2019版八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè) 第一章 三角形的證明 3 線段的垂直平分線（第2課時(shí)）教學(xué)課件 （新版）北師大版

1、第2課時(shí) 3 線段的垂直平分線 1.1.能夠證明三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)能夠證明三角形三邊的垂直平分線相交于一點(diǎn). . 2.2.會(huì)作以會(huì)作以a a為底、高為為底、高為h h的等腰三角形的等腰三角形. . AB C D 1.1.線段的垂直平分線的性質(zhì)定理線段的垂直平分線的性質(zhì)定理 和判定定理和判定定理. . 2.2.線段的垂直平分線的作法線段的垂直平分線的作法. . 利用尺規(guī)作三角形三條邊的垂直平分線，完成利用尺規(guī)作三角形三條邊的垂直平分線，完成 之后你發(fā)現(xiàn)了什么？之后你發(fā)現(xiàn)了什么？ 發(fā)現(xiàn)：發(fā)現(xiàn)：三角形三邊的垂直平三角形三邊的垂直平 分線交于一點(diǎn)這一點(diǎn)到三分線交于一點(diǎn)這一點(diǎn)到三 角形三個(gè)

2、頂點(diǎn)的距離相等角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等 【操作操作】 剪一個(gè)三角形紙片，通過(guò)折疊找剪一個(gè)三角形紙片，通過(guò)折疊找 出每條邊的垂直平分線出每條邊的垂直平分線. . 結(jié)論：結(jié)論：三角形三條邊的垂直平分三角形三條邊的垂直平分 線相交于一點(diǎn)線相交于一點(diǎn). . 怎樣證明這怎樣證明這 個(gè)結(jié)論呢個(gè)結(jié)論呢? ? 點(diǎn)撥：點(diǎn)撥：要證明三條直線相交要證明三條直線相交 于一點(diǎn)，只要證明其中兩條于一點(diǎn)，只要證明其中兩條 直線的交點(diǎn)在第三條直線上直線的交點(diǎn)在第三條直線上 即可即可. . 命題命題:三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn). 已知：在已知：在ABCABC中中,AB,BC,AB,BC的

3、垂直平分線相交于點(diǎn)的垂直平分線相交于點(diǎn)P P；求求 證：點(diǎn)證：點(diǎn)P P也在也在ACAC的垂直平分線上的垂直平分線上. . 證明：證明：連接連接APAP，BPBP，CP.CP. 點(diǎn)點(diǎn)P P在線段在線段ABAB的垂直平分線上的垂直平分線上, , PA=PB.PA=PB.同理同理,PB=PC.,PB=PC. PA=PC.PA=PC. 點(diǎn)點(diǎn)P P在線段在線段ACAC的垂直平分線上的垂直平分線上, , AB,BC,ACAB,BC,AC的垂直平分線相交于一點(diǎn)的垂直平分線相交于一點(diǎn). . A A B BC C P P 【證明證明】 定理定理: :三角形三條邊的垂直平分線相交于一點(diǎn)三角形三條邊的垂直平分線相交

4、于一點(diǎn), ,并并 且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)的距離相等. . 如圖如圖, ,在在ABCABC中中, , c,a,bc,a,b分別是分別是AB,BC,ACAB,BC,AC的垂直平的垂直平 分線分線, , c,a,bc,a,b相交于一點(diǎn)相交于一點(diǎn)P,P,且且 PA=PB=PC(PA=PB=PC(三角形三條邊的垂直平三角形三條邊的垂直平 分線相交于一點(diǎn)分線相交于一點(diǎn), ,并且這一點(diǎn)到三并且這一點(diǎn)到三 個(gè)頂點(diǎn)的距離相等個(gè)頂點(diǎn)的距離相等).). A A B BC C P P a a b b c c 【結(jié)論結(jié)論】 1.1.分別作出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形三分別作出銳角三角形、

