解圓錐曲線問(wèn)題常用的八種方法與七種常規(guī)題型

1、解圓錐曲線問(wèn)題常用的八種方法與七種常規(guī)題型總論：常用的八種方法1、定義法2、韋達(dá)定理法3、設(shè)而不求點(diǎn)差法4、弦長(zhǎng)公式法5、數(shù)形結(jié)合法6、 參數(shù)法（點(diǎn)參數(shù)、K參數(shù)、角參數(shù)）7、代入法中的順序8、充分利用曲線系方程法七種常規(guī)題型（1）中點(diǎn)弦問(wèn)題（2 ）焦點(diǎn)三角形問(wèn)題（3）直線與圓錐曲線位置關(guān)系問(wèn)題（4）圓錐曲線的有關(guān)最值（范圍）問(wèn)題（5）求曲線的方程問(wèn)題1 曲線的形狀已知 這類(lèi)問(wèn)題一般可用待定系數(shù)法解決。2曲線的形狀未知-求軌跡方程（6）存在兩點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題（7）兩線段垂直問(wèn)題常用的八種方法1、定義法（1） 橢圓有兩種定義。第一定義中，1+r2=2a。第二定義中，c=ed1r2=ed2。（2）

2、 雙曲線有兩種定義。第一定義中， * 2 2a，當(dāng)12時(shí)，注意2的最小值為 c-a:第二定義中，1=ed1,2=ed2，尤其應(yīng)注意第二定義的應(yīng)用，常常將半徑與點(diǎn)到準(zhǔn) 線距離”互相轉(zhuǎn)化。（3）拋物線只有一種定義，而此定義的作用較橢圓、雙曲線更大，很多拋物線問(wèn)題用 定義解決更直接簡(jiǎn)明。2、韋達(dá)定理法因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問(wèn)題常轉(zhuǎn)化為方程組關(guān)系問(wèn)題，最終轉(zhuǎn)化為一元二次方程問(wèn)題，故用韋達(dá)定理及判別式是解決圓錐曲線問(wèn)題的重點(diǎn)方法之一，尤其是弦中點(diǎn)問(wèn)題，弦長(zhǎng)問(wèn)題，可用韋達(dá)定理直接解決，但應(yīng)注意不 要忽視判別式的作用。3、設(shè)而不求法解析幾何的運(yùn)算中，常設(shè)一些量而并不

3、解解出這些量，利用這些量過(guò)渡使問(wèn)題得以解決，這種方法稱(chēng)為設(shè)而不求法”。設(shè)而不求法對(duì)于直線與圓錐曲線相交而產(chǎn)生的弦中點(diǎn)問(wèn)題，常用點(diǎn)差法”，即設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn) A(x i,yi),B(x2,y2),弦AB中點(diǎn)為M(xo,yo)，將點(diǎn)A、 B坐標(biāo)代入圓錐曲線方程，作差后，產(chǎn)生弦中點(diǎn)與弦斜率的關(guān)系，這是一種常見(jiàn)的“設(shè)而不 求”法，具體有：2 2(1) 務(wù) 嶺 1(a b0)與直線相交于 A、B，設(shè)弦 AB中點(diǎn)為 M(xo,yo),則有a b篤卑k 0。(其中K是直線AB的斜率) a b(2)2 x -2 ab21(a0,b0)與直線I相交于A、B,設(shè)弦AB中點(diǎn)為M(xo,yo)則有第 -yk0(其中K是

4、直線AB的斜率)a b(3)y2=2px( p0)與直線 I 相交于 A、B 設(shè)弦 AB 中點(diǎn)為 M(x0,y0),則有 2y0k=2p,即 y0k=p.(其中K是直線AB的斜率)4、弦長(zhǎng)公式法弦長(zhǎng)公式：一般地，求直線與圓錐曲線相交的弦 AB長(zhǎng)的方法是：把直線方程y kx b代入圓錐曲線方程中，得到型如ax2 bx c 0的方程，方程的兩根設(shè)為xA，xB，判別式為，貝y |AB| . 1 k2 |xA xB|1 k2，若直接用結(jié)論，能減少配方、開(kāi)|a|方等運(yùn)算過(guò)程。5、數(shù)形結(jié)合法解析幾何是代數(shù)與幾何的一種統(tǒng)一，常要將代數(shù)的運(yùn)算推理與幾何的論證說(shuō)明結(jié)合起來(lái)考慮問(wèn)題，在解題時(shí)要充分利用代數(shù)運(yùn)算的嚴(yán)

5、密性與幾何論證的直觀性，尤其是將某些代數(shù)式子利用其結(jié)構(gòu)特征，想象為某些圖形的幾何意義而構(gòu)圖，用圖形的性質(zhì)來(lái)說(shuō)明代數(shù)性質(zhì)。女口 2x+y ”，令2x+y=b，貝U b表示斜率為-2的直線在y軸上的截距；如x2+y2” ,令 Jx2 y2 d，則d表示點(diǎn)P (x, y)到原點(diǎn)的距離；又如 _3 ”，令_ =k，則k x 2 x 2表示點(diǎn)P (x、y)與點(diǎn)A (-2 , 3)這兩點(diǎn)連線的斜率6、參數(shù)法(1) 點(diǎn)參數(shù)利用點(diǎn)在某曲線上設(shè)點(diǎn)(常設(shè)“主動(dòng)點(diǎn)”)，以此點(diǎn)為參數(shù)，依次求出其他相關(guān)量，再列式求解。如 x軸上一動(dòng)點(diǎn)P,常設(shè)P (t , 0);直線x-2y+1=0上一動(dòng)點(diǎn)P。除設(shè)P (xi,y 1)外

