畢業(yè)設(shè)計(jì)(論文)-一些不同階線性微分方程組的解

1、編號(hào)楚雄師范學(xué)院本科生畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)）題 目一些不同階線性微分方程組的解專 業(yè)數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)年級(jí)班級(jí)2011級(jí)1班學(xué) 號(hào)學(xué)生姓名指導(dǎo)教師職稱： 副教授教務(wù)處印制楚雄師范學(xué)院本科論文（設(shè)計(jì)）目錄摘要 Ill關(guān)鍵詞 IllAbstract IVKey words IV1、引言V2、 預(yù)備知識(shí) V3、 主要結(jié)果VI3.1拉普拉斯變換法 VI3.2化為一階線性方程組 IX4、應(yīng)用實(shí)例 XI5、 總結(jié) XIII參考文獻(xiàn) XIII致謝 XIV一些不同階線性微分方程組的解摘要：解一些不同價(jià)線性微分方程組的問(wèn)題，一般很復(fù)雜也很困難。求微分方程組的解有三 種方法：矩陣的特征值特征向量法、消元法、拉普拉斯變換法。

2、但只要掌握微分方程組的一些特點(diǎn) 和正確運(yùn)用所學(xué)知識(shí)， 就能比較容易解決。這篇文章介紹了利用拉普拉斯變換法求解線性方程組的解。關(guān)鍵詞：不同階；線性；微分方程組；解法；拉普拉斯變換法；Some different order linear differential equationsAbstract： The problem of lin ear differe ntial equati ons of some differe nt price gen erally very complex and difficult. There are three ways of soluti on of d

3、iffere ntial equati ons: matrix characteristic value of characteristic vector method, elim in ati on method and Laplace tran sform method. But as long as the master some characteristics of the system of differe ntial equatio ns and the correct use of kno wledge, can be easier to solve. This article

4、introduces the solution of Laplace transform method is used to solve the linear system of equati ons.Key words Different order; linear; System of differential equations; solution; The Laplace tran sform method;1引言常微分方程是現(xiàn)代數(shù)學(xué)中一個(gè)重要的分支，是人們解決各種實(shí)際問(wèn)題的有效工具，它在幾何、物理、力學(xué)、電子技術(shù)、自動(dòng)控制、航天、生命科學(xué)、經(jīng)濟(jì)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，這些應(yīng)用也 為微

5、分方程的進(jìn)一步發(fā)展提出來(lái)新的問(wèn)題，對(duì)微分方程要加與更深的研究，才能適應(yīng)科學(xué)技術(shù)飛速 發(fā)展的需求。常微分方程在所有自然領(lǐng)域和眾多的社會(huì)科學(xué)領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng)用，凡是與變化率 有關(guān)的問(wèn)題幾乎都可以用微分方程模型來(lái)研究。因此，了解線性微分方程組的解，以及能靈活運(yùn)用 一些不同階線性微分方程組的計(jì)算就顯得極其重要。常系數(shù)線性微分方程組的求解通常有2種基本方法：復(fù)若當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)形法和指數(shù)矩陣法。特別是高階線性微分方程組轉(zhuǎn)化為一階線性微分方程組的應(yīng)用廣 泛。在解一些不同階線性微分方程組中，最重要的一種方法是利用拉普拉斯變換。在文【1】中，作者基于Riccati方程的解，研究了其與一類變系數(shù)線性微分方程組一個(gè)非零解

6、間 的關(guān)系，基礎(chǔ)上給出了這一類變系數(shù)線性微分方程組的基解矩陣的計(jì)算公式。在文【2】中，作者基于微分方程組解法的分析，給出一般方陣化Jordon標(biāo)準(zhǔn)型過(guò)程中的非奇異矩陣過(guò)渡的求法，從而從另一個(gè)角度來(lái)分析微分方程X = AX基解矩陣新的求解方法。文【3】中，作者給出了常系數(shù)線性微分方程組新的求解方法。研究對(duì)基本方法作一些結(jié)構(gòu)上的改進(jìn)，以提高計(jì)算的效率。以廣義特征向量鏈、指數(shù)矩陣和矩陣的秩為工具，分三種情形討論了重根情 形下常系數(shù)線性微分方程組的解矩陣表示，建立了統(tǒng)一的代數(shù)結(jié)構(gòu)，以說(shuō)明方法的有效性。本文主要研究以下具有兩個(gè)不同階的線性常微分方程組其中，初始條件是：，研究此方程組的解和基解矩陣，可推廣

