求實(shí)系數(shù)一元三次方程根的實(shí)用公式

1、求實(shí)系數(shù)一元三次方程根的實(shí)用公式在數(shù)學(xué)書籍或數(shù)學(xué)手冊(cè)中，對(duì)一元三次方程求根公式的敘述都 是沿用“卡丹公式”，即：對(duì)于一元三次方程：幾削乜設(shè)T -釦簾則它的三個(gè)根的表達(dá)式如下：解:22其中1我們先用該公式解一個(gè)p=9 , q=6,次方程:3 , D=18 ,原方程的三個(gè)根為H = / 3 -I-+3 比= 黃-了 + 3 悶-3：冷片=3 -I-+ 0哲-3 -1 這樣求出的三個(gè)根的表達(dá)式有兩個(gè)不妥之處：其一、當(dāng)卜二時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)根（下文給出證明），但這里的片、乃、旳表達(dá)式不明確。其二、當(dāng)時(shí)，e以及淀E （如此例中的打-3-“壓）違背了現(xiàn)行中等數(shù)學(xué)的表示規(guī)范，也不能具體地求出其值。因此，用“卡

2、丹公式”解出的一元三次方程的根，往往是不實(shí) 用、不直觀、不嚴(yán)密的。F面我們推導(dǎo)一個(gè)實(shí)用的改進(jìn)型求根公式。實(shí)系數(shù)一元三次方程可寫為：二-（ 1）令忑=廠號(hào)，代入（1）得尺刃I （2） 其中 不失一般性，我們只要討論實(shí)系數(shù)一元三次方程 幾昭彳“的求根公式即可。不妨設(shè)p、q均不為零，令y=u+v （ 3）代入（2）得，農(nóng)2+俗岡34勿7 = 口 （4）選擇u v，使得= ，即心專（5）代入（4）得，將（5）式兩邊立方得,(7)聯(lián)立（6）、（ 7）兩式，得關(guān)于的方程組:且吩氣問(wèn)題歸結(jié)于上述方程組的求解。即求關(guān)于t的一元二次方程的兩根又記用的一個(gè)立方根為旳，貝V另兩個(gè)立方根為血?jiǎng)t，廠忖1, 其中叫，叫為

3、1的兩個(gè)立方虛根。以下分三種情形討論: 1）若30 ,即D0,則，、事均為實(shí)數(shù),可求得/二廠+ MS,二45 ,在尸嗎f , |心1菊組成的九個(gè)數(shù)中,=_p_有且只有下面三組滿足妙 3,即坯、叫；比、叫；曬、出，也就是滿足UjP=銳2訐3 = 出巾=卻嚴(yán) - D = - 方程（2）的根為戸旳十乃，乃用內(nèi)+屮M ,旳-眄+ w鬥 這是方程（2）有一個(gè)實(shí)根 兩個(gè)共軛虛根比，旳, 其表達(dá)式就是前面給出的“卡丹公式”的形式， 這里的根式廠及一；一都是在實(shí)數(shù)意義下的。2）若 m,即厲時(shí),可求得u3 = M3 = r，取山珂箭 同理，可求得丹=切+氣 2逅-尋叼 心f嚴(yán)叮跡阿訥=-聽(tīng)學(xué)方程（2）有三個(gè)實(shí)根

4、，其中至少有兩個(gè)相等的實(shí)根。3）若 AD，即 D0 時(shí),，p0則於、L均為虛數(shù)，求出11、并用三角式表示,就有其中T, -都是實(shí)數(shù)，J嚴(yán)+ (刁F =0i：cos&+j sinct)同理幾-芝亟伽-論* 近詢叮其中廣，且一取嗎=（喚號(hào)血號(hào)） 廿號(hào) Fin號(hào)）這三組時(shí)才滿足于是方程（2）得三個(gè)實(shí)根為 兒=坯11, y廠與+叫，/廠眄+叫,具體表示出來(lái)就為:cx-arccos其中當(dāng)時(shí)，方程（2）有三個(gè)實(shí)根。綜上所述，實(shí)系數(shù)一元三次方程小嚴(yán)小的求根公式如下:1）當(dāng)卜時(shí)，方程有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛虛根,2）當(dāng)卜M時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)根，其中至少有兩個(gè)相等的實(shí)根,3）當(dāng)卜胡時(shí)，方程有三個(gè)實(shí)根,并=_ 號(hào)戶伽號(hào)

5、+ jTsiik號(hào)）升伽號(hào)-4血號(hào)） 上面提供的公式，可以求出任意實(shí)系數(shù)一元三次方程的根的具體值，是 實(shí)用性的 這里用以下幾個(gè)解一元三次方程的實(shí)例來(lái)說(shuō)明該公式的應(yīng)用 例一、解方程 八I。解：p= 27， q=54,D=0,原方程的根為廿-呵京，-3例二、解方程心知W解：p=9, q=4，D=310,原方程有一個(gè)實(shí)根和兩個(gè)共軛虛根:片=V- 2+ V- 2 - 51旳=（*十哼）用-2十;質(zhì)十（一 李心/3Tn + 血-V-3-AT)=-*（戶TPT十可- 2_頂）十f卑玄2十應(yīng) -V-2-V5T）片=h =-押-2斗頂 +V-3- V3f）-/例三、解方程b-刼以=。解:p= 9 , q=6,D= 180 ,cc = arcco