論文函數(shù)方程思想在解題中的應(yīng)用

1、 本科畢業(yè)論文 題目名稱: 關(guān)于”函數(shù)方程思想”在解題中的應(yīng)用 學 院: 數(shù)學與統(tǒng)計學院 專業(yè)年級: 數(shù)學與應(yīng)用數(shù)學 學生姓名: 班級學號: 指導教師: 二o一五年五月二十四日摘 要數(shù)學思想和方法作為高中數(shù)學知識的主要思維方法, 是構(gòu)成數(shù)學基礎(chǔ)知識的重要組成部分. 長期以來, 教師就是通過對數(shù)學思想和方法的學習來讓學生掌握數(shù)學的真諦, 理解數(shù)學潛在的意義. 從這種角度出發(fā), 我們嘗試對數(shù)學中常用的函數(shù)方程思想進行歸納總結(jié). 首先, 我對目前己有的研究進行相對全面的了解, 然后討論函數(shù)方程思想在中學數(shù)學解題中的應(yīng)用, 主要是在數(shù)列、三角函數(shù)、不等式、解析幾何、立體幾何中的應(yīng)用, 最后討論函數(shù)方程

2、思想方法與其它思想方法之間的聯(lián)系. 函數(shù)與方程思想作為一種重要的思想, 對于中學生數(shù)學思維的培養(yǎng)具有重要意義. 關(guān)鍵字: 數(shù)學思想方法; 函數(shù)與方程思想方法; 函數(shù)思想; 方程思想 abstractmathematical thought and method as the main thinking methods of high school mathematics knowledge, is constitutes an important part of the basic knowledge of mathematics. for a long time, the teacher i

3、s based on the mathematical thought and methods of learning to make students master the true meaning of mathematics and understand mathematical potential significance. from this perspective, we try the function equation is commonly used in mathematics thoughts generalizations. first of all, i presen

4、t the existent research on relative comprehensive understanding, and then discuss the function equation of thought in the middle school mathematics problem solving application, mainly in the series, trigonometric function and inequality, analytic geometry, the application of solid geometry, finally

5、discuss functional equations and the connection between the thinking method and other methods. function and equation thought as an important thought, is of great significance for the cultivation of the middle school students mathematical thinking. key words: mathematical thinking method; function an

6、d equation method; function; equation目 錄摘 要iabstractii目 錄iii1. 引 言12.有關(guān)”函數(shù)方程思想”的概念12. 1基本概念研究12. 2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀23.函數(shù)與方程思想方法的應(yīng)用研究43. 1函數(shù)與方程思想方法在不同問題中的應(yīng)用43. 2函數(shù)與方程思想方法與其它思想方法的應(yīng)用聯(lián)系7結(jié) 論13致 謝14參考文獻151. 引 言在中學數(shù)學應(yīng)用中, “函數(shù)”概念是最基礎(chǔ)、最根本的, 現(xiàn)實世界中的數(shù)量關(guān)系是以運動變化的觀點來描述的, 所以“函數(shù)”通常作為對學生進行素質(zhì)教育的重要材料. 函數(shù)所包含的內(nèi)容十分廣泛, 它的概念和思維方法在數(shù)學的各

7、個部分都有體現(xiàn), 因此它為進一步的學習奠定基礎(chǔ). 函數(shù)思想與方程思想有著密切的聯(lián)系, 無疑函數(shù)與方程思想是構(gòu)建整個中學數(shù)學的主旋律, 在數(shù)學教學中如果有了函數(shù)與方程的觀點, 很多問題就迎刃而解, 而沒有函數(shù)與方程的觀點則舉步維艱, 函數(shù)與方程思想是解決它們的金鑰匙. 因此, 教學中我們要重點培育它, 讓它成為學生心中的一顆大樹, 在他們認知領(lǐng)域中占有一個重要的地位. 近年來, 有很多學者做了關(guān)于函數(shù)與方程思想和方法的研究, 為我們的學習和教育教學提供了借鑒, 但對于函數(shù)與方程在普通數(shù)學教學中的實踐研究卻并不多見. 中學數(shù)學把函數(shù)方程思想作為主要內(nèi)容, 在每年的高考數(shù)學試題中關(guān)于這個知識點都有涉

