求極限的方法本科生畢業(yè)論文

1、求極限的方法摘要 求數(shù)列和函數(shù)的極限是數(shù)學(xué)分析的基本運(yùn)算。求極限的主要方法有用定 義,四則運(yùn)算,兩邊夾法則,函數(shù)連續(xù)性等。除這些常規(guī)方法外 ,還有許多技巧 ,這 些技巧隱含在函數(shù)的相關(guān)理論中 , 對(duì)這些技巧進(jìn)行探討歸納 , 不僅有教材建設(shè)的 現(xiàn)實(shí)意義 , 而且便于解決極限相關(guān)問題。在這里簡(jiǎn)單綜述了一些常用的求極限的 方法，目的在于大家更好地學(xué)習(xí)極限，并為以后的學(xué)習(xí)打下堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。關(guān)鍵詞 極限 洛必達(dá)法則 重要極限 等價(jià)無窮小The limit of the methodAbstract For the sequenceand function limit is the basic operat

2、ion mathematical analysis. The main methods used for limit definition, arithmetic, both sides clip law, function, continuity, etc. In addition to the conventional method, but there are many techniques that these skills implicit in the related theory, of the techniques discussed induction, not only h

3、ave the practical significance of the construction of teaching material, and easy to solve the problems related to the limit. Here some commonly used article reviews for the limits of the method, the purpose is to you better learning limit, and for the future study and lay a solid foundation.Key wor

4、d Limit LHospital Rule Important limit Equivalent infinitesimal引言 極限是研究變量變化趨勢(shì)的基本工具，數(shù)學(xué)分析中許多基本概念， 如連續(xù)，導(dǎo)數(shù)，定積分，無窮級(jí)數(shù)都是建立在極限的基礎(chǔ)上，極限方法又是研究 函數(shù)的一種最基本的方法，因此學(xué)好極限在高等數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中具有重要意義。本文介紹了一些求極限的方法有：利用 或 n定義求極限、函數(shù)連續(xù)性求極限、 四則運(yùn)算、兩個(gè)重要極限、等價(jià)無窮小量代替求極限、洛必達(dá)法則、泰勒展式求 極限、微分中值定理、積分中值定理、夾逼準(zhǔn)則等等。那么在運(yùn)用這些方法時(shí)應(yīng) 該注意一些細(xì)節(jié)問題。在利用 或 n定義，求解的關(guān)鍵在

5、于不等式的建立， 在求解過程中往往采用放大、縮小等技巧。運(yùn)用連續(xù)性求極限時(shí)，在定義域范圍 內(nèi)求極限，可以將該點(diǎn)直接代入得極限值，因?yàn)檫B續(xù)函數(shù)的極限值就等于在該點(diǎn) 的函數(shù)值。運(yùn)用極限四則運(yùn)算時(shí)，要注意分子分母有理化，當(dāng)然對(duì)于簡(jiǎn)單的一類， 直接代入，如果代入后分母為零，就化簡(jiǎn)，比如分解因式，然后代入其中。當(dāng)極 限形式中含有三角函數(shù)時(shí)，這時(shí)我們一般可通過三角公式恒等變換和等價(jià)變換，x然后利用重要極限lim 叱 1來求解。在運(yùn)用重要極限lim 1 -e求極限時(shí)，X 0 XXX可通過配系數(shù)法、變量替換來轉(zhuǎn)換成1型極限。在利用等價(jià)無窮小量求極限，那就要求要先熟記幾個(gè)替換了，如：tanx x(x 0)， s

