平穩(wěn)隨機(jī)過程的估計(jì)—維納濾波理論

1、第 7 章 平穩(wěn)隨機(jī)過程的估計(jì)維納濾波理論上一章中討論了信號參量的估計(jì)。 不管被估計(jì)的參量是未知的非隨機(jī)參量或是隨機(jī)參 量，我們都認(rèn)定，它們在觀測時(shí)間內(nèi)是不隨時(shí)間而變化的。但是，在許多實(shí)際問題中，例 如在模擬通信、雷達(dá)跟蹤以及模式識別等情況中，涉及到的是對時(shí)變參量的估計(jì)問題。稱 之為時(shí)變信號的估計(jì)或波形估計(jì)。即：根據(jù)觀測數(shù)據(jù)(通常包括信號和噪聲)對信號的波 形進(jìn)行估計(jì)。從一般意義上說，噪聲與信號都是隨機(jī)過程。被估計(jì)的波形就是隨機(jī)過程的 樣本函數(shù)。因此所謂波形估計(jì)也就是隨機(jī)過程的估計(jì)。在這一章中， 我們將討論在相加噪聲中對平穩(wěn)隨機(jī)過程的線性最小均方估計(jì)維納濾 波理論。7.1 波形估計(jì)的概念給定兩

2、個(gè)相關(guān)的隨機(jī)過程 r (t)和y(t ) ，r (t )是觀測波形，通常包括信號和噪聲， 而 y(t) 則是表示信號。r(t) y(t) n(t)波形估計(jì)要解決的問題是， 根據(jù)在觀測時(shí)間 (t1,t2)內(nèi) r (t)的取值，對 y(t )的某種函數(shù) g(t) 進(jìn)行估計(jì)。也就是說，按照最佳估計(jì)準(zhǔn)則，對觀測量 r( ), (t1,t2) 進(jìn)行某種變換，以 得到對 g(t)的最佳估值 g?(t) 。b5E2RGbC線性最小均方估計(jì)具有以下特點(diǎn)：1以最小均方估計(jì)準(zhǔn)則為最佳估計(jì)準(zhǔn)則。2g(t)是 y(t) 的某種線性函數(shù)。現(xiàn)在，我們只考慮以下三種情況。g(t) y(t a)a 0 稱這種情況為預(yù)測或外推

3、。g(t) y(t) 稱這種情況為濾波或狹義濾波。 此時(shí)被估計(jì)的波形就是信號本身。 g(t) y(t a)a 0 稱為內(nèi)插或平滑。把以上三種情況統(tǒng)稱為濾波 (廣義濾波) 。當(dāng)然， g(t)也可以是 y(t)的其它線性函數(shù)， 下面不做專門討論。3估計(jì)值 g?(t) 是觀測數(shù)據(jù) r (t )的線性函數(shù)。在特殊條件下， r(t) y(t) ，將這種情況下的波形估計(jì)稱之為純波形估計(jì)。下面，我 們將通過幾個(gè)例題來討論純波形估計(jì)，用以闡明波形估計(jì)的概念。 p1EanqFD例一：考慮根據(jù)信號在時(shí)刻 t時(shí)的測量值 y(t)對它在 t ( 0)時(shí) 的值 y(t ) 進(jìn)行預(yù)測。我們假定， y(t) 是平穩(wěn)隨機(jī)過程

4、。 根據(jù)線性估計(jì)的定義， 可得到估計(jì)量與觀測量之間 的關(guān)系式如下y?(t ) ay(t)(7.1-1 )138 / 22面要解決的問題，是按照最小均方誤差準(zhǔn)則求出加權(quán)系數(shù) a 。根據(jù) 6.5 的討論，我們知道，為了實(shí)現(xiàn)線性最小均方估計(jì)，必須滿足下列正交條件 見式 6.5-18)E y(t ) ay(t)y(t) 07.1-2)即：誤差與觀測數(shù)據(jù)正交。從式( 7.1-2)可得Ry ( ) aRy(0)7.1-3)式中， Ry( ) 是信號 y(t)的自相關(guān)函數(shù)。將 a代入式( 7.1-1)，便可以得到Ry ( ) y?(t ) y(t)Ry(0)7.1-4)可見，可以用被估計(jì)過程的自相關(guān)函數(shù)來構(gòu)