8、及, 已成為近年來考查的重難點, 所以函數(shù)與方程思想在解題中的應(yīng)用對提高學生的思維能力具有很大的現(xiàn)實意義. 2. 有關(guān)”函數(shù)方程思想”的概念 2. 1基本概念研究 1. 數(shù)學思想學者們對”數(shù)學思想”的見解各有不同: 有的把數(shù)學思想認為是人們對研究數(shù)學對象統(tǒng)一的、本質(zhì)的認知. 它不僅包含對數(shù)學本質(zhì)的理解, 還包含了對數(shù)學基本特性、數(shù)學對象以及數(shù)學與其他領(lǐng)域、數(shù)學和客觀世界的聯(lián)系的認識, 也包含在數(shù)學中數(shù)學創(chuàng)立新的概念、理論、模型和方法的認識. 有部分學者認為數(shù)學思想就是數(shù)學觀念, 認為數(shù)學觀念是人類用數(shù)學的思維方式來考慮問題、解決問題的自覺意識或者思維習慣, 因此數(shù)學思想是用數(shù)學理念為中心的對數(shù)

9、學關(guān)系中最一般規(guī)律的認知. 也有部分學者把數(shù)學思想理解為對數(shù)學事實與理論的本質(zhì)認識, 同時也是解決和處理函數(shù)與方程思想在數(shù)學應(yīng)用中的基本見解, 以及對中學數(shù)學重難點知識的總結(jié). 比較以上幾種觀點, 它們的相同點是: 首先數(shù)學思想是一種理性的認識, 是一種“隱數(shù)學性”的知識, 因此數(shù)學思想在數(shù)學定義、定理、方法等理性認識中占據(jù)著重要地位, 同時也是對整個中學數(shù)學知識點的更深一步提升與總結(jié). 所以,數(shù)學思想是每個高中老師都該具備的教學素質(zhì), 同時也是學生透過現(xiàn)象看本質(zhì)的逆向思維的轉(zhuǎn)化. 2. 數(shù)學方法數(shù)學方法是對一般事物, 我們通常用數(shù)學語言表述它的狀態(tài)、關(guān)系和過程, 從而再對它進行推導、演算和分

10、析, 最后總結(jié)出對問題的理解判斷和預言的方法. 人們通常在活動中主觀能動地選擇和運用不同的數(shù)學手段來達到目的, 所以我們認為數(shù)學方法也是人的一種活動. 我們也認為這是對方法的真正理解. 數(shù)學家徐利治通過研究發(fā)現(xiàn)數(shù)學方法可以分為兩個方面, 一方面是宏觀的, 一方面是微觀的. 所以數(shù)學工作者在研究數(shù)學發(fā)展規(guī)律的時候, 若研究的數(shù)學問題不涉及內(nèi)在因素, 我們就采用宏觀的方法論. 若涉及到數(shù)學內(nèi)在因素, 研究就要遵循一定的方法和數(shù)學法則, 我們稱之為微觀的方法論. 因此, 方法可以理解成人們解決數(shù)學問題的策略、途徑. 本文所說的數(shù)學方法是指數(shù)學徐利治的微觀方法論中的方法, 所以是研究工作者個人一定要遵

11、循的方法與法則. 2. 2國內(nèi)外研究現(xiàn)狀我們在解決數(shù)學問題的過程中應(yīng)用的數(shù)學方法各不相同, 數(shù)學家羅建宇認為, 運用函數(shù)的概念和性質(zhì)去解決數(shù)學問題是函數(shù)的思想. 而通過組建數(shù)學模型是方程的思想3. 數(shù)學家鄭一平認為, 方程思想其本質(zhì)就是找出數(shù)學問題中的等量關(guān)系, 進而建立方程, 通過解方程解決數(shù)學問題. 數(shù)學家王太青認為, 在中學數(shù)學中函數(shù)思想的運用尤為重要, 函數(shù)是中學數(shù)學內(nèi)容的重要組成部分, 高考時也是重點考察的內(nèi)容, 所以說在中學數(shù)學的學習過程中運用函數(shù)與方程思想非常重要4. 國外研究表明, 其實函數(shù)作為一個備受所有數(shù)學家青睞的概念, 它并沒有在產(chǎn)生之后就立刻進入到中小學的數(shù)學教材中.

