完整版定積分習(xí)題及答案

1、01（A層次）1.sin xcos3 xdx ；4.I xdx/5 4xe27.dxX Inx10.x4 sin xdx;13.3 x .3dx ；4 sin x16.02 e2x cosxdx;19.2 Vcosx722.12xln025.（B層次）1.求由第五章定積分2.5.8.11.14.17.cos3 xdx ；dx ；dx 2 xdxXetdtxcostdt02 .當(dāng)x為何值時(shí),3.-dx sinxcosxcost2 dt。1,4.設(shè) f x12x ,a0 X2 Ja2 x2dx ；4 dx1X7 ；0 dx2x2 2x 22 4 cos4 xdx ;220.23.3.6.9.12.

2、15.xsinx 2dx ；18.sin x , dx ;sin x21.24.dxxS/T x2dx0 J1 cos2xdx;匚325 x sin X ,2一 dx ；5x4 2x211xarctgxdx ；esin In X dx ；xsin x .rdx ；汕 sinxdx ；0所決定的隱函數(shù)y對(duì)x的導(dǎo)數(shù)氏。x .20tetdt有極值?2f x dx。015.limxX20 arctgt dtu。6.1 .-sin x,20,，求 Xx0f tdt。7.11 x,11 ex其它8.limn12nVn J2n9.求limnknen2kk 1Vn ne小。10.設(shè) fx是連續(xù)函數(shù)，且f x，

3、一 2ln211.若X12.證明:13.已知14.設(shè) f15.設(shè) f16.設(shè) fx 1 dx 。12 0 f t dt，求 f X。dt1limx17.已知f18.設(shè) f Xx2dx 2 。4x2e 2xdx，求常數(shù)a 。1x2,xe,有一個(gè)原函數(shù)為1ax b2 SinIn x，在1，求 0f2f x dx02 dx。x，求1,3 上 f xx f x dx。120f Xdx ,219.f cosx cosx f cosx sin x dx。002xf 2xdx。0 ,求出常數(shù)a,3f x dx 最11120.設(shè) x 0 時(shí)，F(xiàn) xX0 X2 t2 f t dt的導(dǎo)數(shù)與X2是等價(jià)無窮小，試求（

4、C層次）1 .設(shè)fx是任意的二次多項(xiàng)式，g x是某個(gè)二次多項(xiàng)式，已知1b4f- f1 ,求 agXdX o2.設(shè)函數(shù)f x在閉區(qū)間a,b上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則在a,b內(nèi)存在，b使得 f X dx baa f U 丄 b a3f224a, b上二次可微，且fx 0 , f X 0。試證bb a f a f X dx ba4.設(shè)函數(shù)f x在a, b上連續(xù)，f x在a,b上存在且可積，fa f b試證f x1 bl2 af x dx (a xb)。5.設(shè)f X在0,1上連續(xù),10fxdx 0 ,1xf0x dx 1，求證存在一點(diǎn)0 X 1，使 f X6 .設(shè)f X可微，f 00 ,If X20t2

5、dt，求 詰 4設(shè) f x 在 a,b 上a f b 0 ，則f X dx max f x oa X b設(shè)f X在A,B上連續(xù),lkm0 abf X k f X , dx9 設(shè)f X為奇函數(shù),內(nèi)連續(xù)且單調(diào)增加,xx 3t f t dt ,0證明：（1）F x為奇函數(shù);（2）F x在0, 上單調(diào)減少。試求f x 。11.若 f X 在 0,連續(xù)，f 0 2， f1，證明:10 .設(shè)f X可微且積分1 f X xf xt dt的結(jié)果與X無關(guān),0f X f X sin xdx 3 o12.求曲線yx0t1 t 2dt在點(diǎn)(0,0)處的切線方程。13 .設(shè)fx為連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)a有asin xfa

6、x dx 0，求證、X y 2d 2y14 .設(shè)方程 2x tg X y sec tdt，求一2-0dx15.設(shè)f X在a,b上連續(xù)，求證:f a (ab)1 Xlim f t h f t dt f Xh 0 h a16.當(dāng) x0時(shí)，f x連續(xù)，且滿足f t dtx，求f17.設(shè) fX在0,1連續(xù)且遞減，證明1f x dx0f X dx，其中00,1。18.設(shè) fx連續(xù),2at dt， f1，試證:2a 2F a19.設(shè)g X是a,b上的連續(xù)函數(shù),XX agtdt，試證在a,b內(nèi)方程f -0至少有一個(gè)根。a20.設(shè)f X在a, b連續(xù)，且f Xt dtdt，證明:(1)F X 2F X 0在a