5、造估計(jì)量 y?(t ) 。 均方誤差為ClmsE y(t ) ay(t) 2E y2(t ) 2ay(t )y(t) a2 y2(t)利用正交條件E y(t ) ay(t ) y(t ) 0代入上式，可得Clms E y(t ) ay(t)y(t )Ry (0) aRy( )Ry2 ( )Ry (0)yyRy (0)7.1-5)例二：假設(shè)條件如上例，要求用 y(t) 及其導(dǎo)數(shù) y(t) 來估計(jì) y(t ) 。 根據(jù)題意，可以寫出估計(jì)量的表示式y(tǒng)?(t ) ay(t) by(t)7.1-6)同理，應(yīng)用以下正交條件7.1-7)E y(t ) ay(t) by(t) y(t) 0E y(t ) ay

6、(t) by(t) y(t) 0考慮到139 / 22Ryy()Ryy()Ry()Ryy()Ryy()Ry()Ry( ) 0 0 可以得到系數(shù) a、 b如下7.1-8)7.1-9)Ry ( ) aRy(0)Ry ( ) bRy(0)將上兩式的 a、b 代入式( 7.1-6)，即可得到用過程自相關(guān)函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)構(gòu)造的估計(jì)量 y?(t ) 。均方誤差為Clms E y(t ) ay(t) by(t)y(t )Ry (0) aRy ( ) bRy( )例三：最后，考慮一個(gè)內(nèi)插問題。給定平穩(wěn)隨機(jī)信號 y(t)在時(shí)間間隔 (0,T) 的起點(diǎn)和 終點(diǎn)的觀測值為 y(0) 和 y(T) ，要求用這兩個(gè)值來對信

7、號在 (0,T )內(nèi)任意時(shí)刻 t的取值 y(t) 進(jìn)行估計(jì)。 DXDiTa9E這時(shí)， y?(t) 應(yīng)具有如下形式y(tǒng)?(t) ay(0) by(T) t (0,T)(7.1-10)按照正交條件E y(t) ay(0) by(T) y(0) 0E y(t) ay(0) by(T) y(T) 0 可以得到以下兩個(gè)方程aRy (0) bRy (T) Ry(t)(7.1-11)及aRy(T) bRy(0) Ry (T t)(7.1-12) 聯(lián)立求解，便可得到系數(shù) a 和 b7.1-13)Ry(0)Ry(t) Ry(T)Ry (T t)a 2 2Ry2(0) Ry2(T)140 / 22Ry(0)Ry(T

8、 t) Ry (t)Ry(T)b 2 2( 7.1-14)Ry2(0) Ry2 (T)從以上兩式不難得出： 當(dāng)t 0時(shí)，a 1，b 0 ， y?(0) y(0)；當(dāng)t T 時(shí)，a 0， b 1， y?(T) y(T) 。以上結(jié)果是不言而喻的。用與以上兩側(cè)相同的方法，可以求得均方誤差Clm s的表示式，讀者可自己推導(dǎo)。7.2 維納濾波理論7.2- 1 隨著過程的線性最小均方估計(jì)在上一節(jié)中， 通過三個(gè)例題討論了根據(jù)隨機(jī)過程的有限個(gè)取樣值對它本身進(jìn)行估計(jì)的 問題，即純波形估計(jì)問題。現(xiàn)在討論更一般的情況：根據(jù)在時(shí)間(t1,t2) 對隨機(jī)過程 r(t)的觀測，對與 r(t) 相關(guān)的另一隨機(jī)過程 g(t

9、)進(jìn)行估計(jì)。仍討論線性最小均方估計(jì)。 RTCrpUDG 假定 r(t)和 g(t )都具有零均值。根據(jù)線性估計(jì)的定義，不難得出在時(shí)間為t時(shí)， g(t)的估計(jì)量 g?(t) 的表示式Ng?(t) lim0 h(t, i)r( i )(7.2-1)式中， r( i)表示在 t i時(shí)， r(t)的取樣值； h(t, i) 為待定的權(quán)重系數(shù)。它是 t和 i 的函數(shù)。估計(jì)量 g?(t )由隨機(jī)過程的各取樣 r( i )的線性組合構(gòu)成。將上式寫成積分形式， 5PCzVD7H則有t2g?(t)2 h(t, )r( )d(7.2-2)t1上式表示，最佳估計(jì)器是一個(gè)時(shí)變線性系統(tǒng)或稱時(shí)變線性濾波器。在它的輸入端加

