新北師大版七年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)《一章 整式的乘除5 平方差公式平方差公式的應(yīng)用》教案_2

1、第課時(shí)1.進(jìn)一步掌握平方差公式,并能運(yùn)用公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的運(yùn)算.2.會(huì)通過(guò)圖形的拼接驗(yàn)證平方差公式,了解平方差公式的幾何背景,并會(huì)運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)進(jìn)行簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算.讓學(xué)生在數(shù)學(xué)活動(dòng)中建立平方差公式模型,通過(guò)探索規(guī)律,歸納出利用平方差公式解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的方法,培養(yǎng)學(xué)生觀察、歸納、應(yīng)用能力.了解平方差公式的幾何背景,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)形結(jié)合意識(shí).在探究學(xué)習(xí)中體會(huì)數(shù)學(xué)的現(xiàn)實(shí)意義,建立學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的信心.【重點(diǎn)】利用數(shù)形結(jié)合的思想方法解釋平方差公式和運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)單計(jì)算.【難點(diǎn)】掌握平方差公式的結(jié)構(gòu)特征,并能靈活運(yùn)用平方差公式解決問(wèn)題.【教師準(zhǔn)備】多媒體課件.【學(xué)生準(zhǔn)備】預(yù)習(xí)教材P2122.導(dǎo)入一:過(guò)渡語(yǔ)上節(jié)課

2、我們學(xué)習(xí)了平方差公式,現(xiàn)在先來(lái)回顧一下,誰(shuí)能分別用字母和文字語(yǔ)言敘述平方差公式?處理方式學(xué)生口答,教師適時(shí)鼓勵(lì).請(qǐng)同學(xué)們利用平方差公式快速計(jì)算下列各題.(1)(mn- 4n)(mn+4n);(2)(- 2x+3y)(- 2x- 3y);(3)(6m- n)(- 6m- n);(4)(x+1)(x- 1)(x2+1).處理方式學(xué)生獨(dú)立做題,教師巡視,然后出示答案,學(xué)生自批,教師利用實(shí)物投影展示學(xué)生出現(xiàn)的錯(cuò)誤做法,組織學(xué)生指出、分析并糾正錯(cuò)誤.師:同學(xué)們完成的非常好,這節(jié)課我們繼續(xù)學(xué)習(xí)平方差公式.設(shè)計(jì)意圖復(fù)習(xí)鞏固平方差公式,讓學(xué)生把握運(yùn)用公式的前提條件是兩個(gè)多項(xiàng)式相乘,且有一項(xiàng)完全相同,另一項(xiàng)互為

3、相反數(shù).為進(jìn)一步學(xué)習(xí)平方差公式相關(guān)知識(shí)做好準(zhǔn)備.導(dǎo)入二:過(guò)渡語(yǔ)大家回顧一下上節(jié)課學(xué)習(xí)的平方差公式,看誰(shuí)答的又對(duì)又快.1.平方差公式.(1)符號(hào)表達(dá)式:.(2)文字表達(dá):.處理方式思考后,指名口答,教師進(jìn)行點(diǎn)評(píng).2.判斷下列算式能否運(yùn)用平方差公式計(jì)算.(1)(a+2)(a- 3);(2)(- m- n)(m- n);(3)(2x+3y)(3x- 2y);(4)(4x- 3)(- 4x- 3).處理方式先小組內(nèi)交流,然后由小組代表匯報(bào)結(jié)果:(1)不能;(2)能;(3)不能;(4)能.師:平方差公式是十分重要的數(shù)學(xué)知識(shí),它的應(yīng)用非常廣泛,這節(jié)課我們繼續(xù)進(jìn)行探究.設(shè)計(jì)意圖上節(jié)課直接利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法