7、到更一般的情形。2、預(yù)備知識(shí)定義1【4】（S是復(fù)參變量）對(duì)復(fù)平面上某一范圍設(shè)函數(shù) 在上有定義，且積分的s收斂，則由這個(gè)積分所確定的函數(shù)可寫(xiě)為（2.1.1）稱為函數(shù) 的拉普拉斯變換，簡(jiǎn)稱為的拉氏變換，并記作，即在式（2.1.1 ）中的 稱為 的像函數(shù)， 稱為 的像原函數(shù).若 是的拉氏變換，則稱為 的拉氏逆變換（或稱為 像原函數(shù)），記作由式（2.1.1 ）可知，函數(shù)定義2【6】的拉氏變換，實(shí)際上就是函數(shù)的傅式變換n級(jí)方陣A稱為可逆的，如果有n級(jí)方陣B,使得這里的E是n級(jí)單位矩陣如果矩陣B適合，那么B就稱為A的逆矩陣，記為拉普拉斯變換的性質(zhì)性質(zhì)1 （線性性質(zhì)）設(shè)，是常數(shù)，,則性質(zhì)2 （微分性質(zhì)）若，

8、此處假設(shè)存在且連續(xù)，則性質(zhì)3 （積分性質(zhì)）設(shè)，則性質(zhì)4 （位移性質(zhì)）若，則有性質(zhì)5 （延遲性質(zhì)）若，又時(shí)，則對(duì)于任一非負(fù)實(shí)數(shù)，有性質(zhì)6 （相似性質(zhì)）設(shè)，則對(duì)有公式1【11如果A是一個(gè)常數(shù)矩陣，就定義矩陣指數(shù)exp A為下面的矩陣級(jí)數(shù)的和：是矩陣A的m次幕.的解就是其中E為n階單位矩陣, 公式2【11非齊次線性微分方程組在這里A是常數(shù)矩陣，是已知的連續(xù)向量函數(shù)，是初值條件3、主要結(jié)果3.1拉普拉斯變換法：主要研究以下形式的方程組（1）期中，,初始條件是：，利用拉氏變換的微分性質(zhì)先對(duì)方程組的兩個(gè)方程兩邊取拉普拉斯變換：設(shè)，并考慮到初始條件，則把初始條件代入里面整理化簡(jiǎn)為于是，我們就可以把方程組（1

9、）寫(xiě)為以下形式即:其中，（其中未寫(xiě)出的元均為零）（其中未寫(xiě)出的元均為零），；下面求設(shè)把（3）式整理、化簡(jiǎn)并計(jì)算的過(guò)程如下：（）（）（）（）根據(jù)矩陣對(duì)應(yīng)相等得到下面的四個(gè)等式：（）（）再由上面的四個(gè)式子可以分別求解出，先根據(jù)（4）和（5）兩個(gè)式子把求解出來(lái)，把（4）式的左右兩邊右乘（） 得到:然后進(jìn)行整理得:再把（8）代入（5）中得到:化簡(jiǎn)得:所以，通過(guò)整理、計(jì)算得到的解:再把計(jì)算出來(lái)的的結(jié)果直接帶入（8）中來(lái)計(jì)算出再根據(jù)（6）和（7）兩個(gè)式子把求解出來(lái).把（7）式的左右兩邊乘以得到:然后進(jìn)行整理得到：(10)再把代換出來(lái)的（10）代入（6）中得到：（)（)進(jìn)行化簡(jiǎn)，通過(guò)整理、計(jì)算得到的解：（)

10、（)再把計(jì)算出來(lái)的，的結(jié)果直接帶入（10）中來(lái)計(jì)算出（)（)（(11)所以，我們就可以得到然后把（12）帶入到（1）中得到:上式兩邊取拉普拉斯逆變換得到:3.2化為一階線性方程組：把主要研究的以下形式的方程組期中，初始條件是：，研究此方程組的解和基解矩陣，可推廣到更一般的情形，將方程組中的二階項(xiàng)化為一階，利用一階 線性方程組的方法來(lái)求解。所以，原方程課變形為令，則元初值問(wèn)題可化為:且即:求出的基解矩陣.因?yàn)檫@五個(gè)矩陣是可以交換的，我得到：F面先分別求出每一個(gè)矩陣級(jí)數(shù)的值:接著計(jì)算出矩陣指數(shù)如下:所以解出了代入公式計(jì)算上面矩陣乘積如下:4、應(yīng)用實(shí)例例求解下面微分方程組初始條件是：，解利用拉氏變換

