第2章一元二次方程

1、南苑中學(xué)教師備課筆記670584989.doc 第 1 頁 2.1.1花邊有多寬（一）第2課時共1課時1. 理解一元二次方程的概念及它的有關(guān)概念；2.經(jīng)歷由具體問題抽象出一元二次方程的概念的過程，進一步體會方程是刻畫現(xiàn)實世界的一個有效數(shù)學(xué)模型.元二次方程的概念及它的一般形式元二次方程的概念教具準(zhǔn)備施教時間2006年 月 日教學(xué)過程:I. 創(chuàng)設(shè)現(xiàn)實情景、弓I入新課經(jīng)濟時代的今天，你能根據(jù)商品的銷售利潤作出一定的決策嗎？你能為一個矩形花園提供多種設(shè)計方案嗎？F面我們來學(xué)習(xí)第一節(jié)：花邊有多寬.（板書）n.講授新課例1我們來看一個實際問題（小黑板）一塊四周鑲有寬度相等的花邊的地毯，如圖所示，它的長為8

2、m,寬為5m,如果地毯中央長方形圖案的 面積為18m2，那么花邊有多寬？18m2.分析：從題中，找出已知量、未知量及問題中所涉及的等量關(guān)系. 這個題已知：這塊地毯的長為8m,寬為5m,它中央長方形圖案的面積為所要求的是；地毯的花邊有多寬.本題是以面積為等量關(guān)系. 如果設(shè)花邊的寬為 xm，那么地毯中央長方形圖案的長為（8 2x） m，寬為（5-2x）m,根據(jù)題意，可得方程（8 2x）（ 5 2x） = 18例2 .下面我們來看一個數(shù)學(xué)問題（小黑板） 觀察下面等式102 + 112 + 122= 132 + 142.你還能找到其他的五個連續(xù)整數(shù)，使前三個數(shù)的平方和等于后兩個數(shù)的平方和嗎？總結(jié)：這個

3、問題可以有不同的設(shè)未知數(shù)的方法，同學(xué)們可靈活設(shè)未知數(shù)，即可設(shè)這五個數(shù)中的任意一個，其他四個數(shù)可隨之變化.例3下面我們來看一個實際問題 （小黑板）： 如圖，一個長為10m的梯子斜靠在墻上，梯子的頂端距地面的垂直距離為 8m,如果梯子的頂端下滑 1m,那么梯子的底端滑動多少米分析：墻與地面是垂直的， 因而墻、地面和梯子構(gòu)成了直角三角形.已知梯子的長為10m,梯子的頂端距地面的垂直距離為8m,所以由勾股定理可知，滑動前梯子底端距墻有6m.設(shè)梯子底端滑動xm,那么滑動后梯子底端距墻 （6+ x）m，根據(jù)題意，利用勾股定理，可得 方程.上面的三個方程都是只含有一個未知數(shù)x的整式方程，等號兩邊都是關(guān)于未知

4、數(shù)的整式的方程，稱為整式方程，如：我們學(xué)習(xí)過的一元一次方程，二元一次方程等都是整式方程.這三 個方程還都可以化為aZ+bx* c= 0（ a、b、c為常數(shù)，a豐0）的形式，這樣的方程我們叫做一元二次方程（quadratic equatton with one unknown）,即只含有一個未知數(shù)，并且未知數(shù)的最高次數(shù) 是2的整式方程叫做一元二次方程.2.任何一個關(guān)于 x的一元二次方程都可以化為ax2 + bx+ c= 0（ a豐0）的形式，其中a豐0是定義的一部分，不可漏掉，否則就不是一元二次方程了.川.應(yīng)用、深化課本P44隨堂練習(xí)1、2 課本P44習(xí)題2. 11、2W.課時小結(jié)本節(jié)課我們由討

5、論“花邊有多寬”得出一元二次方程的概念.ax21. 一元二次方程屬于“整式方程”，其次，它只含有一個未知數(shù)，并且都可以化為+ bx+ c= 0（ a、b、c為常數(shù)，a豐0）的形式.2. 一元二次方程的一般形式為ax2 + bx+ c= 0（ a豐0），一元二次方程的項及系數(shù)都是根據(jù) 它的一般形式定義的，這與多項式中的項、次數(shù)及其系數(shù)的定義是一致的.作業(yè)本（）W.活動與探究當(dāng)d、b、c滿足什么條件時，方程（a 1）x2-bx+ c = 0是一元二次方程？這時方程的二次項一次項系數(shù)分別是什么 ？當(dāng)a、b、c滿足什么條件時，方程（a 1）x2 bx+ c= 0是一元次方程？例1方程例2方程 2.1.