4、則,推導(dǎo)得到平方差公式,設(shè)計(jì)這一環(huán)節(jié)的目的是在復(fù)習(xí)上節(jié)課知識(shí)的基礎(chǔ)上,為本節(jié)課的平方差公式的幾何解釋和進(jìn)一步應(yīng)用平方差公式進(jìn)行較復(fù)雜的化簡(jiǎn)、計(jì)算做好知識(shí)準(zhǔn)備.過(guò)渡語(yǔ)有人說(shuō),數(shù)學(xué)只是一些枯燥的公式、規(guī)定,沒(méi)有什么實(shí)際意義!那么數(shù)學(xué)真的沒(méi)有什么實(shí)際意義嗎?請(qǐng)看下面的問(wèn)題.探究活動(dòng)1拼圖游戲,驗(yàn)證公式思路一課件展示:如圖所示,邊長(zhǎng)為a的大正方形中剪掉一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形.(1)請(qǐng)表示圖中陰影部分的面積:S=.處理方式對(duì)于正方形的面積公式,學(xué)生在小學(xué)已經(jīng)學(xué)過(guò),且對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)比較熟悉,可讓學(xué)生口答完成.對(duì)于有困難的同學(xué),可以向同桌或?qū)W習(xí)組長(zhǎng)請(qǐng)教.(2)請(qǐng)將陰影部分剪拼成一個(gè)長(zhǎng)方形,畫出這個(gè)長(zhǎng)方形.這個(gè)

5、長(zhǎng)方形的長(zhǎng)=,寬=,面積S=.處理方式學(xué)生動(dòng)手畫圖,對(duì)于長(zhǎng)方形的面積公式,學(xué)生對(duì)這個(gè)知識(shí)點(diǎn)比較熟悉,可讓學(xué)生口答完成,可能出現(xiàn)的畫法如下:(3)比較(1)(2)的結(jié)果,你能驗(yàn)證平方差公式嗎?處理方式學(xué)生通過(guò)(1)(2)的探索,很容易從陰影部分面積與長(zhǎng)方形的面積相等得出平方差公式:(a+b)(a- b)=a2- b2.設(shè)計(jì)意圖通過(guò)面積相等得出平方差公式,使學(xué)生體會(huì)平方差公式的實(shí)際意義,理解數(shù)學(xué)知識(shí)與現(xiàn)實(shí)生活的密切聯(lián)系,培養(yǎng)學(xué)生學(xué)數(shù)學(xué)、用數(shù)學(xué)的意識(shí).思路二過(guò)渡語(yǔ)上節(jié)課利用多項(xiàng)式乘多項(xiàng)式法則推導(dǎo)得到平方差公式.其實(shí)我們還有其他方法來(lái)驗(yàn)證、解釋公式的正確性.請(qǐng)看下面的問(wèn)題:如圖(1)所示,邊長(zhǎng)為a的大

6、正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形.(1)請(qǐng)用式子表示圖(1)中陰影部分的面積.(2)小穎將陰影部分剪拼成了一個(gè)長(zhǎng)方形(如圖(2)所示),這個(gè)長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬分別是多少?你能表示出它的面積嗎?(3)比較(1)(2)的結(jié)果,你能驗(yàn)證平方差公式嗎?處理方式學(xué)生分組研討,教師巡視同學(xué)們研討的情況,隨機(jī)指導(dǎo).教師重點(diǎn)講解:把剩下的圖形(即圖(1)中陰影部分)先剪成兩個(gè)長(zhǎng)方形(沿圖(1)虛線剪開(kāi)),我們可以知道,上邊的大長(zhǎng)方形寬是(a- b),長(zhǎng)是a;下面的小長(zhǎng)方形長(zhǎng)是(a- b),寬是b.由于大長(zhǎng)方形的寬和小長(zhǎng)方形的長(zhǎng)都是(a- b),我們可以將這兩個(gè)邊重合,這樣就拼成了一個(gè)如圖(2)所示的圖形(陰影部分

7、),它的長(zhǎng)和寬分別為(a+b),(a- b),面積為(a+b)(a- b).這兩部分面積應(yīng)該是相等的,即(a+b)(a- b)=a2- b2.這恰好是我們上節(jié)課學(xué)過(guò)的平方差公式.探究活動(dòng)2速算王的秘密過(guò)渡語(yǔ)通過(guò)剛才的學(xué)習(xí)我們進(jìn)一步加深了對(duì)平方差公式的理解,接著來(lái)看下面一組題目.(課件展示)1.想一想:(1)迅速計(jì)算下列各組算式,并觀察它們的特點(diǎn).79=88=1113=1212=7981=8080=(2)從以上的計(jì)算過(guò)程中,你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律?(3)請(qǐng)你用字母表示這一規(guī)律,你能說(shuō)明它的正確性嗎?處理方式獨(dú)立思考,交流解決方法.展示:(1)中算式算出來(lái)的結(jié)果如下:79=6388=641113=143