6、，也可直接設(shè) P (2yi-1,y 1)(2) 斜率為參數(shù)當(dāng)直線過(guò)某一定點(diǎn) P(xo,y o)時(shí)，常設(shè)此直線為 y-yo=k(x-x 0)，即以k為參數(shù)，再按命題要求依次列式求解等。(3) 角參數(shù)當(dāng)研究有關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)的問(wèn)題時(shí)，常設(shè)某一個(gè)角為參數(shù)，尤其是圓與橢圓上的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題。7、代入法中的順序這里所講的“代入法”，主要是指條件的不同順序的代入方法，如對(duì)于命題：“已知條件Pl,P2求(或求證)目標(biāo)Q,方法1是將條件Pi代入條件P2,方法2可將條件P2代入條件Pi,方法3可將目標(biāo)Q以待定的形式進(jìn)行假設(shè)，代入P1,P2,這就是待定法。不同的代入方法常會(huì)影響解題的難易程度，因此要學(xué)會(huì)分析，選擇簡(jiǎn)易的代入法。八

7、、充分利用曲線系方程法、定義法【典型例題】例1、(1)拋物線C:y2=4x上一點(diǎn)(2)拋物線C: y2=4x上一點(diǎn)QP到點(diǎn)A(3,4 、2 )與到準(zhǔn)線的距離和最小，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為到點(diǎn)B(4,1)與到焦點(diǎn)F的距離和最小，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)分析：(1) A在拋物線外，如圖,連 PF，則PHPF，因而易發(fā)現(xiàn),當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最小。i 1HA/qBPF(2) B在拋物線內(nèi)，如圖，作 QR丄I交于R,則當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，距離和最 小。解:( 1)(2， 2)連PF,當(dāng)A、P、F三點(diǎn)共線時(shí)， AP PH AP PF最小，此時(shí) AF的方程為4 201y (X 1)即 y=2j2(x-1),代入

8、 y2=4x 得 P(2,22),(注：另一交點(diǎn)為(一，42)，3 12它為直線AF與拋物線的另一交點(diǎn)，舍去)1(2) (,1)4過(guò)Q作QR丄I交于R,當(dāng)B、Q、R三點(diǎn)共線時(shí)，BQ QF| | BQ QR最小，此時(shí) Q一 1 1點(diǎn)的縱坐標(biāo)為1，代入y2=4x得x=，二Q( ,1)44點(diǎn)評(píng)：這是利用定義將“點(diǎn)點(diǎn)距離”與“點(diǎn)線距離”互相轉(zhuǎn)化的一個(gè)典型例題，請(qǐng)仔細(xì)體會(huì)。2 2jyAHT-0F丿xfP為橢圓例2、F是橢圓x y 1的右焦點(diǎn)，A(1,1)為橢圓內(nèi)一定點(diǎn),43上一動(dòng)點(diǎn)。(1) PA | PF |的最小值為(2) PA 2PF的最小值為分析：PF為橢圓的一個(gè)焦半徑，常需將另一焦半徑PF或準(zhǔn)線

9、作出來(lái)考慮問(wèn)題。解：(1) 4 - . 5設(shè)另一焦點(diǎn)為F，則F (-1,0)連A F ,PFPA PF PA 2a PF 2a (PF PA) 2a AF 4 顯當(dāng)P是FA的延長(zhǎng)線與橢圓的交點(diǎn)時(shí)，PA PF取得最小值為4-J5。1(2)作出右準(zhǔn)線 I，作 PH 丄 I 交于 H，因 a2=4, b2=3, c2=1, a=2, c=1 , e=,21 PF ：|PH,即2 PFPH PA 2 PF PA PH當(dāng)A、P、H三點(diǎn)共線時(shí)，其和最小，最小值為2aXac例3、動(dòng)圓M與圓Ci：（x+1）2+y2=36內(nèi)切,與圓C2：（x-1）2+y2=4外切,求圓心軌跡方程。分析：作圖時(shí)，要注意相切時(shí)的“

10、圖形特征”：兩個(gè)圓心與切點(diǎn)這三點(diǎn)共線圖中的A、M、C共線，B、D、M共線）。列式的主要途徑是動(dòng)圓的“半徑等于半徑”（如圖中的解：如圖,MCMCMD )。MD，MAC MA MB DB 即6 MA MB 2MA MB 8( *)點(diǎn)M的軌跡為橢圓,2a=8, a=4, c=1 , b2=15 軌跡方程為2x162y15點(diǎn)評(píng)：得到方程（*）后，應(yīng)直接利用橢圓的定義寫(xiě)出方程，而無(wú)需再用距離公式列式求解，即列出.（x 1）2 y2. （x 1）2 y24，再移項(xiàng)，平方，相當(dāng)于將橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程推導(dǎo)了一遍，較繁瑣！3例 4、 ABC 中，B（-5,0）,C（5,0）,且 sin C-s in B=si nA,

