2020-2021學(xué)年人教A版數(shù)學(xué)選修2-1學(xué)案：2.4.1　拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程 Word版含解析

1、2.4.1拋物線及其標(biāo)準(zhǔn)方程目標(biāo) 1.掌握拋物線的定義及焦點(diǎn)、準(zhǔn)線的概念.2.會求簡單的拋物線的方程重點(diǎn) 拋物線的定義及其標(biāo)準(zhǔn)方程的應(yīng)用難點(diǎn) 拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的四種形式知識點(diǎn)一拋物線的定義填一填平面內(nèi)與一個定點(diǎn)f和一條定直線l(l不經(jīng)過點(diǎn)f)距離相等的點(diǎn)的軌跡叫做拋物線點(diǎn)f叫做拋物線的焦點(diǎn)，直線l叫做拋物線的準(zhǔn)線答一答1在拋物線定義中，若去掉條件“l(fā)不經(jīng)點(diǎn)f”，點(diǎn)的軌跡還是拋物線嗎？提示：不一定是拋物線，當(dāng)直線l經(jīng)過點(diǎn)f時，點(diǎn)的軌跡是過定點(diǎn)f，且垂直于定直線l的一條直線；l不經(jīng)過點(diǎn)f時，點(diǎn)的軌跡是拋物線2拋物線定義中有“一個動”及“三個定”，分別指什么？提示：一個動點(diǎn)，設(shè)為m；一個定點(diǎn)f(拋物線

2、的焦點(diǎn))；一條定直線(拋物線的準(zhǔn)線)；一個定值(點(diǎn)m到點(diǎn)f的距離與它到定直線的距離之比等于1)，定值實(shí)現(xiàn)了距離間的轉(zhuǎn)化，為解題帶來了方便知識點(diǎn)二拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程填一填答一答3拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程中的參數(shù)p有什么作用？提示：參數(shù)p稱為焦準(zhǔn)距或焦參數(shù)，可根據(jù)p求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程；求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程時，也只需確定參數(shù)p.4如何記憶拋物線的四種標(biāo)準(zhǔn)方程？提示：(1)方程特點(diǎn)：焦點(diǎn)在x軸上，x是一次項(xiàng)，y是平方項(xiàng)；焦點(diǎn)在y軸上，y是一次項(xiàng)，x是平方項(xiàng)(2)一次項(xiàng)表明焦點(diǎn)所在軸，它的符號表明開口方向，有如下口訣：焦點(diǎn)軸一次項(xiàng)，符號確定開口向；若y是一次項(xiàng)，負(fù)時向下正向上；若x是一次項(xiàng)，負(fù)時向左正向右

3、5拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程y22px(p0)與二次函數(shù)yax2(a0)有什么區(qū)別？提示：y22px(p0)與yax2(a0)對應(yīng)的圖形都是拋物線形，但開口方向和對稱軸都不一樣y22px(p0)：焦點(diǎn)(，0)，對稱軸為x軸；yax2(a0)，即x2y，焦點(diǎn)(0，)，對稱軸為y軸1對拋物線定義的理解(1)定義條件：直線l不經(jīng)過定點(diǎn)f.(2)一動三定：“一動”，即動點(diǎn)p；“三定”，即定點(diǎn)f，定直線l和定值，也就是p到定點(diǎn)f與到定直線的距離的比值是定值1.2拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程的特點(diǎn)(1)方程特點(diǎn)：拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是關(guān)于x，y的二元二次方程，等號的左邊是其中一個變量的平方，另一邊是另一個變量的一次項(xiàng)(2)參數(shù)p：在

4、拋物線的方程中只有一個參數(shù)p，它的幾何意義是焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，因此p0，p越大，拋物線開口越開闊，反之越扁狹(3)四種標(biāo)準(zhǔn)方程的位置的相同點(diǎn)：原點(diǎn)在拋物線上；焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上；準(zhǔn)線與焦點(diǎn)在原點(diǎn)兩側(cè)，且準(zhǔn)線與其中一條坐標(biāo)軸垂直.類型一求拋物線的焦點(diǎn)及準(zhǔn)線【例1】指出下列拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程并說明拋物線開口方向(1)yx2；(2)xay2(a0)【分析】首先根據(jù)拋物線的方程確定拋物線是哪一種類型，求出p.再寫出焦點(diǎn)坐標(biāo)和準(zhǔn)線方程【解】(1)拋物線yx2的標(biāo)準(zhǔn)形式為x24y，p2，焦點(diǎn)坐標(biāo)是(0,1)，準(zhǔn)線方程是y1.拋物線開口向上(2)拋物線方程的標(biāo)準(zhǔn)形式為y2x，2p.當(dāng)a0時，拋物線開口向

5、右，焦點(diǎn)坐標(biāo)是，準(zhǔn)線方程是x；當(dāng)a0時，開口向右；a0)，將點(diǎn)(3,2)代入方程得2p或2p，故拋物線方程為y2x或x2y.(2)令x0，由方程x2y40得y2，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(0，2)設(shè)拋物線方程為x22py(p0)，則由2，得2p8，所求拋物線的方程為x28y.令y0，由x2y40得x4，拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為(4,0)設(shè)拋物線方程為y22px(p0)，由4得2p16，所求拋物線的方程為y216x.(3)由題意可得p，則所求拋物線方程為y25x或y25x或x25y或x25y.求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程的關(guān)鍵與方法 (1)關(guān)鍵：確定焦點(diǎn)在哪條坐標(biāo)軸上，進(jìn)而求方程的有關(guān)參數(shù). (2)方法：直接法，建立