7、,b內(nèi)有且僅有一個(gè)根。21.x dx o2aa設(shè)f X在0,2a上連續(xù)，則 f xdx f X f 2a0022.設(shè)f X是以為周期的連續(xù)函數(shù)，證明:23.設(shè) ff X dxa24.證明X在a,b上正值，連續(xù)，則在b1f X dx 一210lnfx tdta,b內(nèi)至少存在一點(diǎn)bf X dx。aX f u 10ln -Tdu10ln f u du。25設(shè)f X在a,b上連續(xù)且嚴(yán)格單調(diào)增加,26.設(shè)f X在a,b上可導(dǎo)，且f X27 .設(shè)f X處處二階可導(dǎo)，且af u t dt28.設(shè) f29.設(shè) fb則 a b f X dxab2 xf X dx。aM2b為任一連續(xù)函數(shù),30 . f Xf X

8、dX M1.解:2.a0utdt，a 0。在a,b上二階可導(dǎo)，且f在a,b上連續(xù)，且f X0,則bf X dxa在a,b上連續(xù)，且對(duì)任何區(qū)間1(M ,0 xcos3xdx原式02 cos3 XdXx2Pa2 x2dx0解：令Xa si nt，貝U dX原式XdX b af 專。0 ,證明在a,b上必有a,b有不等式為正常數(shù)），試證在a,b上f X第五章定積分(A)14-cos X4a costdt2 2 22 a sin t a cost a costdt0解：令2 sin20dxx原式14.tgsin42tdt 88 rin4t，則dx2sec2 dV3時(shí)分別為23_sec 4tg2dsec

9、02 1 cos4t dt4 a 163 sin72d sinxdxS/5 4x解：令J54xh2, dx4-udu2時(shí)，u3,1原式1138du4 dx5. E解：令依t ,dx2tdt當(dāng)x 1時(shí),1 ；當(dāng)4 時(shí)，t 2原式22tdt121dt2 dt1 t2tIn2In|dxx 1解：令/x u，則 x1 u2, dx2udu2137.解:8.解:9.解:10.原式e24,1時(shí)u畀10du2 u 1dx1 xj1 lnx原式1u 1 101du1 21 n2e211 41ln x25 In xdx2x2 2x 2原式0*原式e2e20 dx21 x 1 2arctg 1 arctgcos2

10、xdx0 Jzcos2 xdxJ2arctg x2 cosxdx0sinx2 si nx_2x4 sinxdx解：x4sin x為奇函數(shù)x4 sin xdx11.2 4cos4 xdx解：原式 4 202 cos4 xdx=dIn x1 In xcosx dxcosx dx2j22 02 2cos22x dx2222 021cos2x dx 2 2 1 2cos2x cos 2x dx 02X022 o2cos2xdxo2 * 1 cos4x dx2sin 2x 22 cos 4xd 4x0153.2解：x sin xx42x2-為奇函數(shù)11-sin 4x4x5x4 2x2113.3 x.24

11、si ndx x解:原式3 xdctgx4xctgx3ctgxdx414.4 In x17xdx43In sin Xbn32 2In3.2x sin X , cdx 0解:,4F原式 2 In xd Jx12 仮 l n X1Txd In x217.0172 4ln 281 n212dx15.解:16.解:8l n210 xarctgxdx原式原式10 arctgxdxx2arctgx1dx0cosxdx0dx01 x21 dx01 x21 arctgx2 2x I -2 e d sin X0e2xsin x2 -2 Sin x02e2xdx2 02e2xd cosx2e2x cosxe2x

12、cosxdxxsin x dx0? cosx 2e2xdx02 / cosxdx解:原式0 xsin x2dx21 cos2x ,x dx0 218.解:19.解:x2dxe1 sin In x dx原式xsin Inesin1esin 1esin11 2一 x cos2xdx2 00x2dsi n2xx2 sin 2x0 xd cos2xxcos2x0sin 2x 2xdx0 cos2xdxexcos In x1ecos In x dx1xcos In xecos1 1esin In xdx sin 11 2Mcosx cos3 xdx4原式2 Jcosx 17_ Jcosx4cosxdxx

