圓冪定理[行穩(wěn)書屋]

1、圓冪定理圓冪定理是對相交弦定理、切割線定理及割線定理（切割線定理推論）以及它們推論統(tǒng)一歸納的結(jié)果。圓冪=PO2-R2（該結(jié)論為歐拉公式） 所以圓內(nèi)的點(diǎn)的冪為負(fù)數(shù)，圓外的點(diǎn)的冪為正數(shù)，圓上的點(diǎn)的冪為零。 相交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。 割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A、B；C、D，則有 PAPB=PCPD。 統(tǒng)一歸納：過任意不在圓上的一點(diǎn)P引兩條直線L1、L2，L1與圓交于A、B（可重合，即切線），L2與圓交于C、D（可重合），則有PAPB=PCPD。問題1相

2、交弦定理：圓內(nèi)的兩條相交弦,被交點(diǎn)分成的兩條線段長的乘積相等。 證明：連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得A=D，C=B。 PACPDB PA/PD=PC/PB PAPB=PCPD 問題2割線定理：從圓外一點(diǎn)P引兩條割線與圓分別交于A.B.C.D 則有 PAPB=PCPD，當(dāng)PA=PB，即直線AB重合，即PA切線時(shí)得到切線定理PA2=PCPD 證明：（令A(yù)在P、B之間，C在P、D之間） ABCD為圓內(nèi)接四邊形 CAB+CDB=180 又CAB+PAC=180 PAC=CDB APC公共 APCDPB PA/PD=PC/PB PAPB=PCPD 切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是

3、這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng) 幾何語言：PT切O于點(diǎn)T，PBA是O的割線 PT2=PAPB（切割線定理） 推論 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等 幾何語言：PBA、PDC是O的割線 PDPC=PAPB（切割線定理推論） 問題3過點(diǎn)P任作直線交定圓于兩點(diǎn)A、B，證明PAPB為定值（圓冪定理）。 證：以P為原點(diǎn)，設(shè)圓的方程為 (x-xO)2+(y-yO)2=a 過P的直線為 x=k1t y=k2t 則A、B的橫坐標(biāo)是方程 (k1t-xO)2+(k2t-yO)2=r2 即 (k12+k22)t2-2(k1xO+k2yO)t+xO2+yO2-r2=0

4、 的兩個(gè)根t1、t2。由韋達(dá)定理 t1t2=(xO2+yO2-2)/(k12+k22) 于是 PAPB=(k1t1)2+(k2t1)2)(k1t2)2+(k2t2)2) =(k12+k22)2|t1|t2| =k12+k22|(xO2+yO2-r2)/(k12+k22)| =|(xO2+yO2-r2)| 為定值，證畢。 圓也可以寫成 x2+y2-2xOx-2yOy+xO2+yO2-a=0 其中a為圓的半徑的平方。所說的定值也就是（原點(diǎn)）與圓心O的距離的平方減去半徑的平方。當(dāng)P在圓外時(shí)，這就是自P向圓所引切線（長）的平方。 這定值稱為點(diǎn)P到這圓的冪。 在上面證明的過程中，我們以P為原點(diǎn)，這樣可以

5、使問題簡化。 如果給定點(diǎn)O，未必是原點(diǎn)，要求出P關(guān)于圓的冪（即OP2-r2），我們可以設(shè)直線AB的方程為 是 的傾斜角， 表示直線上的點(diǎn)與 的距離 將代入得 即 ， 是它的兩個(gè)根，所以由韋達(dá)定理 是定值 是 關(guān)于的冪（當(dāng) 是原點(diǎn)時(shí)，這個(gè)值就是 ）它也可以寫成 即 與圓心 距離的平方減去半徑的平方 當(dāng)P在圓內(nèi)時(shí)，冪值是負(fù)值；P在圓上時(shí)，冪為0；P在圓外時(shí)，冪為正值，這時(shí)冪就是自P向圓所引切線長的平方。 以上是圓冪定理的證明，下面看一看它的應(yīng)用 問題4自圓外一點(diǎn) 向圓引割線交圓于 、 兩點(diǎn)，又作切線 、 ， 、 為切點(diǎn)， 與 相交于 ，如圖8求證 、 、 成調(diào)和數(shù)列，即 證：設(shè)圓的方程為 點(diǎn) 的坐

