完整版勾股定理基礎(chǔ)知識(shí)講解

1、勾股定理（基礎(chǔ)）撰稿：吳婷婷 責(zé)編：常春芳【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 掌握勾股定理的內(nèi)容，了解勾股定理的多種證明方法，體驗(yàn)數(shù)形結(jié)合的思想；2. 能夠運(yùn)用勾股定理求解三角形中相關(guān)的邊長(zhǎng)（只限于常用的數(shù)）；3通過(guò)對(duì)勾股定理的探索解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題，進(jìn)一步運(yùn)用方程思想解決問(wèn)題.【要點(diǎn)梳理】【高清課堂勾股定理知識(shí)要點(diǎn)】要點(diǎn)一、勾股定理直角三角形兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.如果直角三角形的兩直角邊長(zhǎng)分別為a, b，斜邊長(zhǎng)為c ,那么a2 b2c2.要點(diǎn)詮釋：（1）勾股定理揭示了一個(gè)直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系.（2）禾U用勾股定理，當(dāng)設(shè)定一條直角邊長(zhǎng)為未知數(shù)后，根據(jù)題目已知的線段長(zhǎng) 可以建立方程求解，這樣就

2、將數(shù)與形有機(jī)地結(jié)合起來(lái)，達(dá)到了解決問(wèn)題的 目的.1)2a b 2ab.所示的正方形.（3）理解勾股定理的一些變式：2 2 2 2 2 2a c b , b c a ,要點(diǎn)二、勾股定理的證明方法一：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（圖（1）中 E勵(lì)=切，所以二/(3 )(2)方法二：將四個(gè)全等的直角三角形拼成如圖（2）所示的正方形.= e-町？+ 4二口臼，所以亡2 =和+&2 .方法三：如圖（3）所示，將兩個(gè)直角三角形拼成直角梯形.仏皿 =吐= W閱+?，所以盤2+2=2要點(diǎn)三、1.2.3.A、/ B/ C的對(duì)邊分別為a、b、c .【思路點(diǎn)撥】利用勾股定理2 .2a bc2來(lái)求未知邊長(zhǎng).【答案與

3、解析】解：(1)因?yàn)?ABC中，/C= 90a2 b22c , a = 5, b = 12,所以 c2a2 b2 5212225 144169 .所以 c = 13.(2)因?yàn)?ABC中,/C= 90a2 b22c , c = 26, b = 24,所以a2c2 b2262 242676 576100 .所以 a = 10.【總結(jié)升華】已知直角三角形的兩邊長(zhǎng)， 斜邊，再?zèng)Q定用勾股原式還是變式. 舉一反三：【變式】在 ABC中，/ C= 90,/ A 已知 b = 6, c = 10,求 a ； 已知 a:c 3:5 , b = 32,求求第三邊長(zhǎng)，關(guān)鍵是先弄清楚所求邊是直角邊還是/ B/C的對(duì)

4、邊分別為a、b、c .(1)(2) 【答案】解：(1)/ C= 90a2 c2a = 8.(2)設(shè) a 3k , c/ C= 90a2 b2即(3k)2322a、 c.,b = 6, c = 10,2 2 2b 10664 ,5k ,b = 32,2c .(5k)2.解得k = 8.二 a 3k 3 8 24, c 5k 5 8 40.類型二、與勾股定理有關(guān)的證明MNL AB垂足為N,解：因?yàn)镸NL AB,所以AN2 MN 2 AM 2, BN2 MN2MB2,所以AN2 BN22 2AM 2 BM 2因?yàn)锳M是中線，所以 MC= MBAC2,又因?yàn)? C= 90,所以在 Rt AMC中, A

5、M 2 MC 2所以 AN2 BN2 AC2 .【總結(jié)升華】證明帶有平方的問(wèn)題，主要思想是找到直角三角形，利用勾股定理進(jìn)行轉(zhuǎn)化.若 沒(méi)有直角三角形，常常通過(guò)作垂線構(gòu)造直角三角形，再用勾股定理證明.舉一反三：在 ABC中，/ C = 90, D為BC邊的中點(diǎn)，DE丄AB于E,貝U AE2-BE2【變式】如圖，等于 ()2C. BC2D . DE2【答案】連接AD構(gòu)造直角三角形，得，選A.腫-EE Ab- DL-酣+D劈二 AD-防=AD - DC?二曲AB*tDC【答案】D;【解析】解：設(shè) AB= x，貝U AF= x , / ABE折疊后的圖形為 ABEA AFE BE= EF, EC= BC

6、- BE= 8- 3 = 5, 在 Rt EFC 中， 由勾股定理解得AFE,FO 4,在 Rt ABC中,x2 822，解得x 6 、“勾股定理”兩大問(wèn)題，最后通過(guò)勾股定理求解.a, b, c,若a, c的面積分別為5和11,則b的面 11 D 16【思路點(diǎn)撥】本題主要考察了全等三角形與勾股定理的綜合應(yīng)用， CDE由勾股定理可求 b的面積=a的面積+c的面積.【答案】D【解析】解：/ ACB+Z ECD=90 , / DEC+Z ECD=90 ,/ ACB玄 DEC在 ABC和 CDE中，由b是正方形，可求 ABCABC CDEACB DECAC CE ABCA CDE BC=DE AB2

7、BC2 AC2- AB2 DE2 AC2 b的面積為5+11=16，故選D.【總結(jié)升華】此題巧妙的運(yùn)用了勾股定理解決了面積問(wèn)題，考查了對(duì)勾股定理幾何意義的理解能力，根據(jù)三角形全等找出相等的量是解答此題的關(guān)鍵.類型五、利用勾股定理解決實(shí)際問(wèn)題5、一圓形飯盒，底面半徑為 8cm，高為12 cm，若往里面放雙筷子（精細(xì)不計(jì)），那 么筷子最長(zhǎng)不超過(guò)多少，可正好蓋上盒蓋？DC【答案與解析】解：如圖所示，因?yàn)轱埡械酌姘霃綖?cm，所以底面直徑 DC長(zhǎng)為16cm .則在 Rt BCD中，bd2 DC2 BC2=162+122=4OO，所以 BD 20 (cm).答：筷子最長(zhǎng)不超過(guò) 20cm，可正好蓋上盒蓋.其最大距離是以飯盒兩底面的一【總結(jié)升華】本題實(shí)質(zhì)是求飯盒中任意兩點(diǎn)間的最大距離, 對(duì)平行直徑和相應(yīng)的兩條高組成的長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng).舉一反三：5m處斷裂，旗桿頂部落在離底部12m處，則旗桿折【變式】如圖所示，一旗桿在離地面斷前有多高？【答案】解：因