簡單優(yōu)化模型

1、第三章第三章 簡單的優(yōu)化模型簡單的優(yōu)化模型 3.1 存貯模型存貯模型 3.2 生豬的出售時機生豬的出售時機 3.3 森林救火森林救火 3.4 最優(yōu)價格最優(yōu)價格 3.5 血管分支血管分支 3.6 消費者均衡消費者均衡 3.7 冰山運輸冰山運輸 現(xiàn)實世界中普遍存在著優(yōu)化問題現(xiàn)實世界中普遍存在著優(yōu)化問題. 靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù)不是函數(shù)). 建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關鍵之一是建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關鍵之一是 根據(jù)建模目的確定恰當?shù)哪繕撕瘮?shù)根據(jù)建模目的確定恰當?shù)哪繕撕瘮?shù). 求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法. 靜靜 態(tài)態(tài) 優(yōu)優(yōu) 化化 模模 型型 3.1

2、存貯模型存貯模型 問問 題題 配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設 備要付生產(chǎn)準備費，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費備要付生產(chǎn)準備費，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費. 該廠該廠 生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內產(chǎn)出生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內產(chǎn)出. 已知某產(chǎn)品日需求量已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準備費件，生產(chǎn)準備費5000元，貯存費元，貯存費 每日每件每日每件1元元. 試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn)試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn) 一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費用最小一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費

3、用最小. 要要 求求 不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與 需求量、準備費、貯存費之間的關系需求量、準備費、貯存費之間的關系. 問題分析與思考問題分析與思考 每天生產(chǎn)一次每天生產(chǎn)一次, 每次每次100件件,無貯存費無貯存費,準備費準備費5000元元. 日需求日需求100件，準備費件，準備費5000元，貯存費每日每件元，貯存費每日每件1元元. 10天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次, 每次每次1000件，貯存費件，貯存費900+800+100 =4500元，準備費元，準備費5000元，總計元，總計9500元元. 50天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次,每次每次5000件件,

4、貯存費貯存費4900+4800+100 =122500元，準備費元，準備費5000元，總計元，總計127500元元. 平均每天費用平均每天費用950元元 平均每天費用平均每天費用2550元元 1010天生產(chǎn)一次天生產(chǎn)一次, ,平均每天費用最小嗎平均每天費用最小嗎? ? 每天費用每天費用5000元元 這是一個優(yōu)化問題，關鍵在建立目標函數(shù)這是一個優(yōu)化問題，關鍵在建立目標函數(shù). 顯然不能用一個周期的總費用作為目標函數(shù)顯然不能用一個周期的總費用作為目標函數(shù). 目標函數(shù)目標函數(shù)每天總費用的平均值每天總費用的平均值. 周期短，產(chǎn)量小周期短，產(chǎn)量小 周期長，產(chǎn)量大周期長，產(chǎn)量大 問題分析與思考問題分析與思考

5、 貯存費少，準備費多貯存費少，準備費多 準備費少，貯存費多準備費少，貯存費多 存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費用（二者之和）最小存在最佳的周期和產(chǎn)量，使總費用（二者之和）最小. 模模 型型 假假 設設 1. 產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù)產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù) r； 2. 每次生產(chǎn)準備費為每次生產(chǎn)準備費為 c1, 每天每件產(chǎn)品貯存費為每天每件產(chǎn)品貯存費為 c2； 3. T天生產(chǎn)一次（周期）天生產(chǎn)一次（周期）, 每次生產(chǎn)每次生產(chǎn)Q件，當貯存量件，當貯存量 為零時，為零時，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計）；件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計）； 建建 模模 目目 的的 設設 r, c1, c2 已知，求已知，求T,

6、 Q 使每天總費用的平均值最小使每天總費用的平均值最小. . 4. 為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理. 模模 型型 建建 立立 0t q 貯存量表示為時間的函數(shù)貯存量表示為時間的函數(shù) q(t) T Q r t=0生產(chǎn)生產(chǎn)Q件，件，q(0)=Q, q(t)以以 需求速率需求速率r遞減，遞減，q(T)=0. 一周期一周期 總費用總費用 2 21 QT ccC 每天總費用平均每天總費用平均 值（目標函數(shù)）值（目標函數(shù)） 2 )( 21 rTc T c T C TC 離散問題連續(xù)化離散問題連續(xù)化 T dttqc 0 2 )( 一周期貯存費為一周期貯存費為 A