5、直角三角形、鈍角三角形三 邊的垂直平分線，說(shuō)明交點(diǎn)分別在什么位置邊的垂直平分線，說(shuō)明交點(diǎn)分別在什么位置. . 銳角三角形銳角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形內(nèi)；三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形內(nèi)； 直角三角形直角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在斜邊上；三邊的垂直平分線交點(diǎn)在斜邊上； 鈍角三角形鈍角三角形三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形外三邊的垂直平分線交點(diǎn)在三角形外. . 【做一做做一做】 2 2已知：已知：ABCABC中，中，AB=ACAB=AC，ADAD是是BCBC邊上邊上 的中線，的中線，ABAB的垂直平分線交的垂直平分線交ADAD于于O.O. 求證：求證：OA=OB=OCOA=OB=OC D D

6、C CB B A A O O 【證明證明】AB=ACAB=AC，ADAD是是BCBC的中線，的中線， ADAD垂直平分垂直平分BC(BC(等腰三角形底邊上的等腰三角形底邊上的 中線垂直平分底邊中線垂直平分底邊) ) 又又ABAB的垂直平分線交的垂直平分線交ADAD于點(diǎn)于點(diǎn)O O， OA=OB=OC(OA=OB=OC(三角形三條邊的垂直平分三角形三條邊的垂直平分 線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)線交于一點(diǎn)，并且這一點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn) 的距離相等的距離相等) ) 【例例1 1】（】（1 1）已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作已知三角形的一條邊及這條邊上的高，你能作 出三角形嗎出三角形嗎? ?如果能

7、，能作幾個(gè)如果能，能作幾個(gè)? ?所作出的三角形都全等嗎所作出的三角形都全等嗎? ? 已知：三角形的一條邊已知：三角形的一條邊a a和這邊上的高和這邊上的高h(yuǎn).h. 求作：求作：ABCABC，使，使BC=aBC=a，BCBC邊上的高為邊上的高為h.h. A A1 1 D D C CB B A A a a h h (D)(D)C CB B A A a a h h A A1 1 D D C C B B A A a a h h A A1 1 【例題例題】 提示：提示：能作出無(wú)數(shù)個(gè)這樣的三角形，它們并不全等能作出無(wú)數(shù)個(gè)這樣的三角形，它們并不全等. . （2 2）已知等腰三角形的底邊，你能用尺規(guī)作出等腰已

8、知等腰三角形的底邊，你能用尺規(guī)作出等腰 三角形嗎三角形嗎? ?如果能，能作幾個(gè)如果能，能作幾個(gè)? ?所作出的三角形都全等所作出的三角形都全等 嗎嗎? ? 這樣的等腰三角形有無(wú)數(shù)多個(gè)這樣的等腰三角形有無(wú)數(shù)多個(gè). .根根 據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端據(jù)線段垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端 點(diǎn)的距離相等，只要作底邊的垂直平分點(diǎn)的距離相等，只要作底邊的垂直平分 線，取它上面除底邊的中點(diǎn)外的任意一線，取它上面除底邊的中點(diǎn)外的任意一 點(diǎn)，和底邊的兩個(gè)端點(diǎn)相連接，都可以點(diǎn)，和底邊的兩個(gè)端點(diǎn)相連接，都可以 得到一個(gè)等腰三角形得到一個(gè)等腰三角形 如圖所示，這些三角形不都全等如圖所示，這些三角形不都全等 (3)

9、(3)已知等腰三角形的底及底邊上的高已知等腰三角形的底及底邊上的高, ,你能用尺你能用尺 規(guī)作出等腰三角形嗎？能作幾個(gè)？規(guī)作出等腰三角形嗎？能作幾個(gè)？ 這樣的等腰三角形只有兩個(gè)，并這樣的等腰三角形只有兩個(gè)，并 且它們是全等的，分別位于已知底邊且它們是全等的，分別位于已知底邊 的兩側(cè)的兩側(cè) 【例例2 2】已知：線段已知：線段a a，h.h. 求作：求作：ABCABC，使，使AB=ACAB=AC，BC=aBC=a，高，高 AD=h.AD=h. 作法：作法： N N M M D D C C B B a a h h A A 【例題例題】 1 1作作BC=aBC=a； 2 2作線段作線段BCBC的垂直平