10、入觀測 波形 r(t)，在其輸出端便得到對 g(t) 的估計(jì)量 g?(t) 。 jLBHrnAI下面，我們的任務(wù)是求使得均方誤差為最小的各權(quán)重系數(shù) h(t, i ) (或?yàn)V波器的沖 激響應(yīng) h(t, i )。根據(jù)線性最小均方估計(jì)必須滿足的正交原理：誤差與觀測數(shù)據(jù)正交，各 權(quán)重系數(shù)必須滿足下列條件 xHAQX74JNE g(t) lim0 h(t, i )r( i) r( ) 0 t1t2(7.2-3)或?qū)⑸鲜奖硎緸榉e分形式t2E g(t) t2 h(t, )r( )d r( ) 0 t1t2(7.2-4)t1又可以用相關(guān)函數(shù)將上式表示如下Rgr (t, ) t2h(t, )Rr ( , )d

11、t1t2(7.2-5)t1141 / 22可見，最佳系統(tǒng)的沖擊響應(yīng) h(t, ) 就是上面積分方程的解。 用與 7.1 中相同的方法，可以得到均方誤差為7.2-6)Clms E g(t) t h(t, )r( )d g(t)t1t2Rg(0) t2h(t, )Rrg ( ,t)dt17.2- 2 維納濾波 以上對隨機(jī)過程的線性最小均方估計(jì)作了一般性的介紹?，F(xiàn)在，我們來討論一種非常 重要的特殊情況： 在相加噪聲中對信號波形的估計(jì)。設(shè)在觀測時(shí)間(t1,t2) 內(nèi)，得到的觀測波形是信號和相加噪聲之和 LDAYtRyKr(t) s(t) n(t)t1 t t2(7.2-7 )式中， s(t) 表示信號

12、， n(t) 表示相加噪聲。要解決的問題是：根據(jù)對r(t)的觀測，求出對g(t)的線性最小均方估計(jì) g?(t) ，而 g(t) 是信號 s(t) 的線性函數(shù)。以下的討論中，我們將 限定， g(t) s(t ) (0；0； 0 )，即只討論濾波問題。 Zzz6ZB2L為了得到最佳估計(jì) g?(t) ，必須通過解積分方程式 (7.2-5)求出濾波器的最佳沖激響應(yīng) h(t, ) 。我們知道， 若不做特殊假定。 求解積分方程 (7.2-5)是很困難的， 40 年代 Wiener 和 Kolmogorov 在研究這個(gè)問題時(shí)，對隨機(jī)過程 r (t )和g (t )做了限制。假定 r(t)和 g(t)都 是平

13、穩(wěn)隨機(jī)過程，且聯(lián)合平穩(wěn)，解決了對平衡隨機(jī) 過程的最佳濾波問題，形成了 Wiener-Kolmogorov 理論，或簡稱維納( Wiener )濾波理論。下面，我們應(yīng)用估計(jì)理論的 觀點(diǎn)，來介紹維納濾波理論。 dvzfvkwM若 r(t)和 g(t) 為聯(lián)合平穩(wěn)過程，這就意味著： 1觀測時(shí)間從很早以前就開始了，即 t1 ； 2系統(tǒng)本身必須是非時(shí)變的。如果我們只考慮因果系統(tǒng)(或稱為物理可實(shí)現(xiàn)系統(tǒng)) ，系統(tǒng)只能對到目前為上的過去 的數(shù)據(jù)進(jìn)行處理，那么，根據(jù)上述條件，系統(tǒng)的輸出g?(t )應(yīng)為 rqyn14ZNg?(t) h(t )r( )d(7.2-8)而正交條件式( 7.2-5)則可表示為tRgr

14、(t ) h(t)Rr ()d ) t(7.2-9)令 t ， t代入上式，進(jìn)行變量置換，可得Rgr( ) 0 h( )Rr ()d 0(7.2-10)式( 7.2-9)、( 7.2-10)便是通稱的維納霍夫( Wiener-Hopf )積分方程。通過求解這個(gè)積142 / 22分方程，便可得到最最濾波器的沖激響應(yīng) ho(t) 。而這個(gè)濾波器便稱為維納濾波器。 EmxvxOtO 應(yīng)用式( 7.2-6)，不難寫出波形估計(jì)的均方誤差如下Clms Rg (0) 0 h( )Rgr ( )d( 7.2-11)設(shè)計(jì)一個(gè)最佳線性均方估計(jì)器(即維納濾波器) ，中心的問題就是求解積分方程( 7.2-10 )以得