6、1花邊有多寬（一）元二次方程的定義活動與探究例3方程南苑中學(xué)教師備課筆記課 題 2.1.2花邊有多寬第2課時共2課時教具準(zhǔn)備1、經(jīng)歷方程解的探索過程，增進對方程解的認識，發(fā)展估算意識和能力;2、滲透“夾逼”思想。用“夾逼”方法估算方程的解；求一元二次方程的近似解。用“夾逼”方法估算方程的解；求一元二次方程的近似解。施教時間2006年 月 日教學(xué)過程:2ax + bx+ C 0( aM 0)一、復(fù)習(xí):1、什么叫一元二次方程？它的一般形式是什么？ 一般形式:2、指出下列方程的二次項系數(shù)，一次項系數(shù)及常數(shù)項。(1) 2x2 X + 1= 0(2) X2 + 1= 0(3)x2x= 0二、新授:1、估

7、算地毯花邊的寬。地毯花邊的寬 x( m)，滿足方程 (82x)( 5 2x) = 18 也就是：2x2 13x+ 11 = 0你能求出X嗎?(1) X可能小于0嗎？說說你的理由；X不可能小于0，因為X表示地毯的寬度。(2) X可能大于4嗎？可能大于2.5嗎？為什么?670584989.doc 第 3 頁x不可能大于4,(3)完成下表也不可能大于 2.5, x4 時，5 2x2.5 時，5 2x0.X00.511.522.52x2 13x+ 11從左至右分別 11, 4.75, 0, 4, 7，-9(4)你知道地毯花邊的寬 x(m)是多少嗎？還有其他求解方法嗎？與同伴交流。地毯花邊1米，另，因

8、82x比52x多3，將18分解為6X 3, 82x= 6, x= 12、例題講析:例：梯子底端滑動的距離 X (m)滿足(X+ 6) 2 + 72= 102也就是 X2+ 12x15= 0南苑中學(xué)教師備課筆記課 題 22配方法（1）第3課時共1課時教 學(xué)目 標(biāo)(1) 你能猜出滑動距離 x(m)的大致范圍嗎?(2) x的整數(shù)部分是幾？十分位是幾?x00.511.52X2+ 12x15158.7525.2513所以 1x1.5進一步計算x1.11.21.31.4X2+ 12X 150.590.842.293.76所以 1.1x0）的方程;2、理解配方法，會用配方法解簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程;3

9、、體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，用配方法解一元二次方程的過程。利用配方法解一元二次方程把一元二次方程通過配方轉(zhuǎn)化為（X十m）2= n（n0）的形式.施教時間2006年 月 日教學(xué)過程:一、復(fù)習(xí):1、解下列方程:（1） X2= 9（2）（X+ 2）2= 162、什么是完全平方式?利用公式計算:（1）（X + 6） 21 2（2）（X 2 ）注意：它們的常數(shù)項等于一次項系數(shù)一半的平方。3、解方程：（梯子滑動問題）X2+ 12X 15= 0二、新授:1、引入：像上面第 3題，我們解方程會有困難，是否將方程轉(zhuǎn)化為第 呢？1題的方程的形式2、解方程的基本思路（配方法）如：X2+ 12x 15= 0轉(zhuǎn)化為（X+ 6

10、）2= 51兩邊開平方，得X + 6=x1 V51 6X2=a/51 6（不合實際）因此，解一元二次方程的基本思路是將方程轉(zhuǎn)化為（X+ m）2= n的形式，它的一邊是一個完全平方式，另一邊是一個常數(shù)，當(dāng)n0時，兩邊開平方便可求出它的根。3、配方：填上適當(dāng)?shù)臄?shù)，使下列等式成立:南苑中學(xué)教師備課筆記課 題 22配方法（2）第3課時共2課時教 學(xué)目 標(biāo)=(X+ 6) 2=(x )2=(X+ )2(1) x2+ 12x+(2) x2 12x+(3) x2+ 8x+從上可知：常數(shù)項配上一次項系數(shù)的一半的平方。4、講解例題:例1:解方程：X2+ 8x 9= 0分析：先把它變成（X+ m）2= n （nA

