排隊(duì)論練習(xí)題

1、第 9 章 排隊(duì)論判斷下列說法是否正確：1）若到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的顧客為泊松流，則依次到達(dá)的兩名顧客之間的間隔時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布；2）假如到達(dá)排隊(duì)系統(tǒng)的顧客來自兩個(gè)方面，分別服從泊松分布，則這兩部分顧客合起來的顧客流仍為泊松分布；3）若兩兩顧客依次到達(dá)的間隔時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，又將顧客按到達(dá)先后排序，則第1、3、5、7，名顧客到達(dá)的間隔時(shí)間也服從負(fù)指數(shù)分布；4）對 M/M/1 或 M/M/C 的排隊(duì)系統(tǒng)，服務(wù)完畢離開系統(tǒng)的顧客流也為泊松流；5）在排隊(duì)系統(tǒng)中，一般假定對顧客服務(wù)時(shí)間的分布為負(fù)指數(shù)分布，這是因?yàn)橥ㄟ^對大量 實(shí)際系統(tǒng)的統(tǒng)計(jì)研究，這樣的假定比較合理；6）一個(gè)排隊(duì)系統(tǒng)中，不管顧客到達(dá)和服務(wù)時(shí)間

2、的情況如何，只要運(yùn)行足夠長的時(shí)間后， 系統(tǒng)將進(jìn)入穩(wěn)定狀態(tài)；7）排隊(duì)系統(tǒng)中，顧客等待時(shí)間的分布不受排隊(duì)服務(wù)規(guī)則的影響；8）在顧客到達(dá)及機(jī)構(gòu)服務(wù)時(shí)間的分布相同的情況下，對容量有限的排隊(duì)系統(tǒng)，顧客的平 均等待時(shí)間將少于允許隊(duì)長無限的系統(tǒng)；9）在顧客到達(dá)的分布相同的情況下，顧客的平均等待時(shí)間同服務(wù)時(shí)間分布的方差大小有 關(guān)，當(dāng)服務(wù)時(shí)間分別的方差越大時(shí)，顧客的平均等待時(shí)間將越長；10 ）在機(jī)器發(fā)生故障的概率及工人修復(fù)一臺機(jī)器的時(shí)間分布不變的條件下，由 1 名工人看管 5 臺機(jī)器，或由 3 名工人聯(lián)合看管 15 臺機(jī)器時(shí)，機(jī)器因故障等待工人維修的平均時(shí) 間不變。M/M/1、某理發(fā)店只有一名理發(fā)師， 來理發(fā)的

3、顧客按泊松分布到達(dá)，平均每小時(shí) 4 人， 理發(fā)時(shí)間服 從負(fù)指數(shù)分布，平均需 6 小時(shí)，求：（1）理發(fā)店空閑時(shí)間的概率；（2）店內(nèi)有 3 個(gè)顧客的概率；（3）店內(nèi)至少有 1 個(gè)顧客的概率；（4）在店內(nèi)顧客平均數(shù)；（5）在店內(nèi)平均逗留時(shí)間；（6）等待服務(wù)的顧客平均數(shù)；（7）平均等待服務(wù)時(shí)間；（8）必須在店內(nèi)消耗 15 分鐘以上的概率。、某修理店只有一個(gè)修理工，來修理東西的顧客到達(dá)次數(shù)服從泊松分布，平均每小時(shí) 4 人，修理時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均需 6 分鐘。求：1）修理店空閑時(shí)間的概率；2）店內(nèi)有 3 個(gè)顧客的概率；3）店內(nèi)顧客平均數(shù)；4）店內(nèi)等待顧客平均數(shù)；5）顧客在店內(nèi)平均逗留時(shí)間；6）平均等

