2020人教A高考理科數(shù)學(xué)-高考大題專項(四)-立體幾何

1、高考大題專項(四)立體幾何突破1空間中的平行與空間角1.(2019山東濰坊三模,18)如圖,一簡單幾何體ABCDE的一個面ABC內(nèi)接于圓O,G、H分別是AE、BC的中點,AB是圓O的直徑,四邊形DCBE為平行四邊形,且DC平面ABC.(1)證明:GH平面ACD;(2)若AC=BC=BE=2,求二面角O-CE-B的余弦值.2.(2019湖北八校聯(lián)考一,18)如圖所示,四棱錐P-ABCD中,面PAD面ABCD,PA=PD=2,四邊形ABCD為等腰梯形,BCAD,BC=CD=12AD=1,E為PA的中點.(1)求證:EB平面PCD.(2)求平面PAD與平面PCD所成的二面角的正弦值.3.(2019安

2、徽“江南十?！倍?18)已知多面體ABC-DEF,四邊形BCDE為矩形,ADE與BCF為邊長為22的等邊三角形,AB=AC=CD=DF=EF=2.(1)證明:平面ADE平面BCF.(2)求BD與平面BCF所成角的正弦值.4.(2019四川宜賓二模,19)如圖,四邊形ABCD是菱形,EA平面ABCD,EFAC,CF平面BDE,G是AB中點.(1)求證:EG平面BCF;(2)若AE=AB,BAD=60,求二面角A-BE-D的余弦值.5.(2017全國2,理19)如圖,四棱錐P-ABCD中,側(cè)面PAD為等邊三角形且垂直于底面ABCD,AB=BC=12AD,BAD=ABC=90,E是PD的中點.(1

3、)證明:直線CE平面PAB;(2)點M在棱PC上,且直線BM與底面ABCD所成角為45,求二面角M-AB-D的余弦值.6.(2014課標全國2,理18)如圖,四棱錐P-ABCD中,底面ABCD為矩形,PA平面ABCD,E為PD的中點.(1)證明:PB平面AEC;(2)設(shè)二面角D-AE-C為60,AP=1,AD=3,求三棱錐E-ACD的體積.突破2空間中的垂直與空間角1.(2018全國卷3,理19)如圖,邊長為2的正方形ABCD所在的平面與半圓弧CD所在平面垂直,M是CD上異于C,D的點.(1)證明:平面AMD平面BMC;(2)當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時,求面MAB與面MCD所成二面角的正弦值

4、.2.(2019河北唐山一模,18)如圖,ABC中,AB=BC=4,ABC=90,E,F分別為AB,AC邊的中點,以EF為折痕把AEF折起,使點A到達點P的位置,且PB=BE.(1)證明:BC平面PBE;(2)求平面PBE與平面PCF所成銳二面角的余弦值.3.(2019河北武邑中學(xué)調(diào)研二,19)如圖,已知多面體ABC-A1B1C1,A1A,B1B,C1C均垂直于平面ABC,ABC=120,A1A=4,C1C=1,AB=BC=B1B=2.(1)證明:AB1平面A1B1C1;(2)求直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值.4.(2019山西太原二模,18)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABC

5、D是直角梯形,ADBC,ABAD,AD=2AB=2BC=2,PCD是正三角形,PCAC,E是PA的中點.(1)證明:ACBE;(2)求直線BP與平面BDE所成角的正弦值.5.(2019山東實驗等四校聯(lián)考,18)如圖,在直角ABC中,B為直角,AB=2BC,E,F分別為AB,AC的中點,將AEF沿EF折起,使點A到達點D的位置,連接BD,CD,M為CD的中點.(1)證明:MF面BCD;(2)若DEBE,求二面角E-MF-C的余弦值.6.(2019寧夏銀川一中一模,19)如圖所示,ABCD是邊長為2的正方形,AE平面BCE,且AE=1.(1)求證:平面ABCD平面ABE;(2)線段AD上是否存在一

