逆矩陣的幾種求法與解析

1、逆矩陣的幾種求法與解析矩陣是線性代數(shù)的主要內(nèi)容 , 很多實際問題用矩陣的思想去解既簡單又快捷 . 逆矩陣又是矩陣理論的很重要的內(nèi)容 , 逆矩陣的求法自然也就成為線性代數(shù)研究的主要內(nèi)容之一 . 本文將給出幾種求逆矩陣的方法 .1. 利用定義求逆矩陣定義 :設(shè)A、B 都是 n 階方陣 , 如果存在 n 階方陣 B 使得 AB= BA = E,則稱 A為可逆矩陣 ,而稱 B為A 的逆矩陣 . 下面舉例說明這種方法的應用 .例1求證 : 如果方陣 A 滿足 AK = 0,那么 E-A是可逆矩陣 ,且（E-A） 1 = E + A + A 2 + +AK 1證明因為 E 與A 可以交換 , 所以(E-

2、A )(E+A + A2 + + A K1 )= E-A K ,因 AK = 0 ,于是得2K 1）=E，(E-A) （ E+A+A + +A同理可得（ E + A + A 2 +AK 1 ）(E-A)=E ，因此 E-A是可逆矩陣 , 且(E-A)1 = E + A + A2 +AK 1 .同理可以證明 (E+ A) 也可逆 , 且(E+ A)1 = E -A + A 2 + +（ -1 ） K 1 AK1 .由此可知 ,只要滿足 AK =0，就可以利用此題求出一類矩陣 EA的逆矩陣 .0100例2設(shè)0200A =00, 求 E-A 的逆矩陣 .030000分析由于 A中有許多元素為零 ,

3、考慮 AK 是否為零矩陣 ,若為零矩陣 ,則可以采用例 2 的方法求 E-A的逆矩陣 .解 容易驗證精品文檔00200006A20006， A300004 =0=000=00， A00000000000而(E-A)(E+A+ A 2 + A 3 )=E, 所以1126(E-A) 1 = E+A+ A 2+ A 30126=01.0300012. 初等變換法求元素為具體數(shù)字的矩陣的逆矩陣，常用初等變換法 . 如果 A可逆，則 A可通過初等變換，化為單位矩陣 I ，即存在初等矩陣 1 2S 使P , P, P（1） p1 p2ps A=I，用 A1 右乘上式兩端，得：（ 2） p1 p2ps I=

4、 A 1比較（ 1）（2）兩式，可以看到當 A通過初等變換化為單位矩陣的同時，對單位矩陣 I 作同樣的初等變換，就化為A的逆矩陣 A 1 .用矩陣表示（ A I ）初等行變換為（ I A1 ），就是求逆矩陣的初等行變換法，它是實際應用中比較簡單的一種方法. 需要注意的是，在作初等變換時只允許作行初等變換 . 同樣，只用列初等變換也可以求逆矩陣 .231例1 求矩陣 A的逆矩陣 . 已知 A= 013 .125231100125001解 A I013 01 0013 01 01250012311001250011001 / 613 / 64 / 30130100101 / 23 / 210011

5、/ 61/ 6 1/ 30011 / 61/ 61/ 3。1 歡迎下載精品文檔1/ 613 / 64 / 3故A1 =1 / 23 / 21.1/ 61 / 61/ 3在事先不知道 n階矩陣是否可逆的情況下，也可以直接用此方法. 如果在初等變換過程中發(fā)現(xiàn)左邊的矩陣有一行元素全為0，則意味著 A不可逆，因為此時表明 A =0，則 A 1 不存在 .123例2求 A= 456.789123100123100解 A E= 4560100364107890010612701123100036410 .000121由于左端矩陣中有一行元素全為0，于是它不可逆，因此 A不可逆 .3. 伴隨陣法定理 n 階

6、矩陣 A=a ij 為可逆的充分必要條件是A非奇異 . 且A11A21.An1A 1 = 1A12A22.An 2A. . . .A1nA2n.Ann其中 Aij 是 A 中元素 a ij的代數(shù)余子式 .A11A21.An1= 1A .矩陣 A12A22.An 2 稱為矩陣 A的伴隨矩陣，記作 A ，于是有 A 1*. .AA1nA2 n.Ann證明必要性：設(shè)A可逆，由A A 1 =I ，有AA1= I，則A A1= I，所以，A 0即 A為非奇異 .充分性：設(shè)A為非奇異，存在矩陣。2 歡迎下載精品文檔A11A21.An 1B= 1A12A22.An 2，A. . . .A1nA2 n.Ann