4、待修理時(shí)間。的含義：、對 M/M/1 的排隊(duì)模型，根據(jù)下列等式右側(cè)的表達(dá)式分別解釋1） ； （2） P（n 0）； （3） Ls Lq ；4）WqWs、汽車平均以每 5 分鐘一輛的到達(dá)率去某加油站加油，到達(dá)過程為泊松過程，該加油站 只有一臺加油設(shè)備，加油時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，且平均需要 4 分鐘，求：（1）加油站內(nèi)平均汽車數(shù)；（2）每輛汽車平均等待加油時(shí)間；（3）汽車等待加油時(shí)間超過 2 分鐘的概率是多少、設(shè)到達(dá)一個(gè)加工中心的零件平均為 60 件/h ，該中心的加工能力為平均 75 件/h 。問處于穩(wěn) 定狀態(tài)時(shí)刻該加工中心的平均輸出率是 60 還是 75 件 /h 簡要說明理由。、 到達(dá)只有一個(gè)

5、加油設(shè)備的加油站的汽車的平均到達(dá)率為60 臺/h ，由于加油站面積比較小又擁擠，到達(dá)的汽車平均每 4 臺中 有一臺不進(jìn)入站內(nèi)而離去。這種情況下排隊(duì)等待加油的 汽車隊(duì)列（不計(jì) 正在加油的汽車）為臺，求進(jìn)入該加油站的汽車等待加油的平均時(shí)間。、某車站候車室在某段時(shí)間內(nèi)旅客以強(qiáng)度為 50 人 h 的泊松流到達(dá)，每位旅客在候車室內(nèi) 平均停留時(shí)間為，服從負(fù)指數(shù)分布。問候車室內(nèi)的平均候車人數(shù)為多少、考慮一個(gè)單服務(wù)臺， 隊(duì)長無限的排隊(duì)系統(tǒng)， 它的服務(wù)時(shí)間及到達(dá)的間隔時(shí)間均為一般的概 率分布。求證： Ls Lq （1 P0） ； Ls Lq； P0 1 0、某車間的工具倉庫只有一個(gè)管理員，平均每小時(shí)有 4 個(gè)工

6、人來借工具，平均服務(wù)時(shí)間為 6min 。到達(dá)為泊松流，服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布。由于場地等條件限制，倉庫內(nèi)能借工具的 人最多不能超過 3 個(gè)，求：（1）倉庫內(nèi)沒有人借工具的概率； （2）系統(tǒng)中借工具的平均人數(shù)； （3）排隊(duì)等待借工具的平 均人數(shù)；（4）工人在系統(tǒng)中平均花費(fèi)的時(shí)間； （5）工人平均排隊(duì)時(shí)間。、汽車按泊松分布到達(dá)只有一套加油設(shè)備的加油站，平均15 輛/h ，當(dāng)加油站已有 n 臺汽車在加油或者等待加油時(shí)， 新到達(dá)的汽車將按 n/3 的概率離去， 又每輛車加油時(shí)間為平均 4min 的負(fù)指數(shù)分布，試（ 1）畫出上述排隊(duì)系統(tǒng)的生滅過程發(fā)生概率圖； （ 2）求處于穩(wěn)定系統(tǒng)處 于各狀態(tài)的概率。、

7、在工廠的一個(gè)工具檢測部門，要求檢測的工具來自該廠各車間，平均25 件/h ，服從泊松分布。檢測每件工具的時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布，平均每件2min。試求：（1）該檢測部門空閑的概率；（2）一件送達(dá)的工具到檢測完畢其停留時(shí)間超過20min 的概率（3）等待檢測的工具的平均數(shù)（4）等待檢測的工具在 8 到 10 件間的概率（5）分別找出在下列情況時(shí)等待檢測的工具的平均數(shù)：a 檢測速度加快； b 送達(dá)的檢測工具數(shù)降低 20； c 送達(dá)的檢測工具數(shù)和檢測速度均增大20。、某醫(yī)院有一臺心電圖機(jī)，要求做心電圖的病人按照泊松分布到達(dá)， 平均每小時(shí) 5 人。 又為 每位病人做心電圖的時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布， 平均每人 1

