數(shù)學(xué)建模筆記

1、.數(shù)學(xué)模型按照不同的分類(lèi)標(biāo)準(zhǔn)有許多種類(lèi)： 1.按照模型的數(shù)學(xué)方法分，有幾何模型，圖論模型，微分方程模型。概率模型，最優(yōu)控制模型，規(guī)劃論模型，馬氏鏈模型。 2.按模型的特征分，有靜態(tài)模型和動(dòng)態(tài)模型，確定性模型和隨機(jī)模型，離散模型和連續(xù)性模型，線性模型和非線性模型。 3.按模型的應(yīng)用領(lǐng)域分，有人口模型，交通模型，經(jīng)濟(jì)模型，生態(tài)模型，資源模型。環(huán)境模型。 4.按建模的目的分，有預(yù)測(cè)模型，優(yōu)化模型，決策模型，控制模型等。 5.按對(duì)模型結(jié)構(gòu)的了解程度分，有白箱模型，灰箱模型，黑箱模型。數(shù)學(xué)建模的十大算法：1. 蒙特卡洛算法（該算法又稱(chēng)隨機(jī)性模擬算法，是通過(guò)計(jì)算機(jī)仿真來(lái)解決問(wèn)題的算法，同時(shí)可以通過(guò)模擬可以

2、來(lái)檢驗(yàn)自己模型的正確性，比較好用的算法。）2. 數(shù)據(jù)擬合、參數(shù)估計(jì)、插值等數(shù)據(jù)處理算法（比賽中通常會(huì)遇到大量的數(shù)據(jù)需要處理，而處理數(shù)據(jù)的關(guān)鍵就在于這些算法，通常使用matlab作為工具。）3. 線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、多元規(guī)劃、二次規(guī)劃等規(guī)劃類(lèi)問(wèn)題（建模競(jìng)賽大多數(shù)問(wèn)題屬于最優(yōu)化問(wèn)題，很多時(shí)候這些問(wèn)題可以用數(shù)學(xué)規(guī)劃算法來(lái)描述，通常使用lingo、lingdo軟件實(shí)現(xiàn)）4. 圖論算法（這類(lèi)算法可以分為很多種，包括最短路、網(wǎng)絡(luò)流、二分圖等算法，涉及到圖論的問(wèn)題可以用這些方法解決，需要認(rèn)真準(zhǔn)備。）5. 動(dòng)態(tài)規(guī)劃、回溯搜索、分治算法、分支定界等計(jì)算機(jī)算法（這些算法是算法設(shè)計(jì)中比較常用的方法，很多場(chǎng)合可以用到

3、競(jìng)賽中）6. 最優(yōu)化理論的三大非經(jīng)典算法：模擬退火法、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、遺傳算法（這些問(wèn)題時(shí)用來(lái)解決一些較困難的最優(yōu)化問(wèn)題的算法，對(duì)于有些問(wèn)題非常有幫助，但是算法的實(shí)現(xiàn)比較困難，需謹(jǐn)慎使用）7. 網(wǎng)格算法和窮舉法（當(dāng)重點(diǎn)討論模型本身而情史算法的時(shí)候，可以使用這種暴力方案，最好使用一些高級(jí)語(yǔ)言作為編程工具）8. 一些連續(xù)離散化方法（很多問(wèn)題都是從實(shí)際來(lái)的，數(shù)據(jù)可以是連續(xù)的，而計(jì)算機(jī)只認(rèn)得是離散的數(shù)據(jù)，因此將其離散化后進(jìn)行差分代替微分、求和代替積分等思想是非常重要的。9. 數(shù)值分析算法（如果在比賽中采用高級(jí)語(yǔ)言進(jìn)行編程的話，那一些數(shù)值分析中常用的算法比如方程組求解、矩陣運(yùn)算、函數(shù)積分等算法就需要額外編寫(xiě)庫(kù)

4、函數(shù)進(jìn)行調(diào)用。）10. 圖像處理算法（賽題中有一類(lèi)問(wèn)題與圖形有關(guān)，即使與圖形無(wú)關(guān)，論文中也應(yīng)該要不乏圖片的，這些圖形如何展示以及如何處理就是需要解決的問(wèn)題，通常使用matlab來(lái)處理問(wèn)題。） 數(shù)學(xué)建模方法 統(tǒng)計(jì)：1.預(yù)測(cè)與預(yù)報(bào)2.評(píng)價(jià)與決策3.分類(lèi)與判別4.關(guān)聯(lián)與因果 優(yōu)化：5.優(yōu)化與控制1. 預(yù)測(cè)與預(yù)報(bào)灰色預(yù)測(cè)模型（必須掌握） 滿(mǎn)足兩個(gè)條件可用： a數(shù)據(jù)樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)少，6-15個(gè) b數(shù)據(jù)呈現(xiàn)指數(shù)或曲線的形式微分方程預(yù)測(cè)（備用） 無(wú)法直接找到原始數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，但可以找到原始數(shù)據(jù)變化速度之間的關(guān)系，通過(guò)公式推導(dǎo)轉(zhuǎn)化為原始數(shù)據(jù)之間的關(guān)系?；貧w分析預(yù)測(cè)（必須掌握） 求一個(gè)因變量與若干自變量之間的關(guān)系