11、的微分性質(zhì)先對(duì)方程組的兩個(gè)方程兩邊取拉普拉斯變換：設(shè)，并考慮到初始條件，則把初始條件代入里面整理化簡(jiǎn)為于是，我們就可以把代入題目中得到如下形式:（13）便可以利用拉普拉斯逆變換解出根據(jù)求解出來(lái)的（13）我們知道只要把求解出來(lái),此研究的問(wèn)題下面求所以，代入（13）中得到:解此方程組得到:把它分別寫(xiě)出來(lái)為:然后再取拉普拉斯逆變換得到:對(duì)于一取它的逆變換便可以得出所求函數(shù)，故對(duì)于取它的逆變換便可以得出所求函數(shù)，故所以，原方程組的解為5、總結(jié)線性微分方程組可以用拉普拉斯變換來(lái)解，但是方程的個(gè)數(shù)要與未知函數(shù)的個(gè)數(shù)相同。首先要對(duì)方程組中的每一個(gè)方程進(jìn)行拉普拉斯變換，未知函數(shù)的變換可以由所得的方程組用代數(shù)方

12、法解出,也就是將求線性微分方程組的問(wèn)題化為求解線性代數(shù)方程組的問(wèn)題。最后再作拉普拉斯反變換，可求出未知函數(shù)的解。參考文獻(xiàn)1 馮錄祥基于Riccati方程的一階線性微分方程組的基解矩陣.陜西寶雞：寶雞文理學(xué)院，10014926（2011）02- 0015 05.2 程開(kāi)敏，冉思蜀.常線性微分方程組的求解方法.重慶萬(wàn)州：重慶三峽學(xué)院數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué) 學(xué)院，1009-8135 （2008） 03-0076-04.3 桑波，伊繼金，劉文健.常系數(shù)線性微分方程組的解矩陣.山東聊城：聊城大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué) 院，1673-5862.2010 .03 .006.4 王高雄等編.常微分方程（第三版）M.北京：北京高

13、等教育出版社，2006. 7 （2012. 12重?。?5 包革軍，邢宇明，蓋云英.復(fù)變函數(shù)與積分變換（第三版）M.北京：科學(xué)出版社，2013.6 王萼芳等.高等代數(shù)M.北京：高等教育出版社，2003.7 宋蘇羅.復(fù)變函數(shù)與積分變換 M.北京：國(guó)防工業(yè)出版社，2009.9.致謝在畢業(yè)論文的撰寫(xiě)過(guò)程中是徐登國(guó)老師耐心的指導(dǎo)下完成的，在此我要感謝那些在我論文撰寫(xiě) 過(guò)程中幫助過(guò)我的老師和同學(xué)，尤其是我的論文指導(dǎo)老師徐登國(guó)老師。從選題那一刻開(kāi)始，徐登國(guó) 老師就不斷的監(jiān)督、督促著我，不論遇到什么困難，徐登國(guó)老師總是細(xì)心、耐心地指導(dǎo)我。在寫(xiě)論 文過(guò)程中，徐老師不管工作量再怎么大，時(shí)間再怎么緊，總是抽時(shí)間細(xì)

14、心地幫我看論文，指出其中 的錯(cuò)誤和不足，有時(shí)還兼顧我的時(shí)間安排?，F(xiàn)在我的畢業(yè)論文順利完成了，在此，我再次向徐登國(guó) 老師表示衷心的感謝！最后，我也要感謝開(kāi)題報(bào)告給我意見(jiàn)和建議的郎開(kāi)祿老師和陳靜老師，是您們的建議讓我在寫(xiě) 論文的過(guò)程中更加順利。在此，我再次向您們表示由衷的感謝！我還要感謝大學(xué)四年來(lái)給予我?guī)椭?和關(guān)心的老師和同學(xué)們。式焊臺(tái) I制直流電一一一基基單f饋控制的研究?jī)?nèi)制與與研九0M的工藝和制程方法及對(duì)良率的影響研究 |集議棧|的實(shí)現(xiàn)的研九研究與開(kāi)發(fā)式測(cè)究其的手現(xiàn)控制面板的研制歇式 研度儀的研制開(kāi)計(jì)線切割機(jī)床短循環(huán)走絲方式研究 :檢計(jì)測(cè)儀的研制 量測(cè)的的研用 解調(diào)器的研研究F設(shè)究象站研究.一一疋踐研九#系的研究與實(shí)現(xiàn)負(fù)ups的探究研究豐究n面污染測(cè)量?jī)x的研制 設(shè)計(jì)磨設(shè)備的數(shù)現(xiàn)研制造譜AN監(jiān)諏術(shù)研轉(zhuǎn)