導數知識點總結

1、知識要點函數y f (x)在點x0處連續(xù)是 y f(x)在點x0處可導的必要不充分條件 .可以證明，如果 y f(x)在點 x0處可導，那么 y f(x)點x0處連續(xù).事實上，令 x x0 x，則 x x0相當于 x 0.于是 lim f (x) lim f(x0 x) lim f (x x0) f(x0) f (x0)x x0 x 0 x 0f (x0 x) f(x0)f(x0 x) f(x0)lim 0 0 x f (x0) lim 0 0 lim lim f (x0) f (x0) 0 f(x0) f(x0).x 0 x x 0 x x 0 x 0如果 y f (x) 點 x 0處連續(xù)，

2、那么 y f (x) 在點 x 0處可導，是不成立的 .例：f(x) |x|在點 x0 0處連續(xù)，但在點 x0 0處不可導，因為 y | x| ，當 x0時， y 1；x x x 當 x0，則y f(x)為 增函數；如果 f(x)0，則 y f (x)為減函數.常數的判定方法；如果函數 y f (x)在區(qū)間 I內恒有 f (x) =0，則 y f(x)為常數.注： f(x) 0是 f (x)遞增的充分條件，但不是必要條件，如 y 2x3在( , )上并不是 都有 f(x) 0 ，有一個點例外即 x=0時f(x) = 0 ，同樣 f(x) 0是f(x)遞減的充分非必 要條件.一般地，如果 f (

3、x)在某區(qū)間內有限個點處為零，在其余各點均為正(或負)，那么f( x)在該區(qū)間上仍舊是單調增加(或單調減少)的 .8. 極值的判別方法：(極值是在 x0附近所有的點，都有 f(x) 0，右側 f (x)0，那么 f (x0 )是極大值；如果在 x0附近的左側 f (x) 0，那么 f (x0 )是極小值 .也就是說 x0是極值點的充分條件是 x0點兩側導數異號，而不是 f ( x) =0. 此外，函數不 可導的點也可能是函數的極值點 . 當然，極值是一個局部概念， 極值點的大小關系是不確 定的，即有可能極大值比極小值小(函數在某一點附近的點不同) .注： 若點 x0是可導函數 f (x)的極值

4、點，則 f (x) =0. 但反過來不一定成立 . 對于可導函 數，其一點 x0 是極值點的必要條件是若函數在該點可導，則導數值為零 例如：函數 y f(x) x3，x 0使 f (x) =0，但 x 0不是極值點 .例如：函數 y f (x) |x|，在點 x 0 處不可導，但點 x 0 是函數的極小值點 .9. 極值與最值的區(qū)別：極值是在局部對函數值進行比較，最值是在整體區(qū)間上對函數值 進行比較 .注：函數的極值點一定有意義 .導數練習一、選擇題1設函數 f ( x)在R上可導,其導函數 f ( x) ,且函數 f(x)在x 2處取得極小值 ,則函數y xf (x) 的圖象可能是2設 a0

5、,b0,e 是自然對數的底數A若 ea+2a=eb+3b, 則 abB若 ea+2a=eb+3b, 則 abD若 ea-2a=eb-3b, 則 a0, b0.A若 2a 2a 2b 3b, 則 abB若 2a 2a2bC若2a 2a 2b 3b,則 abD若 2a 2a2b9設函數 f(x)在 R上可導,其導函數為f (x), 且函數的圖像如題 (8) 圖所示, 則下列結論中一定成立的是 A函數f (x) 有極大值f(2) 和極小值 f (1)B函數f (x) 有極大值f( 2) 和極小值 f (1)C函數f (x) 有極大值f(2) 和極小值 f ( 2)3b, 則 a0.1 1 a17已知函數 f (x) 1x3 1 a x2 ax a(a 0)32(I) 求函數 f(x) 的單調區(qū)間 ;(II) 若函數 f(x)在區(qū)間( 2,0)內恰有兩個零點 ,求a的取值范圍;(III) 當a 1時,設函數 f (x) 在區(qū)間t,t 3上的最大值為 M(t),最小值為 m(t),記 g(t) M(t) m(t),求函數 g(t)在區(qū)間 3, 1上的最小值.18設函數 fn(x) xn bx c (n N ,b,c