立體幾何翻折測試

1、學(xué)習(xí)資料收集于網(wǎng)絡(luò)，僅供參考1 在直角厶ABC中，/ ACB=30, / B=90, D為AC中點(diǎn)（左圖），將/ ABD沿BD折起，使得AB丄CD （右圖），則二面角A-BD- C的余弦值為（）A-B C -匚D:2將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角后的圖形如圖所示， 若E為線段BC的中點(diǎn)，則直線AE與平面ABD所成角的余弦為A.B*3.如圖，在矩形 ABCD中，AB=2, AD=3,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，現(xiàn)分別沿 BE CE將厶ABE DCA翻折，使得點(diǎn)A，D重合于F,此時(shí)二面角E- BC- F的余弦值為（ ）4如圖，將菱形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使得C點(diǎn)至 C，E點(diǎn)在線段AC上，若二面

2、角 A- BD- E與二面角E-BD- C的大小分別為30和45,則占匚=（）A.Vo5.如圖，正方形A1BCD折成直1 面角 A-BD-C,則二面角A-CD- B的余弦值是（)A.1B.C. 1D.33226. 如圖， ABC是等腰三角形，其中/ A=90,且DB丄BC, / BCD=30,現(xiàn)將 ABC沿邊BC折起，使得二面角A-BC- D大小為30,（如圖2）,則異面直線BC與AD所成的角為（）圖1圏2學(xué)習(xí)資料A. 30，B. 45，C. 60，D. 90，7. 如圖，矩形 ABCD中 AB=2, BC3 , M , N 分別為 AB, CD 斗3中點(diǎn)，BD與MN交于O,現(xiàn)將矩形沿MN折起

3、，使得二面角ApL-MN - B的大小為，則折起后cos/ DOB為（）3B.D.8. 如圖，正方形ABCD與正方形ABEF構(gòu)成一個(gè)的二面角，將 BEF繞BE旋轉(zhuǎn)一周.在旋轉(zhuǎn)過程中，（）A. 直線AC必與平面BEF相交B. 直線BF與直線CD恒成角C直線BF與平面ABCD所成角的范圍是,，D.平面BEF與平面ABCD所成的二面角必不小于9.如圖，已知 ABC, 成厶A C,所成二面角A.Z A DB aC.Z A CSaD是AB的中點(diǎn)，沿直線。將厶ACD折A- CD- B的平面角為a,則（B.Z A D號(hào) aD.Z A CBaC10.如圖，四邊形 A BP異面直線A. aZ A CAC. aZ

4、 A CAD. aZ A CD答案：1. （2016秋?射洪縣校級(jí)期中）在直角 ABC中，/ ACB=30, / B=90, D為AC中點(diǎn)（左圖），將/ ABD沿BD折起，使得AB丄CD （右圖），則二面角A- BD-C 的余弦值為（）【分析】由（1）的證明可得/ A E為二面角A-BD-C的平面角.過A作AO丄 面BCD,垂足為O.由于面AEH面BCD,所以O(shè)在FE上，連BO交CD延長線 于M，從而當(dāng)AB丄CD時(shí)，由三垂線定理的逆定理得 BM丄CM,由此可求得cos / AEO=，利用互補(bǔ)得出二面角 A-BD-C的余弦值為.33【解答】解：過A作AEBD,在原圖延長角BC與F，過A作AO丄面

5、BCD,垂足為O.由于面 AEF丄面BCD 所以O(shè)在FE上，連BO 交CD延長線于M ,在 ABC中，/ ACB=30,Z B=90, D 為 AC中點(diǎn),AB= :, BD= AC, ABD為等邊三角形， BD丄AE, BD丄 EF,/ AEF為二面角A-BD- C的平面角，過A作AO丄面BCD,垂足為O,面 AEF丄面 BCD, O 在 EF上，理解BO交CD延長線于M ,當(dāng)AB丄CD時(shí)，由三垂線定理的逆定理可知：MB丄CM,0為翻折之前的三角形ABD的中心， 0E= AE,3cos/ AEO=,3 cos/ AEF二一,3故選：A【點(diǎn)評(píng)】本題以平面圖形為載體，考查圖形的翻折，關(guān)鍵是搞清翻折

6、前后有關(guān)元 素的變與不變，考查面面角，考查線面角，關(guān)鍵是正確作出相應(yīng)的角2. （2017?四川模擬）將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成直二面角后的圖形如圖所 示，若E為線段BC的中點(diǎn)，則直線AE與平面ABD所成角的余弦為（）1BlBC.【分析】取DB中點(diǎn)0,連接CO A0,過E作 EH/ C0交DB于H,貝U有EH丄面ADB. H為0B中點(diǎn)，連接AH,則/ EAH就是直線AE與平面ABD所成的角；在RtAAHE中可求得直線AE與平面ABD所成角的余弦【解答】解：如圖所示，取DB中點(diǎn)0,連接C0 A0,四邊形ABCD為正方形， C0丄DB.又面 DCBL 面 ADB,： C0 丄面 ABD,過E作