15、到最佳沖激響應(yīng) ho(t) ，下面，分別就不同條件來求解這個(gè)積分方程。 SixE2yXP 一、物理不可實(shí)現(xiàn)的維納濾波器當(dāng)我們對系統(tǒng)不加因果關(guān)系的限制， 即考慮非因果型濾波器 (即物理不可實(shí)現(xiàn)濾波器) 時(shí)，式( 7.2-9)變成Rgr (t ) h(t )Rr ()d( 7.2-12)上式相當(dāng)于觀測時(shí)間和沖激響應(yīng)時(shí)間都包含整個(gè)的時(shí)間軸， 即 ； 。 同理，式( 7.2-10 )變成為Rgr( )h( )Rr ()d( 7.2-13)上式等號右端正是一個(gè)卷積積分。對上式等號兩邊做付氏變換，便很容易地得到頻域的解Ggr ( ) H ( )Gr ( )(7.2-14)上式給出了物理不可實(shí)現(xiàn)維納濾波器的

16、傳輸函數(shù)?？梢姡瑸榱饲?H ( ) ，只需要用到隨機(jī) 過程 r(t)和 g(t) 的二價(jià)矩就夠了。此時(shí)，估計(jì)的均方誤差為Clms Rg(0)h( )Rgr ( )d(7.2-15)也可以將 Clms 用過程的功率譜密度來表示，為此，令z( ) Rg( ) h( )Rrg ()d(7.2-16)將上式等號兩邊作付氏變換，得到Z( ) Gg( ) H( )Grg ( )而1jz( ) Z( )ej d2因而得到143 / 221Clms z(0) Z( )d7.2-17)21Gg ( )Gr ( ) Ggr ( )Grg ( )2Gr ( )若被估計(jì)的波形就是信號本身， 即 g(t) s(t )

17、，且假設(shè)信號 s(t)與噪聲 n(t) 不相關(guān)，于是 式( 7.2-14 )、(7.2-17 )要化簡為 6ewMyirQ7.2-18)Gs ( )Gs( ) Gs ( )lms1 z(0)Gs( )Gn ( ) d Gs ( ) Gn( )7.2-19)雖然非因果濾波器是物理上不可實(shí)現(xiàn)的，但是，當(dāng)利用計(jì)算機(jī)對信號作非實(shí)時(shí)處理而計(jì)算機(jī)的容量又是足夠大時(shí)，它還是可以實(shí)現(xiàn)的。 kavU42VR二、物理可實(shí)現(xiàn)的維納濾波器現(xiàn)在，我們再回到解積分方程式( 7.2-9)上面來Rgr (t ) h(t )Rr ()d t(7.2-9)當(dāng)觀測波形 r(t) 為白噪聲過程時(shí)，有Rr ( ) ( )將 Rr (

18、) 代入式( 7.2-9 )，利用 函數(shù)的積分性質(zhì)，可以很容易地求解出最佳濾波器的沖激響應(yīng)為h(t ) Rgr (t ) t( 7.2-20)令 t ，代入上式做變量置換，得h( ) Rgr ( ) 0( 7.2-21)將上式變換到頻率域，對上式等號兩邊做復(fù)付氏變換，可以得到最佳濾波器的傳輸函數(shù)為7.2-22)H ( ) Ggr ( )上式中， Ggr( )是隨機(jī)過程 g(t)和r(t)的互譜密度， 而Ggr( ) 則表示 Ggr( )的物理可實(shí)現(xiàn)部分，即極點(diǎn)分布在上半平面的那部分Ggr ( ) 。因?yàn)閷τ诜€(wěn)定的困果系統(tǒng)。其沖激響應(yīng) h(t)(h(t) 0,t 0 )的復(fù)付氏變換的極點(diǎn)一定分布

19、在平面的上半平面。 y6v3ALoS144 / 22若對式( 7.2-21 )等式兩邊作拉氏變換，則可得到7.2-22)H(s) Ggr (s)同樣， Ggr (s) 表示 Ggr(s) 的物理可實(shí)現(xiàn)部分， 它的極點(diǎn)都分布在 s平面的左半平面內(nèi)。當(dāng)觀測波形 r(t) 是非白隨機(jī)過程時(shí)，求解 Wiener-Hopf 積分方程就比較麻煩。可以用 不同的方法求解。我們將介紹一種常用的方法白化處理法。 M2ub6vST類似于處理在色噪聲中的匹配濾波器那樣，所謂白化處理方法，就是先用一個(gè)白化濾波器 H1( )對觀測波形 r(t)作白化處理將它變換成白噪聲過程 W (t) ；然后再將 W(t) 輸 入到對