12、國外關(guān)于函數(shù)思想的研究主要集中在教學實踐上, 發(fā)現(xiàn)許多學生認為變量一直是數(shù)學“變”, 而常量也永遠是“常”,對于變量有時“受制”與常量有時“不?！钡膯栴}, 在數(shù)學上理解不透, 不清楚研究變量必須要通過研究其常量才能實現(xiàn)的道理1.這是因為他們沒有以維運用唯物主義的認識論去看待事物的運動發(fā)展. 通過以上研究表明: 國內(nèi)外多數(shù)教師認為, 在整個中學數(shù)學教材的內(nèi)容中函數(shù)與方程的思想是主要內(nèi)容, 占有很大比重, 幾乎貫穿整個中學數(shù)學學習的過程, 能夠聯(lián)系其它的數(shù)學知識, 構(gòu)成數(shù)學知識網(wǎng)絡(luò), 是中學數(shù)學學習的核心思想方法. 3 函數(shù)與方程思想方法的應(yīng)用研究3. 1函數(shù)與方程思想方法在不同問題中的應(yīng)用1.

13、在不等式中的應(yīng)用 例3.1 設(shè),分別是定義在r上的奇函數(shù)和偶函數(shù), 當時, , 且, 求不等式的解集. 分析 善于根據(jù)條件構(gòu)造、抽象出函數(shù)關(guān)系式是用函數(shù)思想解題的關(guān)鍵之一本題通過構(gòu)造函數(shù), 根據(jù)題意明確該函數(shù)的性質(zhì)得出函數(shù)的圖像, 然后由不等式解集與函數(shù)圖像間的關(guān)系使問題獲得解決. 解 構(gòu)造, 因為時, 所以, 即在上單調(diào)遞增.因為, 分別是定義在r上的奇函數(shù)和偶函數(shù), 有,.所以為r上的奇函數(shù), 所以在上也單調(diào)遞增.又因為, 所以.則的解集為. 1. 在數(shù)列中的應(yīng)用例3.2 己知等差數(shù)列共有項, 其中奇數(shù)項之和為, 偶數(shù)項之和為, 求公差. 分析 這道題考查的是等差數(shù)列的定義, 通過解方程組

14、得出結(jié)論. 解：設(shè)等差數(shù)列的首相為，公差為，由題意得，化簡得，解得?？偨Y(jié): 給出一道提升題: 若項數(shù)為奇數(shù), 且奇數(shù)項和為, 偶數(shù)項和為, 求數(shù)列的中間項和項數(shù). 2.在三角函數(shù)中的應(yīng)用 例3.3 的最小值為, 求的值. 分析 三角函數(shù)是高考中考查的重點內(nèi)容, 與一元一次函數(shù)的結(jié)合是學生必須要掌握的重要題型. 本題是三角函數(shù)包裝下的“動對稱軸定區(qū)間”問題, 涉及了分類討論和數(shù)形結(jié)合的思想. 解 因為,令所以在上的最小值為. 因為函數(shù)的對稱軸為不確定, 所以最小值有可能在端點和頂點三個地方取得. 當時, , 所以, 滿足. 當時, , 所以不滿足; 當時, , 所以滿足. 綜上所述, 總結(jié):本題

15、也可以把可能取得最小值的m都求出來然后逐個檢驗. 其次本題還可以作一些變化:（1)條件變成最大值為;(2)條件變?yōu)榍蟮淖钚≈档淖钪?(3)條件變?yōu)榍笥辛泓c,求實數(shù)的取值范圍. 3. 在解析幾何中的應(yīng)用幾何中的許多問題, 例如直線與二次曲線的位置關(guān)系問題, 需要通過解二元方程組才能解決, 這些都涉及到二次方程與二次函數(shù)的有關(guān)理論. 因此, 把解析幾何問題中的解析式看作一個方程, 通過解方程的手段或?qū)Ψ匠痰难芯? 使問題得到解決, 這種思想方法在解析幾何試題中經(jīng)常使用. 例3.4 已知雙曲線c: , 設(shè)頂點為a, 且上支與直線y=-x相交于p點, 一條以a為焦點, m(0, m)為頂點, 開口向下

16、的拋物線通p, 設(shè)pm的斜率為k, 且, 求實數(shù)a的取值范圍. 解 由雙曲線方程知a(0, 1), 則拋物線方程為.由雙曲線與直線相交, 解得點p的坐標為(-a, a), 又因為點p在拋物線上, 所以,而mp的斜率為, 所以m=ak+a. 將m=ak+a代入, 得,即 . 根據(jù)題意方程在區(qū)間上有根. 令, 其對稱軸方程為, .所以實數(shù)a的取值范圍為. 分析: 對于曲線上一些動點, 在變化過程中會引入一些相互聯(lián)系、相互制約的變量, 從而使變量與其中的參變量之間構(gòu)成函數(shù)關(guān)系. 此時, 用函數(shù)思想與函數(shù)方法處理起來十分方便. 4. 在立體幾何中的應(yīng)用例3.5 圓錐的母線長為1, 它和底面所成的角為,