6、點F,使二面角A-BF-E所成角的余弦值為64?若存在,請找出點F的位置;若不存在,請說明理由.參考答案高考大題專項(四)立體幾何突破1空間中的平行與空間角1.(1)證明 連接GO,OH,GODC,OHAC,GO平面ACD,OH平面ACD,又GO交HO于O,平面GOH平面ACD,GH平面ACD.(2)解 以CB為x軸,CA為y軸,CD為z軸,建立如圖所示的直角坐標系,則C(0,0,0),B(2,0,0),A(0,2,0),O(1,1,0),E(2,0,2),平面BCE的法向量m=(0,1,0),設(shè)平面OCE的法向量n=(x0,y0,z0).CE=(2,0,2),CO=(1,1,0).nCE=0

7、,nCO=0,則2x0+2z0=0,x0+y0=0,令x0=-1,n=(-1,1,1).二面角O-CE-B是銳二面角,記為,則cos =|cos|=mn|m|n|=113=33.2.(1)證明 取PD中點F,連接EF,FC.E,F分別為AP,PD中點,EF12AD.又BC12AD,BCEF.即四邊形BCFE是平行四邊形,EBFC.FC平面PCD,且EB平面PCD,EB平面BCD.(2)解 取BC的中點M,以O(shè)M,OD,OP方向為正方向建立如圖所示的空間直角系O-xyz.則P(0,0,1),A(0,-1,0),D(0,1,0),C32,12,0,則平面PAD的一個法向量為n1=(1,0,0).P

8、D=(0,1,-1),CD=-32,12,0.設(shè)平面PDC的一個法向量為n2=(x,y,z),則y-z=0,-32x+12y=0.不妨令x=1,則y=3,z=3,n2=(1,3,3).|cos |=|cos|=77,則sin =77.3.(1)證明 取BC,DE中點分別為O,O1,連接OA,O1A,OF,O1F.由AB=AC=CD=DF=EF=2,BC=DE=CF=AE=AD=BF=22,可知ABC,DEF為等腰直角三角形,故OABC,O1FDE,CDDE,CDDF.故CD平面DEF,平面BCDE平面DEF,所以O(shè)1F平面BCDE.同理OA平面BCDE,所以O(shè)1FOA.而O1F=OA,故四邊形

9、AOFO1為平行四邊形,所以AO1OF,所以AO1平面BCF.又BCDE,故DE平面BCF,而AO1DE=O1,所以平面ADE平面BCF.(2)解 以O(shè)為坐標原點,以過O且平行于AC的直線作為x軸,平行于AB的直線作為y軸,OO1為z軸建立空間直角坐標系如圖.則有B(1,1,0),C(-1,-1,0),D(-1,-1,2),F(-1,1,2),故BD=(-2,-2,2),BC=(-2,-2,0),BF=(-2,0,2).設(shè)平面BCF的法向量為n=(x,y,z),則-2x-2y=0,-2x+2z=0,取x=1得y=-1,z=1,故平面BCF的一個法向量為n=(1,-1,1).設(shè)BD與平面BCF所

10、成角為,則sin =|cos|=-21-2(-1)+21323=13.故BD與平面BCF所成角的正弦值為13.4.(1)證明 設(shè)ACBD=O,連接OE,OF,四邊形ABCD是菱形,EA平面ABCD,EFAC,CF平面BDE,OECF,EF=AO=CO,OF平面ABCD,設(shè)OA=a,OB=b,AE=c,以O(shè)為原點,OA,OB,OF所在直線分別為x,y,z軸,建立如圖所示的空間直角坐標系,則E(a,0,c),Ga2,b2,0,B(0,b,0),C(-a,0,0),F(0,0,c),FB=(0,b,-c),FC=(-a,0,-c),EG=-a2,b2,-c,設(shè)平面BCF的一個法向量為n=(x,y,z