6、inx x(x 0)，也要注 意到只有對(duì)所求函數(shù)式中相乘或相除的因式才能用等價(jià)無窮小量替換 ，而對(duì)于極 限式中的相加或相減的部分則不能隨便替換。 而在運(yùn)用夾逼準(zhǔn)則時(shí)，關(guān)鍵在于構(gòu) 建兩個(gè)函數(shù)f(x)和g(x)。在求極限的過程中，會(huì)經(jīng)常發(fā)現(xiàn)一道題可以運(yùn)用多種方法解答， 因此給我們 的啟示是每種方法之間都有一定的聯(lián)系。那我們?cè)诮忸}時(shí)，最常用的方法是洛必達(dá)法則，等價(jià)無窮小代換，兩個(gè)重要極限公式在做題時(shí)，如果是分子或分母的一 個(gè)因子部分，如果在某一過程中，可以得出一個(gè)不為0的常數(shù)值時(shí)，我們常用數(shù) 值直接代替，進(jìn)行化簡(jiǎn)。也可以用等價(jià)無窮小代換進(jìn)行化簡(jiǎn)， 化簡(jiǎn)之后再考慮用 洛必達(dá)法則。對(duì)0/0和/ /型的，

7、用洛必達(dá)法則，還有一些待定型函數(shù)的極限， 先化為0/0或/的再用此法則。求極限必須是在極限存在的前提下進(jìn)行的，根據(jù)不同的形式可以選擇不同的計(jì)算方法，合理利用各種計(jì)算方法，亦可進(jìn)行適當(dāng)?shù)慕Y(jié)合，使得求極限的方法更明了，算法更加簡(jiǎn)單。1利用 或-N定義設(shè)f為定義在a ,+ )上的函數(shù)，A為定數(shù).若對(duì)人給的 0,存在正數(shù)M ( a)，使得當(dāng)xM時(shí)有：f (x) A ，則稱函數(shù)f當(dāng)x趨于+時(shí)，以A為 極限，記作：lim f (x) A或 f (x) A(x) x例 1 求證 lim (x2 xy y2)7 .(x,y) (2,1)證明x2 xy y2 7 = (x2 4) xy 2 (y2 1)=(x

8、2)(x 2) (x 2)y 2(y 1) (y 1)(y 1)x 2 |x y2+y1|y3，先限制在點(diǎn)(2，1 )的=1的方域：(x,y ) | x 2 1， y 1 1內(nèi)討論，于是有 |y 3 y 1 4|y 1 +45 x y 2 = (x 2) (y 1) 5x 2 + y 1 +57,；|x2 xy y277 x 2 +5 y 1上有定義，x ( a ,b)固定，則定義導(dǎo)數(shù)f (x)為差商y/ x的極限:y . f (x x) f (x)f (x)= lim = limx 0 x x 0X如果f(x)存在且有限，則稱f在點(diǎn)X可導(dǎo).2例 2 求 lim (x ) ctg2x.2解取

9、f(x)=tg2x.則1Xim(x 2)ctg2x 廠亦2limX 2 X2tg2x tg(2 ) lim2X 2X= limX1 1 =12 一2sec 2x|2f (?)y(X) f(-)利用導(dǎo)數(shù)定義求極限時(shí)，要注意判斷題目給的函數(shù)是否可導(dǎo)，若可導(dǎo)，就可以在于構(gòu)造函數(shù)f(x)與X.3利用函數(shù)連續(xù)性求極限若函數(shù)f在X0點(diǎn)處連續(xù),則f在點(diǎn)X0有極限,且極限值等于函數(shù)值f X).可以用連續(xù)性的一種推廣定理：設(shè)復(fù)合函數(shù)f (X)是由函數(shù)y f (u)，u(x)復(fù)合形成的，并且lim (x) a , lim f (u)X X0-f (a)，則 y f (x)在 xXo處的極限存在且limX Xof(

10、x) =啊(X)3f (a).解令ax 1 = y，則xloga(1y),當(dāng)x 0時(shí)，y 0,于是有:Xa 1 lim=limx 0X y 0loga(1 y)= lim=lim y 0 1y 0丄yloga(1 y)loga(1 y)y8yi叫l(wèi)og a(11y)loga e=ln a,由此可見，利用連續(xù)性可以求復(fù)合函數(shù)不連續(xù)點(diǎn)處的極限，只要該函數(shù)滿足定理?xiàng)l件.4利用定積分求幾個(gè)和式的極限利用定積分求幾個(gè)和式的極限時(shí)首先選好恰當(dāng)?shù)目煞e函數(shù)f(x)，取特殊的點(diǎn)，把所求極限的和式表示成f(x)在某區(qū)間a,b上的待定分法(一般是等分)的積分和式的極限，即是所求的極限等于f(x)在a,b上的定積分，