6、恰當(dāng)坐標(biāo)系，利用拋物線的定義列出動點(diǎn)滿足的條件，列出對應(yīng)方程，化簡方程；直接根據(jù)定義求p，最后寫標(biāo)準(zhǔn)方程；利用待定系數(shù)法設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程，找有關(guān)的方程組求系數(shù).根據(jù)下列條件求拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程，并求其準(zhǔn)線方程(1)已知拋物線的焦點(diǎn)是f(3,0)；(2)已知拋物線的焦點(diǎn)在y軸的正半軸上，焦點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為3.解：(1)由題意，設(shè)拋物線方程為y22px(p0)3，p6.故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為y212x，其準(zhǔn)線方程為x3.(2)由題意，設(shè)拋物線方程為x22py(p0)p3，故拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程為x26y，其準(zhǔn)線方程為y.類型三拋物線定義的應(yīng)用【例3】o為坐標(biāo)原點(diǎn)，f為拋物線c：y24x的焦點(diǎn)，p為c上一點(diǎn)，若|

7、pf|4，則pof的面積為()a2b2c2d4【分析】由條件及拋物線的定義求出點(diǎn)p的橫、縱坐標(biāo)，則pof的面積易得【解析】由題意知拋物線的焦點(diǎn)f(，0)，如圖，由拋物線的定義知|pf|pm|，又|pf|4，所以xp3，代入拋物線方程求得yp2，所以spof|of|yp2.【答案】c拋物線中經(jīng)常把點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離，或者把點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，然后根據(jù)平面幾何的有關(guān)知識求解.若拋物線y22px(p0)上有一點(diǎn)m.其橫坐標(biāo)為9.它到焦點(diǎn)的距離為10，求拋物線方程和m點(diǎn)的坐標(biāo)解：由拋物線定義，焦點(diǎn)為f(，0)，準(zhǔn)線為x，由題意設(shè)m到準(zhǔn)線的距離為|mn|，則|mn|mf|

8、10，即(9)10，p2.故拋物線方程為y24x，將m(9，y)，代入y24x，解得y6，m(9,6)或m(9，6)類型四素養(yǎng)提升拋物線方程的實(shí)際應(yīng)用【例4】某河上有一座拋物線形的拱橋，當(dāng)水面距拱頂5米時，水面寬8米，一木船寬4米，高2米，載貨的木船露在水面上的部分為0.75米，當(dāng)水面上漲到與拱頂相距多少時，木船開始不能通航？【思路分析】先建立平面直角坐標(biāo)系，確定拋物線的方程，由對稱性知，木船的軸線與y軸重合，問題轉(zhuǎn)化為求出x2時的y值【精解詳析】以橋的拱頂為坐標(biāo)原點(diǎn)，拱高所在的直線為y軸，建立直角坐標(biāo)系(如圖)設(shè)拋物線的方程是x22py(p0)，由題意知點(diǎn)a(4，5)在拋物線上，故162p(

9、5)p，則拋物線的方程是x2y(4x4)，設(shè)水面上漲，木船面兩側(cè)與拋物線形拱橋接觸于點(diǎn)b、b時，木船開始不能通航，設(shè)b(2，y)則22yy.故當(dāng)水面上漲到與拋物線形的拱頂相距2米時，木船開始不能通航【解后反思】本題以應(yīng)用問題描述為載體，利用待定系數(shù)法求拋物線方程，解題中利用點(diǎn)與坐標(biāo)、曲線與方程的對應(yīng)關(guān)系，融進(jìn)參數(shù)的討論，富有新意解決實(shí)際問題時，建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系是解決問題的關(guān)鍵，坐標(biāo)系的選擇直接關(guān)系到解題的繁簡程度如下圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面在l時，拱頂離水面2米，水面寬4米，水位下降1米后，水面寬2米解析：設(shè)水面與橋的一個交點(diǎn)為a，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，則a的坐標(biāo)為(2，2)設(shè)拋物線

10、方程為x22py(p0)，則222p(2)，得p1，故拋物線方程為x22y.設(shè)水位下降1米后水面與橋的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x0，3)，則x6，x0，所以水面寬為2米1焦點(diǎn)是f(0,5)的拋物線的標(biāo)準(zhǔn)方程是(b)ay220xbx220ycy2xdx2y解析：由5得p10，且焦點(diǎn)在y軸正半軸上，故方程形式為x22py，所以x220y.2以直線3x4y120與x軸的交點(diǎn)為焦點(diǎn)的拋物線的方程為(a)ay216xby216xcy212xdy212x解析：因?yàn)榻裹c(diǎn)為直線3x4y120與x軸的交點(diǎn)，所以令y0，得x4，則焦點(diǎn)為(4,0)，故所求拋物線的方程為y216x.3若雙曲線1的右焦點(diǎn)與拋物線y212x的焦點(diǎn)重合，則m6.解析：拋物線焦點(diǎn)為(3,0)，3且m0，則m6.4拋物線y216x上一點(diǎn)p到x軸的距離為12，則點(diǎn)p與焦點(diǎn)f的距離|pf