11、求點(diǎn) A 的軌跡方程。5分析：由于sinA、sinB、sinC的關(guān)系為一次齊次式，兩邊乘以2R （ R為外接圓半徑）可轉(zhuǎn)化為邊長(zhǎng)的關(guān)系。解:si nC-si nB=3si nA532Rs in C-2Rsi nB=5-2RsinA AB AC即 AB AC點(diǎn)A的軌跡為雙曲線的右支（去掉頂點(diǎn)）/ 2a=6, 2c=10-a=3,c=5,b=422所求軌跡方程為x1(x3)916點(diǎn)評(píng)：要注意利用定義直接解題，這里由（* ）式直接用定義說(shuō)明了軌跡（雙曲線右支）例5、定長(zhǎng)為3的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)在y=x2上移動(dòng)，AB中點(diǎn)為M，求點(diǎn)M到x軸 的最短距離。分析：(1)可直接利用拋物線設(shè)點(diǎn)，如設(shè)A(xi,x

12、i2), B(X2, X22),又設(shè)AB中點(diǎn)為M(xoyo)用弦長(zhǎng)公式及中點(diǎn)公式得出y。關(guān)于xo的函數(shù)表達(dá)式，再用函數(shù)思想求出最短距離。(2) M到x軸的距離是一種“點(diǎn)線距離”，可先考慮M到準(zhǔn)線的距離，想到用定義法。解法一：設(shè) A(x 1， xi2)， B(X2, x22)， AB 中點(diǎn) M(x0，yo)(xi X2)2 (xi2 X；)2 則 Xi X2 2xo22Xi X22 yo由得(Xi_X2)2I+(x i+X2)2=9即(X1+X2)2-4XiX2 I+(X 1+X2)2=9由、得 2xix2=(2xo)2-2yo=4xo2-2yo代入得(2xo)2-(8xo2-4yo) i+(2

13、xo)2=9 4yo 4x：9i 4x：24yo 4xo4x(4x：i)94x( i2 9 i 5, yo 5當(dāng)4xo2+仁3 即x0子時(shí)，(yo)min法二：如圖，2MM2aa2 bb2| |af| |bf| |ab| 3yMBAcAir1Bx1IAMBI313MM 2即 MM1-21 42MM15當(dāng)AB經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F時(shí)取得最小值。45 M到x軸的最短距離為 -4點(diǎn)評(píng)：解法一是列出方程組，利用整體消元思想消xi, X2,從而形成yo關(guān)于xo的函數(shù)，這是一種“設(shè)而不求”的方法。而解法二充分利用了拋物線的定義，巧妙地將中點(diǎn)M到x軸的距離轉(zhuǎn)化為它到準(zhǔn)線的距離，再利用梯形的中位線，轉(zhuǎn)化為A、B到準(zhǔn)線的距

14、離和，結(jié)合定義與三角形中兩邊之和大于第三邊(當(dāng)三角形“壓扁”時(shí)，兩邊之和等于第三邊)的屬性， 簡(jiǎn)捷地求解出結(jié)果的，但此解法中有缺點(diǎn)，即沒(méi)有驗(yàn)證AB是否能經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)F,而且點(diǎn)M的坐標(biāo)也不能直接得出。二、韋達(dá)定理法【典型例題】2 2例6、已知橢圓 乂 1(2 m 5)過(guò)其左焦點(diǎn)且斜率為 1的直線與橢圓及準(zhǔn)線m m 1從左到右依次交于 A、B、C、D、設(shè)f(m)=|ABCD| ,( 1)求f(m),(2)求f(m)的最值。分析：此題初看很復(fù)雜，對(duì)f(m)的結(jié)構(gòu)不知如何運(yùn)算，因A、B來(lái)源于“不同系統(tǒng)”A在準(zhǔn)線上,B在橢圓上，同樣C在橢圓上,D在準(zhǔn)線上，可見(jiàn)直接求解較繁，將這些線段“投影”到x軸上，立即可

15、得防f (m) (Xb Xa)J2 (Xd Xc)V2|2|(Xb Xa) (XdXc)2 (Xb Xc) (Xa Xd)2 (XbXc)1yC1D，-F1B7 A0卜2X此時(shí)問(wèn)題已明朗化，只需用韋達(dá)定理即可。2 2解：(1)橢圓1 中，a2=m , b2=m-1 , c2=1，左焦點(diǎn) Fi(-1,0)m m 1則 BC:y=x+1，代入橢圓方程即(m-1)x2+my2-m(m-1)=0得(m-1)x2+m(x+1) 2-m2+m=0/ (2m-1)x2+2mx+2m-m 2=0設(shè) B(x1,y1),C(X2,y2),則X1+X 2=-2m2m 1(25)f(m) | AB CD| 血 |(X