7、 EH/ C0交DB于H,貝U有EH丄面ADB. H為0B中點(diǎn)，連接AH,則/ EAH就是直線AE與平面ABD所成的角.設(shè)正方形ABCD的邊長為2,則EH=-,AH= . i -，二門I M|;，. cos/ EAH=x-，二直線AE與平面ABD所成角的余弦為蘭心.AE 66故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查了面面垂直的性質(zhì)，線面角的求解，考查了轉(zhuǎn)化思想，屬于中 檔題.3. （2016?溫州一模）如圖，在矩形 ABCD中, AB=2, AD=3,點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)， 現(xiàn)分別沿BE。丘將厶ABE DCA翻折，使得點(diǎn)A，D重合于F,此時(shí)二面角E -BC- F的余弦值為（ ）43【分析】根據(jù)折疊前和折疊后的邊

8、長關(guān)系，結(jié)合二面角的平面角定義得到/FOE是二面角E- BC- F的平面角進(jìn)行求解即可.【解答】解：取BC的中點(diǎn)0,連接OE, OF, BA=CD二BF=FC即三角形BFC是等腰三角形,則F0丄BC, BE=CF BEC是等腰三角形， E0丄 BC,則/FOE是二面角E-BC- F的平面角, EF丄 CF, BF丄 EF, EF丄平面 BCF EF丄 F0,則直角三角形EFO中，0E=AB=2 EF=DE=,23_則 sin/ FOE=,OE 2 4則 cos/ FOE=_ =.；，故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二面角的求解，根據(jù)二面角的定義作出二面角的平面角是 解決本題的關(guān)鍵注意疊前和折疊后的

9、線段邊長的變化關(guān)系.4. （2016秋？臨川區(qū)校級(jí)期中）如圖，將菱形 ABCD沿對(duì)角線BD折起，使得C點(diǎn)至C, E點(diǎn)在線段AC上，若二面角A-BD-E與二面角E-BD-C的大小分別1【分析】 取BD的中點(diǎn)O,連接AO，EO, C，推導(dǎo)出/ AOE=30，/ EOC =45 / OC E/OAE,由正弦定理能求出闿L的值.EC【解答】解：取BD的中點(diǎn)O,連接AO, EO, C,菱形ABCD沿對(duì)角線BD折起，使得C點(diǎn)至C, E點(diǎn)在線段AC上, C O BD, AO丄 BD, OC =OA BD丄平面AOC, EO丄 BD,二面角A-BD- E與二面角E- BD-C的大小分別為30和45/ AOE=

10、30,Z EOC =45 OC =OA 二/ OC E/OAE,由正弦定理得=,sinZOC E sinZEOC0E 二 AE sin-ZOAE sin-Z AOE sinZEOC sinZAOE丄EC” min45*2故選：C.則二面角AA.B. 一C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查線段比值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思 維能力的培養(yǎng).D.【分析】由已知可得AO丄平面BCD,則OC, OA, OD兩兩互相垂直，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 O- xyz,分別求出平面ACD和平面BCD的法向量，代 入向量夾角公式，即可得到二面角 A-CD- B的余弦值.【解答】解：正方形AiBCD的對(duì)角線

11、BD為棱折成直二面角,平面ABD丄平面BCD,連接BD, AiC,相交于0,貝U A0丄BD,平面 ABDA 平面 BCD=BD AO?平面 ABD A0丄平面BCD,貝U OC, OA, OD兩兩互相垂直， 如圖，以O(shè)為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系 O- xyz.設(shè)正方形的棱長為1 ,則 O( 0 , 0 , 0), A( 0 , 0, ), C( , 0 , 0), B( 0,-平,0), D (0 ,普,0),n?= (0 , 0 ,是平面BCD的一個(gè)法向量.-=設(shè)平面ACD的法向量-i= (x , y , z),n CD二0一 J *?L n - AC =0f V2廠 L,即V2 V2 n

12、 5X2=0令 x=1 ,則 y=1 , z=1 ,即z=x解得=(1 , 1 , 1).從而 |cosv -I ,示 |= ，I =-=近礙3面角A-CD- B的余弦值為:InllOAl故選：B【點(diǎn)評(píng)】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是用空間向量求平面間的夾角，直線與平面平行的判定，直線與平面垂直的判定，解答的關(guān)鍵是分別求出平面ACD和平面BCD的法向量，利用向量法是解決空間二面角大小的基本方法.6. （2015?衢州一模）如圖， ABC是等腰三角形，其中/ A=90,且DB丄BC, / BCD=30,現(xiàn)將 ABC沿邊BC折起，使得二面角 A- BC- D大小為30 （如圖 2），則異面直線BC與AD所成的