11、0）的形式再用直接開平方法求解。解：移項，得：X2 + 8x= 9,（兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方）配方，得：x2+8x+ 42= 9+ 42即：（X+ 4）2= 25開平方，得：X+ 4= 5即：x+ 4= 5，或 x + 4 = 5所以：Xi= 1, X2 = 95、配方法：通過配成完全平方式的方法得到了一元二次方程的根，這種解一元二閃方程的方法稱為配方法。三、鞏固練習(xí):P 50,四、小結(jié):隨堂練習(xí)：1 ;P50習(xí)題2.31、2(1)什么叫配方法?670584989.doc 第 9 頁配方法的基本思路是什么?怎樣配方?五、作業(yè):作業(yè)本復(fù)習(xí)題引例 2.2配方法（1）例題配方法定義教 學(xué)

12、反 思配方法的基本思路教具準(zhǔn)備教學(xué)過程:、復(fù)習(xí):1利用配方法解數(shù)字系數(shù)的一般一元二次方程。2、進一步理解配方法的解題思路。用配方法解一元二次方程的思路；給方程配方。用配方法解一元二次方程的思路；給方程配方。施教時間2006年 月 日1什么叫配方法?2、怎樣配方？方程兩邊同加上一次項系數(shù)一半的平方。3、解方程:(1) x2+4x+ 3= 0(2) X2 4x+ 2= 0二、新授:1、例題講析:例 3:解方程：3x2 + 8x 3= 0分析：將二次項系數(shù)化為1后，用配方法解此方程。解：兩邊都除以3,得:X2 + 3 X 1= 0移項，得:2 I 8X+ 3X= 1配方，得:2,84X+ 3X+(3

13、）2= 1+（4）2（方程兩邊都加上一次項系數(shù)一半的平方）（X+ 3）2=（3）2即：X+3= 51所以 X1= 3 , X2= 32、用配方法解一元二次方程的步驟:（1）把二次項系數(shù)化為 1;（2）移項，方程的一邊為二次項和一次項，另一邊為常數(shù)項。(3) 方程兩邊同時加上一次項系數(shù)一半的平方。(4) 用直接開平方法求出方程的根。3、做一做:一小球以15m/s的初速度豎直向上彈出，它在空中的高度h (m)與時間t (s)滿足關(guān)系:h = 15t5t2小球何時能達到 10m高?三、鞏固:練習(xí)：P51，隨堂練習(xí)：1P33,習(xí)題2.4 1、2四、小結(jié):1、用配方法解一元二次方程的步驟。(1)化二次項

14、系數(shù)為1 ；移項;配方:求根。五、作業(yè):作業(yè)本配方法定義復(fù)習(xí)題 2.2 配方法(2)配方法的步驟南苑中學(xué)教師備課筆記課 題 22配方法(三)第3課時共3課時教 學(xué)目 標(biāo)教具準(zhǔn)備1、經(jīng)歷用方程解決實際問題的過程，體會一元二次方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù) 量關(guān)系的一個有效數(shù)學(xué)模型，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)應(yīng)用的意識和能力；2、進一步掌握用配方法解題的技能。列一元二次方程解方程。列一元二次方程解方程。施教時間2006年 月 日教學(xué)過程: 一、復(fù)習(xí):1、配方：(1) x2 3x+=(X )2(2) x2 5x+=(X )22、用配方法解一元二次方程的步驟是什么?3、用配方法解下列一元二次方程?(2) X2 5x+ 4=

15、 0(1) 3x2 1 = 2x二、引入課題:我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了用配方法解一元二次方程，在生產(chǎn)生活中常遇到一些問題，需要用一元二次方程來解答，請同學(xué)們將課本翻到54頁，閱讀課本，并思考:三、出示思考題:1、DEtrim670584989.doc 第 # 頁如圖所示:(1)設(shè)花園四周小路的寬度均為xm,可列怎樣的一元二次方程?南苑中學(xué)教師備課筆記課 題2.3公式法第1課時共1課時教 學(xué)目 標(biāo)(3) 這兩個解都合要求嗎？為什么?x1= 2合要求，x2= 12不合要求，因荒地的寬為 12m，小路的寬不可能為 12m，它必須小于荒地寬的一半。2、設(shè)花園四角的扇形半徑均為 xm,可列怎樣的一元二次方程?x2

16、n = 2 X 12 X 16(2) 元二次方程的解是什么?X1 = /?- 5.5X2 5.5(3) 符合條件的解是多少?Xi = 5.53、你還有其他設(shè)計方案嗎？請設(shè)計出來與同伴交流。(1)花園為菱形?花園為圓形四、練習(xí):花園為三角形?花園為梯形P56,習(xí)題 2.5,1、2P56隨堂練習(xí)670584989.doc 第 13 頁五、小結(jié):1、本節(jié)內(nèi)容的設(shè)計方案不只一種，只要符合條件即可。3、2、設(shè)計方案時，關(guān)鍵是列一元二次方程。元二次方程的解一般有兩個，要根據(jù)實際情況舍去不合題意的解。六、作業(yè)：作業(yè)本 22 配方法(三)板書設(shè)計配方法解一元二次方程的步驟復(fù)習(xí)題思考題隨堂練習(xí)習(xí)題教學(xué)反田心1.