16、b Xa)2(X1 X2) (Xa Xc)2x1(XdXc)X22m2m 1(2) f (m)，-2m 1 12m 1、2(112m當(dāng) m=5 時(shí)，f (m)min10、一 29當(dāng) m=2 時(shí)，f (m)max4.23y。0，將 yo=xo+1，k=1 代入得Xomm2m 1，可見(jiàn)Xb2m2m 1點(diǎn)評(píng)：此題因最終需求Xb Xc，而B(niǎo)C斜率已知為1,故可也用“點(diǎn)差法”設(shè) BC中點(diǎn)為M(x0,y0)，通過(guò)將B、C坐標(biāo)代入作差，得-m當(dāng)然，解本題的關(guān)鍵在于對(duì) f (m) J AB CD|的認(rèn)識(shí)，通過(guò)線段在 x軸的“投影” 發(fā)現(xiàn)f (m) xB xC是解此題的要點(diǎn)。三、點(diǎn)差法與圓錐曲線的弦的中點(diǎn)有關(guān)的

17、問(wèn)題，我們稱(chēng)之為圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題。解圓錐曲線的中點(diǎn)弦問(wèn)題的一般方法是：聯(lián)立直線和圓錐曲線的方程，借助于一元二次 方程的根的判別式、根與系數(shù)的關(guān)系、中點(diǎn)坐標(biāo)公式及參數(shù)法求解。若設(shè)直線與圓錐曲線的交點(diǎn)(弦的端點(diǎn))坐標(biāo)為A(x1, y1)、B(x2,y2)，將這兩點(diǎn)代入圓錐曲線的方程并對(duì)所得兩式作差， 得到一個(gè)與弦AB的中點(diǎn)和斜率有關(guān)的式子，可以大大 減少運(yùn)算量。我們稱(chēng)這種代點(diǎn)作差的方法為點(diǎn)差法”。1. 以定點(diǎn)為中點(diǎn)的弦所在直線的方程x2例1、過(guò)橢圓162y41內(nèi)一點(diǎn)M (2,1)引一條弦，使弦被 M點(diǎn)平分，求這條弦所在直線的方程。解：設(shè)直線與橢圓的交點(diǎn)為 A(x1, y1)、B(x2, y2)

18、M (2,1)為AB的中點(diǎn)x1 x24y1 y22又A、B兩點(diǎn)在橢圓上，則2 2 2 2X1 4y116，X2 4y2162 2 2 2兩式相減得(人x2 ) 4(y1y2 ) 0于是(X1 X2)(X1 X2)4(y1 y2)(y1 y?)0y1y2x-ix241X1X24( y1y2)4 221即 kAB1，故所求直線的方程為 y1扣 2)，即 x 2y 4 0。2例2、已知雙曲線x2 y 1，經(jīng)過(guò)點(diǎn)M (1,1)能否作一條直線I，使I與雙曲線交于 A、B，且點(diǎn)M是線段AB的中點(diǎn)。若存在這樣的直線I，求出它的方程，若不存在，說(shuō)明理由。策略：這是一道探索性習(xí)題，一般方法是假設(shè)存在這樣的直線，

19、然后驗(yàn)證它是否滿足題設(shè)的條件。本題屬于中點(diǎn)弦問(wèn)題，應(yīng)考慮點(diǎn)差法或韋達(dá)定理。解：設(shè)存在被點(diǎn) M平分的弦AB，且A(x1,y1)、B(x2,y2)則X1X22y1y22222X11，X22 上122兩式相減，得1 y.| y2(xi X2)(X! X2)(yi y2)(yi y?) okAB - 22 x-i x2故直線 AB: y 12(x 1)y 12(x 1)由 2 y2消去y，得2x24x 30x122(4)4 2 380這說(shuō)明直線 AB與雙曲線不相交，故被點(diǎn) M平分的弦不存在，即不存在這樣的直線I。評(píng)述：本題如果忽視對(duì)判別式的考察，將得出錯(cuò)誤的結(jié)果，請(qǐng)務(wù)必小心。由此題可看到中點(diǎn)弦問(wèn)題中判

20、斷點(diǎn)的 M位置非常重要。(1)若中點(diǎn)M在圓錐曲線內(nèi)，則被點(diǎn) M平分的弦一 般存在；(2)若中點(diǎn)M在圓錐曲線外，則被點(diǎn) M平分的弦可能不存在。2. 過(guò)定點(diǎn)的弦和平行弦的中點(diǎn)坐標(biāo)和中點(diǎn)軌跡221例3、已知橢圓 J 1的一條弦的斜率為 3,它與直線x丄的交點(diǎn)恰為這條弦的中點(diǎn)75 252M，求點(diǎn)M的坐標(biāo)。1解:設(shè)弦端點(diǎn) P(x1，y1)、Q(X2,y2)，弦 PQ 的中點(diǎn) M(x,yo)，則冷 -人 X22x01 ， y1 y2y02 又y12X121，y22X2175257525兩式相減得25( y1y2)(y1y2)75(x1X2)(X1X2)0即 2 y0(y1y2)3(X1X2)0y1y23X

21、1X22 y0ky1y2333，即y。1X1X22y02點(diǎn)M的坐標(biāo)為G，2)。2 222例4、已知橢圓- X 1 ,求它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程。7525解：設(shè)弦端點(diǎn)P(x1, y1)、Q(X2, y2)，弦 PQ 的中點(diǎn) M (x, y)，則2 又y12X112y22X2175257525兩式相減得25( y1y2）（y1y2)75(x1X2)(X1 X2) 0即 y(y1y2) 3x(X1X2）0，y1即竺-y3xX1X2yky1y233x3，即xy 0xiX2y由 X 駡 得 P（ 5J3 5V3）Q（5V35j3）由丄 m 1，得P（ w,_r）Q（丁，丁）7525點(diǎn)M在橢圓內(nèi)5/