7、 2 2 21 rT cc rTQ =QT/2 2 2 QT c 模型求解模型求解Min rTc T c TC 2 )( 21 求求 T 使使 0 dT dC 2 1 2 c rc rTQ 2 1 2 rc c T 模型解釋模型解釋 QTc, 1 QTc, 2 QTr, 定性分析定性分析 敏感性分析敏感性分析參數(shù)參數(shù)c1,c2, r的微小變化對的微小變化對T,Q的影響的影響 T對對c1的的(相相 對對)敏感度敏感度 11 1 / / ),( cc TT cTS T c c T 1 1 d d 2 1 c1增加增加1%, T增加增加0.5% S(T,c2)=-1/2, S(T,r)=-1/2c2

8、或或r增加增加1%, T減少減少0.5% 經(jīng)濟批量訂貨公式經(jīng)濟批量訂貨公式（EOQ公式公式） 2 1 2 rc c T 2 1 2 c rc rTQ 用于訂貨供應情況用于訂貨供應情況: 不允許缺貨的存貯模型不允許缺貨的存貯模型 模型應用模型應用 T=10(天天), Q=1000(件件), C=1000(元元) 回答原問題回答原問題c1=5000, c2=1，r=100 每天需求量每天需求量 r，每次訂貨費，每次訂貨費 c1, 每天每件貯存費每天每件貯存費 c2 , T天訂貨一次天訂貨一次(周期周期), 每次訂貨每次訂貨Q 件，當貯存量降到零時，件，當貯存量降到零時，Q件立即到貨件立即到貨. 思

9、考思考: 為什么與前面計算的為什么與前面計算的C=950元有差別元有差別? 允許缺貨的存貯模型允許缺貨的存貯模型 A B 0 q Q r T1t 當貯存量降到零時仍有需求當貯存量降到零時仍有需求r, 出現(xiàn)缺貨，造成損失出現(xiàn)缺貨，造成損失. 原模型假設：貯存量降到零時原模型假設：貯存量降到零時 Q件立即生產(chǎn)出來件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨或立即到貨). 現(xiàn)假設：允許缺貨現(xiàn)假設：允許缺貨, 每天每件缺貨損失費每天每件缺貨損失費 c3 , 缺貨需補足缺貨需補足. T 1 rTQ Ac2 Bc3 周期周期T, t=T1貯存量降到零貯存量降到零 2 )( 2 2 1 3 1 21 TTr c QT ccC

10、 一周期總費用一周期總費用 一周期一周期 貯存費貯存費 1 0 2 )( T dttqc 一周期一周期 缺貨費缺貨費 dttqc T T 1 )( 3 T C QTC),( 0,0 Q C T C 每天總費用每天總費用 平均值平均值 （目標函數(shù)）（目標函數(shù)） 2 13121 )( 2 1 2 1 TTrcQTccC 一周期總費用一周期總費用 MinQTC),(求求 T ,Q 使使 3 32 2 1 2 c cc rc c T 32 3 2 1 2 cc c c rc Q 為與不允許缺貨的存貯模型為與不允許缺貨的存貯模型 相比，相比，T記作記作T , Q記作記作Q. 允許缺貨的存貯模型允許缺貨的

11、存貯模型 rT QrTc rT Qc T c 2 )( 2 2 3 2 21 2 1 2 rc c T 2 1 2 c rc rTQ 不允許不允許 缺貨缺貨 模型模型 Q QTT, 3 32 c cc 記記 1QQTT, 1 3 cQQTT , 3 32 2 1 2 c cc rc c T 32 3 2 1 2 cc c c rc Q 允許允許 缺貨缺貨 模型模型 不不 允允 許許 缺缺 貨貨 3 c 3 32 2 1 2 c cc rc c T 32 3 2 1 2 cc c c rc Q 允許允許 缺貨缺貨 模型模型 0 q Q r T1tT 注意：缺貨需補足注意：缺貨需補足 Q 每周期初