17、 一元二次方程的求根公式的推導(dǎo);2會用求根公式解一元二次方程。元二次方程的求根公式.求根公式的條件：b2 4ac 0。教具準(zhǔn)備施教時間2006年 月 日教學(xué)過程: 一、復(fù)習(xí)1、用配方法解一元二次方程的步驟有哪些?2、用配方法解方程:x2 7x 18= 0二、新授:1、推導(dǎo)求根公式:2ax + bx+ c= 0（ a 豐 0）解：方程兩邊都作以移項，得：/+bx=a配方，得:即：（X+ 2a2 , b b 2 c b 2 +ax+（亦）=a + （務(wù)）22 b 4ac）=4a2a豐0,所以 4a20當(dāng)b2 4ac 0時，得b . /b2 4ac x+2a =b Jb2 4ac二 x=寸 b2 4

18、ac=2a2a一般地，對于一元二次方程；、，口 bb2 4ac它的根是x=ax2+bx+ c= 0（a豐 0），當(dāng) b2 4ac 0 時,2a注意：當(dāng)b2 4ac0X= 2X 1，即：X1 = 9，X2 = 2例：解方程：2x2 + 7x= 4解：移項，得2X2+ 7x4= 0這里，a = 1, b= 7, c = 4/ b2 4ac= 724X 1X ( 4) = 810X=2X 27 81 7 94X2= 4三、鞏固練習(xí):P58隨堂練習(xí):1、 2習(xí)題2.6 1、2、四、小結(jié):-b!b2 4ac2(1)2a求根公式： X =旻(b2 4ac 0)利用求根公式解一元二次方程的步驟五、作業(yè):作業(yè)

19、本一、復(fù)習(xí)二、求根公式的推導(dǎo)2.3公式法三、練習(xí)四、小結(jié)五、作業(yè)南苑中學(xué)教師備課筆記課 題2.4分解因式法第2課時共1課時教 學(xué)目 標(biāo)1能根據(jù)具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法。體會解決問題方法的 多樣性。2. 會用分解因式（提公因式法、 公式法）解某些簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程。掌握分解因式法解一元二次方程。靈活運用分解因式法解一元二次方程。670584989.doc 第 15 頁教具準(zhǔn)備施教時間2006年 月 日教學(xué)過程: 一、回顧交流21.5x 2x- 1 = 01、用兩種不同的方法解下列一元二次方程。2.10(x + 1)2 - 25( x + 1) + 10= 0觀察比較：

20、一個數(shù)的平方與這個數(shù)的3倍有可能相等嗎？如果相等，這個數(shù)是幾？你是怎樣求出來的?分析小穎、小明、小亮的解法:小穎：用公式法解正確;小明：兩邊約去X,是非同解變形，結(jié)果丟掉一根，錯誤。小亮：利用如果 ab= 0,那么a= 0或b= 0”來求解，正確。分解因式法:利用分解因式來解一元二次方程的方法叫分解因式法。因式分解法的理論根據(jù)是：如果兩個因式的積等于零，那么這兩個因式至少有一個等于 零.如：若(x+2)( X-3) = 0,那么 X+2 = 0 或.X-3 = 0;反之，若 x+2 = 0 或 x-3 = 0,則一定有(x+2)( x-3)=0這就是說，解方程（x+2）（ x-3） =0就相當(dāng)

21、于解方程 x+2 = 0或x-3=0 .二、范例學(xué)習(xí)例：解下列方程。21.5x = 4x2.x- 2 = x(x- 2)想一想你能用幾種方法解方程 X2 4= 0,（X+ 1）2 25= 0。三、隨堂練習(xí)隨堂練習(xí) 1、2P62 習(xí)題2.71、2拓展題分解因式法解方程：X3 4x2= 0。四、課堂總結(jié)利用因式分解法解一元二次方程，能否分解是關(guān)鍵，因此，要熟練掌握因式分解的知識, 通過提高因式分解的能力，來提高用分解因式法解方程的能力，在使用因式分解法時，先考慮 有無公因式，如果沒有再考慮公式法。五、布置作業(yè)補充：用分解因式法解:(1) (2x-5)2-2x+5=0 ;(2) 4(2x-1)2 =