11、因此遇到求一些和式的極限時(shí)，若能將其分化為某個(gè)可積函數(shù)的積分和， 就可以用定積分求 此極限.例4計(jì)算數(shù)列極限lim (x. 1-/2.n3 n3解將數(shù)列通項(xiàng)變形為-1_2.n3令f (x) x，0 x 1它是n等分區(qū)間0，1，k 1 k取區(qū)間-的右端點(diǎn)構(gòu)k n成的積分和。已知函數(shù)f(x) x在0，1可積，于是由定積分求和式有l(wèi)imx1n5利用函數(shù)極限的四則運(yùn)算求極限利用函數(shù)極限的四則運(yùn)算法則求極限是最基本、 最直接的方法，但需注意的 是各個(gè)函數(shù)的極限必須存在且分母的極限不能為零.有些情況下能直接利用極限 的四則運(yùn)算法則，而有時(shí)我們無法直接利用極限的四則運(yùn)算法則， 這時(shí)就要求我 們對(duì)所給的函數(shù)進(jìn)

12、行化簡(jiǎn)變形，之后再利用四則運(yùn)算法則求解 .求02X3 2x2 4xx3 3x24解由于 x 2 時(shí)，x3 2x2 4x 80 , x3 3x240故無法直接用四則運(yùn)算，應(yīng)先化簡(jiǎn)原函數(shù)原式=02x3 2x2 4xx3 3x248=limxx2(x 2) 4(x 2)(x3 2x2) (x24)對(duì)要求的函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變形和化簡(jiǎn),常用的變形或化簡(jiǎn)有：分式的約分或通lim (x2)(x2)(x2)lim (x 2)4x 2 (x2)(x2)(x1)x 2(x 1)3分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函數(shù)的恒等變形、某些求和或求積 公式以及適當(dāng)?shù)淖兞刻鎿Q.6利用兩個(gè)重要極限求函數(shù)的極限靈活運(yùn)用兩個(gè)重

13、要的極限：x.sin x1lim1 lim 1e ，x 0 xxx對(duì)所求的函數(shù)進(jìn)行適當(dāng)變形，將其變?yōu)榕c兩個(gè)重要極限的形式相同，再求解. 例 6（ 1）求 lim 1 cosx .xsin 22 22 =lim（一 ）n o x2一般可通過三角公式恒等變換，然后利用重n x si nx亠1 1丄sinx 2222sin2 -n 0 x sin xn 0 x sin x解血5空=佃當(dāng)極限形式中含有三角函數(shù)時(shí), 要極限lim沁1來求解.X 0 x例 6（ 2）求lim (1色xxa22 xa33 xan、bxn) ，n N .x0 時(shí)，lim (1 axxa22 xa33 x%0=1,x當(dāng)b 0時(shí)，

14、此極限為1型，且故有0tan x sin x3sin x1cosxx3limx(1a1xa22 xa33 xana1a2a3)bx b lim (a2xn2x x xann 1)=時(shí),xlimx(1a1xa22 xa3飛 xan)bx=ea1b，n N. nx對(duì)于這類求極限的題目，可以通過配系數(shù)法、變量替換，來轉(zhuǎn)換成1型極限，函數(shù)中含有幕指函數(shù)時(shí)，往往出現(xiàn)這種情形，這時(shí)可通過變換化成(1 -)x或x1(1 x)x的形式，再利用重要極限求解7利用等價(jià)無窮小量代替求極限例7求limtanx劭吧x 0 sinx解 由于 tanx sinx sinx (1 cosx), cosx2x 0 時(shí)，sin