13、exsinesin1cos1cos2 x dxsinx dxIn1 -dxxInx dx2 Jcosxsin xdxcosx02223304331920.4 sinx dx0 1 sin X解:原式4 si nx1 sin X01 sin2 dxx21.解:原式22.解:sin x2 cos x4 d cosx02 cos4cosxxsin x , dxcos x12xln0原式t，則x2tg2x dx4 sec20x 1 dxtgxx|Itsin-dt1 cos2 cost222 1 si nt2 cost0 1 sin2xdxxxdx-dt tx2arctg sin t2Inx21 xdx

14、1 x8ln32x2x2323.解:24.解:25.詐38In31 x27原式12dx0Iln3dx1ln1 x24x02|n si nxdx原式02|ndx2 dx0 x211x 1p2sin2u2-In 22故 021nsin xdxdx201 x 1 xMo12xv2xV21 dx2xcos- dx令x 2t220訃 sin tdt2 nsintdtIn sin tdt0 1 n2 msint ln costdt04 ln costdt2In sin udu40解：令X則 dx Jrdtt20 rydtt dt1 t21t01t2 1 tt2tdxdx1 X2 1X01X2 1 X101

15、 X2dxarctgx02dx1 X2 1X41原式0故0X dx1 X2 1 X(B)y1 .求由 e dt0Xcostdt00所決定的隱函數(shù)y對(duì)X的導(dǎo)數(shù)S。解：將兩邊對(duì)x求導(dǎo)得ey魚 dx .dy dxCOSX2.解:3.解:cosxey當(dāng)X為何值時(shí),函數(shù)X .20te dt有極值?xe X0時(shí),0時(shí),當(dāng)X 0時(shí),d cosx一 cosdx sinx原式 -dx_d_dx函數(shù)t2 dt。有極小值。acossin Xt2dtcostcost2 dtCOSsin Xcosat2 dtcosx2cos t dtsin2 X sin x2cos cos X COSX251cossin2 cosx

16、cos cos2 xsin xcossin2 x cos x sin xcossin2 xsin xcosxcos sin2 x1,4.設(shè) f x、 2求 0 f X dx。解:dx1 dx21x2dx1 25.limxx0 arctgt解:limx6.設(shè)f解：當(dāng)x2dtJx2 1x 20 arctgt dt _型limxlimxlimx2arctgxJx21 arctgxx/1 . -sin 20時(shí),時(shí),limxx p g arctgx2 V Xx0,-12 arctgxxx, 0 x其它xf t dt。0f t dtx0dt時(shí),-sintdt02t dt0ftdtcosx2xf tdtsi

17、 ntdt2x0dt 10,1 -1 21,cosx ,當(dāng)0 x 時(shí)。317設(shè) f x1rv11 ex0時(shí)，求0時(shí)2f x 1 dx。0解:8.解:1101 dx1 lnIn 1limn1In原式limnlimn9 .求 limn解：原式limn10.設(shè) f解：令01f1 dxx 1e01In 22dx1dxkenIF。_ _ nnekn en2kexe01是連續(xù)函數(shù),tdt A，則arctgex2A ,10 f t dt，求 f X 。從而f0x dx10x 2Adx即A 12A ,A丄22f xx 12l n2dt122A1 1 /1xje 16，解：令 Jet 1 u ,則 t In 1

18、 u，dt2 du1 u當(dāng)t2l n2 時(shí)，u當(dāng)tx時(shí)，uJex 12l n2dt亞2udu2arctgu 巧xJet 1i Xd2M 1 1 u2 u2 -3arctg JeX16從而xIn 212.證明:1:鮎1忑 x2.1 e dx42。72證：考慮1 1V2，72-上的函數(shù)yex2，則y22xe X，令 y 0 得 x0當(dāng)x時(shí)，y 0時(shí)，yx2在x0處取最大值y 1，且 y1-L處取最小值e 2V21e 2dxx2dx1迢1dx72小。13.已知limx解：左端右端2a2e2a2e2a2x22adx2 2x2x e2e2x2a2a2a2 2a 2a 1 e72。4x2e2a e2x2x

19、exde2x2x xe2a2ae 2a2xdx，求常數(shù)a。2x .dx解之a(chǎn) 0或a 114.設(shè) f解：令x15.設(shè) f解：令2xxf16.設(shè) fC 2 , 2x2x de2xdx1x2,xe,2 dxf tdt有一個(gè)原函數(shù)為t，且f2x dx0tdf ttsin2tsin- 2 sin xax b Int2dt2 dx。10e02xfsin2x71dt -3 e2x dx。1t -dt2tf t-2 , Sin t14 0tf tdt0 f tdt在1,3上f x 0 ,求出常數(shù)a ,f x dx 最100043133,33解：當(dāng)1 f X dx最小，即1 ax b In x dx最小，由a