8、1212=1447981=63998080=6400方法歸納:(2)從上面的計(jì)算可以發(fā)現(xiàn),一個(gè)自然數(shù)的平方比它相鄰兩數(shù)的積大1.(3)設(shè)這個(gè)自然數(shù)為a,與它相鄰的兩個(gè)自然數(shù)分別為a- 1,a+1,則有(a+1)(a- 1)=a2- 1.設(shè)計(jì)意圖讓學(xué)生經(jīng)歷由特例進(jìn)行歸納、建立猜想、用符號(hào)表示并給出證明這一重要的探索過(guò)程,體會(huì)符號(hào)運(yùn)算對(duì)證明猜想的重要作用,以及代數(shù)運(yùn)算的推理作用.探究活動(dòng)3運(yùn)算中的平方差公式(教材例3)用平方差公式進(jìn)行計(jì)算.(1)10397;(2)118122.處理方式給學(xué)生一定時(shí)間嘗試、交流,讓學(xué)生體會(huì)解題方法.第(1)題教師指導(dǎo)講解:因?yàn)?03=100+3,97=100- 3,

9、所以10397=(100+3)(100- 3)=1002- 32=9991.第(2)題學(xué)生獨(dú)立完成.118122=(120- 2)(120+2)=1202- 4=14400- 4=14396.過(guò)渡語(yǔ)既然同學(xué)們都發(fā)現(xiàn)了這個(gè)秘密,那么接下來(lái)咱們來(lái)進(jìn)行一個(gè)比賽,看一看哪個(gè)同學(xué)算的又快又準(zhǔn)!(出示課件)計(jì)算.(1)(200+1)(200- 1);(2)10298;(3)9.910.1.處理方式利用平方差公式解決問(wèn)題,教師巡視,指導(dǎo)有困難的學(xué)生.解:(1)(200+1)(200- 1)=2002- 12=40000- 1=39999.(2)10298=(100+2)(100- 2)=1002- 22=1

10、0000- 4=9996.(3)9.910.1=(10- 0.1)(10+0.1)=102- 0.12=100- 0.01=99.99.設(shè)計(jì)意圖把相乘兩數(shù)轉(zhuǎn)化成兩數(shù)和與兩數(shù)差的乘積形式運(yùn)用平方差公式計(jì)算,體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想,讓學(xué)生體會(huì)到利用公式可以進(jìn)行一些有關(guān)于數(shù)的簡(jiǎn)便運(yùn)算,目的是進(jìn)一步鞏固平方差公式.探究活動(dòng)4綜合應(yīng)用平方差公式過(guò)渡語(yǔ)如果把本節(jié)課所學(xué)的知識(shí)與以前的知識(shí)融合一下,大家還能解決嗎?(教材例4)計(jì)算.(1)a2(a+b)(a- b)+a2b2;(2)(2x- 5)(2x+5)- 2x(2x- 3).解析上面兩個(gè)小題是整式的混合運(yùn)算,平方差公式的應(yīng)用能使運(yùn)算簡(jiǎn)便,還需注意的是運(yùn)算順序以及

11、結(jié)果一定要化簡(jiǎn).解:(1)a2(a+b)(a- b)+a2b2=a2(a2- b2)+a2b2=a4- a2b2+a2b2=a4.(2)(2x- 5)(2x+5)- 2x(2x- 3)=(2x)2- 52- (4x2- 6x)=4x2- 25- 4x2+6x=6x- 25.教師強(qiáng)調(diào):2x(2x- 3)的結(jié)果要用括號(hào)括起來(lái).設(shè)計(jì)意圖運(yùn)用平方差公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的混合運(yùn)算,鞏固平方差公式,體會(huì)平方差公式在解決計(jì)算類問(wèn)題時(shí)的簡(jiǎn)便作用.知識(shí)拓展平方差公式中的字母不僅可以表示一個(gè)數(shù)字或一個(gè)單項(xiàng)式,也可以表示一個(gè)多項(xiàng)式,如(a+b- c)(a- b+c)=a+(b- c)a- (b- c).也可以用來(lái)計(jì)算一些較