7、其中a11a12.a1nA11A21.An 1a21a22.a2n1A12A22.An 2AB=A. . . . . . .an1an 2.annA1nA2 n.AnnA0.010.0= 10A.001.0.A .=IA . .1 .00.A00.1同理可證 BA=I.由此可知，若 A可逆，則 A 1 = 1A * .A用此方法求逆矩陣，對于小型矩陣，特別是二階方陣求逆既方便、快陣，又有規(guī)律可循 . 因為二階可逆矩陣的伴隨矩陣， 只需要將主對角線元素的位置互換， 次對角線的元素變號即可 .若可逆矩陣是三階或三階以上矩陣，在求逆矩陣的過程中，需要求 9個或 9個以上代數(shù)余子式，還要計算一個三階或

8、三階以上行列式，工作量大且中途難免出現(xiàn)符號及計算的差錯 . 對于求出的逆矩陣是否正確，一般要通過AA 1 =I 來檢驗 . 一旦發(fā)現(xiàn)錯誤，必須對每一計算逐一排查.4分塊矩陣求逆法4.1. 準對角形矩陣的求逆命題設(shè)A11 、A22 都是非奇異矩陣，且 A11為n階方陣， A22 為m階方陣A110A11100A220A221證明因為 A = A110=A11A220,所以 可逆0A22A.設(shè) A 1XYXYA110I n0=，于是有ZW0A22=,ZW0I m。3 歡迎下載精品文檔其中 X A11=In， Y A22=0，Z A11=0，W A=Im. 又因為 A11、A22都可逆，用 A1、2

9、211A22 1 分別右乘上面左右兩組等式得：X= A11 1 ，Y=0，Z=0，W= A22 11故A21 =A11010 A22把上述結(jié)論推廣到每一個子塊都是非奇異矩陣的準對角形狀矩陣中去，即：A111A1A2=A21.AkAk14.2. 準三角形矩陣求逆命題設(shè)A11 、A22 都是非奇異矩陣，則有A11A121A111A111 A12 A221=0A220A22 1證明因為A11A12IA111 A12=A1100A220I0A22兩邊求逆得IA111 A121A11A12110=A110I0A2201A22A11A121IA111 A12A1110所以=0A220I0A22 1= A1

10、11A111 A12 A2210A221同理可證A1101A1110=A21A22A1111A21 A22A221此方法適用于大型且能化成對角子塊陣或三角塊陣的矩陣.是特殊方陣求逆的一種方法，并且在求逆矩陣之前，首先要將已給定矩陣進行合理分塊后方能使用.5. 恒等變形法。4 歡迎下載精品文檔恒等變形法求逆矩陣的理論依據(jù)為逆矩陣的定義，此方法也常用與矩陣的理論推導上 . 就是通過恒等變形把要求的值化簡出來，題目中的逆矩陣可以不求，利用AA 1 =E，把題目中的逆矩陣化簡掉。100例1計算（ A+4E） T （4E-A） 1 （ 16E-A2 ）的行列式，其中 A= 120141解令(A4 )T

11、( 4)1 (16EA2 ) =DEEAD=(A4 ) T(4)1 (16A2 )EEAE=( 4) T(4E)1 ( 4)(4)EAAEA EA= (4EA)T (4EA) = (4E2A) .雖然題目中出現(xiàn)了（ 4E-A） 1 . 但是經(jīng)過化簡之后不再出現(xiàn)此式，因此得2D=4EA =22500.例2已知 n 階矩陣 A滿足 A2 +2A-3E=0.求證： A+4E可逆并求出 A+4E的逆 .證明把A2 +2A-3E=0變形為 A2 +2A-8E=-5E，即（A+4E）（ A-2E）=-5E，可得（ A+4E）（ -A/5+2E/5 ）=E，所以存在一個矩陣 B=-A/5+2E/5 ，使（

12、A+4E） B=E，由定義得 A+4E可逆，且（A+4E） 1 =B=-A/5+2E/5.另外，有些計算命題中雖出現(xiàn)逆矩陣，但通過適當?shù)木仃囘\算可消去，因而不必急于求出逆矩陣 .6利用線性方程組求逆矩陣6.1若 n階矩陣 A可逆，則 A A 1 =E，于是 A1 的第 j 列Xj 是線性方程組 AXj=Ej的解，j=1,2,n, E j 是第 j 個分量是 1的單位向量 . 因此，我們可以去解線性方程組AX=B，其中 B=(b 1 ,b 2 , ,b n ) T ,然后在所求的解中把 B=(b 1 ,b 2 , ,b n ) T 列，分別用E1=(1,0,0,0)T ，E=(0,1,0, ,0