12、的存貯量每周期初的存貯量 R 每周期的生產(chǎn)量每周期的生產(chǎn)量 R （或訂貨量）（或訂貨量） 3 32 2 1 2 c cc c rc TrR Q不允許缺貨時的產(chǎn)量不允許缺貨時的產(chǎn)量(或訂貨量或訂貨量) QQR 存存 貯貯 模模 型型 存貯模型存貯模型(EOQ公式公式)是研究批量生產(chǎn)計劃的是研究批量生產(chǎn)計劃的 重要理論基礎重要理論基礎, 也有實際應用也有實際應用. 建模中未考慮生產(chǎn)費用建模中未考慮生產(chǎn)費用, 為什么為什么?在什么條件下在什么條件下 可以不考慮可以不考慮(習題習題1)? 建模中假設生產(chǎn)能力為無限大建模中假設生產(chǎn)能力為無限大(生產(chǎn)時間不計生產(chǎn)時間不計), 如果生產(chǎn)能力有限如果生產(chǎn)能力有

13、限(大于需求量的常數(shù)大于需求量的常數(shù)), 應作怎應作怎 樣的改動樣的改動(習題習題2)? 3.2 生豬的出售時機生豬的出售時機 飼養(yǎng)場每天投入飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人力、設元資金，用于飼料、人力、設 備，估計可使備，估計可使80公斤重的生豬體重增加公斤重的生豬體重增加2公斤公斤. 問問 題題 市場價格目前為每公斤市場價格目前為每公斤8元，但是預測每天會降元，但是預測每天會降 低低 0.1元，問生豬應何時出售元，問生豬應何時出售? 如果估計和預測有誤差，對結果有何影響如果估計和預測有誤差，對結果有何影響? 分分 析析 投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨投入資金使生豬體重隨時間增

14、加，出售單價隨 時間減少，故存在最佳出售時機，使利潤最大時間減少，故存在最佳出售時機，使利潤最大. trtgttQ4)80)(8()( 求求 t 使使Q(t)最大最大 rg gr t 2404 10天后出售，可多得利潤天后出售，可多得利潤20元元. 建模及求解建模及求解 生豬體重生豬體重 w=80+rt 出售價格出售價格 p=8-gt 銷售收入銷售收入 R=pw 資金投入資金投入 C=4t 利潤利潤 Q= R-C 估計估計r=2， 若當前出售，利潤為若當前出售，利潤為808=640（元）（元） t 天天 出售出售 =10 Q(10)=660 640 g=0.1 =pw - 4t 敏感性分析敏感

15、性分析 研究研究 r, g微小變化時對模型結果的影響微小變化時對模型結果的影響. 估計估計r=2， g=0.1 rg gr t 2404 設設g=0.1不變不變 5 . 1, 6040 r r r t t 對對r 的（相對）敏感度的（相對）敏感度 rr tt rtS / / ),( t r dr dt 3 6040 60 ),( r rtS 生豬每天體重生豬每天體重 r 增加增加1%，出售時間推遲，出售時間推遲3%. 1.522.53 0 5 10 15 20 r t 敏感性分析敏感性分析 估計估計r=2， g=0.1 rg gr t 2404 研究研究 r, g微小變化時對模型結果的影響微小

16、變化時對模型結果的影響. 設設r=2不變不變 15. 00, 203 g g g t t 對對g的（相對）敏感度的（相對）敏感度 t g dg dt gg tt gtS / / ),( 3 203 3 ),( g gtS 生豬價格每天的降低生豬價格每天的降低g增加增加1%，出售時間提前，出售時間提前3%. 0.060.080.10.120.140.16 0 10 20 30 g t 強健性分析強健性分析 保留生豬直到每天收入的增值等于每天的費用時出售保留生豬直到每天收入的增值等于每天的費用時出售. 由由 S(t,r)=3 建議過一周后建議過一周后(t=7)重新估計重新估計 , 再作計算再作計算