6、標(biāo)為 ， 的參數(shù)方程為 其中 是 的傾斜角， 表示直線上的點(diǎn) 與 的距離 代入得 即 、 是它的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理 另一方面，直線 是圓的切點(diǎn)弦，利用前邊的結(jié)論， 的方程為 代入得 因此，這個(gè)方程的根 滿足 綜合，結(jié)論成立。 可以證明，當(dāng) 在圓內(nèi)時(shí)，上述推導(dǎo)及結(jié)論仍然成立。 說明：問題4的解決借用了問題3的方法，同時(shí)我們也看到了問題4與問題1、問題2的內(nèi)在聯(lián)系。概念相交弦定理圓內(nèi)的兩條相交弦，被交點(diǎn)分成的兩條線段長的積相等。（經(jīng)過圓內(nèi)一點(diǎn)引兩條弦，各弦被這點(diǎn)所分成的兩段的積相等） 相交弦說明幾何語言： 若弦AB、CD交于點(diǎn)P 則PAPB=PCPD（相交弦定理） 推論：如果弦與直徑垂直相交，那么

7、弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng) 幾何語言： 若AB是直徑，CD垂直AB于點(diǎn)P， 則PC2=PAPB（相交弦定理推論） 如何證明證明：連結(jié)AC，BD，由圓周角定理的推論，得A=D，C=B。（圓周角推論2: 同(等)弧所對圓周角相等.） PACPDB，PAPD=PCPB，PAPB=PCPD 注：其逆定理可作為證明圓的內(nèi)接四邊形的方法. P點(diǎn)若選在圓內(nèi)任意一點(diǎn)更具一般性。 其逆定理也可用于證明四點(diǎn)共圓。 比較相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)以及他們的推論統(tǒng)稱為圓冪定理。一般用于求線段長度。直角三角形射影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜邊上的高是

8、兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。 公式RtABC中,BAC=90,AD是斜邊BC上的高,則有射影定理如下:(1)(AD)2;=BDDC, (2)(AB)2;=BDBC , (3)(AC)2;=CDBC 。 等積式 (4)ABXAC=BCXAD(可用面積來證明)直角三角形射影定理簡介所謂射影，就是正投影。直角三角形射影定理（又叫歐幾里德(Euclid)定理）：直角三角形中，斜邊上的高是兩直角邊在斜邊上射影的比例中項(xiàng)。每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項(xiàng)。 公式: 如圖，RtABC中，ABC=90，BD是斜邊AC上的高，則有

9、射影定理如下： （1）(BD)2=ADDC， （2）(AB)2=ADAC ， （3）(BC)2=CDCA 。 等積式 （4）ABBC=ACBD(可用“面積法”來證明） 直角三角形射影定理的證明 射影定理簡圖(幾何畫板)：（主要是從三角形的相似比推算來的）一、 在BAD與BCD中，ABD+CBD=90，且CBD+C=90， ABD=C， 又BDA=BDC=90 BADCBD AD/BD=BD/CD 即BD2=ADDC。其余同理可得可證 注：由上述射影定理還可以證明勾股定理。 有射影定理如下： AB2=ADAC，BC2=CDCA 兩式相加得： AB2+BC2=ADAC+CDAC =（AD+CD)A

10、C=AC2 . 即AB2+BC2=AC2（勾股定理結(jié)論）。 二、 已知:三角形中角A=90度,AD是高. 用勾股證射影 AD2=AB2-BD2=AC2-CD2, 2AD2=AB+AC-BD-CD=BC-BD-CD=(BD+CD)-(BD+CD)=2BDCD. 故AD2=BDCD. 運(yùn)用此結(jié)論可得:AB=BD+AD=BD+BDCD=BD(BD+CD) =BDBC, AC=CD+AD=CD+BDCD=CD(BD+CD)=CDCB. 綜上所述得到射影定理。同樣也可以利用三角形面積知識進(jìn)行證明。 任意三角形射影定理任意三角形射影定理又稱“第一余弦定理”： ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A

11、、B、C，則有 a=bcosC+ccosB， b=ccosA+acosC， c=acosB+bcosA。 注：以“a=bcosC+ccosB”為例，b、c在a上的射影分別為bcosC、ccosB，故名射影定理。 證明1：設(shè)點(diǎn)A在直線BC上的射影為點(diǎn)D，則AB、AC在直線BC上的射影分別為BD、CD，且 BD=ccosB，CD=bcosC，a=BD+CD=bcosC+ccosB. 同理可證其余。 證明2：由正弦定理，可得：b=asinB/sinA，c=asinC/sinA=asin(A+B)/sinA=a(sinAcosB+cosAsinB)/sinA =acosB+(asinB/sinA)co