8、0min。設(shè)心電圖室除正在做的病人外， 尚有 5 把等待的椅子。問（ a）到達(dá)的病人中有多大比例椅子坐； （ b）為使到達(dá)的病人至少 有 95 以上能有椅子坐，則在心電室至少應(yīng)該設(shè)多少把等待的椅子、一名機(jī)工負(fù)責(zé) 5 臺機(jī)器的維修。已知每臺機(jī)器平均2h 發(fā)生一次故障，服從負(fù)指數(shù)分布。機(jī)工維修速度為臺 /h ，服從泊松分布。試求：（ 1） 全部機(jī)器處于運(yùn)行狀態(tài)的概率（ 2） 等待維修的機(jī)器的平均數(shù)（3）若該車工負(fù)責(zé) 6 臺機(jī)器的維修，其他各項(xiàng)數(shù)據(jù)不變，則上述（1），（ 2）的結(jié)果如何（ 4） 若希望至少 50時(shí)間內(nèi)所有機(jī)器能正常運(yùn)轉(zhuǎn)，求該機(jī)工最多負(fù)責(zé)維修的機(jī)器 數(shù)。、 一個(gè)有一套設(shè)備的洗車店， 要

9、求洗車的車輛平均每 4min 到達(dá)一輛， 洗每輛車需要 3min ， 以上均服從負(fù)指數(shù)分布。 該店現(xiàn)在有 2 個(gè)車位，當(dāng)?shù)陜?nèi)無車時(shí)， 到達(dá)車輛全部進(jìn)入， 當(dāng)有一 輛車時(shí)，只有 80 進(jìn)入，有兩輛車時(shí)，到達(dá)車輛因?yàn)闊o系統(tǒng)服務(wù)而全部離去。要求：（1）對此排隊(duì)系統(tǒng)畫出生死過程發(fā)生率。（2）求洗車設(shè)備平均利用率，及一輛進(jìn)入該店的車輛在該洗車電的平均逗留時(shí)間WS（3）為減少顧客流失， 店里擬擴(kuò)大租用 3 個(gè)車位，這樣當(dāng)?shù)陜?nèi)已有 2 輛車時(shí)，到達(dá)車輛 60 進(jìn)入，有 3 輛車時(shí)，新車輛仍全部經(jīng)濟(jì)算當(dāng)租用第 3 車位時(shí)，該洗衣店內(nèi)有 n 輛車的概率 Pn 如下：n0123Pn04160 3120187008

10、5若該車店每天營業(yè) 24 小時(shí)，新車位租金 100 元/ 天，洗一輛車的凈盈利為 5 元，問該第 3 車位是否值得租用M/M/C 模型、某銀行有三個(gè)出納員，顧客以平均速度為4 人/ 分鐘的泊松流到達(dá)，所有的顧客排成一隊(duì)，出納員與顧客的交易時(shí)間服從平均數(shù)為分鐘的負(fù)指數(shù)分布，試求：（1）銀行內(nèi)空閑時(shí)間的概率；（2）銀行內(nèi)顧客數(shù)為 n 時(shí)的穩(wěn)定概率；（3）平均隊(duì)列長 Lq ；（4）銀行內(nèi)的顧客平均數(shù) L s；（5）在銀行內(nèi)的平均逗留時(shí)間 Ws ；6） 等待服務(wù)的平均時(shí)間 Wq 。、某電話亭有一部電話， 來打電話的顧客數(shù)服從泊松分布， 相繼兩個(gè)人到達(dá)間的平均時(shí)間為10分鐘，通話時(shí)間服從指數(shù)分布，平均數(shù)

11、為 3 分鐘。求：（1）顧客到達(dá)電話亭要等待的概率；（2）等待打電話的平均顧客數(shù)；（3）當(dāng)一個(gè)顧客至少要等待 3 分鐘才能打電話時(shí)，電信局打算增設(shè)一臺電話機(jī)，問到達(dá)速 度增加多少時(shí)，裝第二臺電話機(jī)才是合理的（4）打一次電話要等 10 分鐘以上的概率是多少（5）第二臺電話機(jī)安裝后，顧客的平均等待時(shí)間是多少、某商店收款臺有 3 名收款員，顧客到達(dá)率為每小時(shí) 504 人，每名收款員服務(wù)率為每小 時(shí) 240 人，設(shè)顧客到達(dá)為泊松輸入， 收款服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布， 求解： P0 , Lq, Ls,Wq,Ws。、某食堂有兩個(gè)窗口，用餐人員以平均到達(dá)間隔時(shí)間是 8 分鐘的泊松流大大，服務(wù)時(shí)間 服從負(fù)指數(shù)分