17、.wwpp , 研究研究 r, g不是常數(shù)時對模型結果的影響不是常數(shù)時對模型結果的影響. w=80+rt w = w(t) 4)()()()(twtptwtp p=8-gt p =p(t) 若若 (10%), 則則 （30%） 2 . 28 . 1 w137 t 0)( t Q 每天收入的增值每天收入的增值 每天投入的資金每天投入的資金 ttwtptQ4)()()(利潤利潤 3.3 森林救火森林救火 森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量森林失火后，要確定派出消防隊員的數(shù)量. 隊員多，森林損失小，救援費用大；隊員多，森林損失小，救援費用大； 隊員少，森林損失大，救援費用小隊員少，森林損失大，救援

18、費用小. 綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量綜合考慮損失費和救援費，確定隊員數(shù)量. 問題問題 分析分析 問題問題 記隊員人數(shù)記隊員人數(shù)x, 失火時刻失火時刻t=0, 開始救火時刻開始救火時刻t1, 滅火時刻滅火時刻t2, 時刻時刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t). 損失費損失費f1(x)是是x的減函數(shù)的減函數(shù), 由燒毀面積由燒毀面積B(t2)決定決定. 救援費救援費f2(x)是是x的增函數(shù)的增函數(shù), 由隊員人數(shù)和救火時間決定由隊員人數(shù)和救火時間決定. 存在恰當?shù)拇嬖谇‘數(shù)膞，使，使f1(x), f2(x)之和最小之和最小. 關鍵是對關鍵是對B(t)作出合理的簡化假設作出合理的簡化假設. 問

19、題問題 分析分析 失火時刻失火時刻t=0, 開始救火時刻開始救火時刻t1, 滅火時刻滅火時刻t2, 畫出時刻畫出時刻t森林燒毀面積森林燒毀面積B(t)的大致圖形的大致圖形. t1t20t B B(t2) 分析分析B(t)比較困難比較困難, 轉而討論單位時間轉而討論單位時間 燒毀面積燒毀面積 dB/dt (森林燒毀的速度森林燒毀的速度). 模型假設模型假設 3）f1(x)與與B(t2)成正比，系數(shù)成正比，系數(shù)c1 (燒毀單位面積損失費）燒毀單位面積損失費） 1）0 t t1, dB/dt 與與 t成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) (火勢蔓延速度火勢蔓延速度). 2）t1 t t2, 降為降為 - x (

20、 為隊員的平均滅火為隊員的平均滅火速度速度). 4）每個）每個隊員的單位時間滅火費用隊員的單位時間滅火費用c2, 一次性費用一次性費用c3 . 假設假設1）的解釋）的解釋 r B 火勢以失火點為中心，均勻向四火勢以失火點為中心，均勻向四 周呈圓形蔓延，半徑周呈圓形蔓延，半徑 r與與 t 成正比成正比. 面積面積 B與與 t2 成正比成正比 dB/dt與與 t 成正比成正比 x b tt 12 2 0 2 )( t dt dt dB tB 模型建立模型建立 dt dB b 0 t1t t2 x 假設假設1） , 1 tb xcttxcxftBcxf 31222211 )()(),()( 目標函數(shù)

21、目標函數(shù)總費用總費用)()()( 21 xfxfxC 假設假設3）4） x t tt 1 12 假設假設2） )(222 2 1 22 12 x ttbt 0 dx dC xc x xtc x tctc xC 3 12 2 1 2 1 2 11 )(22 )( 模型建立模型建立目標函數(shù)目標函數(shù)總費用總費用 模型求解模型求解求求 x使使 C(x)最小最小 2 3 12 2 11 2 2 c tctc x 結果解釋結果解釋 / 是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù)是火勢不繼續(xù)蔓延的最少隊員數(shù) dt dB b 0 t1t2 t x 其中其中 c1,c2,c3, t1, , 為已知參數(shù)為已知參數(shù) 模型模型 應

22、用應用 c1,c2,c3已知已知, t1可估計可估計, c2 x c1, t1, x c3 , x 結果結果 解釋解釋 2 3 12 2 11 2 2 c tctc x c1燒毀單位面積損失費燒毀單位面積損失費, c2每個每個隊員單位時間滅火費隊員單位時間滅火費, c3每個每個隊員一次性費用隊員一次性費用, t1開始救火時刻開始救火時刻, 火火勢蔓延速度勢蔓延速度, 每個每個隊員平均滅火隊員平均滅火速度速度. 為什么為什么? ? , 可可設置一系列數(shù)值設置一系列數(shù)值 由模型決定隊員數(shù)量由模型決定隊員數(shù)量x 3.4 最優(yōu)價格最優(yōu)價格 問題問題 根據(jù)產(chǎn)品成本和市場需求，在產(chǎn)銷平根據(jù)產(chǎn)品成本和市場需

