直線與拋物線位置關(guān)系的判定的研究

1、目 錄摘要i關(guān)鍵詞iabstracteiikeywordsii1.相關(guān)概念12.定義法判定直線與拋物線的位置關(guān)系12.1定義法判定直線與拋物線的位置關(guān)系12.2 定義法判定直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用23.切線法判定直線與拋物線的位置關(guān)系33.1 切線法判定直線與拋物線位置關(guān)系的探究及證明33.2 切線法判定直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用54 距離法判定直線與拋物線的位置關(guān)系64.1 距離法判定直線與拋物線位置關(guān)系的探究與證明64.2 距離法判定直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用85 向量法判定直線與拋物線的位置關(guān)系85.1 向量法判定直線與拋物線位置關(guān)系的定理及證明85.2 向量法判定直線與拋物線位置關(guān)系

2、的應(yīng)用10參考文獻(xiàn)12致謝13直線與拋物線位置關(guān)系的判定的研究 摘要:直線與拋物線位置關(guān)系可以分為相交、相離、相切,我們可以用切線法判定直線與拋物線的位置關(guān)系,還可以通過交點的個數(shù)、距離法、向量法來判斷直線與拋物線的位置關(guān)系. 關(guān)鍵詞:切線法;交點法;距離法;向量法straight line and parabola relation of decision researchabstract: the position of straight line and parabola relationship can be divided into the intersection, the tan

3、gent, and we can use the tangent method to determine the location of the straight line and parabola relationship, can also through the number and distance of the intersection method, vector method to determine the location of the straight line and parabola relationship.keywords: tangent method; inte

4、rsection method; distance method; vector method 1.相關(guān)概念本文中所有的拋物線方程均用.直線與拋物線的位置關(guān)系分為相交、相切、相離.首先我們給出相交,相切,相離的定義.定義11 設(shè)拋物線的方程為,在此拋物線上取兩個點、,過這兩點做直線,則直線與拋物線相交.定義21 設(shè)拋物線的方程為,在此拋物線上取兩個點、,現(xiàn)讓點沿拋物線無限趨向于點,直至與點重合,則過點的直線與拋物線在點處相切.定義3 如果一條直線上的任意一點都不在拋物線上，則這條直線與拋物線相離.2.定義法判定直線與拋物線的位置關(guān)系 2.1定義法判定直線與拋物線的位置關(guān)系 從公共點的個數(shù)可以將

5、直線與拋物線的位置關(guān)系分為:無公共點、僅有一個公共點、有兩個公共點.定理1 設(shè)直線方程為：,拋物線方程為：(),則 當(dāng)時,直線與拋物線相離. 當(dāng)時,直線與拋物線相交; 當(dāng),時,直線與拋物線相切. 當(dāng)時,直線與拋物線相交. 證明 聯(lián)立方程組 , , 得:, ,時, 當(dāng)時,即方程無解,直線與拋物線沒有公共解,即直線與拋物線沒有公共點,所以直線與拋物線相離; 當(dāng)時,方程有兩個不同的解,直線與拋物線有兩個公共解,即直線與拋物線有兩個公共點,所以直線與拋物線相交;當(dāng)時,方程有兩個相同的解,直線與拋物線有兩個相同的公共解,即直線與拋物線有一個公共點,所以直線與拋物線相切;,時,直線與拋物線相切.時,方程無

6、解,此時,直線與拋物線相離;時,即得一元一次方程,方程僅有一個解,此時,直線與拋物線相交.2.2 定義法判定直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用 例1 已知拋物線方程為,直線方程為,判斷直線與拋物線的位置關(guān)系.過定點的直線的斜率為k,由下列情況分別求k的取值圍.直線與拋物線有且只有一個公共點;直線與拋物線恰有兩個公共點;直線與拋物線沒有公共點;解 ,， 可以化為, ,. , 直線與拋物線相交.3.切線法判定直線與拋物線的位置關(guān)系3.1 切線法判定直線與拋物線位置關(guān)系的探究及證明定義4 拋物線包含焦點的區(qū)域稱為拋物線的內(nèi)部（如圖1）,而不包含焦點的區(qū)域稱為拋物線的外部（如圖2).圖2圖1 定理2 (1)

7、點在拋物線內(nèi)部的充分必要條件是:. (2) 點在拋物線外部的充分必要條件是:.定理3 若在拋物線上,則過的切線方程為. 證明 對上式求導(dǎo)得：, 則切線斜率, 所以過點的切線方程可寫為 , 故 .定理4 若直線與拋物線相切,則切點為.證明 當(dāng),則,則切線是一條垂直于軸的直線, 與相切, , 此時切點為. 當(dāng)時,聯(lián)立方程組 得,此時, ,則點在拋物線上.又 與相切, 切點為. 那么過拋物線外部的一點,作直線與切線平行,顯然直線與該拋物線相離嗎.同樣,過拋物線內(nèi)部的一點,作直線與切線平行,直線與該拋物線相交. 定理5 直線與拋物線相離的充要條件是點在拋物線的外部,即;直線與拋物線相交的充要條件是點在

8、拋物線的內(nèi)部,即. 證明 xy圖4yx圖3 直線與拋物線相切且點為切點,切線為,現(xiàn)過直線外的一點作直線與切線平行,則直線與拋物線相離.（如圖3）.直線與拋物線相離時，直線上的任何點都不在拋物線上,即在拋物線外部. 直線與拋物線相交的充要條件是點在拋物線的內(nèi)部也是類似證明.(如圖4) 3.2 切線法判定直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用例1 已知拋物線的方程為,直線方程為,判斷直線與拋物線的位置關(guān)系.解 ,. 直線可化為, 即 . 則直線過點. 將點代入拋物線方程當(dāng)中得, 則點在拋物線的內(nèi)部, 所以直線與拋物線相交.4 距離法判定直線與拋物線的位置關(guān)系4.1 距離法判定直線與拋物線位置關(guān)系的探究與證明我