22、 9(x+4)2;(3) (x-1)( x+3) = 12.一、復(fù)習(xí)二、例題三、想一想2.4分解因式法四、練習(xí)五、小結(jié)六、作業(yè)教 學(xué) 反 思670584989.doc 第 # 頁南苑中學(xué)教師備課筆記課 題2.5 為什么是0.618 (1)第2課時共2課時教 學(xué)目 標(biāo)教具準(zhǔn)備1、掌握黃金分割中黃金比的來歷;2、經(jīng)歷分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系，建立方程模型并解決問題的過程，認識方程 模型的重要性。列一元一次方程解應(yīng)用題，依題意列一元二次方程列一元一次方程解應(yīng)用題，依題意列一元二次方程施教時間2006年 月 日教學(xué)過程:一、復(fù)習(xí)1、解方程：（1） x2+2x+ 1= 0（2）x2 + X 1 = 02

23、、 什么叫黃金分割？黃金比是多少？（0.618）3、哪些一元二次方程可用分解因式法來求解？另一邊可分解為兩個一次因式）（方程一邊為零，二、新授1、黃金比的來歷如圖，如果AC=ACB，那么點C叫做線段AB的黃金分割點。670584989.doc 第 17 頁設(shè)AB= 1, AC = X,x2= 1X (1 X)解這個方程，得1+訴X1=2則 CB=1x即: X2+ X 1 = 0由ABC = AB，得 AC2= AL CB1 yJ5,X2=2（不合題意，舍去）所以：黃金比AC 1W5AC = 2- o.618注意：黃金比的準(zhǔn)確數(shù)為 樂2 1，近似數(shù)為0.618.上面我們應(yīng)用一元二次方程解決了求黃

24、金比的問題，其實，很多實際問題都可以應(yīng)用一元 二次方程來解決。2、例題講析:南苑中學(xué)教師備課筆記課 題2.5 為什么是 0.618 (2)第1課時共1課時教 學(xué)目 標(biāo)EF = AB + BC( AB+ BE) CF =( 300 2x)海里在RtA DEF中，根據(jù)勾股定理可得方程：x2= 1002 + (300- 2x)2整理得，3x2- 1200x + 100000 = 0解這個方程，得：X1= 200 -於3200 丄 100/6 x2= 200 +3所以，相遇時，補給船大約航行了三、鞏固：練習(xí)，P65隨堂練習(xí)：1四、小結(jié)：列方程解應(yīng)用題的三個重要環(huán)節(jié)：118.4(不合題意，舍去)118.

25、4海里。P66 習(xí)題 2.8: 1、2例1 : P64題略(幻燈片)(1) 小島D和小島F相距多少海里？(2) 已知軍艦的速度是補給船的2倍，軍艦在由B到C的途中與補給船相遇于 E處，那么相遇時補給船航行了多少海里？(結(jié)果精確到0.1海里)解：(1)連接DF，則DF丄BC,/ AB丄 BC, AB= BC= 200 海里 AC= AB = 200護 海里，/ C= 451 CD = 2 AC= 10/2 海里 DF = CF ,羽 DF = CDDF = CF = CD = X 100返=100 海里所以，小島D和小島F相距100海里。(2)設(shè)相遇時補給船航行了x海里，那么 DE = x海里，

26、AB+ BE= 2x海里670584989.doc 第 23 頁1、整體地，系統(tǒng)地審清問題；2、把握問題中的等量關(guān)系；3、正確求解方程并檢驗解的合理性。五、作業(yè)：作業(yè)本2.5 為什么是0.618 (1)板書設(shè)計復(fù)習(xí)題關(guān)于黃金分割的計算列方程解應(yīng)用題的三個重要環(huán)節(jié)教學(xué)反思教具準(zhǔn)備教學(xué)過程:、復(fù)習(xí):1、分析具體問題中的數(shù)量關(guān)系，列出一元二次方程;2、通過列方程解應(yīng)用題，進一步提高邏輯思維能力和分析問題、解決問題的能力。列一元一次方程解應(yīng)用題，找出等量關(guān)系列方程。列一元一次方程解應(yīng)用題，找出等量關(guān)系列方程。施教時間2006年 月 日1、黃金分割中的黃金比是多少?準(zhǔn)確數(shù)為不2 1，近似數(shù)為0.618 2、列方程解應(yīng)用題的三個重要環(huán)節(jié)是什么?3、列方程的關(guān)鍵是什么？（找等量關(guān)系）4、銷售利潤=銷售價銷售成本二、新授在日常生活生產(chǎn)中