23、求，在產(chǎn)銷平 衡條件下確定商品價格，使利潤最大衡條件下確定商品價格，使利潤最大. 假設假設 1）產(chǎn)量等于銷量，記作）產(chǎn)量等于銷量，記作 x. 2）收入與銷量）收入與銷量 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) p 即價格即價格. 3）支出與產(chǎn)量）支出與產(chǎn)量 x 成正比，系數(shù)成正比，系數(shù) q 即成本即成本. 4）銷量）銷量 x 依于價格依于價格 p, x(p)是減函數(shù)是減函數(shù). 建模與建模與 求解求解 pxpI)(收入收入 qxpC)(支出支出 )()()(pCpIpU 利潤利潤 進一步設進一步設0,)(babpapx 求求p使使U(p)最大最大 0 * pp dp dU 使利潤使利潤 U(p)最大的最優(yōu)

24、價格最大的最優(yōu)價格 p*滿足滿足 * pppp dp dC dp dI 最大利潤在邊際收入等于邊際支出時達到最大利潤在邊際收入等于邊際支出時達到 pxpI)( qxpC)( bpapx)( )(bpaqp )()()(pCpIpU b aq p 22 * 建模建模 與求解與求解 邊際收入邊際收入邊際支出邊際支出 結果結果 解釋解釋 q / 2 成本的一半成本的一半 b 價格上升價格上升1單位時銷量的下降單位時銷量的下降 幅度（需求對價格的敏感度）幅度（需求對價格的敏感度） a 絕對需求絕對需求( p很小時的需求很小時的需求) b p* a p* 思考：如何得到參數(shù)思考：如何得到參數(shù)a, b?

25、bpapx)(銷量銷量p 價格價格q 成本成本 b aq p 22 * 最優(yōu)價格最優(yōu)價格 3.5 血血 管管 分分 支支 背背 景景 機體提供能量維持血液在血管中的流動機體提供能量維持血液在血管中的流動. 給血管壁以營養(yǎng)給血管壁以營養(yǎng).克服血液流動的阻力克服血液流動的阻力. 消耗能量與取決于血管的幾何形狀消耗能量與取決于血管的幾何形狀. 在長期進化中動物血管的幾何形狀已經(jīng)在長期進化中動物血管的幾何形狀已經(jīng) 達到能量最小原則達到能量最小原則. 研究在能量最小原則下，血管分支處研究在能量最小原則下，血管分支處 粗細血管半徑比例和分岔角度粗細血管半徑比例和分岔角度. 問問 題題 模型假設模型假設 一

26、條粗血管和兩條細血管在分支點對稱地處于同一平面一條粗血管和兩條細血管在分支點對稱地處于同一平面. 血液流動近似于粘性流體在剛性管道中的運動血液流動近似于粘性流體在剛性管道中的運動. 血液給血管壁的能量隨管血液給血管壁的能量隨管 壁的內表面積和體積的增壁的內表面積和體積的增 加而增加，管壁厚度近似加而增加，管壁厚度近似 與血管半徑成正比與血管半徑成正比. qq1 q1 A B B C H L l l1 r r1 q=2q1r/r1, ? 考察血管考察血管AC與與CB, CB 粘性流體在剛粘性流體在剛 性管道中運動性管道中運動 l pr q 8 4 pA,C壓力差，壓力差， 粘性系數(shù)粘性系數(shù) 克服

27、阻力消耗能量克服阻力消耗能量E1 4 2 1 8 d lq pqE 提供營養(yǎng)消耗能量提供營養(yǎng)消耗能量E2 21, 2 lbrE 管壁內表面積管壁內表面積 2 rl 管壁體積管壁體積 (d2+2rd)l, 管壁厚度管壁厚度d與與r成正比成正比 模型假設模型假設 qq1 q1 A B B C H L l l1 r r1 模型建立模型建立 qq1 q1 A B B C H L l l1 r r1 4 2 1 8 d lq pqE 克服阻力消耗能量克服阻力消耗能量 21, 2 lbrE 提供營養(yǎng)消耗能量提供營養(yǎng)消耗能量 11 4 1 2 1 42 21 2)/()/(lbrrkqlbrrkqEEE s