17、 求這個圓錐內(nèi)接正方體的棱長. 解 如圖作軸截面得等腰, 及其內(nèi)接矩形, 作, 交于. 設(shè)內(nèi)接正方體的棱長為, 則, , 因為 ,.即解之, 得 總結(jié): 在立體幾何問題中, 有些問題直接求解比較困難, 通過適當引進未知數(shù), 根據(jù)題意列出溝通各量之間的關(guān)系式, 通過方程思想來處理. 3. 2函數(shù)與方程思想方法與其它思想方法的應(yīng)用聯(lián)系1. 與數(shù)形結(jié)合思想方法的聯(lián)系中學數(shù)學研究的對象可分為兩大部分, 一部分是數(shù), 一部分是形, 但數(shù)與形是有聯(lián)系的, 這個聯(lián)系稱之為數(shù)形結(jié)合或形數(shù)結(jié)合. 它既是尋找問題解決切入點的”法寶”, 又是優(yōu)化解題途徑的“良方”. 因此我們在解答數(shù)學題時, 能畫圖的盡量畫出圖形,

18、 以利于正確地理解題意、快速地解決問題. 數(shù)形結(jié)合的思想, 其實質(zhì)是將抽象的數(shù)學語言與直觀的圖形結(jié)合起來, 使抽象思維和形象思維結(jié)合, 通過對圖形的認識, 數(shù)形結(jié)合的轉(zhuǎn)化, 可以培養(yǎng)思維的靈活性, 形象性, 使問題化難為易, 化抽象為具體. 通過 “形”往往可以解決“用”數(shù)”很難解決的問題. 高中階段的初等函數(shù)性質(zhì)的研究都離不開圖像, 函數(shù)的性質(zhì)勾勒了函數(shù)的圖像, 函數(shù)的圖像體現(xiàn)了函數(shù)的性質(zhì), 兩者聯(lián)系密不可分, 所以函數(shù)的研究來不開數(shù)形結(jié)合的思想. 運用數(shù)形結(jié)合, 借助于形象的圖形來解題, 對于初次接觸此類問題的學生來說, 不僅學得有興趣, 而且還能加深對用假設(shè)法解題的思路的理解, 發(fā)展學生

19、的思維能力. 例3.6 求代數(shù)式的最小值. 分析 兩個根號下均可看成平方和的形式, 可聯(lián)想勾股定理, 從而構(gòu)造如圖所示的直角三角形. 設(shè)線段,作于, 于, 且, , 又設(shè)為上一動點, 則, 由勾股定理可得, 問題轉(zhuǎn)化為求的最小值. 作點關(guān)于的對稱點, 連接交于, 此時最小, 在中, 所以原代數(shù)式的最小值為. 說明 本題亦能構(gòu)造平面直角坐標系, 求代數(shù)式的最小值, 相當于要在軸上求一點, 使它到和這兩點的距離的和最短, 請同學們自己去思考. 2. 與分類討論思想方法的聯(lián)系 在我們所遇到的數(shù)學問題中, 每一個數(shù)學結(jié)論都有其成立的條件和適用的范圍, 在解決某一類問題時, 往往在解題中并不能以統(tǒng)一的形

20、式進行研究, 我們可以把所有要研究的問題根據(jù)題目條件分成若干類, 轉(zhuǎn)化成若干個小問題來解決分類討論思想, 往往與函數(shù)方程思想具有很強的聯(lián)系, 函數(shù)思想滲透在整個討論過程. （1）分類對象; （2）確定分類標準; （3）逐類分類, 分別得到階段性結(jié)果; （4)用分級標準進行求解; （5）歸納結(jié)論. 在中學數(shù)學中, 分類討論思想方法滲透到每個章節(jié), 分類時要不重不漏, 對問題求解要求細致的過程, 不能出現(xiàn)錯誤. 例3.7 已知實數(shù), 函數(shù), 若, 求的值. 分析 本題的突破口是和與分段函數(shù)的端點, 比較大小, 從而決定帶入到分段函數(shù)的某一段中去. 解 當時, 而, 所以解得不滿足; 當時, 而,

