海天考研數(shù)三解答題部分--周薔

1、海天考研-專項(xiàng)突破 解答題（高數(shù)部分）數(shù)三 專用 （周薔編輯整理） 考研數(shù)三中第三部分解答題中高數(shù)題量 5道: 主要涉及以下： 一、極限： 1 2sin x -x -1 1求極限lim 7xl n(1+x) 1 1 2求極限1)加。 1 - ysin 3.設(shè) f x,y -, x 0, y 0,求 1 +xyarcta nx (i) g x 二jmx,y ； (n) xinm ,g x . 1 ) x 1 x x 1 -e 5.求 lim (2 x o sin2x cos2 x ) 6求極限lim ln sin x x 、二重積分 1. f (x)在0,1有連續(xù)的導(dǎo)數(shù)，f(0)= 1,且. D

2、t (x y)dxdy 二 f (x y)dxdy , Dt Dt 二( x, y) | 0 乞 y 豈 t, 0 乞 x 乞 t(0: t 乞 1),求 f (x)的表達(dá)式。 2.計(jì)算二重積分,(x y)3 dxdy,其中D由曲線x =1 y2與直線x r 2y = 0及 D x _ -、2y =0圍成 3設(shè)二元函數(shù) 2 x . 1 x2 y2 計(jì)算二重積分 4計(jì)算二重積分 5計(jì)算二重積分 ! ! f(x,y)d；.其中 D -(x, y) x|“|y - 2/ D -xydxdy，其中D是由直線y = x, y = 1,x=0所圍成的平面區(qū)域. D JJ X2 + y2 1dcr，其中 D

3、 =(x, y) 0 蘭 x 蘭1,0 蘭 y 蘭1 D f(x, y)廠 1.已知函數(shù)f(U, V)具有連續(xù) ：2z zr(x (x,，求心 |(1,1) 2.求函數(shù)M二xy 2yz在約束條件 2 2 2 x y z =10下的最大值和最小值。 6.求11( ；x2y2 y)d匚，其中D是由圓x2y2= 4和(x1)2y2= 1所圍成平面區(qū)域. D I22 7. 計(jì)算二重積分(x-y)dxdy，其中 D H( x, y) (x -1) (y-1) 2, y x. D 8. 計(jì)算 ffmax(xy,1)dxdy,其中 D =(x, y) 0 蘭 x 蘭 2,0 蘭 y 蘭 2. D 9.計(jì)算二

4、重積分I = ex ysin(x2 y2)dxdy.其中積分區(qū)域 D 2 2 D =( x, y) x + y n. 三、多元函數(shù)微分: 的二階偏導(dǎo)數(shù)，f (1,1) = 2是f (u,v)的極值， 3設(shè)f(u)具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且 y , x, g(x, y) = f (丄)yf ()f (u,v), f (1,1) = 2,z = f(x y), f (x, y)， x y 廠2.f2 g 2 ： g 求x 2 -y 廠 x:y 4.求二元函數(shù)f (x, y) = x 2 yyl n y的極值. 5.設(shè)z=z(x, y)是由方程x y：ix y z所確定的函數(shù)，其中具有2階導(dǎo)數(shù)且 czcz

5、 u ，求 ex 1 ：-1 時(shí).(1 )求 dz ( 2)記 u x, y = x - 82 f32 f1 22 6設(shè)f(u,v)具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足 22 -1，又g(x, y) = fxy,(x2 - y2), cucv2 .2.2 :g ：一 g 、22 * x :-y 四、證明題： 1. 證明4arctan x - x3=0恰有2實(shí)根。 3 2. 設(shè)函數(shù)f(x)在0,3內(nèi)連續(xù)，在(0,3)內(nèi)存在二階導(dǎo)數(shù), 2 且 2f (0) = f(x)dx 二 f (2) f (3)。 (I)證明：存在廠e (0,2)，使得f ( ) = f (0)； (II)證明：存在(0,3)，使得)

6、=0。 3.設(shè)函數(shù)f (x) , g(x)在l.a,b 1上內(nèi)二階可導(dǎo)且存在相等的最大值，又f(a) = g(a), f (b) = g(b)，證明: (i)存在 (a,b),使得 f ( ) =g(); (n)存在 1 三(a,b),使得 f =g(). 4. 證明：當(dāng) 0 ： a : b ：二 時(shí)，bsin b 2cos b 二 b asin a 2cos a 二 a . 5. 設(shè) f (x), g(x)在0,1上的導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且 f(0) =0, f (x)0,g (x) 一 0. a1 6. 證明：對(duì)任何 a w 0,1 有 0 g(x) f (x)dx + f (x)g(x)dx z