22、35,3它的斜率為3的弦中點(diǎn)的軌跡方程為 x y 0（x）2 22x例1已知橢圓 y2 1，求斜率為2的平行弦中點(diǎn)的軌跡方程.2解 設(shè)弦的兩個(gè)端點(diǎn)分別為 P x1, y-! , Q x2, y2 ， PQ的中點(diǎn)為M x, y2 2則X12y11，（ 1）牛 y221，（2）222 2X1X222X,X2y1y2門(mén)12得:-y1y20，y1y2022XX2又xX2y12x, y1y2 2y,y22，x 4y0.X1X2Q弦中點(diǎn)軌跡在已知橢圓內(nèi)，所求弦中點(diǎn)的軌跡方程為 x 4y 0 （在已知橢圓內(nèi)）2例2 直線l : ax y a 50 （ a是參數(shù)）與拋物線 f ： y x 1的相交弦是AB，則

23、弦AB的中點(diǎn)軌跡方程是解設(shè) A x1, y1、B X2,y2，AB 中點(diǎn) M x, y，則XX22x.Q l : a x 1y 50，l過(guò)定點(diǎn)N 1,5，kABkMNy 5x 122又 y1X11 ，（ 1）y2X21 ，( 2)12 得：yiy2Xix21XjX2X1X2 yiy2kABX1x2XiX22.2x2Q弦中點(diǎn)軌跡在已知拋物線內(nèi),所求弦中點(diǎn)的軌跡方程為y 2x27 (在已知拋物線內(nèi))3. 求與中點(diǎn)弦有關(guān)的圓錐曲線的方程例5、已知中心在原點(diǎn)，一焦點(diǎn)為F(0, .50)的橢圓被直線l : y3x 2截得的弦的中點(diǎn)的一 i橫坐標(biāo)為一，求橢圓的方程。22解：設(shè)橢圓的方程為與a，則a2 b2

24、50設(shè)弦端點(diǎn)P(x1, y1)、Q(X2, y2)，弦 PQ 的中點(diǎn) M(Xo,y)，則Xo2 ,y3X0XiX2 2x0 i, yi y2 2yi2 2 又生生 又 2.2a b2 2y2X21ab兩式相減得b2(yiy2)(yi y2)a2(XiX2)(XiX2)0即 b2( yy2)a2(XiX2)02%y2a2XiX2b聯(lián)立解得a275 ,b2252y所求橢圓的方程是-752xi25例3已知 ABC的三個(gè)頂點(diǎn)都在拋物線y232x上，其中A 2,8，且 ABC的重心G是拋物線的焦點(diǎn)，求直線 BC的方程.解 由已知拋物線方程得 G 8,0 .設(shè)BC的中點(diǎn)為M x0,y0，則A G、M三點(diǎn)共

25、2 2xouuuu_了線，且AG 2GMG分AM所成比為2，于是 128 2yo1 2x 11解得，M 11, 4 .y 4設(shè) B Xl , y1 ,C X2, y2 ，則 y1 y28 .22又 y132x1，（ 1） y232x2，（ 2）2 212 得：y,y232 為 x2 ，kBCy1y232y y2324.BC所在直線方程為y 44 x 11，即 4x y 400.例4已知橢圓2 x2 ab 0的一條準(zhǔn)線方程是x1，有一條傾斜角為7的直線交橢圓于A、B兩點(diǎn)，若AB的中點(diǎn)為C1 11 1 ，求橢圓方程24解設(shè)A s、BX2,y2，則%22xy22亍 1，（2）ab222212 得：x

26、1X22y12y2ab,y1y2b221kAB2， aX1X2a222b ， （3）12口X12y1x1,y1y2且 21，（ 1）2ab2y1y2b2 x1X2b2122AX1X2ay1y2a12a又 1，a2 c，（ 4）而 a2c由（3），（4），（5）可得 a2-,b22b2c2，（ 5）221Xy所求橢圓方程為1411244. 圓錐曲線上兩點(diǎn)關(guān)于某直線對(duì)稱(chēng)問(wèn)題2 2例6、已知橢圓 1，試確定的m取值范圍，使得對(duì)于直線 y 4x m，橢圓上總43有不同的兩點(diǎn)關(guān)于該直線對(duì)稱(chēng)。P(x, y)為弦 RP2解：設(shè)R(xi，yi)，P2(X2,y2)為橢圓上關(guān)于直線 y 4x m的對(duì)稱(chēng)兩點(diǎn),的中