21、所以解得滿足. 例3.8 已知實數(shù), 函數(shù), 若, 求的值. 分析：本題的突破口是和與分段函數(shù)的端點, 比較大小, 從而決定帶入到分段函數(shù)的某一段中去. 解 當時, 而, 所以解得不滿足; 當時, 而, 所以解得滿足. 3. 與化歸轉(zhuǎn)化思想方法的聯(lián)系化歸思想是將一個數(shù)學問題, 由難到易, 由繁到簡, 由陌生化熟悉的思想, 在研究和解決有關(guān)數(shù)學問題時, 采用某種手段將問題通過變換使之轉(zhuǎn)化, 進而達到解決, 通常從現(xiàn)有的知識出發(fā), 利用事物之間的相互聯(lián)系, 化抽象為直觀, 化模糊為明朗, 實現(xiàn)這種轉(zhuǎn)化的方法有: 待定系數(shù)法, 配方法, 整體法, 圖像法, 函數(shù)法等. 例3.9 已知關(guān)于的方程有唯一

22、解, 求實數(shù)的值. 分析:看到這到庭, 你不禁會想: 這道題到底考察什么,這是什么方程. 我學過的那些知識對處理這道題有幫助,題目條件看似簡單,其實隱藏了很多的性質(zhì),只有經(jīng)過一番抽絲剝繭才能夠突破難點. 解 構(gòu)造函數(shù), 所以原問題等價于函數(shù)有唯一的零點, 因為, 所以為偶函數(shù), 所以的唯一零點為, 即, 所以或檢驗:當時, , 此時在遞減, 在上遞增, 所以有且只有一個零點, 所以滿足. 當時, , 此時, , 又在上圖像連續(xù)不間斷, 所以在上有零點, 所以此時的零點不唯一, 所以不滿足. 綜上所述:. 分析 把方程有唯一解等價轉(zhuǎn)化為函數(shù)有唯一的零點, 再根據(jù)偶函數(shù)的性質(zhì)確定唯一的零點就是,

23、從而解方程求出的值, 在檢驗結(jié)果的過程中又用到了函數(shù)的單調(diào)性以及判斷函數(shù)是否存在零點的方法, 本道題是函數(shù)與方程, 劃歸與轉(zhuǎn)化思想的完美結(jié)合. 例3.10 若關(guān)于的方程有實數(shù)根, 求實數(shù)的取值范圍. 分析 方程中變量的次方由高到低非常有規(guī)律, 怎樣變形把問題轉(zhuǎn)化為已知熟悉的問題是關(guān)鍵. 解 當時, 方程不成立, 所以, ; 令, 所以 因為或, 所以總結(jié) 高次方程轉(zhuǎn)化為低次方程, 分離參數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)值域問題, 除了最簡單的數(shù)學問題之外, 幾乎都離不開劃歸與轉(zhuǎn)化, 比如: 函數(shù)與方程的相互轉(zhuǎn)化, 指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的相互轉(zhuǎn)化等等, 所以劃歸與轉(zhuǎn)化思想方法在數(shù)學解題中被廣泛運用. 4. 與極限思想

24、的聯(lián)系極限是微積分中的基礎(chǔ)概念, 它指的是變量在一定的變化過程中, 從總的來說逐漸穩(wěn)定的這樣一種變化趨勢以及所趨近的值. 微積分的全部內(nèi)容都涉及到極限思想, 這種思想是微積分中的主要思維模式. 極限是解決導數(shù)的工具, 又是解決函數(shù)與方程問題的有效手段10 . 極限離不開函數(shù)與方程思想, 它以函數(shù)與方程思想為基礎(chǔ), 結(jié)合數(shù)列, 不等式及函數(shù)圖像, 對變量無限變化的過程進行詳細的歸納推理, 總結(jié)出一般性的結(jié)論. 它們?yōu)楹罄m(xù)的研究提供了有價值的理論依據(jù). 例3.11 若, , 試證 . 解:令, 則時, . 于是 時第二、三項趨向零?，F(xiàn)證第四項極限亦為零。事實上，因，故有界，即，使得結(jié) 論本文系統(tǒng)闡述了函數(shù)與方程思想方法的概念、實踐和應(yīng)用. 經(jīng)過研究發(fā)現(xiàn)思想方法在數(shù)學學習中起著非常重要的作用, 學生如果掌握的好對解題一定會很有幫助. 函數(shù)與方程思想方法固然很重要, 但是也離不開與其它思想之間的聯(lián)系. 數(shù)學家希爾伯特巴黎研討會上曾