13、)T ，2。5 歡迎下載精品文檔 ，E =(0,0,0, ,1) Tn-1= (X 1 ,X 2, ,X n ). 這種方法在某些代替，便可以求得 A 1 的第 1，2，n列，所以 A時候可能比初等變換法求逆矩陣稍微簡一點. 下面例子說明該方法的應用 .6.2 若 n階矩陣 A可逆，則 A A 1 =E-1= X=(x 1 ,x 2 , ,x n ) TE=B=(b 1 ,b 2 , ,b n ) T (x,b皆為行向量 )令 A則 A A 1 =E變?yōu)?AX=B因此，我們可以去解線性方程組AX=B， 然后把所求的解的公式中的b 1 ,b 2 , ,b n分別用b 1=(1,0,0,0) ，b

14、 2 =(0,1,0, ,0) ， ，b n =(0,0,0, ,1)代替，便可以求得 x 1 ,x2 ,x 3 ,x 4-1= X=(x 1 ,x 2 , ,x n )T,x 5 ，所以 A3100003100例求矩陣 A= 00310的逆矩陣 .0003100003解設(shè)X=(x 1 ,x 2 ,x 3 ,x 4 ,x 5 ) T ,B=(b 1 ,b2 ,b 3 ,b 4 ,b 5 ) T 解方程組 AX=B，即：3x1x2b13x2x3b23x3x4b33x4x5b43x5b5解得：。6 歡迎下載精品文檔x13 5 (34 b1 33 b232 b33b4b5 ) 3 1 b13 2 b

15、23 3 b33 4 b4 3 5 b5x2 3 4 (33 b232 b33b4b5 ) 3 1 b23 2 b33 3 b43 4 b5x3 3 3 (32 b33b4b5 ) 3 1 b33 2 b43 3 b5x4 3 2 (3b4b5 )3 1 b43 2 b5x53 1 b5然后把 B=(b 1 ,b2 , ,b n ) T 列，分別用E1=(1,0,0, ,0)T ，E2 =(0,1,0,0)T ， ，En =(0,0,0,1)T代入，得到矩陣 A 1 的第 1，2 ， 3，4，5列，分別為X1 =( 3 1 ,0,0,0,0)T ,X2 =(-32 , 3 1 ,0,0,0)T

16、 ,X3 =(33 ,-32 , 3 1 ,0,0) T ,X4 =(-34 ,33 ,-32 ,3 1 ,0)T ,X5 =(35 ,-34 ,33 ,-32 , 3 1 ) T3 13 23 33 43 503 13 23 33 4A 1 = 003 13 23 3.0003 13 200003 1這種方法特別適用于線性方程組 AX=B比較容易求解的情形，也是很多工程類問題的解決方法 .以上各種求逆方法只是我的一些粗淺的認識，也許有很多的不當之處，我希望我的這篇文章能給大家?guī)韼椭?，能幫助我們更快更準地解決好繁瑣的求逆矩陣問題 . 同時，它還是我們更好的學習線性代數(shù)的必備基礎(chǔ)知識， 認真掌

17、握它，可供我們以后繼續(xù)在數(shù)學方面深造打下堅實的基礎(chǔ) . 但我很希望各位老師和同學給于指導 . 能使我的這篇文章更加完善和實用 .。7 歡迎下載精品文檔參 考 文 獻1北京大學數(shù)學系幾何與代數(shù)教研室代數(shù)小組.高等代數(shù) M .北京 :高等教育出版社 , 2001.2 楊明順 . 三角矩陣求逆的一種方法 J . 渭南師范學院學報 , 2003.3 丘維聲 . 高等代數(shù) M . 北京 : 高等教育出版社 ,2001.4 楊子胥 . 高等代數(shù)習題集 M . 濟南 : 山東科學技術(shù)出版社 ,1984.5 趙樹原 . 線性代數(shù) M . 北京 : 中國人民大學出版社 ,1997.6李宗鐸 .求逆矩陣的一個方法 J .數(shù)學通報 ,1983.7 賀福利等 . 關(guān)于矩陣對角化的幾個條件 J .高等函授學報 ( 自然科學版 ) ,2004 , (1)8 張禾瑞 . 郝炳新 . 高等代數(shù) M. 北京 : 高等教育出版社 .1999.9 王永葆 . 線性代數(shù) M. 長春：東北大學出版社 .2001.10 同濟大