11、),則nFB=by-cz=0,nFC=-ax-cz=0,取z=b,得n=-bca,c,b,nEG=-a2-bca+b2c+(-c)b=0,EG平面BCF,EG平面BCF.(2)解 設(shè)AE=AB=2,BAD=60,OB=1,OA=3.A(3,0,0),B(0,1,0),E(3,0,2),D(0,-1,0).BE=(3,-1,2),BA=(3,-1,0),BD=(0,-2,0),設(shè)平面ABE的法向量n=(x,y,z),則nBA=3x-y=0,nBE=3x-y+2z=0,取x=1,得n=(1,3,0),設(shè)平面BDE的法向量m=(x,y,z),則mBE=3x-y+2z=0,mBD=-2y=0,取x=2

12、,得m=(2,0,-3),設(shè)二面角A-BE-D的平面角為,則cos =|mn|m|n|=247=77.二面角A-BE-D的余弦值為77.5.(1)證明 取PA的中點F,連接EF,BF.因為E是PD的中點,所以EFAD,EF=12AD.由BAD=ABC=90得BCAD,又BC=12AD,所以EFBC,四邊形BCEF是平行四邊形,CEBF,又BF平面PAB,CE平面PAB,故CE平面PAB.(2)解 由已知得BAAD,以A為坐標原點,AB的方向為x軸正方向,|AB|為單位長,建立如圖所示的空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,則A(0,0,0),B(1,0,0),C(1,1,0),P(0,1,3),PC=(1

13、,0,-3),AB=(1,0,0).設(shè)M(x,y,z)(0x1),則BM=(x-1,y,z),PM=(x,y-1,z-3).因為BM與底面ABCD所成的角為45,而n=(0,0,1)是底面ABCD的一個法向量,所以|cos|=sin 45,|z|(x-1)2+y2+z2=22,即(x-1)2+y2-z2=0.又M在棱PC上,設(shè)PM=PC,則x=,y=1,z=3-3.由,解得x=1+22,y=1,z=-62(舍去),x=1-22,y=1,z=62,所以M1-22,1,62,從而AM=1-22,1,62.設(shè)m=(x0,y0,z0)是平面ABM的一個法向量,則mAM=0,mAB=0,即(2-2)x0

14、+2y0+6z0=0,x0=0,所以可取m=(0,-6,2).于是cos=mn|m|n|=105.因此二面角M-AB-D的余弦值為105.6.解 (1)連接BD交AC于點O,連接EO.因為ABCD為矩形,所以O(shè)為BD的中點.又E為PD的中點,所以EOPB.EO平面AEC,PB平面AEC,所以PB平面AEC.(2)因為PA平面ABCD,ABCD為矩形,所以AB,AD,AP兩兩垂直.如圖,以A為坐標原點,AB的方向為x軸的正方向,|AP|為單位長,建立空間直角坐標系A(chǔ)-xyz,則D(0,3,0),E0,32,12,AE=0,32,12.設(shè)B(m,0,0)(m0),則C(m,3,0),AC=(m,3

15、,0),設(shè)n1=(x,y,z)為平面ACE的法向量,則n1AC=0,n1AE=0,即mx+3y=0,32y+12z=0,可取n1=3m,-1,3.又n2=(1,0,0)為平面DAE的法向量,由題設(shè)|cos|=12,即33+4m2=12,解得m=32.因為E為PD的中點,所以三棱錐E-ACD的高為12.三棱錐E-ACD的體積V=131233212=38.突破2空間中的垂直與空間角1.(1)證明 由題設(shè)知,平面CMD平面ABCD,交線為CD.因為BCCD,BC平面ABCD,所以BC平面CMD,故BCDM.因為M為CD上異于C,D的點,且DC為直徑,所以DMCM.又BCCM=C,所以DM平面BMC.