28、in/,/ 1 HLltgHLl sin/2)/( )/)(/(),( 1 4 1 2 1 42 1 Hbrrkq tgHLbrrkqrrE 機體為血流提供能量機體為血流提供能量 模型求解模型求解 qq1 q1 A B B C H L l l1 r r1 0,0 1 r E r E 4 1 1 4 r r 0 E 4 4 2cos 21 00 1 4937,32. 1/26. 1rr sin/2)/( )/)(/(),( 1 4 1 2 1 42 1 Hbrrkq tgHLbrrkqrrE 4 1 2cos r r 模型模型 解釋解釋 生物學家：結果與觀察大致吻合生物學家：結果與觀察大致吻合

29、大動脈半徑大動脈半徑rmax, 毛細血管半徑毛細血管半徑rmin 大動脈到毛細血管有大動脈到毛細血管有n次分岔次分岔 4 1 1 4 r r 4 min max 4 n r r 5 minmax 41000/rr 21 00 1 4937 32. 1/26. 1 rr 觀察：狗的血管觀察：狗的血管 )4(5n 3025n 血管總條數(shù)血管總條數(shù) 973025 10103222 n 推論推論n=？ q2 U(q1,q2) = c q1 0 1 l 2 l 3 l 3.6 消費者均衡消費者均衡 問題問題 消費者對甲乙兩種商品的偏愛程度用無差別消費者對甲乙兩種商品的偏愛程度用無差別 曲線族表示，問他如

30、何分配一定數(shù)量的錢，曲線族表示，問他如何分配一定數(shù)量的錢， 購買這兩種商品，以達到最大的滿意度購買這兩種商品，以達到最大的滿意度. 設甲乙數(shù)量為設甲乙數(shù)量為q1,q2, 消消 費者的無差別曲線族費者的無差別曲線族 (單調減、下凸、不相單調減、下凸、不相 交），記作交），記作 U(q1,q2)=c U(q1,q2) 效用函數(shù)效用函數(shù) 已知甲乙價格已知甲乙價格 p1, p2, 有錢有錢s，試分配，試分配 s, 購買甲乙數(shù)量購買甲乙數(shù)量 q1, q2,使使 U(q1, q2)最大最大. s/p2 s/p1 q2 U(q1,q2) = c q1 0 1 l 2 l 3 l 模型模型 及及 求解求解 已

31、知價格已知價格 p1,p2,錢錢 s, 求求q1,q2,或或 p1q1 / p2q2, 使使 U(q1,q2)最大最大. sqpqpts qqUZ 2211 21 . . ),(max ),( 2211 qpqpUL) 2 , 1(0 i q L i 2 1 2 1 p p q U q U 1 2 2 dq dq Kl 幾幾 何何 解解 釋釋 sqpqp 2211 直線直線MN: 最優(yōu)解最優(yōu)解Q: MN與與 l2切點切點 21 / ppK MN 斜率斜率 M Q N 21 / q U q U 2 1 2 1 p p q U q U 結果結果 解釋解釋21 , q U q U 邊際效用邊際效用

32、消費者均衡狀態(tài)在兩種商品消費者均衡狀態(tài)在兩種商品 的邊際效用之比恰等于它們的邊際效用之比恰等于它們 價格之比時達到價格之比時達到. 效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) 應滿足的條件應滿足的條件 條件條件A U(q1,q2) =c 所確定的函數(shù)所確定的函數(shù) q2=q2(q1)單調減、下凸單調減、下凸 解釋條件解釋條件 B的實際意義的實際意義 0, 0, 0, 0, 0 21 2 2 2 2 2 1 2 21 qq U q U q U q U q U 條件條件B 條件條件B條件條件A 0,)(. 1 1 21 qq U 效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) 幾種常用幾種常用的形式的形式 2 1 2 1