13、角為（）A. 30 B. 45 C. 60 D. 90【分析】 設(shè)AB=AC=2貝U BC=2W，BD=BCtan30=，過點(diǎn)C作CM和BD平3行且相等，則由題意可得 BDMC為矩形，從而/ ADM （或其補(bǔ)角）為異面直線BC與AD所成的角.由此能求出異面直線 BC與AD所成的角.【解答】 解：設(shè) AB=AC=2 貝U BC=2邁，BD=BCtan30=，過點(diǎn)C作CM和BD平行且相等，則由題意可得 BDMC為矩形,/ ADM （或其補(bǔ)角）為異面直線BC與AD所成的角.取BC中點(diǎn)O, DM中點(diǎn)H,連結(jié)AO，HO,由已知得AO丄BC, HO丄BC,/ AOH是二面角 A- BC- D 的平面角，/

14、 AOH=30 ,由已知得 AO=-,rj； HO=BD=d,J又 AD=AM, H 是 DM 中點(diǎn)，DH= 二,J AH丄 DM , tan=/ ADM=3 ,異面直線BC與AD所成的角為30故選：A.【點(diǎn)評(píng)】本題考查異面直線所成角的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意 空間思維能力的培養(yǎng).7. （2015秋？沙坪壩區(qū)校級(jí)期末）如圖，矩形 ABCD中AB=2, BC= ，M，分別為AB, CD中點(diǎn)，BD與MN交于O,現(xiàn)將矩形沿MN折起，使得二面角-MN - B的大小為，則折起后cos/ DOB為（）D?ZCLA.D.8 8【分析】先求出BO=DO=，再以N為原點(diǎn)，NM為x軸，NC為y軸，過

15、 3垂直于平面NMBC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，求出|BD|，由此利用余弦定理能求出折起后cos/ DOB.【解答】解矩形ABCD中AB=2,BC=A，M，N分別為AB, CD中點(diǎn)，BD與MN交于O,現(xiàn)將矩形沿MN折起，使得二面角A-MN - B的大小為丁-1 BO=DO= L =；，如圖，以N為原點(diǎn)，NM為x軸, BO=DO=NC為y軸，過N垂直于平面NMBC的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則 B （空3, 1, 0），D（0，丄；32IBD=J （學(xué)心+（1令）沁c業(yè) DOB-=：，2BAD0.折起后皿DOB=.故選：C.【點(diǎn)評(píng)】本題考查角的余弦值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審

16、題，注意向量 法及余弦定理的合理運(yùn)用.8. （2016?紹興二模）如圖，正方形 ABCD與正方形ABEF構(gòu)成一個(gè)丁的二面角,.J將厶BEF繞BE旋轉(zhuǎn)一周.在旋轉(zhuǎn)過程中，（）A.直線AC必與平面BEF相交B直線BF與直線CD恒成.角4C直線BF與平面ABCD所成角的范圍是=，D 平面BEF與平面ABCD所成的二面角必不小于3【分析】首先確定旋轉(zhuǎn)后的圖形為圓錐， 進(jìn)一步求出線面夾角的最值，然后依次 進(jìn)行判斷即可.【解答】解：正方形ABCD與正方形ABEF構(gòu)成一個(gè)的二面角，3/ CBEJ，將 BEF繞BE旋轉(zhuǎn)一周，則對(duì)應(yīng)的軌跡是以 BE為軸的圓錐，3此時(shí)/ EBF二 ，則在旋轉(zhuǎn)過程中直線 AC不可能

17、與平面BEF相交，故A錯(cuò)43誤，當(dāng)平面BEF和CD垂直時(shí)，此時(shí)直線BF與直線CD為角一，故B錯(cuò)誤，2當(dāng)BF旋轉(zhuǎn)到與BE, BC在一個(gè)平面時(shí)，直線BF與平面ABCD的夾角達(dá)到最大和最小值. 最小值為：/ FBC=二.34 12 由于/ FBC二+二二二，3412所以最大值為：n-廠丄.12 12則直線BF與平面ABCD所成角的范圍是，故C錯(cuò)誤, 故只有D正確, 故選：D【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查二面角和線面的夾角的應(yīng)用，平面圖形的旋轉(zhuǎn)問題，主要 考查學(xué)生的空間想象能力和對(duì)問題的應(yīng)用能力.綜合性較強(qiáng)，難度較大.9. （2015?浙江）如圖，已知 ABC, D是AB的中點(diǎn)，沿直線。將厶ACD折成 A CD所成二面角A- CD- B的平面角為a則（ ）A.Z A DB a B.Z A DB a C.Z A CS a D.Z A CB a【分析】解：畫出圖形，分AC=BC ACM BC兩種情況討論即可.【解答】解：當(dāng)AC=BC寸，/ A DBa當(dāng)ACMBC時(shí)，如圖，點(diǎn)A投影在AE上,a = A QE連結(jié) AA,易得/ ADAZ aoa,/ A DB / A E,即/ A DS a綜上所述，/ A D3B a故選：B.【點(diǎn)評(píng)】本題考查空間角的大小比較，注意解題方法的積累，屬于中檔題.10. （2016?濟(jì)南二模）如圖，四邊形 ABCD是矩形，沿直線BD將 ABD翻折成 A Bp異面直線CD與A