20、白過程的最佳濾波器 H 2( ) 。以得到對 g(t)的線性最小均方估計(jì) g?(t) 。其方框圖 如下圖所示： 0YujCfmU圖 7.2-1 白化處理法 當(dāng)r(t)的譜密度 Gr ( )為 的有理函數(shù)時(shí)，應(yīng)用譜分解定理?？偪梢詫⑺纸獬蓛?項(xiàng)之積Gr ( ) Gr ( ) Gr ( )( 7.2-23)其中， Gr ( ) 的所有零點(diǎn)和極點(diǎn)都分布在 的上半平面； Gr ( ) 的所有零點(diǎn)和極點(diǎn)都分 布在 的下半平面， 為復(fù)頻率 j ， 和 為實(shí)變量，并且有 eUts8ZQVGr ( ) Gr ( )( 7.2-24)其中， 表示復(fù)共軛，及2Gr ( ) Gr ( )(7.2-25)在圖 7.

21、2-1 中，選擇1H 1( )( 7.2-26 )1Gr ( )2于是， GW( ) Gr( )H1( ) 2 1，故 W (t)為白噪聲過程。下面來確定 H2( ) 。應(yīng)用式( 7.2-22)， H2( )應(yīng)當(dāng)?shù)扔贖 2( ) Ggw ( )(7.2-27)145 / 22式中， Ggw( )表示 g(t )與白過程 W(t) 的互譜密度。因?yàn)镽gw( ) Eg(t )W(t) Eg(t ) h1( )r(t )d h1( )Rgr ()d對上式等號兩邊作付氏變換，可以得到Ggw( )h1( )Rgr ()e j d dh1( )ej dRgr ()e j ( )dH1 ( )Ggr( )G

22、gr ( )Gr ( )于是，濾波器的總傳輸函數(shù)為1 Ggr ( )H ( ) H 1 ( )H 2( ) gr( 7.2-28)1 2 Gr ( ) Gr )上式給出了在輸入波形為非白過程條件下，物理可實(shí)現(xiàn)維納濾波器的傳輸函數(shù)。類似地，若應(yīng)用拉氏變換，則可得到系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為H(s)1Ggr (s)Gr (s) Gr (s)7.2-28)以及Gr (s) Gr (s)Gr (s)而 Ggr (s) 則表示物理可實(shí)現(xiàn)部分，即極點(diǎn)分布在s平面左半平面的那部分。Gr (s)需要提醒一下， 在利用白化法處理色噪聲中的匹配濾波問題與處理色過程中的維納濾 波問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)注意二者的差別。前者的白化濾波器，

23、只是對輸入波形r(t)中的噪聲 n(t)進(jìn)行白化處理；而后者是對整修輸入過程 r(t) 進(jìn)行白化處理。 sQsAEJkW7.2- 3 舉例例一：若觀測波形 r(t) 為r(t) s(t) n(t)146 / 22其中， s(t )是平穩(wěn)隨機(jī)信號，具有有理功率譜密度Gs (s)1Gs (s)21sn(t) 是相加白噪聲，功率譜密度為1 N0 。又設(shè)信號與噪聲不相關(guān)。要求設(shè)計(jì)2的物理可實(shí)現(xiàn)線性最小均方估計(jì)器。解：由于信號與噪聲不相關(guān)，故可得到r(t) 的譜密度為1Gr (s) Gs(s) Gn (s) Gs(s) 1 N02( 7.2-29)個(gè)對信號7.2-30)由于現(xiàn)在的 g(t) s(t)，H

24、(s) 1Ggr (s)Gr (s) Gr (s)7.2-28)所以代入( 7.2-28 )，有Ggr (s) Gsr (s) Gs (s)H(s) 1Gs(s)Gr (s) Gr (s) Gr (s)1 12N01 Gr (s) 2 1 Gr (s) rGr (s)1N0 N0 Gs (s)0 0s 2 2 Gr (s)1 2N0 2 Gr (s) Gr (s)7.2-31)將 Gr (s) 進(jìn)行譜分解Gr (s) Gs(s) 21N011 N0 /2 s N0 /2111s2 12N01 N0 /2 s N0 /2所以，有1s1sGr (s) 1 N0 /2 s N0 /21s1 N0 /

