9.4.1雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程

1、數(shù)學(xué)學(xué)科教案設(shè)計(jì)(首頁)班級(jí):課時(shí)：2授課時(shí)間:第( )頁課題：941 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程目的要求:了解雙曲線的概念及標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，理解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中參數(shù)的 幾何意義，會(huì)根據(jù)題目條件建立雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.重點(diǎn)難點(diǎn):教學(xué)重點(diǎn)是理解雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程及參數(shù)的幾何意義，掌握建立雙曲線方 程的方法.教學(xué)難點(diǎn)是了解雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的推導(dǎo)過程，并掌握建立雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程 的方法與技巧.教學(xué)方法及教具:采用講授法、討論法與直觀演示法相結(jié)合完成教學(xué)，多媒體設(shè)備與作圖工 具輔助教學(xué).教學(xué)反思:作業(yè)或思考題:(1)讀書部分：復(fù)習(xí)教材中 9.4.1 ;(2)書面作業(yè)：修改課堂練習(xí)并完成學(xué)習(xí)手冊(cè)第150頁中強(qiáng)化練習(xí)1

2、2.教學(xué)過程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖時(shí)間*揭示新知識(shí)前面學(xué)習(xí)了橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與性質(zhì).個(gè)定點(diǎn)F1 , F2的距離的和等于常數(shù)（大于 IF1F2 I）的點(diǎn) 的軌跡叫做橢圓.在平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)F1 , F2的距離的差等于常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是什么曲線呢？本次課我們 來研究這個(gè)問題.在平面內(nèi)與兩介紹說明傾聽了解點(diǎn)明教 學(xué)內(nèi)容03分鐘*創(chuàng)設(shè)情景新知識(shí)導(dǎo)入 觀察與思考如圖9-17所示，取一條拉鏈，播放 課件 質(zhì)疑觀看 課件 思考在拉開的兩邊上各選擇一點(diǎn)，分別固定在點(diǎn)Fi， F2上，點(diǎn)M到點(diǎn)F2與到點(diǎn)Fi的長(zhǎng)度之差的絕對(duì)值為2a（aA0 ）.把拉開它的一部分,圖 9 17筆尖放在點(diǎn)M處，隨著逐漸拉開或者閉攏，筆尖

3、就畫出一條曲線.與點(diǎn)F1和F2的距離之差的絕對(duì)值等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的 軌跡是雙曲線.*觀察思考探索新知雙曲線的概念平面內(nèi)與兩個(gè)定點(diǎn)Fi , F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)（小于IF1F2I且不等于0 ）線.這兩個(gè)定點(diǎn)叫做雙曲線的焦點(diǎn) 做焦距.雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程如圖9-18所示，取過焦點(diǎn)F1 , F2的直線為x軸，線段F1F2的垂直平分線為y軸設(shè)的點(diǎn)的軌跡叫做雙曲引導(dǎo)分析自我建構(gòu)通過動(dòng) 手實(shí)際 操作， 引導(dǎo)學(xué) 生自然 進(jìn)入新 知識(shí)的 學(xué)習(xí)與 探索， 并初步 認(rèn)識(shí)雙 曲線的 概念.05分鐘歸納講解強(qiáng)調(diào)探研理解記憶通過前 面的觀 察，引 導(dǎo)學(xué)生 歸納并 理解雙 曲線的 有關(guān)概 念.22分鐘數(shù)學(xué)學(xué)科教案設(shè)計(jì)(

4、副頁)教學(xué)過程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖M(x, y )是雙曲線上的任意一點(diǎn)，雙曲線的焦距是2c(c aO ),那么Fi , F2的坐標(biāo)分別是(-c, 0 )、(C, 0 ).又設(shè)點(diǎn) M與Fi和F2的距離的差的絕對(duì)值等于常數(shù)2a ,則點(diǎn)M適合下列條件|MFi |I MF2 |=2a .根據(jù)兩點(diǎn)的距離公式，得J(x +c)2 +y2 Jc)2 +y2 七a .將這個(gè)方程移項(xiàng)，兩邊平方，得:(X +c)2 +y2 =4a2 4a J(x-c)2+y2 +(x-c)2 +y2,化簡(jiǎn)，得a2 -cx = aj(x -c)2 +y2 .兩邊再平方,得-2a2cx+c2x2= a2x2 -2a2cx +a2

5、c2 +a2y2.整理，得(c -a2)x2-a2y2 =a2(c2 -a2)歸納探研講解強(qiáng)調(diào)理解記憶根據(jù)建 立曲線 方程的 步驟， 引導(dǎo)學(xué) 生共同 推導(dǎo)雙 曲線的 標(biāo)準(zhǔn)方 程，并 幫助學(xué) 生理解 方程中 參數(shù)的 幾何意 義.由雙曲線定義可知, 所以 C2 a2 A0 .2c 2a，即 c a ,設(shè) c -a2 =b2(b 0)，得b2x2 -a2y2 =a2b2 .兩邊除以a2b2，得2 2務(wù)-占=1(a aO, b aO).a b(1)反之，可以證明，如果點(diǎn)M(X, y )的坐標(biāo)滿足方程(1),那么點(diǎn)M 定在雙曲線上.因此，方程(1)是 雙曲線的方程通常把這個(gè)方程叫做雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程它所表