12、大數(shù)的乘法.對(duì)于形如兩數(shù)和與這兩數(shù)差相乘的運(yùn)算,就可以運(yùn)用平方差公式來(lái)計(jì)算;在整式的乘法中只有符合公式要求的乘法才能用公式計(jì)算,其余的運(yùn)算仍需按乘法法則進(jìn)行.1.在等號(hào)右邊的括號(hào)內(nèi)填上適當(dāng)?shù)捻?xiàng).(1)a+b- c=a+();(2)a- b+c=a- ();(3)a- b- c=a- ();(4)a+b+c=a- ().答案:(1)b- c(2)b- c(3)b+c(4)- b- c2.下列哪些多項(xiàng)式相乘可以用平方差公式計(jì)算?若可以,請(qǐng)用平方差公式計(jì)算.(1)(a+b+c)(a- b+c);(2)(a- b- c)(a+b- c).解:(1)能用.(a+b+c)(a- b+c)=(a+c)+b(

13、a+c)- b=(a+c)2- b2=a2+2ac+c2- b2.(2)能用.(a- b- c)(a+b- c)=(a- c)- b(a- c)+b=(a- c)2- b2=a2- 2ac+c2- b2.3.計(jì)算:x(x- 1)- x- 13x+13.解:x(x- 1)- x- 13x+13=x2- x- x2+19=- x+19.4.計(jì)算:(x- 2y)(x+2y)- (x- 1)(x+1).解:(x- 2y)(x+2y)- (x- 1)(x+1)=x2- (2y)2- (x2- 1)=x2- 4y2- x2+1=- 4y2+1.第2課時(shí)探究活動(dòng)1拼圖游戲,驗(yàn)證公式探究活動(dòng)2速算王的秘密探究

14、活動(dòng)3運(yùn)算中的平方差公式例1探究活動(dòng)4綜合應(yīng)用平方差公式例2一、教材作業(yè)【必做題】教材第22頁(yè)習(xí)題1.10知識(shí)技能第1題.【選做題】教材第22頁(yè)習(xí)題1.10問(wèn)題解決第2題.二、課后作業(yè)【基礎(chǔ)鞏固】1.在下列多項(xiàng)式的乘法中,不能用平方差公式計(jì)算的是()A.(- a- b)(a- b)B.(c2- d2)(d2+c2)C.(x3- y3)(x3+y3)D.(m- n)(- m+n)2.用平方差公式計(jì)算(x- 2)(x+2)(x2+4)的結(jié)果正確的是()A.x4- 16B.x4+16C.(x- 16)4D.(x+16)43.若(- 7m+A)(4n+B)=16n2- 49m2,則A=,B=.【能力提

15、升】4.計(jì)算:(3x- 2)(3x+2)- x(x- 3).5.已知x+y=6,x- y=5,求x2- y2的值.【拓展探究】6.計(jì)算:(a+2)(a2+4)(a4+16)(a- 2).【答案與解析】1.D(解析:選項(xiàng)A,因?yàn)? a- b與a- b中的相同項(xiàng)是- b,不同項(xiàng)- a與a互為相反數(shù),所以可以用平方差公式計(jì)算;選項(xiàng)B,因?yàn)閏2- d2與d2+c2中c2為相同的項(xiàng),- d2與d2互為相反數(shù),所以能用平方差公式計(jì)算;選項(xiàng)C,因?yàn)閤3- y3與x3+y3中x3為相同的項(xiàng),- y3與y3互為相反數(shù),所以能用平方差公式計(jì)算;選項(xiàng)D,因?yàn)閙- n與- m+n中沒(méi)有相同的項(xiàng),所以不能用平方差公式計(jì)算.故選D.)2.A(解析:(x- 2)(x+2)(x2+4)=(x2- 4)(x2+4)=x4- 16.故選A.)3.4n7m(解析:由(- 7m+A)(4n+B)=(4n)2- (7m)2可知,A是與4n相同的項(xiàng),B是與- 7m互為相反數(shù)的項(xiàng),故A=4n,B=7m.)4.解:(3x- 2)(3x+2)- x(x- 3)=(3x)2- 22- (x2- 3x)=9x2- 4- x2+3x=8x2+3x- 4.5.解:x2- y2=(x+y)(x- y)=65=