20、x b在y In X的上方，其間所夾面積最小,設(shè)切點(diǎn)為Xo,ln Xo ,則切線yax bIn X 0 知,In Xo1X XoaxXo于是I3ax b In X dx1bX3In xdx14a 2 1 In aIn Xo ,In X的切線,故a Xo令I(lǐng)a3In xdx從而Xo 2 , bIn 2此時(shí)X dx最小。17.已知X dX。解：f XX dXdf18.設(shè) f1解：設(shè)0 A B解得:19. f02xeX2dxcosx2e2f X dx0f X dX ,dxX dx1，b4xcosx2x20dxBxBx于是B，則2A dx2Adxf cosx sin2 X dx。1383X2Bx2A2

21、A2B4Af X3335解：原式0 f cosx COSXdX 0 sin 對(duì) cosx d cosx020.設(shè) X解:0 f COSX COSXdX sin XfXx2 t20t2t dt3XyX2 f t dt0limX 0X2xf0lim 空LX 0 X2fCOSXX2(C)0 f COSX COSXdXt dt的導(dǎo)數(shù)與t dt0,xX2是等價(jià)無窮小，試求是任意的二次多項(xiàng)式，g X是某個(gè)二次多項(xiàng)式，已知4fbg X dX。a解：設(shè)Xa，則bagXdX10g bdt10gdt于是f 0由已知得I2.設(shè)函數(shù)f X在閉區(qū)間a,b上具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，則在a,b內(nèi)存在4g6237b使得 f X

22、dx b a fa丄b24證：由泰勒公式f X f XoXoXXoX 2!Xo其中 Xo,Xa,b位于Xo與X之間。兩邊積分得:bbf X dXaX dxXoXodxa f Xof XoXoXobfXa 2!6XoXodXXo證明:從而f X令Xobf X dXaf在 a,b 上bf X dXadXdX4 設(shè)函數(shù)a, b時(shí),1 一 b 24a,b 。a dX次可微f b fab ab fab adXo知f X是嚴(yán)格增及嚴(yán)格凹的,f X在a,b上連續(xù)，f在a,b上存在且可積，fa f b o ,411bf x2af x因?yàn)樵谧C明:a,b試證dx (ax b)?？煞e，故有dxt dtt dtt d

23、t,t dt于是5.設(shè)f X在0,1dt上連續(xù),dtdtx dxdt1 t2 a1xf x dx 1，0 ，f t dt求證存在一點(diǎn)0 x 1，使 f X證：假設(shè)f4，x 0,1由已知dx1xf0x dx1x dx1111x f xdx 4x 0202x dxdxx0dx121 xf0dx1111x f x dx4x -0202故1f x4 dx0xdx120從而 f因?yàn)樵?,1連續(xù)，則f x4。從而1 、f x dx 4 或 00矛盾。故f X6 .設(shè) f X 可微，f 00，f 0xtf0x1 2t2 dt，求 lim Fx 00解:令 x2 t21 x220 fudu，顯然 F x xf

24、證:于是lim匸a,b 上dxmaxa x ba,b格朗日定理?xiàng)l件,f x dx8 .設(shè)fb2一a證:bf x ka于是lim 4 |imfx22 f 0x 0 4x2x 0 4 x2 0連續(xù)可微，若f上連續(xù)可微，則f X在a ba，2b,bmaxa x bdxdxf x，則有ba b2a dxx dxdxb dxa|dxx dxA,Bk u，則bf xb|dx上連續(xù)，Ak dxx dxdxlimk 0bf xak dxx dxu duka k f x dxbf x dxax dxlim -dx-kmoHk上均滿足拉a kf x dx43x09 設(shè)f X為奇函數(shù),內(nèi)連續(xù)且單調(diào)增加，F(xiàn)x 3tt