15、x x ,1 cosx ， sinx3x3,2在利用等價(jià)無窮小量求極限時(shí)應(yīng)注意，只有對(duì)所求函數(shù)式中相乘或相除的因 式才能用等價(jià)無窮小量替換，而對(duì)于極限式中的相加或相減的部分則不能隨便替 換.如在上題中，若用 tanx x(x 0) , sin x x(x 0),而推出 lim tanx 身nx =nm 上_篤 0,則得到的是錯(cuò)誤的結(jié)果 .x 0sinx3x 0sinx38利用洛必達(dá)法則求極限洛必達(dá)法則是以導(dǎo)數(shù)為工具研究不定式極限，只能對(duì)-型和一型的不定式極0限直接使用，其他待定型必須先化成這兩種類型之一，然后再應(yīng)用洛必達(dá)法則 . 利用這種方法求解既簡(jiǎn)單又有效，但并不是任何比式極限都可以按洛必達(dá)

16、法則來 求解,需注意其條件極其繁瑣程度.對(duì)無窮小(大)進(jìn)行降價(jià)處理，使得過未定式一步步的轉(zhuǎn)化，最終分子或是分母中至少有一個(gè)不再是無窮?。ù螅@時(shí)就 可以直接用極限的四則運(yùn)算法則求出結(jié)果.例 8（1）求 limCOSX.x tan x解令f x 1 cosx, g x tan2 x,易知f x、g x在點(diǎn)x0的領(lǐng)域內(nèi)0滿足I叫f x x叫g(shù) x o,且在x0的空心鄰域u（xo）內(nèi)兩者都可導(dǎo),貝ulimx3cos x2I1 cosxf xsinxlim 2 lim limx tan x x g x x 2tanx sec x當(dāng)用洛必達(dá)求解極限不存在時(shí)，不能說明原函數(shù)極限不存在例 8(2)求極限l

17、im xsin xxx sin xsin x解 limlim11,xxxx但用洛必達(dá)法則時(shí)：limxsi nxlim 1 cosx ,極限不存在xxX19利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件求極限利用級(jí)數(shù)收斂的必要條件：若級(jí)數(shù) un收斂lim un 0 ,利用該條件，可以求 n 1n極限,而且利用此條件可以判斷級(jí)數(shù)的斂散性.對(duì)于級(jí)數(shù)收斂性有這樣的一個(gè)推廣定理：設(shè)數(shù)列Xn，對(duì)n=1,2,及某一自然數(shù)P,滿足：yn c1xn c2xn p , GC2，貝U： lim Yn A的必要充分條件是nA 5lim xn.c1C2例9設(shè)數(shù)列一般項(xiàng)為：Xn=a+aqa (n 1)qnq,其中q1,證明Xn收斂，并求其極限.

18、解qXn 1 a2q2q+a(nq迥 +7xnq(nnq1)qqXn 1Xn = a令 yn qXn 1 Xn，則limnyn故由定理知： xn收斂，且lim Xnnq a(q 1)2aq1),x3=cos0 x叫10利用泰勒公式求極限在處理某些特殊函數(shù)（高階函數(shù)或幾種不同類型的初等函數(shù)的混用）的極限 時(shí),用其他方法會(huì)受到一定的限制或是計(jì)算過于繁瑣，則可考慮用泰勒公展式（或 麥克勞林公式）來求極限，但在運(yùn)算過程中，必須注意高階無窮小的運(yùn)算及處理.X2210 求極限 lim CoSX4ex 0x4可,因?yàn)榉帜甘荴的階無窮小,所以只需將分子中各函數(shù)展開到含x4項(xiàng)即2彳 Xcosx 1 24X24o