6、示的雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，焦點(diǎn)是數(shù)學(xué)學(xué)科教案設(shè)計(jì)（副頁）教學(xué)過程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖2 2 2F-c, 0 ), F2 (c, 0 )，這里 c=a +b .歸納探研如圖919所示，如果雙曲線的焦點(diǎn)在 y軸上，焦點(diǎn)是 h (O, -c ), F2(O, c講解理解只要將方程（1）的x , y互換，就可以得到它的方程,強(qiáng)調(diào)記憶幫助學(xué) 生理解 焦點(diǎn)在 不同的 軸上的 雙曲線 的方程 形式不 同.這時(shí)方程為-192 2yx2T =1 (a 0, b 0).ab(2)這個(gè)方程也是 雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程 說明：因?yàn)殡p曲線的焦點(diǎn)無論在上，它們的方程都含有兩個(gè)參數(shù) a、 方程需要兩個(gè)條件.x軸上還是在y軸b

7、,所以建立雙曲線*鞏固知識(shí)典型例題例題 1 已知兩點(diǎn) Fi(272, 0 ), F2(2J2, 0 )，求與它們的距離的差的絕對(duì)值是 2幣的動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程.解：根據(jù)定義，所求動(dòng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線,因 c=22,a=3,所以 b2 =c2 -a2質(zhì)疑分析思考回答因此，所求方程是22y=1 即 X曲（硏，即匸例題2寫出適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:（1） a =4，焦點(diǎn)為Fi( 0 ), F2(5, 0 )；講解理解通過例 題的講 解，幫 助學(xué)生 掌握根 據(jù)雙曲 線的概 念建立 其標(biāo)準(zhǔn) 方程的 常規(guī)方 法.25分鐘* （2）焦點(diǎn)在x軸上,C =亦,且通過點(diǎn)（J2,-2 ）;* （3）通過兩點(diǎn)（-2

8、,3逅)和(2/3,-6 ).第（ ）頁教學(xué)過程教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖解：（1 ）由已知條件得：c=5, a =4，焦點(diǎn)在x軸上，貝y b= J5Z -42 =3 .因此所求雙曲線的2222標(biāo)準(zhǔn)方程是X_2=1，即_乞=1.4 316 9* （2）因?yàn)榻裹c(diǎn)在x軸上，所以可設(shè)所求的雙曲線2 2 方程為冷亠a b=1 .由 C ，得2 2a +b =5.又因通過點(diǎn)（Q -2 卜 將它代入雙曲線方程得曲 X)2 1 a b質(zhì)疑分析講解思考回答理解通過例 題的講 解，幫 助學(xué)生 掌握建 立雙曲 線方程 的常規(guī) 方法與 技巧.整理，得|a2 +b2 =5,由、聯(lián)立方程組 24廠廠1解得a2 =1,b2

9、 =4 .2 亠1.4* （3）因?yàn)椴恢裹c(diǎn)在x軸還是在y軸上，故設(shè)所求2 2的雙曲線方程為+=1;若根據(jù)已知條件求得M N因此所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程是X2M 0, N CO，則雙曲線的焦點(diǎn)在 x軸上；若根據(jù)已知條件求得M CO, N 0,則雙曲線的焦點(diǎn)在 y軸上.又因?yàn)殡p曲線經(jīng)過兩點(diǎn)（-2, 血 和（2藥，-6 ）,（吃2十（3君）=1,M 2 N 解得 M =r, N =9. 罔)，由+L=1.MN教學(xué)過程2 2因此，所求雙曲線的方程為 -=1.94*運(yùn)用知識(shí)跟蹤練習(xí)跟蹤練習(xí)1已知F1（0, -5 ）, F2（O, 5 ），曲線上的動(dòng)點(diǎn)P到Fl，F(xiàn)2的距離之差的絕對(duì)值為 8，求曲線的方程.跟蹤練習(xí)2寫出適合下列條件的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程:(1)b=2，焦點(diǎn)為 Fi(O, 3 ), F2(O, 3 )；c=5，經(jīng)過點(diǎn)（372, 4 ），焦點(diǎn)在x軸上;通過點(diǎn)賦 1 和（-2, 0 yI 2丿 *歸納小結(jié)強(qiáng)化新知本次課學(xué)了哪些內(nèi)容？重點(diǎn)和難點(diǎn)各是什么？（1）本次課學(xué)了哪些內(nèi)容？（