12、布且平均服務(wù)時(shí)間為5 分鐘，試求：（1）窗口不空而耽擱的概率；（2）至少有一個(gè)服務(wù)臺都空閑的概率；（3）兩個(gè)服務(wù)臺都空閑的概率。、某工具間管理相當(dāng)差， 平均為一個(gè)機(jī)械工服務(wù)就要 12min ?，F(xiàn)有 5 個(gè)機(jī)械工，平均每 15min 有一個(gè)機(jī)械工來領(lǐng)取工具，到達(dá)為泊松分布，服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布。求：工具保管員空閑的概率；五個(gè)機(jī)械工都在工具間的概率；系統(tǒng)中的平均人數(shù)；排隊(duì)的平均人數(shù)； 每個(gè)機(jī)械工在工具問的平均逗留時(shí)間； 每個(gè)機(jī)械工的平均排隊(duì)時(shí)間； 對上述結(jié)果進(jìn)行評價(jià)。、某廠醫(yī)務(wù)室共有同樣醫(yī)療水平的大夫 2 名。已知職工按泊松流來到醫(yī)務(wù)室就診， 平均每小 時(shí)來 15 人；診病時(shí)間平均每人為 6min

13、 ，并服從負(fù)指數(shù)分布?，F(xiàn)在要問：（1）醫(yī)務(wù)室空閑的概率； （2） 在醫(yī)務(wù)室逗留的病人及排隊(duì)等待就診的病人各為多少（3）平均每一病人在醫(yī)務(wù)室逗留的時(shí)間為多少（中）、一個(gè)由兩名服務(wù)員的排隊(duì)系統(tǒng)， 該系統(tǒng)最多容納 4名顧客。 當(dāng)系統(tǒng)處于穩(wěn)定狀態(tài)時(shí)， 系統(tǒng)中恰好有 n 名顧客的概率是： P0 1/16, P1 4/16, P2 6/16, P3 4 /16, P4 1/16 . 試求：（1）系統(tǒng)中的平均顧客數(shù) Ls ；（ 2）系統(tǒng)中平均排隊(duì)的顧客數(shù) Lq；（3）某一時(shí)刻正在 被服務(wù)的顧客的平均數(shù)； （4）若顧客的平均到達(dá)率為 2 人/h，求顧客在系統(tǒng)中的平均逗留時(shí) 間 Ws ；（ 5）若兩名服務(wù)員有相

14、同的服務(wù)效率，利用（4）的結(jié)果求服務(wù)員服務(wù)一名顧客的平均時(shí)間 1/u 。1 人/h ，服務(wù)員對顧客的服務(wù)時(shí)間、某排隊(duì)系統(tǒng)中有兩個(gè)服務(wù)員，顧客到達(dá)為泊松流，平均 服從負(fù)指數(shù)分布平均每人 1h。假如有一名顧客于中午 12 點(diǎn)到達(dá)該排隊(duì)系統(tǒng)情況下，試求： （1）下一名分別于下午 1 點(diǎn)前， 12 點(diǎn)間， 2 點(diǎn)之后到達(dá)的概率， （ 2）若下午 1 點(diǎn)前無別 的顧客到達(dá)，下一名顧客于 12 點(diǎn)間到達(dá)的概率； （3）在 12 點(diǎn)間到達(dá)顧客數(shù)分別為 0，1 或不少于 2 的概率；（4）假定兩個(gè)服務(wù)員于下午 1 點(diǎn)整都為顧客服務(wù)， 則兩個(gè)被服務(wù)的顧客 于下午 2 點(diǎn)前， 1：10 前， 1： 01 前均未結(jié)