5、，若自變量變化之后，求因變量如何變化； 樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)有要求： a自變量之間協(xié)方差比較小，最好趨于零，自變量間的關(guān)系?。?b樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)n3k+1，k為自變量的個(gè)數(shù)； c因變量要符合正態(tài)分布馬爾科夫預(yù)測(cè)（備用） 一個(gè)序列之間沒(méi)有信息的傳遞，前后沒(méi)有聯(lián)系，數(shù)據(jù)與數(shù)據(jù)之間隨機(jī)性強(qiáng)，相互不影響；今天的溫度與昨天、后天沒(méi)有直接聯(lián)系，預(yù)測(cè)后天溫度高、中、低的概率，只能得到概率時(shí)間序列預(yù)測(cè)（必須掌握） 與馬爾科夫預(yù)測(cè)互補(bǔ)，至少有2個(gè)點(diǎn)需要信息的傳遞，ARMA模型，周期模型，季節(jié)模型等。小波分析預(yù)測(cè)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)預(yù)測(cè)混沌序列預(yù)測(cè)2. 評(píng)價(jià)與決策模糊綜合評(píng)判：評(píng)價(jià)一個(gè)對(duì)象優(yōu)、良、中、差等層次評(píng)價(jià)，評(píng)價(jià)一個(gè)學(xué)校等，不能

6、排序主成分分析：評(píng)價(jià)多個(gè)對(duì)象的水平并排序，指標(biāo)間關(guān)聯(lián)性很強(qiáng)。層次分析法：做決策，通過(guò)指標(biāo)，綜合考慮做決定數(shù)據(jù)包絡(luò)(DEA)分析法：優(yōu)化問(wèn)題，對(duì)各省發(fā)展?fàn)顩r進(jìn)行評(píng)判秩和比綜合評(píng)價(jià)法：評(píng)價(jià)各個(gè)對(duì)象并排序，指標(biāo)間關(guān)聯(lián)性不強(qiáng)優(yōu)劣解距離法（TOPSIS法）投影尋蹤綜合評(píng)價(jià)法：糅合多種算法，比如遺傳算法、最優(yōu)化理論方差分析、協(xié)方差分析等 方差分析：看幾類(lèi)數(shù)據(jù)之間有無(wú)差異，差異性影響，例如：元素對(duì)麥子的產(chǎn)量有無(wú)影響，差異量的多少；（1992年作物生長(zhǎng)的施肥問(wèn)題） 協(xié)方差分析：有幾個(gè)因素，我們只考慮一個(gè)因素對(duì)問(wèn)題的影響，忽略其他因素，但注意初始數(shù)據(jù)的量綱以及初始情況。（2006年，艾滋病療法的評(píng)價(jià)以及預(yù)測(cè)問(wèn)題

7、）3. 分類(lèi)與判別距離聚類(lèi)（系統(tǒng)聚類(lèi)）常用關(guān)聯(lián)性聚類(lèi)（常用）層次聚類(lèi)密度聚類(lèi)其他聚類(lèi)貝葉斯判別（統(tǒng)計(jì)判別方法）費(fèi)舍爾判別（訓(xùn)練的樣本比較少）模糊識(shí)別（分好類(lèi)的數(shù)據(jù)點(diǎn)比較少）4. 關(guān)聯(lián)與因果灰色關(guān)聯(lián)分析方法（樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)較少）Superman或kendall等級(jí)相關(guān)分析Person相關(guān)（樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)比較多）Copula相關(guān)（比較難，金融數(shù)學(xué)，概率密度）典型相關(guān)分析（因變量Y1234,自變量組X1234，各自變量組相關(guān)性比較強(qiáng)，問(wèn)哪一個(gè)因變量與哪一個(gè)自變量關(guān)系比較緊密？）5. 優(yōu)化與控制線性規(guī)劃、整數(shù)規(guī)劃、0-1規(guī)劃（有約束，確定的目標(biāo)）非線性規(guī)劃與智能優(yōu)化算法多目標(biāo)規(guī)劃和目標(biāo)規(guī)劃（柔性約束，目標(biāo)含糊，超過(guò)）動(dòng)態(tài)規(guī)劃網(wǎng)絡(luò)優(yōu)化（多因素交錯(cuò)復(fù)雜）排隊(duì)論與計(jì)算機(jī)仿真模糊規(guī)劃（范圍約束）灰色規(guī)劃（難）涉及到的數(shù)學(xué)建模方法集合理論