25、2 s N0 /2 Gr (s)7.2-32)1s將式( 7.2-32 )代入( 7.2-31)，便可得到最佳傳輸函數(shù)147 / 22根據(jù)式( 7.2-28)。有1s1s1 N0 /2 s N0/2 1 N0 /2 s N0 /2N0 /2 11 N0 /2 s N0/21sN021 N0 /2 N0 /21 N0 /2 s N0 /2取物理可實(shí)現(xiàn)部分，可得1sH(s) 1 1 N0 /2 s N0 /2N021 s 1s 1 2/N01 2/N0 1 s 1 2/N07.2-33)例二：輸入為信號與相加噪聲之和r(t) s(t) n(t)s(t) 為平穩(wěn)隨機(jī)信號，零均值，相關(guān)函數(shù)為Rs( )

26、7 e /212功率譜密度 Gs(s) 為Gs(s)7/3 4s 1 噪聲 n(t) 也是平穩(wěn)過程，零均值，具有功率譜密度Gn(s)5/3 Gn(s)2s1并設(shè)信號與噪聲不相關(guān)。1求濾波器的最佳傳輸函數(shù)H(s)據(jù)題意， g(t) s(t )，所以有 Ggr(s) Gsr(s)e s 。利用信號與噪聲不相關(guān)，可Ggr(s) Gsr ( s)e s7/3s4s2 1e7.2-34)所以，有7/3Gr (s) Gs(s) Gn(s)4s2 1148 / 229s2 45/32 2 2 s2 1 ( 4s2 1)( s2 1)Gr (s)(3s 2)(2s 1)(s 1)Gr (s)( 3s 2)(

27、2s 1)( s 1)7.2-35)將式（ 7.2-34）、（ 7.2-35）代入（ 7.2-28），可以得到波器的傳輸函數(shù)為H(s)(2s 1)(s1)es7/3( 2s 1)( s1)3s 24s2 1( 3s 2)(2s 1)(s1)es11/33s 2 e 2s 1 3s 2令1 1/3 K(s)2s 1 3s 2 于是7.2-36)1/2e /2t 0K(t) 2 /31/9e2 /3t 0所以，有1/2e (t )/ 20,t 07.2-37)K(t ) 1/9e2(t ) /30,0 t1/2e (t )/ 2 0,t可得2s 1K(s)e s12s 17.2-38)1 e2 /

28、3 eses3 3s 22(s 1/2)H(s)(2s 1)(s 1)3s 2K(s)e s7.2-39)2確定最小均方誤差根據(jù)式( 7.2-11)，有7.2-40)Clms Rg(0) 0 h( )Rgr( )dRs(0) 0 h( )Rsr()d149 / 22上式中的第一項(xiàng) Rs(0)為 Rs(0) 7 /12 ，式中的第二項(xiàng)積分是的函數(shù)，F(xiàn)( ) h( )Rsr()d不難證明2 F( ) 0 K 2(t)dt記為 F( )( 7.2-41)( 7.2-42)將式( 7.2-36)給出的 K(t) 代入上式，可以得到7.2-43)F( ) 147而 Clms 172 F( )。1108(

29、1 e4 / 3圖 7.2-2 中畫出了以上各函數(shù)的曲線150 / 22151 / 22圖 7.2-27.3 離散系統(tǒng)的維納濾波器本節(jié)討論觀測數(shù)據(jù)和信號都是離散時(shí)間序列的維納濾波問題。這時(shí)輸入序列為r(k) s(k) n(k)k 1,2,上式中， r (k) r ( t k ) ，表示在時(shí)間 t t k時(shí)的觀測值， 它可以是對連續(xù)波形 r(t)在t tk時(shí)152 / 22的取樣值， 也可以是在 t tk接收到的離散數(shù)據(jù)等等。 同樣， s(k) 、n(k ) 分別表示在 t tk 時(shí)信號與噪聲的取值。設(shè)在觀測時(shí)間(tk1,tk2) 內(nèi)共有 N個(gè)觀測量，而且各個(gè)觀測量之間的時(shí)間間隔相等，即 GMs

30、IasNXtk tk 1t為常數(shù)k k1,k2 N t tk2 tk1現(xiàn)在，要求根據(jù)在 (tk1,tk2)內(nèi)得到的觀測數(shù)據(jù) r(k)k k1,k2，對 g(k)進(jìn)行估計(jì)。 而g(t) 是信號 s(t) 的線性函數(shù)。由于我們求的是線性最小均方估計(jì)，根據(jù)定義可以寫出估計(jì)量 g?(k) 的表示式為k2g?(k) h(k,j)r(j)(7.3-1)j k1根據(jù)正交原理，有k2Eg(k) h(k,j)r(j)r(l) 0 l k1,k2(7.2-2)j k1于是可以得到k2Rgr(k,l)h(k,j)Rr(j,l)l k1,k2(7.3-3)Rr(j,l)是 r(k)的j k1上式中， Rgr(k,l)