9、們知道,根據(jù)圓心到直線的距離（點到直線:的距離）可以判斷直線與圓的位置關(guān)系,那么我們是否可以用焦點到直線的距離來判斷直線與拋物線的位置關(guān)系呢?定理62 已知直線:(）和拋物線,點是拋物線的焦點,點到直線的距離為,直線的傾斜角為. (1) 若，則直線與拋物線相切; (2) 若，則直線與拋物線相離; (3) 若，則直線與拋物線相交;證明 第一步,當(dāng)直線與拋物線相切,. 若直線與拋物線相切且切點為（此時),過點作平行于軸的直線交準(zhǔn)線于點,連接,直線交于點.lsqrpf t xe由拋物線的光學(xué)性質(zhì)得,3 , ,又 , 垂直平分, 點到直線的距離為 ,顯然,在中，.第二步,若直線與拋物線相離,作與直線平

10、行的直線,且直線與拋物線相切,此時直線的傾sqrpfe斜角,設(shè)點到直線的距離為,易知,其中為直線與直線的距離,由第一步知,.第三步,若直線與拋物線相交,作與直線平行的直線,且與拋物線相切,此時直線的傾斜角,設(shè)點f到直線的距離為,易知,其中為直線與直線的距離.sqrpfe1 若直線平行于軸,則,;2若直線不平行于軸,則,由第一步知,. 最后,(1)若,由第二、三步可知,直線既不與拋物線相離也不與拋物線相交,因此直線與拋物線相切; (2) 若,由第一、三步可知,直線既不與拋物線相切也不與拋物線相交,因此直線與拋物線相離; (3) 若,由第一、二步可知,直線既不與拋物線相切也不與拋物線相離,因此直線

11、與拋物線相交.4.2 距離法判定直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用例1 已知直線方程,拋物線方程為,判斷直線與拋物線的位置關(guān)系. 解 拋物線的焦點坐標(biāo)為且,直線的傾斜角,點f到直線的距離=, ,所以直線與拋物線相離.5 向量法判定直線與拋物線的位置關(guān)系5.1 向量法判定直線與拋物線位置關(guān)系的定理及證明定理74 設(shè)拋物線的焦點為f,過焦點f的作直線,使直線直線,直線,與軸分別相交于點,則(1)直線與拋物線相切;(2)直線與拋物線相交;(3)直線與拋物線相離;f 證明 設(shè)直線的方程為, 那么直線的方程為:, 則, =，= , 聯(lián)立 , , 消去,得，. 當(dāng)直線與拋物線相切; 當(dāng)或直線與拋物線相交; 當(dāng)直線

12、與拋物線相離;5.2 向量法判定直線與拋物線位置關(guān)系的應(yīng)用例1 已知拋物線方程為,直線,判斷直線與拋物線的位置關(guān)系.解 由題知拋物線的焦點坐標(biāo)f,直線的斜率, 則過焦點且斜率為1的直線方程為, 直線,與軸的交點坐標(biāo)分別為, , , 所以直線與拋物線相離. 例2 已知拋物線方程為,直線方程為,用各種方法判斷直線與拋物線的位置關(guān)系.定義法： 聯(lián)立方程組 得：,所以直線與拋物線相交.切線法：,直線可化為,直線過點,將點帶入到拋物線方程當(dāng)中,即.所以點在拋物線內(nèi)部,即直線與拋物線相交.距離法：拋物線的焦點的坐標(biāo)為,點到直線的距離,且直線的傾斜角,所以，直線與拋物線相交.向量法：拋物線的焦點的坐標(biāo)為,的

13、斜率,其與軸的交點坐標(biāo)為,則過點且斜率為1的直線為,且其與軸的交點坐標(biāo)為,所以,即直線與拋物線相交.對于判定直線與拋物線的位置關(guān)系,我們首選的是切線法，因為我們只需將直線方程做一個化簡，然后得到一個點，最后將點代入到拋物線方程當(dāng)中,判斷點在拋物線內(nèi)部、外部還是在拋物線上,進(jìn)而判斷直線與拋物線的位置關(guān)系;如果直線的傾斜角很容易求出,距離法也可以很容易的判斷出直線與拋物線的位置關(guān)系,我們只需求出,然后將與,做一個大小比較,然后根據(jù)定理6就可以判斷出直線與拋物線的位置關(guān)系;用向量法判定直線與拋物線的位置關(guān)系的過程也并不復(fù)雜,只需求出與已知直線的平行線,且這條直線過焦點,然后根據(jù)定理7就可以判斷出直線與拋物線的位置關(guān)系.參考文獻(xiàn)1 歐陽光中，朱學(xué)炎，金福臨，陳傳樟.數(shù)學(xué)分析上冊m. 高等教育出版社編.2 楊枝.直線和圓錐曲線位置關(guān)系的一種判別方法j.教研論壇,2011（11）:33-34.3 陶勇.拋物線光學(xué)性質(zhì)得證法j.數(shù)學(xué)通訊,2006(23):24. 4 王興華.直線與圓錐曲線位置關(guān)系的向量判定與應(yīng)用j.中學(xué)數(shù)學(xué),2004（11）：19-20. 致謝 歷時將近兩個月的時間終于將這篇論文寫完,在論文