7、f (a)g(1). 7.設(shè)f (x) , g(x)在a , b上連續(xù)，且滿足 xx af(t)dt 一 ag(t)dt , x a aa bb b) , ,f(t)dt= g(t)dt. aa f(x)在la, bl上連續(xù)，在 a, b上可導(dǎo)，則 (n)證明：若函數(shù)f (x)在x = 0處連續(xù)，在0, 證明： bb xf(x)dx 空 xg(x)dx a a 8. ( i)證明拉格朗日中值定理，若函數(shù) a, b，得證 f(b) -f (a)二 f( ) b-a . 二，(二 0)內(nèi)可導(dǎo)，且 lim f (x)二 A , 30 則 f (0)存在，且 f .(0) = A 9設(shè)f X是周期為2

8、的連續(xù)函數(shù), t半2 (1)證明對(duì)任意實(shí)數(shù)t,有t f x dx f x dx ; (2)證明 2的周期函數(shù). 10.設(shè)函數(shù) f(x)在 10,3 上連續(xù)，在(0,3)內(nèi)可導(dǎo)，且 f(0)f(1) f (2)=3, f (3)=1. 試證必存在二二.(0,3)，使f)= 0. 五、幕級(jí)數(shù) 1 1將函數(shù)f(x)二飛展開成x-1的幕級(jí)數(shù)，并指出其收斂區(qū)間 X2 3x4 2求幕級(jí)數(shù) CO Z n幺 一1 2n 1 x 的收斂域及和函數(shù) n 2n -1 S(x). 1 3求幕級(jí)數(shù)(-1)x2n在區(qū)間(-1,1)內(nèi)的和函數(shù)S(x). n壬 2n +1 468 xxx 4設(shè)級(jí)數(shù)(-： X ：) 2 42

9、4 62 4 6 8 的和函數(shù)為S(x).求: (I) S(x)所滿足的一階微分方程; (II) S(x)的表達(dá)式. 近x2n 5. 求幕級(jí)數(shù)1 +送(-1)n (x 0 ). (I )求L的方程； 8 (n)當(dāng)L與直線y = ax所圍成平面圖形的面積為 時(shí)，確定a的值. 3 2.設(shè)F(x)二f (x)g(x),其中函數(shù)f(x),g(x)在內(nèi)滿足以下條件: f (x)二 g(x) , g (x)二 f (x), 且 f(0) =0, f (x) g(x)=2ex. (1)求F(x)所滿足的一階微分方程; 求出F(x)的表達(dá)式. 七、積分綜合 1. (I)比較 fjlnt Dn(1+t) dt與

10、 1 tn ln t dt ( n = 1,2,3,.)； (II )記 Un 1 =f In t Dn (1+t)dt (n= 1,2,3,.),求 lim u n。 j 0/n_ac 2.設(shè)曲線y = f (x)，其中f (x)是可導(dǎo)函數(shù)，且 f(x) 0.已知曲線y二f (x)與直線 y=0,x = 1及x=t(t1)所圍成的曲邊梯形繞 x軸旋轉(zhuǎn)一周所得的立體體積值是該曲 邊梯形面積值的 二t倍，求該曲線的方程. 八、不定積分計(jì)算 1.求 arcsin ：x lnxdx Vx 2.計(jì)算ln(1 ?xx)d x (x 0) 九、經(jīng)濟(jì)問題 P (0 , 20)，Q為需求量. 1.設(shè)某商品的需求函數(shù)為 Q - 100-5P，其中價(jià)格 (I)求需求量對(duì)價(jià)格的彈性Ed (Ed 0)； dR (II)推導(dǎo) Q(1-Ed)(其中R為收益)，并用彈性Ed說明價(jià)格在何范圍內(nèi)變化時(shí)， dP 降低價(jià)格反而使收益增加. 2.設(shè)銀行存款的年利率為 r =0.05，并依年復(fù)利計(jì)算，某基金會(huì)希望通過存款A(yù)萬(wàn)元，實(shí) 現(xiàn)第一年提取19萬(wàn)元，第二年提取 28萬(wàn)元，第n年提取(10