31、是g(k) 與r ( k)的離散互相關(guān)函數(shù)， 或稱互相關(guān)序列。離散自相關(guān)函數(shù)，或稱自相關(guān)序列，式(7.3-3 )則是積分方程( 7.2-5)的離散形式。通過求解這個(gè)積分方程，便可求出權(quán)重系數(shù) h(k, j) 來，它就是離散系統(tǒng)的最佳單位取樣響應(yīng) ( Unit-Sample Response)。 TIrRGchY與討論連續(xù)系統(tǒng)時(shí)相同，我們知道，一般地說，求解積分方程(7.3-3)是很困難的。下面，將只討論在某些特殊條件下的解。 7EqZcWLZ假定： r(k)與 g(k)聯(lián)合平穩(wěn)，而且觀測區(qū)間為半無限的，這就是說，我們限定討論 非時(shí)變因果系統(tǒng)。 (至于非因果系統(tǒng)，可以看做一種特例，不再討論，于是

32、，式(7.3-3)變成為如下形式 lzq7IGf0kRgr(k l) h(k j)Rr(j l)1 ,k7.3-4)153 / 22令n k l，m k j 代入上式做變量置換，可以得到Rgr (n)h(m)Rr (n m) n 0, (7.3-5)m0與式( 7.2-10)比較，可以看出，上式就是離散形式的 Wiener-Hopf 方程。我們可以用求解 方程( 7.2-10 )的類似方法，來求解式( 7.3-5)，以得到離散維納濾波器的單位取樣響應(yīng)。 下面，我們將分別就兩種情況來討論維納濾波器的頻域解。 zvpgeqJ17.3- 1 物理可實(shí)現(xiàn)維納濾波器的頻域解1觀測序列 r(k) 為白色隨

33、機(jī)序列這時(shí)，我們有Rr (n m) nm(7.3-6)將( 7.3-6)代入( 7.3-5)，可以很容易地解出h(n) Rgr (n)n 0, (7.3-7 )對上式等號兩邊進(jìn)行 z 變換，便可得到系統(tǒng)的傳輸函數(shù)為H(z) Ggr (z)(7.3-8)式中， Ggr (z) 表示互譜序列 Ggr(z) 的物理可實(shí)現(xiàn)部分。 它是互相關(guān)序列 Rgr(n) 物理可實(shí)現(xiàn)部分的 z 變換。它的全部極點(diǎn)應(yīng)落入單位園之內(nèi)。 NrpoJac32輸入觀測序列 r(k) 為非白隨機(jī)序列對于這種情況， 我們采用在 7.2-2 中介紹的白化處理方法， 先將 r(k) 通過白化濾波器， 變換成白序列 W (k ) ，然

34、后再將 W (k)通過第二個(gè)濾波器 (最佳濾波器) 。便可得到 g(k)的 線性最小均方估計(jì) g?(k) 。其方框圖如下所示 1nowfTG4圖 7.3-1類似于 7.2-2 中的方法，應(yīng)用譜分解定理，將 Gr(z) 分解為Gr (z) Gr (z)Gr (z)式中， Gr (z) 的零極點(diǎn)都落在單位園之內(nèi)， Gr (z) 的零極點(diǎn)都落在單位園之內(nèi)，并且有1Gr (z) Gr (z)Gr (z 1)于是，可以得到白化濾波器的傳輸函數(shù)為154 / 22H1(z)Gr (z)7.3-9)而 W(k) 為白序列。從而將問題轉(zhuǎn)化為求輸入為平穩(wěn)白序列的維納濾波問題。根據(jù)式 (7.3-8)，可以求得 H2

35、(z) 為H 2(z) G gw ( z)其中， G gw ( z)為序列 g(k) 與白序列 W (k )的互譜，而 Ggw(z) 表示該互譜的物理可實(shí) 現(xiàn)部分。仿照 7.2-2 中的分析方法，可以得到7.3-10)GgW(z) H1(z 1) Ggr(z) GGgr(zz)Gr (z)于是，濾波器的總傳輸函數(shù) H(z) 為H(z) H1(z)H 2(z)1Ggr (z)Gr (z) Gr (z)7.3-11)上式給出了輸入為非白隨機(jī)序列時(shí)，物理可實(shí)現(xiàn)離散維納濾波器的傳輸函數(shù)表示式7.3- 2 用遞推方法實(shí)現(xiàn)維納濾波在 7.3-1 中，給出了物理可實(shí)現(xiàn)維納濾波器的頻域結(jié)果?，F(xiàn)在，我們來討論如