12、sA=acosB+bcosA. 同理可證其它的。 射影定理 - 面積射影定理面積射影定理：“平面圖形射影面積等于被射影圖形的面積S乘以該圖形所在平面與射影面所夾角的余弦?！?COS=S射影/S原 (平面多邊形及其射影的面積分別是S原,S射影,它們所在平面所成銳二面角的為) 證明思路：因?yàn)樯溆熬褪菍⒃瓐D形的長度（三角形中稱高）縮放，所以寬度是不變的，又因?yàn)槠矫娑噙呅蔚拿娣e比=邊長的平方比。所以就是圖形的長度（三角形中稱高）的比。那么這個(gè)比值應(yīng)該是平面所成角的余弦值。在兩平面中作一直角三角形，并使斜邊和一直角邊垂直于棱（即原多邊形圖的平面和射影平面的交線），那么三角形的斜邊和另一直角邊就是其多邊形

13、的長度比，即為平面多邊形的面積比，而將這個(gè)比值放到該平面三角形中去運(yùn)算，即可。切割線定理定理切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長的比例中項(xiàng)。是圓冪定理的一種。 切割線定理示意圖幾何語言： PT切O于點(diǎn)T，PBA是O的割線 PT的平方=PAPB（切割線定理）推論： 從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長的積相等 幾何語言： PT是O切線，PBA，PDC是O的割線 PDPC=PAPB（切割線定理推論）(割線定理） 由上可知:PT2（平方）=PAPB=PCPD 證明切割線定理證明: 設(shè)ABP是O的一條割線，PT是O的一條切線，切點(diǎn)為

14、T，則PT2=PAPB 證明：連接AT, BT PTB=PAT(弦切角定理) 切割線定理的證明P=P(公共角) PBTPTA(兩角對應(yīng)相等,兩三角形相似) 則PB：PT=PT：AP 即：PT2=PBPA 比較相交弦定理、切割線定理及割線定理(切割線定理推論)以及他們的推論統(tǒng)稱為圓冪定理。一般用于求直線段長度。正弦定理定理概述在ABC中，角A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則有 a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R（R為三角形外接圓的半徑） 正弦定理(Sine theorem)（1）已知三角形的兩角與一邊，解三角形 （2）已知三角形的兩邊和其中一邊所對的角，解三角形 （3）運(yùn)用a：b

15、：c=sinA：sinB：sinC解決角之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系 直角三角形的一個(gè)銳角的對邊與斜邊的比叫做這個(gè)角的正弦。 證明步驟1 在銳角ABC中，設(shè)BC=a，AC=b，AB=c。作CHAB垂足為點(diǎn)H CH=asinB CH=bsinA asinB=bsinA 得到 a/sinA=b/sinB 同理，在ABC中， b/sinB=c/sinC 步驟2. 證明a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R： 如圖，任意三角形ABC,作ABC的外接圓O. 作直徑BD交O于D. 連接DA. 因?yàn)樵谕瑘A或等圓中直徑所對的圓周角是直角，所以DAB=90度 因?yàn)樵谕瑘A或等圓中同弧所對的圓周角相等，所以D等于ACB.

16、 所以c/sinC=c/sinD=BD=2R 類似可證其余兩個(gè)等式。 意義正弦定理指出了任意三角形中三條邊與對應(yīng)角的正弦值之間的一個(gè)關(guān)系式。也就是任意三角形的邊角關(guān)系。 余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問題，若對余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識，則使用起來更為方便、靈活。 余弦定理性質(zhì) 對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a,b,c 三角為A,B,C ，則滿足性質(zhì) a2 = b2 + c2 - 2bccosA b2 = a2 + c2 - 2accosB c

17、2 = a2 + b2 - 2abcosC cosC = (a2 + b2 - c2) / (2ab) cosB = (a2 + c2 - b2) / (2ac) cosA = (c2 + b2 - a2) / (2bc) （物理力學(xué)方面的平行四邊形定則中也會用到） 第一余弦定理（任意三角形射影定理） 設(shè)ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有 a=bcos C+ccos B， b=ccos A+acos C， c=acos B+bcos A。 余弦定理的證明平面向量證法 如圖，有a+b=c (平行四邊形定則：兩個(gè)鄰邊之間的對角線代表兩個(gè)鄰邊大?。?cc=(a+b)(a+b

18、) c2=aa+2ab+bbc2=a2+b2+2|a|b|Cos(-) （以上粗體字符表示向量） 又Cos(-)=-CosC c2=a2+b2-2|a|b|cos（注意：這里用到了三角函數(shù)的公式） 再拆開，得c2=a2+b2-2*a*b*cosC 即 cosC=(a2+b2-c2)/2*a*b 同理可證其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。 平面幾何證法 在任意ABC中 做ADBC. C所對的邊為c，B所對的邊為b，A所對的邊為a 則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根據(jù)勾股定理可得： AC2=AD2+D