27、點(diǎn)，貝V 3xj 4y1，解得 12，3x22 4y22 122 2 2 2兩式相減得，3(X1 X2 ) 4( y1y2 ) 0即 3(X1 X2)(X1 X2)4(y1 y2)(y1 y2)0禺X22x,y1y22y,y 3x這就是弦P F2中點(diǎn)P軌跡方程。它與直線4xm的交點(diǎn)必須在橢圓內(nèi)聯(lián)立yy3x4x，得Xy3m則必須滿足即(3m)22.13132 13135.求直線的斜率2X例5已知橢圓一252y9上不同的三點(diǎn)AX1, y1,B94, C x2, y2與焦點(diǎn)5F 4,0的距離成等差數(shù)列.(1)求證:x(x28 ； (2)若線段AC的垂直平分線與x軸的交點(diǎn)為T(mén) ,求直線BT的斜率k.(

28、1) 證略.(2) 解QX1 X2 8 , 設(shè)線段AC的中點(diǎn)為D 4,y。又A、C在橢圓上,2X12y121, (1)堂2宜 1,(2)2592592 2yy22 得:x-|2x22256.7.yiy2X1x2直線DT9 xix23625 yiy2252y。25y。的斜率kDT確定參數(shù)的范圍例6若拋物線的取值范圍.25 yo36直線DT的方程為25yy0厲6425，即 T 64 ,025， 直線BT的斜率9 0 k -L4 6425C : y2x上存在不同的兩點(diǎn)關(guān)于直線I : y解當(dāng)m0時(shí)，顯然滿足.當(dāng)m 0時(shí)，設(shè)拋物線C上關(guān)于直線l : y m x 33對(duì)稱(chēng)，求實(shí)數(shù)對(duì)稱(chēng)的兩點(diǎn)分別為Xi,%、

29、Q X2,y2，且PQ的中點(diǎn)為X。， yo ，則2y1X1，2（1）y2X2，（ 2）2y2X1X2，kPQy1 y2XiX2y1 y22 yo又kPQm y。Q 中點(diǎn) M x0 ,y0在直線l :y m x2Q中點(diǎn)在拋物線y2m yX0，即綜上可知，所求實(shí)數(shù)證明定值問(wèn)題例7已知AB是橢圓X區(qū)域內(nèi)2m5 肋/且，解得22上,yom x03，于是Xo,10m的取值范圍是10. .2X2a占 1 a b 0不垂直于x軸的任意一條弦,bP是AB的中點(diǎn)，O為橢圓的中心求證:直線AB和直線OP的斜率之積是定值.證明 設(shè) Ax1,y., Bx2,y2且x1x2，yi2y12得:y2X1x2又koP上X12

30、X2(1 )芻a2X2a.2b%x22ay1y2y2X1x28.其它?？瓷先ゲ皇侵悬c(diǎn)弦問(wèn)題,2 y2 b2-2y2(2)b2b2a丄kOPy1 y2XiX22b x1x22a% y22 (定值).a但與之有關(guān)，也可應(yīng)用。例9,過(guò)拋物線y2 2px(p 0)上一定點(diǎn)P( xo, yo)( yo 線于 A( X1,Y1)，B( X2,y2).(1) 求該拋物線上縱坐標(biāo)為 的點(diǎn)到其焦點(diǎn)F的距離；2(2) 當(dāng)PA與PB的斜率存在且傾斜角互補(bǔ)時(shí)，求0 ),作兩條直線分別交拋物y1yo里的值，并證明直線 AB的斜率是非零常數(shù).2 2解(1)略:設(shè) A(y1 ,y1),B(y 2 ,y2)，則kAE=y2y

31、j2y1y2y1yo kP半 2y 1yoy1,kpB yo上yo2y22yoy2yo由題意，kAB=-k AC,y1 yoy2yo，則Y1y22 yo則：kAB=2yo為定值。例1。、拋物線方程y2 p(x 1)(p o)，直線x y t與x軸的交點(diǎn)在拋物線準(zhǔn)線的右邊。(1) 求證：直線與拋物線總有兩個(gè)不同交點(diǎn)(2) 設(shè)直線與拋物線的交點(diǎn)為A、B，且OA丄OB ,求p關(guān)于t的函數(shù)f(t)的表達(dá)式。(1 )證明：拋物線的準(zhǔn)線為1: x 1衛(wèi)4由直線x+y=t與x軸的交點(diǎn)(t，0)在準(zhǔn)線右邊，得t 1 ，而4t p 4 04x y t22由 2消去 y得 x (2t p)x (t p) 0y p

32、(x 1)2 2(2t p) 4(t p) p(4t p 4)0故直線與拋物線總有兩個(gè)交點(diǎn)。(2)解：設(shè)點(diǎn) A(X1, y1),點(diǎn) B(X2, y2)2x1 x2 2t p, x1x2 tQOAOB koAkoB則 x1x2y“2 0又y2(txj(tX2)x1x2.2y*2 t(t 2)pp f(t)丄t4t0得函數(shù)f (t)的定義域是(2 , 0)(0, )【同步練習(xí)】1、已知:F1,22xyF2是雙曲線一22ab1的左、右焦點(diǎn)，過(guò)Fi作直線交雙曲線左支于點(diǎn)A、B，若 AB ABF2的周長(zhǎng)為(A、4aB、4a+mc、4a+2mD、4a-m2、若點(diǎn)P到點(diǎn)F(4,0)的距離比它到直線x+5=0