36、何根據(jù) 上述結(jié)果，在時(shí)間域應(yīng)用遞推方法實(shí)現(xiàn)維納濾波。 fjnFLDa5若輸入的觀測序列為r(k) s(k) n(k) k 1,2,或?qū)懗蓃k sk nkk 1,2,( 7.3-12)式中， sk 、 nk分別代表信號和相加噪聲序列。待估計(jì)波形為gk sk D。D可以大于、等于、或小于 0；分別對應(yīng)于外推、濾波和內(nèi)插。我們假定：nk 為平穩(wěn)正交序列，具有方差 n2 ； sk 與 nk 正交； rk 與sk平穩(wěn)、且聯(lián)合平穩(wěn)。 tfnNhnE6 下面要解決的問題是，如何根據(jù)式( 7.3-11)，求出實(shí)現(xiàn)維納濾波器的遞推方法。 先看序列 rk 的自相關(guān)函數(shù) Rr( )Rr ( )E rk rkE(sk

37、nk)(sknk)Rs()n2( )(7.3-13)對上式等號兩邊作 z變換，可以得到譜密度 Gr (z)的表示式如下155 / 22Gr (z)Rr()zRs( )n2( )zRs()zn2(7.3-14)若信號 sk 的自相關(guān)函數(shù)為非周期性函數(shù)，而且為有限長序列(用2N 表示它的長度)便可以將式( 7.3-14 )表示成如下形式 HbmVN777NGr (z)Rs( )zn2Nd N z N d N 1z N 1d 1z 1 d0( 7.3-15)N 1 Nd1zdN 1zdN z式中dk Rs(k) k N,N k 0(7.3-16)7.3-17)d0 Rs(0)n2考慮到平穩(wěn)隨機(jī)過程的

38、自相關(guān)函數(shù)的對稱性，我們有dk d k( 7.3-18)很明顯，多項(xiàng)式( 7.3-15)中的各項(xiàng)系數(shù)由信號的自相關(guān)函數(shù)以及噪聲的方差確定，它們 都是已知的。下面，再求濾波器輸出序列 g?k 與輸入觀測序列 rr的互譜密度 Gg?r (z) 。為此，先 求互相關(guān)序列 Rg?r( ) 。根據(jù)線性最小均方估計(jì)必須滿足的正交條件E g?(k ) g(k )r(k) 0可以得到Eg?(k )r(k) Eg(k )r(k)或 Rg?r ( ) Rgr ( )( 7.3-19)應(yīng)用前面給定的條件g(k) s(k D)可以得到Rgr ( )EgkrkEskD(sknk)Rs(D)( 7.3-20)于是156

39、/ 22NGgr (z) zDGs(z) zDRsz( 7.3-21)N將上式展開，可以得到一個(gè)多項(xiàng)式如下N D N 1 DGg?r ( z) d N z N D d N 1z N 1 D d D( 7.3-22) d0zDdN 1zN 1 D dN zN D上式中的各項(xiàng)系數(shù)則完全由信號的自相關(guān)函數(shù)確定dk Rs(k)k N,N當(dāng)隨機(jī)序列 r k具有理譜密度時(shí)。 我們可以應(yīng)用譜分解定量， 將Gr ( z)表示成典型的分 解因式形式21Gr (z) Gr (z)Gr (z)2B(z)(z 1)(7.3-23)式中B(z) (1 1z)(1 2z) (1 N z) 1 b1z b2z2bN zN(7.3-24)7.3-25)1 b1z 1 b2z 2bN z NB(z 1) (1 1z 1)(1 2z 1) (1 Nz N)各項(xiàng)系數(shù) 2 、 b1, b2 ,b3, ,bN 則由式( 7.3-15)的各項(xiàng)系數(shù) d0,d1, d N來確定。 應(yīng)用式( 7.3-11)，便可以得到濾波器的傳輸函數(shù)為H(z)1Ggr (z)Gr (z) Gr (z)1 Ggr (z)2B(z) B(z 1)7.3-26)現(xiàn)在，我們來看上式中的Ggr ( 1z) 項(xiàng)，它是 Ggr ( 1z)的物理可實(shí)現(xiàn)部分。將式B(z 1) B(z 1)7.3- 22)、(7.3-25)代入