16、而DM平面AMD,故平面AMD平面BMC.(2)解 以D為坐標原點,DA的方向為x軸正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系D-xyz.當(dāng)三棱錐M-ABC體積最大時,M為CD的中點.由題設(shè)得D(0,0,0),A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),M(0,1,1),AM=(-2,1,1),AB=(0,2,0),DA=(2,0,0).設(shè)n=(x,y,z)是平面MAB的法向量,則nAM=0,nAB=0.即-2x+y+z=0,2y=0.可取n=(1,0,2),DA是平面MCD的法向量,因此cos=nDA|n|DA|=55,sin=255.所以面MAB與面MCD所成二面角的正弦值是255.2

17、.(1)證明 因為E,F分別為AB,AC邊的中點,所以EFBC.因為ABC=90,所以EFBE,EFPE.又因為BEPE=E,所以EF平面PBE,所以BC平面PBE.(2)解 取BE的中點O,連接PO,由(1)知BC平面PBE,BC平面BCFE,所以平面PBE平面BCFE.因為PB=BE=PE,所以POBE.又因為PO平面PBE,平面PBE平面BCFE=BE,所以PO平面BCFE.過O作OMBC交CF于M,分別以O(shè)B,OM,OP所在直線為x,y,z軸建立空間直角坐標系,則P(0,0,3),C(1,4,0),F(-1,2,0).PC=(1,4,-3),PF=(-1,2,-3).設(shè)平面PCF的一個

18、法向量為m=(x,y,z),則PCm=0,PFm=0,即x+4y-3z=0,-x+2y-3z=0,則m=(-1,1,3),易知n=(0,1,0)為平面PBE的一個法向量,cos=-10+11+30(-1)2+12+(3)2=15=55,所以平面PBE與平面PCF所成銳二面角的余弦值55.3.(1)證明 A1A平面ABC,B1B平面ABC,AA1BB1.AA1=4,BB1=2,AB=2,A1B1=(AB)2+(AA1-BB1)2=22,又AB1=AB2+BB12=22,AA12=AB12+A1B12,AB1A1B1.同理可得:AB1B1C1,又A1B1B1C1=B1,AB1平面A1B1C1.(2

19、)解 取AC中點O,過O作平面ABC的垂線OD,交A1C1于D,AB=BC,OBOC,AB=BC=2,BAC=120,OB=1,OA=OC=3.以O(shè)為原點,以O(shè)B,OC所在直線為坐標軸建立空間直角坐標系如圖所示,則A(0,-3,0),B(1,0,0),B1(1,0,2),C1(0,3,1),AB=(1,3,0),BB1=(0,0,2),AC1=(0,23,1).設(shè)平面ABB1的法向量為n=(x,y,z),則nAB=0,nBB1=0,x+3y=0,2z=0,令y=1可得n=(-3,1,0),cos=nAC1|n|AC1|=23213=3913.設(shè)直線AC1與平面ABB1所成的角為,則sin =|

20、cos|=3913.直線AC1與平面ABB1所成的角的正弦值為3913.4.(1)證明 設(shè)F是PD的中點,連接EF,CF.E是PA的中點,EFAD,EF=12AD.ADBC,AD=2BC,EFBC,EF=BC.BCFE是平行四邊形,BECF.ADBC,ABAD,ABC=BAD=90.AB=BC,CAD=45,AC=2.由余弦定理得CD2=AC2+AD2-2ACADcosCAD=2,AC2+CD2=4=AD2,ACCD.PDAC,AC平面PCD,ACCF,ACBE.(2)解 由(1)得AC平面PCD,CD=2,平面ABCD平面PCD.過點P作POCD,垂足為O,OP平面ABCD,以O(shè)為坐標原點,

21、OC的方向為x軸的正方向,建立如圖所示的空間直角坐標系O-xyz,則P0,0,62,D-22,0,0,B2,-22,0,E24,-22,64,BP=-2,22,62,BD=-322,22,0,BE=-324,0,64,設(shè)m=(x,y,z)是平面BDE的一個法向量,則mBD=0,mBE=0,-322x+22y=0,-324x+64z=0.令x=1,則y=3,z=3,m=(1,3,3).cos=mBP|m|BP|=2613.直線BP與平面BDE所成角的正弦值為2613.5.(1)證明 取DB中點N,連接MN,EN,MN12BC,EF12BC,四邊形EFMN是平行四邊形.EFBE,EFDE,BEDE=E,EF