33、的距離小1,貝U P點(diǎn)的軌跡方程是A、y2=_16xB、 y2=-32xC、y2=16xD、y2=32x且 AB AC ，點(diǎn)3、已知 ABC的三邊AB、BC、AC的長(zhǎng)依次成等差數(shù)列,的坐標(biāo)分別為(-1 , 0), (1 , 0)，則頂點(diǎn)A的軌跡方程是()2 x2y12 x2y1(x0)A、B、43432222xC、y1(x0)xD、y_1(x0 且 y0)4343()A、(x 1)22 y9(x1)B、(x$! 2y!x1)C、x2 (y$1)2D、x(yylx1)5、已知雙曲線x22 y1上一點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為4,則點(diǎn)M到左焦點(diǎn)的距離是9166、拋物線y=2x2截一組斜率為2的平行直線，所得弦中

34、點(diǎn)的軌跡方程是 7、 已知拋物線y2=2x的弦AB所在直線過(guò)定點(diǎn) p(-2，0)，則弦AB中點(diǎn)的軌跡方程是8、過(guò)雙曲線x2-y2=4的焦點(diǎn)且平行于虛軸的弦長(zhǎng)為 10、設(shè)點(diǎn)P是橢圓2x251上的動(dòng)點(diǎn)，F(xiàn)1, F2是橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)，求 sin/ F1PF2的9、 直線y=kx+1與雙曲線x2-y2=1的交點(diǎn)個(gè)數(shù)只有一個(gè)，則k=最大值。11、已知橢圓的中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在x軸上，左焦點(diǎn)到坐標(biāo)原點(diǎn)、右焦點(diǎn)、右準(zhǔn)線的距離依次成等差數(shù)列，若直線I與此橢圓相交于 A、B兩點(diǎn)，且AB中點(diǎn)M為(-2,1), AB 4丿3 ,求直線I的方程和橢圓方程。12、已知直線l和雙曲線2 x2 a2與 1(a 0,b0)及其

35、漸近線的交點(diǎn)從左到右依次為bA、B、C、D。求證:ABCD1、Caf2二 AF22、C參考答案AF, 2a, BF2 BF,y2=16x，選 C3、D2a ,AB 4a, AF2 BF2 AB 4a 2m,選 C點(diǎn)P到F與到x+4=0等距離，P點(diǎn)軌跡為拋物線p=8開(kāi)口向右，則方程為/ ABAC2 2，且 AB AC點(diǎn)A的軌跡為橢圓在y軸右方的部分、又 A、B、C三點(diǎn)不共線，即y豐0，故選4、A設(shè)中心為得 1(2x1)2(2y)2(x, y),則另一焦點(diǎn)為(2x-1 ,1 224，二(x 衛(wèi)2y25、35 29 離為ed3 56、x (y22y)，則原點(diǎn)到兩焦點(diǎn)距離和為又 ca,. . (x 1

36、)2 y2(x-1)2+y2 -)227、y2=x+2(x2)設(shè) A(xi, yi),B(X2,y2), ab中點(diǎn)M(x , y),則2小2y1 2X1, y2c22x2, y12y22(XiX2),竺X1y2(Y12)2X2 kAB kMPy 0x 2又弦中點(diǎn)在已知拋物線內(nèi)yx 2P,即 y22x，即 x+222y2，即 y2=x+228、4 ab24,c8, c 2 2，令 x 2、. 2 代入方程得 8-y 2=4 y2=4 , y= 2，弦長(zhǎng)為49、2 或1 y=kx+1代入 x2-y2=1 得 x2-(kx+1) 2-仁0 (1-k2)x2-2kx-2=00 得 4k2+8(1-k2

37、)=0， k= -i 2 1-k2=0 得 k= 110、解：a2=25, b2=9, c2=16設(shè) F1、F2 為左、右焦點(diǎn)，貝U F1(-4 , 0)F2(4 , 0)、 設(shè) PF1r1 PF2r2 F1 2則 r1 r22r： r/ 2 r! r2 cos(2c)22-得 2門(mén)r2(1+cos 0 )=4b2ypF1F2X4b2- 1+cos 0 =2叩22b2 r1+r22, nr2的最大值為a2- 1+cos 0的最小值為2b22，a即 1+cos 01825cos0725，7arccos -25則當(dāng)2時(shí)，sin0取值得最大值1，11將x 代入y=2x2得y ,軌跡22即sin /

38、F1PF2的最大值為1。2 211、設(shè)橢圓方程為篤71(a ba b2由題意：C、2C、 c成等差數(shù)c列,橢圓方程為2x2bc即a22c2,1，設(shè) A(x 1, a2=2(a2-b2), / a2=2b2yi), B(X2, y2)2X12b2竺2b22b2-得2 2x-ix22b22y1b2塵與k2b bk 0 二 k=1直線AB方程為y-1=x+2即 y=x+3 ,代入橢圓方程即x2+2y2-2b2=0 得 x2+2(x+3)2-2b2=0二 3x2+l2x+18-2b2=0,ABX21 3 ； 12212(18 2b2) 24.3x2解得b2=12,橢圓方程為242y12直線l方程為x-