10、分線的垂直平分線MNMN 交交BCBC于于D D點(diǎn)；點(diǎn)； 3 3以以D D為圓心，為圓心，h h長(zhǎng)為半徑作長(zhǎng)為半徑作 弧交弧交MNMN于于A A點(diǎn)；點(diǎn)； 4 4連接連接ABAB，AC.AC. ABCABC就是所求作的三角形就是所求作的三角形. . 1.1.（煙臺(tái)（煙臺(tái)中考）中考）如圖，等腰如圖，等腰ABCABC中，中，AB=ACAB=AC， A=20A=20線段線段ABAB的垂直平分線交的垂直平分線交ABAB于于D D，交，交ACAC于于 E E，連接，連接BEBE，則，則CBECBE等于（等于（ ） A A8080 B B7070 C C6060 D D5050 C C B B A A D

11、D E E C C 2.2.下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是 ( )( ) A.A.三角形三條邊的垂直平分線必交于一點(diǎn)三角形三條邊的垂直平分線必交于一點(diǎn) B.B.如果等腰三角形內(nèi)一點(diǎn)到底邊兩端點(diǎn)的距離相等，那如果等腰三角形內(nèi)一點(diǎn)到底邊兩端點(diǎn)的距離相等，那 么過(guò)這點(diǎn)與頂點(diǎn)的直線必垂直于底邊么過(guò)這點(diǎn)與頂點(diǎn)的直線必垂直于底邊 C.C.平面上只存在一點(diǎn)到已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等平面上只存在一點(diǎn)到已知三角形三個(gè)頂點(diǎn)距離相等 D.D.三角形關(guān)于任一邊上的垂直平分線成軸對(duì)稱三角形關(guān)于任一邊上的垂直平分線成軸對(duì)稱 【解析解析】選選D.D.等邊三角形關(guān)于任一邊上的垂直平分線等邊三角形關(guān)于任一邊上的垂直平分線

12、成軸對(duì)稱，等腰三角形關(guān)于底邊上的垂直平分線成軸成軸對(duì)稱，等腰三角形關(guān)于底邊上的垂直平分線成軸 對(duì)稱，一般三角形不是軸對(duì)稱圖形，對(duì)稱，一般三角形不是軸對(duì)稱圖形，D D選項(xiàng)沒(méi)有說(shuō)明選項(xiàng)沒(méi)有說(shuō)明 三角形的形狀，所以三角形的形狀，所以D D選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤選項(xiàng)說(shuō)法錯(cuò)誤. . 3.3.如圖所示，在如圖所示，在ABCABC中，中，B B22.522.5,AB,AB的垂直平的垂直平 分線交分線交BCBC于點(diǎn)于點(diǎn)D D，DFACDFAC于點(diǎn)于點(diǎn)F,F,并與并與BCBC邊上的高邊上的高AEAE交交 于于G. G. 求證：求證：EGEGEC. EC. F F A A B B C C E E G G D D 【證明證明

13、】連接連接AD.AD.點(diǎn)點(diǎn)D D在線段在線段ABAB的垂直平分線上，的垂直平分線上， DADADB,DABDB,DABB B22.522.5, , ADEADEDABDABB B4545. . AEBC,DAEAEBC,DAEADEADE4545, , AEAEDE.DE.又又DFAC,DFAC, DFCDFCAECAEC9090, , CCCAECAEC CCDFCDF9090, , CAECAECDF,CDF, DEGDEGAEC,AEC, EGEGEC.EC. F F A A B B C C E E G G D D 4 4. .已知：線段已知：線段a.a. 求作：求作：ABCABC，使，使ACB=90ACB=90，AC=BC=a.AC=BC=a. 【解析】【解析】作法：（作法：（1 1）作直線）作直線l. . （2 2）在直線）在直線l上任取一條線段上任取一條線段DE.DE. （3 3）作線段）作線段DEDE的垂直平分線的垂直平分線MNMN交交 DEDE于于C.C. （4 4）在射線）在射線CECE上截取上截取CA=a,CA=a, 在射線在射線CMCM上截取上截取CB=a.CB=a. （5 5）連接）連接AB.AB.