19、C2 b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2 b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2 b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2 b2=c2+a2-2ac*cosB cosB=(c2+a2-b2)/2ac 三角形面積公式1.海倫-秦九韶公式: 設(shè)P=(a+b+c)/2 SABC=P(P-a)(P-b)(P-c) 解釋：假設(shè)有一個(gè)三角形，邊長分別為a、b、c，三角形的面積S可由以下公式求得： S=p(p-a)(p-b)(p-c) 而公式里的p為半周長： p=(a+b+c)/2 2.SABC=(ab/2)sinC=(bc/2)sinA=

20、(ac/2)sinB=abc/(4R)R為外接圓半徑 3.SABC=ah/2 正弦定理的變形公式(1) a=2RsinA, b=2RsinB, c=2RsinC; (2) sinA : sinB : sinC = a : b : c; （條件同上） 在一個(gè)三角形中，各邊與其所對角的正弦的比相等，且該比值都等于該三角形外接圓的直徑已知三角形是確定的，利用正弦定理解三角形時(shí)，其解是唯一的；已知三角形的兩邊和其中一邊的對角，由于該三角形具有不穩(wěn)定性，所以其解不確定，可結(jié)合平面幾何作圖的方法及“大邊對大角，大角對大邊”定理和三角形內(nèi)角和定理去考慮解決問題 (3)相關(guān)結(jié)論： a/sinA=b/sinB=

21、c/sinC=(a+b)/(sinA+sinB)=(a+b+c)/(sinA+sinB+sinC) c/sinC=c/sinD=BD=2R（R為外接圓半徑） （4）設(shè)R為三角外接圓半徑，公式可擴(kuò)展為：a/sinA=b/sinB=c/sinC=2R,即當(dāng)一內(nèi)角為90時(shí)，所對的邊為外接圓的直徑。靈活運(yùn)用正弦定理，還需要知道它的幾個(gè)變形 sinA=a/2R,sinB=b/2R,sinC=c/2R asinB=bsinA,bsinC=csinB,asinC=csinA （5）a=bsinA/sinB sinB=bsinA/a余弦定理余弦定理（第二余弦定理）余弦定理是揭示三角形邊角關(guān)系的重要定理，直接運(yùn)

22、用它可解決一類已知三角形兩邊及夾角求第三邊或者是已知三個(gè)邊求角的問題，若對余弦定理加以變形并適當(dāng)移于其它知識，則使用起來更為方便、靈活。 直角三角形的一個(gè)銳角的鄰邊和斜邊的比值叫這個(gè)銳角的余弦值 余弦定理性質(zhì)對于任意三角形，任何一邊的平方等于其他兩邊平方的和減去這兩邊與它們夾角的余弦的兩倍積，若三邊為a，b，c 三角為A，B，C ，則滿足性質(zhì) a2 = b2+ c2 - 2bccosA b2 = a2 + c2 - 2accosB c2 = a2 + b2 - 2abcosC cosC = (a2 + b2 - c2) / (2ab) cosB = (a2 + c2 -b2) / (2ac)

23、cosA = (c2 + b2 - a2) / (2bc) （物理力學(xué)方面的平行四邊形定則中也會用到） 第一余弦定理（任意三角形射影定理） 設(shè)ABC的三邊是a、b、c，它們所對的角分別是A、B、C，則有 a=bcos C+ccos B， b=ccos A+acos C， c=acos B+bcos A。 余弦定理證明平面向量證法 如圖，有a+b=c (平行四邊形定則：兩個(gè)鄰邊之間的對角線代表兩個(gè)鄰邊大小） cc=(a+b)(a+b) c2=aa+2ab+bbc2=a2+b2+2|a|b|Cos(-) （以上粗體字符表示向量） 又Cos(-)=-Cos c2=a2+b2-2|a|b|Cos（注意

24、：這里用到了三角函數(shù)公式） 再拆開，得c2=a2+b2-2*a*b*CosC 即 CosC=(a2+b2-c2)/2*a*b 同理可證其他，而下面的CosC=(c2-b2-a2)/2ab就是將CosC移到左邊表示一下。 平面幾何證法在任意ABC中 做ADBC. C所對的邊為c，B所對的邊為b，A所對的邊為a 則有BD=cosB*c，AD=sinB*c，DC=BC-BD=a-cosB*c 根據(jù)勾股定理可得： AC2=AD2+DC2 b2=(sinB*c)2+(a-cosB*c)2 b2=(sinB*c)2+a2-2ac*cosB+(cosB)2*c2 b2=(sinB2+cosB2)*c2-2ac*cosB+a2 b2=c2+a2-2ac*cosB cosB=(c2+a2-b2)/2ac 作用(1)已知三角形的三條邊長，可求出三個(gè)內(nèi)角 (2)已知三角形的兩邊及夾角，可