33、p p q U q U 2 1 22 11 p p qp qp 消費者均衡狀態(tài)下購買兩種商品費用之比消費者均衡狀態(tài)下購買兩種商品費用之比 與二者價格之比的平方根成正比與二者價格之比的平方根成正比. U(q1,q2)中參數(shù)中參數(shù) , 分別表示消費者對甲乙分別表示消費者對甲乙 兩種商品的偏愛程度兩種商品的偏愛程度. 1,0,. 2 21 qqU 0,)(. 3 2 21 baqbqaU 2 1 2 1 p p q U q U 22 11 qp qp 購買兩種商品費用之比與二者價格無關購買兩種商品費用之比與二者價格無關. U(q1,q2)中參數(shù)中參數(shù) , 分別表示對甲乙分別表示對甲乙的偏愛程度的偏愛

34、程度. 思考：如何推廣到思考：如何推廣到 m ( 2) 種商品的情況種商品的情況? 效用函數(shù)效用函數(shù)U(q1,q2) 幾種常用幾種常用的形式的形式 3.7 冰山運輸冰山運輸 背景背景 波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水波斯灣地區(qū)水資源貧乏，淡化海水 的成本為每立方米的成本為每立方米0.1英鎊英鎊. 專家建議從專家建議從9600千米遠的南極用拖千米遠的南極用拖 船運送冰山，取代淡化海水船運送冰山，取代淡化海水. 從經(jīng)濟角度研究冰山運輸?shù)目尚行詮慕?jīng)濟角度研究冰山運輸?shù)目尚行? 建模準備建模準備1. 日租金和最大運量日租金和最大運量 船船 型型 小小 中中 大大 日租金（英鎊）日租金（英鎊） 最大運量（

35、米最大運量（米3） 4.06.28.0 5 105106107 2. 燃料消耗（英鎊燃料消耗（英鎊/千米）千米） 3. 融化速率（米融化速率（米/天）天） 與南極距離與南極距離 (千米千米) 船速船速(千米千米/小時小時) 0 1000 4000 1 3 5 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6 冰山體積冰山體積(米米3) 船速船速(千米千米/小時小時) 105 106 107 1 3 5 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 19.8 建模準備建模準備 建模建模 目的目的 選擇船型和船速，使冰山到達目的地后每立選擇船型和船速，

36、使冰山到達目的地后每立 米水的費用最低，并與淡化海水的費用比較米水的費用最低，并與淡化海水的費用比較. 模型模型 假設假設 航行過程中船速不變，總距離航行過程中船速不變，總距離9600千米千米. 冰山呈球形，球面各點融化速率相同冰山呈球形，球面各點融化速率相同. 到達目的地后，每立米冰可融化到達目的地后，每立米冰可融化0.85立米水立米水. 建模建模 分析分析 目的地目的地 水體積水體積 運輸過程運輸過程 融化規(guī)律融化規(guī)律 總費用總費用 目的地目的地 冰體積冰體積 初始冰初始冰 山體積山體積 燃料消耗燃料消耗 租金租金 船型船型, 船速船速 船型船型 船型船型, 船速船速 船型船型 u tu

37、u ttuu r t 6 1000 ),4 . 01 (2 . 0 6 1000 0,)4 . 01 (1056. 1 3 第第t天融天融 化速率化速率 4000),1 ( 40000),1 ( 2 1 dbua dbuda r 4 . 0, 2 . 0,105 . 6 2 5 1 baa 模模 型型 建建 立立 1. 冰山融化規(guī)律冰山融化規(guī)律 船速船速u (千米千米/小時小時) 與南極距離與南極距離d(千米千米) 融化速率融化速率r(米米/天）天） r是是 u 的線性函數(shù)的線性函數(shù) d4000時時u與與d無關無關 航行航行 t 天天, d=24ut 0 1000 4000 1 3 5 0 0.1 0.3 0 0.15 0.45 0 0.2 0.6 u r d 1, 6, 3 . 0 321 ccc 1 4 3 3 4 log)6(2 . 7 ),()log(24),( 3 1 3 0 10 3010210 t k k r V uu ctVuVcucutVuq ),)(log( 310211 cVcucq 2. 燃料消耗燃料消耗 105 106 107 1 3 5 8.4 10.5 12.6 10.8 13.5 16.2 13.2 16.5 1