25、 dt ,證明：（1）F x為奇函數(shù);（2）F x在0, 上單調(diào)減少。證:(1) F X 0XX 3t f t dtt uX 3u f0u duf x為奇函數(shù)X X 3u f u du=0xx 3u0f u du Fx為奇函數(shù)。xx 0f tdtx3 0tf t dtxf t dt0Xf t dt0xf x3xf x2xf xdtxf x0 時(shí)，f Xf x dt0,，即F X在0,單調(diào)減少。10設(shè)可微且積分xf xt dt的結(jié)果與x無關(guān)，試求f x解：記x xf xt dtx xf xt dtxf u du C0可微，于是解之f X ke X （ k為任意常數(shù)）11.若 fX在0, 連續(xù)，f

26、 02， f 1，證明:0 f X f X Sinxdx 3。解：因0f xsinxdx sinxclf x45sin xf x00 f x cosxdx0 f x cosxdx0 cosxdff x cosx。0 f xsinxdx0 f xsinxdxsinxdx 3 0 fx sin xdx所以x sin xdx 3。12.求曲線2 dt在點(diǎn)(0,0)處的切線方程。解:則y0 2，故切線方程為:即 y 2x。設(shè)fx為連續(xù)函數(shù)，對(duì)任意實(shí)數(shù)a有asin xf X dx 0 ,求證 a證：兩邊對(duì)a求導(dǎo)sinsin即得14.設(shè)方程2xtg X yy 2sec tdt,解：方程兩邊對(duì)x求導(dǎo),22

27、secsec2 x從而y2 cosy sin22sin xcos x y2 sin xy cos3 x y15.設(shè) f X在a,b上連續(xù)，求證:53lim 1 X f t h f t dth 0 h aX f a (a X b)證：設(shè)Fx為f X的原函數(shù)，則左邊lim - F X h F ah 0 h16.當(dāng) Xlimh 00時(shí),解：等式兩邊對(duì)f X2 1 X令 X2 1 X17.設(shè) f證:f a 右邊。f X連續(xù)，且滿足X求導(dǎo)，得2x 3x211代入得：f 2 51X在0,1連續(xù)且遞減，證明X dxf X dx，dxf X dx0X dxf X dx其中1f X01f XdX11f X dX

28、1f0X2f X dX0,1。故f X dxfX dx00即1f X dx0f0X dx。18.設(shè) fX連續(xù)，F(xiàn) XXf0由于f遞減，fX110t f 2a t dt，dt,1， 2 0,f 00， f a 1，試證:F 2a 2F a 1。證:F 2a 2F a2af t f02at dt 2af t f 2a t dt019.b b a2a0 f t f 2a t dt2af t f 2a t daf t f 2a t2aa在第一個(gè)積分中，令2af t f 2aa而 f t f 2a故 F 2a 2Ft dt2aa2at dt2a t2af ta2a ta0f t f 2a tdt2a t

29、u，則af u f 2a0f 2a f 0g X是a,b上的連續(xù)函數(shù)，f X0至少有一個(gè)根。證：由積分中值定理,存在a,b使bf b g t dta竺0 b au du故是方程g x0的一個(gè)根。20.設(shè)f X在a,b連續(xù)，且(1)F證：(1)Fdt 0， b f taf t f 2a t dt0Xg t dt，試證在a,b內(nèi)方程 aXf t dtaX 1 bdt，證明:a,b內(nèi)有且僅有一個(gè)根。bF b f t dta由介值定理知F單增，從而F XX 0 在 a,b內(nèi)至少有一根。0在a,b內(nèi)至多有一根。故F X 0在a,b內(nèi)有且僅有一個(gè)根。21.設(shè)f X在0,2a上連續(xù)，則2aaf xdx f

30、X00f 2a X dx。2afaX dxf X dx2afXdx00a令X2a u， dxdu，則2aaafX dxf 2au duf 2a X dxa002aaf0X dxf X0f 2aXdx證:故為周期的連續(xù)函數(shù)，證明:是以22.設(shè) f X2sin X0X f X dx2x fX dx。2證：0sin Xf X dX0 sinxX f X dX2sin Xf X dX令X2sin X Xf X dXsin uu dusinu f u du (v f xu02故 sin X X f X dx 2x0 0以為周期）f X dX23.設(shè) f X在a,b上正值，連續(xù)，則在a,b內(nèi)至少存在一點(diǎn)，使證：令F X由于Xb 1X dx f X dx 2bf X dx。aXf t dtat dta, b時(shí),t dtdt 0故由零點(diǎn)定理知，存在一點(diǎn)a,b，使得F 0b即 f t dt f t dt 0aaf x dxbf x dx#b又 f X dxaf x dxabf