18第十八講：定積分

1、第十八講：【理】定積分2計算下列定積分：一、知識梳理1定積分的定義：如果函數(shù) f (x) 在區(qū)間 a,b上有定義，將區(qū)間 a,b 等分成 n21) x(x 1)dx；2) 1 (e2x 1)dx ；1x3) 0 sin2 xdx個小區(qū)間，每個小區(qū)間的長度為 x x b a ，在每個小區(qū)間上 n取一點，依次為 x1， x2 ， ， xi， ， xn ，作和Sn f (x1) x f(x2) xf(xi) xf(xn) x ，如果 x無限趨近于 0(亦即 n趨向于)時， Sn無限趨近于常數(shù) S，那么b稱常數(shù) S為函數(shù) f(x)在區(qū)間 a,b上的定積分，記為 Sf(x)dx，a其中， f (x) 稱

2、為被積函數(shù)， a,b 稱為積分區(qū)間， a稱為積分下限，b 稱為積分上限2用定義求定積分的一般步驟： (1)分割；(2)以直代曲；(3)求和；(4) 3定積分的幾何意義：逼近如 圖 ， 直 線 y kx分 拋物 線 y x x2 與 x 軸所圍成圖形為面積 相等的兩個部分，求 k 的值如果 f(x)在a,b 上連續(xù)且恒有bf(x) 0，則 f (x)dx 的幾何意義是a4定積分的性質(zhì)：bkf (x)dx=a1)；( k 為常數(shù))；ba f1(x) f (x2)dx=bf (x)dxa5微積分基本定理：3)cbf (x)dxf (x)dx c般地，如果f (x)在區(qū)間 a, b上連續(xù)，且 F (x

3、) f (x) ，那b么 f (x)dx (牛頓萊布尼茨公式)a二、基礎(chǔ)自測：2 1定積分 2xdx 的值等于 02已知質(zhì)點的速度 v 10t ，則從 t 0到t t0質(zhì)點所經(jīng)過的路程是4曲線 f(x) cos(2 x )(| | )與直線 y x b在 x 處相切， 6求：(1) 的值；( 2)曲線 f(x)在x 0, 時與 x 軸圍成的圖形的 2面積1 2 23已知 0 f (x)dx A， 0 f (x)dx B，則 1 f (x)dx 4 2 (sinx cos x)dx 2215 已知函數(shù) f(x) 3x2 2x 1，若 f (x)dx 2 f ( a)成立，則 a =.6已知在區(qū)間

4、 (a,b)上 f(x) 0 ，且由直線 x a， x b， y 0及b曲線 y f (x)所圍成的圖形面積為 S，則 f x dx=a三、例題分析：31求由 y x3， x 2 ， x 2 y 0圍成的圖形面積1)求常數(shù) a 、 b 的值；2)求曲線 y f (x)與x 軸所圍成的圖形的面積四、跟蹤訓(xùn)練： 班級 組別 學(xué)號 姓名 1下列定積分的值等于 1的是 1 1 1 1 1(1) xdx；(2) (x 1)dx ；( 3) 1dx ；( 4)dx 212設(shè)函數(shù) f(x) ax2 c(a 0)，若 f (x)dx f (x0)，0 x0 1，則 x0 的值為 a3已知函數(shù) f(a) 0 s

5、in xdx ，則 f(f(2)4已知 f ( x)x2, 1 x 01,0 x 1，則11 f ( x)dx5如圖直線 y 2 x 與拋物線圍成陰影部分的面積是a 2 26當 a 0 時，計算a2 x2 dxa27已知函數(shù) y x2與 y kx( k 0)的4 圖象所圍成的陰影部分的面積為 4 ，則3k=11如圖，拋物線拋物線上從 A 向 B 運動x 1,( 1 x 0)8函數(shù) f (x)的圖象與 x 軸所圍成的封閉圖形的cos x,(0 x )22y 4 x2與直線 y 3x的兩個交點為 A、B，點 P在1)求使 PAB 的面積最大的 P 點的坐標 (a, b) ；( 2)證明由拋物線與線段 AB 圍成的圖形， 被直線 x a 分為面積相等的兩部分面積為 9計算下列定積分：12) 2 (sin x 2cos