39、y+3=012、證明:設(shè) A(x 1,y1), D(X2, y2), AD中點(diǎn)為M(xo, yo)直線I的斜率為k，則2X12 a2X2 2 a2b22y2b22x0 2y0-得孑總B(xyJ,C(X2, y2), BC中點(diǎn)為 M (x。, yo)，12x則歹12X2a212篤0b212與0b22yJ成立2x由、知M、M均在直線I :2a岸k若I過(guò)原點(diǎn)，則B、C重合于原點(diǎn)，命題成立0上，而M、M又在直線l上，若I與x軸垂直，則由對(duì)稱(chēng)性知命題若I不過(guò)原點(diǎn)且與x軸不垂直，則 M與M 重合CD四、弦長(zhǎng)公式法若直線l : y kx b與圓錐曲線相交與 A、B兩點(diǎn)，A (x1, y1), B(x2, y

40、2)則弦長(zhǎng) AB , (xi X2)2 (yi y2)2.(X) X2)2 kxi b (kx2b)2Ji k2|x1 x2|AB|=、111 y2特殊的，在如果直線1 k2 i (% x2)2 4x1x2 同理:yil .(y2 yi)2 4丫2力AB經(jīng)過(guò)拋物線的焦點(diǎn)，則|AB|=?般地，求直線與圓錐曲線相交的弦 AB長(zhǎng)的方法是：把直線方程y kx b代入圓錐曲線方程中，得到型如2ax bx c 0的方程，方程的兩根設(shè)為xA， xB，判別式為，則|AB| i k2 |xA xB| i k2 上仝，若直接用結(jié)論，能減少配方、開(kāi)方等運(yùn)算過(guò)|a|程。例 求直線x y 1 0被橢圓x2 4y2 16

41、所截得的線段 AB的長(zhǎng)。結(jié)合圖形的特殊位置關(guān)系，減少運(yùn)算在求過(guò)圓錐曲線焦點(diǎn)的弦長(zhǎng)時(shí)，由于圓錐曲線的定義都涉及焦點(diǎn)，結(jié)合圖形運(yùn)用圓錐曲線的定義，可回避復(fù)雜運(yùn)算。例題1 :已知直線y x 1與雙曲線2C:x2 壬41交于A、B兩點(diǎn),求AB的弦長(zhǎng)解：設(shè)y由2XA (X1, yj, B(X2, y2)x 12y_42 2得 4x (x 1)14 0 得 3x22x 5ABX1則有X1X2X2練習(xí)1 k2 1 (X1X2)24x1x2x21：已知橢圓方程為一22y23舟相交于A、B兩點(diǎn)，求AB的弦長(zhǎng)練習(xí)2:設(shè)拋物線y2 4x截直線y 2x m所得的弦長(zhǎng) AB長(zhǎng)為3、5，求m的值分析：聯(lián)立直線與拋物線的方

42、程，化簡(jiǎn)，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系，求弦長(zhǎng) 解：設(shè) A( x1, y1), B(x2, y2)y聯(lián)立方程2X得 6x2 4xX1則X2X1X2AB2 2k (X1X2)4x1x22.(2)214( 2)2 113解：設(shè) A(x1, y1), B(x2, y2)2聯(lián)立方程：yyX212m4X 得 4x2(4m2x m4)xX1則X1X2AB $1 k2&X例題2:已知拋物線yab分析：a、b兩點(diǎn)關(guān)于直線 的中點(diǎn)在已知直線上解： A、B關(guān)于l : Xx2)24恥2m 43上存在關(guān)于直線x y5、.(廠m)20對(duì)稱(chēng)相異的兩點(diǎn) A B,求弦長(zhǎng)0對(duì)稱(chēng)，則直線AB的斜率與已知直線斜率的積為1且ABo對(duì)稱(chēng)ki k

43、AB 1ki 1kAB 1設(shè)直線 AB 的方程為 y x b ， A( x-i , y1), B(x2, y2)y x b2聯(lián)立方程2化簡(jiǎn)得X2 X b 30yx2 31 1x1 x21AB中點(diǎn)M( , b)在直線x y 0上2 2b 1x2 x 2 0“ X1 x21則12x1 x22AB 1 k2 ,(Xi X2)2 4xiX22( 1)2 8 3 2小結(jié)：在求直線與圓錐曲線相交的弦長(zhǎng)時(shí)一般采用韋達(dá)定理設(shè)而不求的方法，在求解過(guò)程中一般采取步驟為：設(shè)點(diǎn)聯(lián)立方程 消元韋達(dá)定理弦長(zhǎng)公式作業(yè)：(1)過(guò)拋物線y2 4x的焦點(diǎn)，作傾斜角為的直線交拋物線于A , B兩點(diǎn)，且AB 16 求的值3 ,(2)2已知橢圓方程 Xy21及點(diǎn)B(0,22)，過(guò)左焦點(diǎn) F1與B的直線交橢圓于C、D兩點(diǎn)，F(xiàn)2為橢圓的右焦點(diǎn)，求CDF2的面積?！镜湫屠}】 五、數(shù)形結(jié)合法b2 4a 6bt o例1:已知P(a,b)是直線x+2y-仁0上任一點(diǎn)，求S= a2分析：由此根式結(jié)構(gòu)聯(lián)想到距離公式，解：S= (a 2)2 (b 3)2 設(shè) Q(-2,3),則S=