19、 X5eT因此 cosx e2X2X4x2cosx e 2 limx 04x5o x lim 12 4x 0x4在運(yùn)用泰勒公式時(shí)，將分母中各函數(shù)在xX。點(diǎn)按泰勒公式展開到第n項(xiàng)，n為使新分母不為0的最小項(xiàng)數(shù)，再化簡(jiǎn)得到新的分母，同時(shí)分子也如此展開到與 分母具有同次幕的項(xiàng)止，化簡(jiǎn)得到新分子，然后再求極限 11利用幕級(jí)數(shù)的展開式求極限幕級(jí)數(shù)是一類最簡(jiǎn)單的函數(shù)項(xiàng)級(jí)數(shù)，可以看作是多項(xiàng)式函數(shù)的延伸，因此可 以利用逐項(xiàng)求導(dǎo)、逐項(xiàng)求積分及將利用初等函數(shù)的幕級(jí)數(shù)展開式將復(fù)雜的多項(xiàng)式 簡(jiǎn)單化,進(jìn)而方便求其極限例 11 求 lim x x2lnx解由題可得2 1 lim x x ln 1 x21111limxxo

20、4xx2x23x3xlim11o11x23x2x2(i)在a,b連續(xù)，(ii)在(a,b)可導(dǎo)；則在(a,b)內(nèi)至少存sin (sin x) lim亍x 0x3(sinx x) cos (x sinx) x =limx 0cosx 13x2=x叫sin x = 16x = 612在一點(diǎn) ，使：1f ()f(bbf (a)7ba例12求limsin (si nx)3sin xx 0x解si n(sinx) sin x(sin xx) cos(x sin x) x (0若函數(shù)f(x)滿足:sin x在運(yùn)用此定理時(shí)，首先應(yīng)確定連續(xù)函數(shù)f(x)，再找出范圍(a,b).13夾逼準(zhǔn)則0設(shè) limfx li

21、mgx A ,且在某 U(x0,)內(nèi)有 fx h x g x ,則x X)x xolim h x A.應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則時(shí)，要構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)f (x)和g(x)，使得它們?cè)邳c(diǎn)xx x處的極限相等，而同時(shí)建立不等式使得h(x)在這兩函數(shù)之間，此時(shí)極限就求得.例13求 lim x -X 0 x解當(dāng)x0時(shí),有1 xx丄X1,而 lim 1 x 1x 0故由迫斂性可得：lim X -1 ,X 0X另一方面，當(dāng)x 0時(shí)，有11X1 X ,X故由迫斂性又可得：lim x丄1 ,X 0X1綜上所述，我們可以得出：lim x 11 .x 0X14單調(diào)有界性定理0設(shè)f為定義在U (xo)上的單調(diào)有界函數(shù)，則右極限lim

22、 f x存在.當(dāng)x xxXo，x時(shí)其相應(yīng)的單側(cè)極限在其定義域內(nèi)上述定理亦存在.在運(yùn)用此定理時(shí)，先確定定義域，再證明其單調(diào)性，然后就求極限.例14設(shè)x1 1, xn 1 13,證明：lim人存在,并求之.-人x3證明 X2 - x,若Xk Xk 1,則2XkXk 11Xk1xk 1XkXk 11 Xk 1xk 1所以xn單調(diào)增加，且0焉1Xk 11Xk 12,于是由定理可知:lim xn存在，設(shè)lim xnxa,兩邊求極限，有：a 1a2 a 10,所以lim xnx16柯西準(zhǔn)則在正數(shù)設(shè)函數(shù)f在U(x0,)內(nèi)有定義,lim f xX X)0U(X0,)有:,使得對(duì)任何X, x從定義出發(fā)，一般用于反正法,存在的充要條件是:任給 0,存10函數(shù)列中用的多，主要找準(zhǔn)x ,x ，然后作出 f(x)f(x)的差.例16 求極限lim sinx .xx-inM , x2sin xsin x2任給M 0 ,記n MM ,存在M ,使得則由柯西準(zhǔn)則可知:lim sinx不存在.x17海涅定理（歸結(jié)原理）0 ,設(shè)函數(shù)f在U（x0,）內(nèi)有定義lim f x存在的充要條件是x x:對(duì)任何含于0U(X0,）且以X0為極限的數(shù)列Xn ,極限lim f Xn都存在且相等.此定理的意X義在于把函數(shù)極限歸結(jié)為數(shù)列極限問題來處理，通常利用此定理的逆否命題來判斷極限不存在.1例17求極限lims