15、束服務(wù)的概率。、一個(gè)顧客來到有 2 名并聯(lián)服務(wù)員統(tǒng)，服務(wù)員的服務(wù)時(shí)間平均值 10min 的負(fù)指數(shù)分別，分 別求下列的概率：（ 1）到達(dá)時(shí) 2 名服務(wù)員均忙碌， 則該顧客需要等待時(shí)間 t1的概率分布 f t1 ；（2）若該顧客已等了 5 分鐘，則需要等待時(shí)間為 t2 的期望值 E t2 及標(biāo)準(zhǔn)差；（ 3）若該顧 客到達(dá)時(shí)前面已有 2 人在等待，則輪到其他被服務(wù)時(shí)所需的時(shí)間t3 的期望值 E t3 及標(biāo)準(zhǔn)差。、某停車場又 10 個(gè)停車位置。汽車到達(dá)服從泊松分布，平均10 輛/h ，每輛汽車停留時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均 10min 。試求：（2）停車位置的平均空閑數(shù)（3）到達(dá)汽車能找到一個(gè)空停車位的

16、概率（ 4） 在該場地停車的汽車占總到達(dá)數(shù)的比例（ 5） 每天 24 小時(shí)在該停車場找不到空閑位置停放的汽車的平均數(shù)。、某航空售票處有 3 臺訂票電話和 2 名服務(wù)員，當(dāng) 2 名服務(wù)員在接電話處理業(yè)務(wù)時(shí)，第 3 臺電話的呼叫將處于等待狀態(tài)。若 3 臺電話均占線，新的呼叫因不通 （忙音） 而轉(zhuǎn)向其他售 票處訂票，設(shè)訂票顧客的電話呼叫服從泊松分布，15/h ，服務(wù)員對每名顧客的服務(wù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均時(shí)間為 4min 。試回答：（ 1）一名顧客呼叫時(shí)立即得到服務(wù)的概率（ 2） 8 小時(shí)營業(yè)時(shí)間內(nèi)轉(zhuǎn)向其他售票所訂票的顧客數(shù)（ 3）服務(wù)員用于為顧客服務(wù)時(shí)間占全部時(shí)間的比例、一個(gè)具有 4 個(gè)狀態(tài)的生

17、滅過程的有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示，求處于穩(wěn)定狀態(tài)的概率。n01234n23210n03412、一個(gè)計(jì)算中心有三臺電子計(jì)算機(jī)， 型號和計(jì)算能力都是相同的。 任何時(shí)間在中心的使用人 數(shù)等于 10。對每一個(gè)使用人，書寫（和穿孔）一個(gè)程序的時(shí)間是服從于平均率為每小時(shí)的 指數(shù)分布。 每當(dāng)完成程序后， 就直接送到中心上機(jī)。 每一個(gè)程序的計(jì)算時(shí)間是服從于平均率 每小時(shí)為 2 的指數(shù)分布。假定中心是全日工作的，并略去停機(jī)時(shí)間的影響，求以下各點(diǎn)。（1） 中心收到一個(gè)程序時(shí)不能立即執(zhí)行計(jì)算的概率；（2） 直到由中心送出一個(gè)程序?yàn)橹沟钠骄鶗r(shí)間；（3）等待上機(jī)的程序的平均個(gè)數(shù)；（4）空閑的計(jì)算機(jī)的期望臺數(shù)；（5）計(jì)算機(jī)中心空

18、閑時(shí)間的百分率； 每臺計(jì)算機(jī)空閑時(shí)間的平均百分率。2h 發(fā)生一次故障，服從負(fù)指數(shù)分布。8 元每小時(shí)，每臺機(jī)器停工損失為40、一名機(jī)工負(fù)責(zé) 5 臺機(jī)器的維修。已知每臺機(jī)器平均 機(jī)工維修速度為臺 /h ，服從泊松分布。若機(jī)工工資為 元每小時(shí)，確定該機(jī)工最佳的負(fù)責(zé)維修的機(jī)器數(shù)。、某機(jī)械師維修一臺設(shè)備的時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均 4 小時(shí)，如他使用一種 專用工具， 則可將平均縮短為 2小時(shí)。若規(guī)定該機(jī)械能在 2 小時(shí)以內(nèi)維修完一臺設(shè)備， 付報(bào) 酬 100 元，否則只付給 80 元。問該機(jī)械專用工具較之未使用專用工具時(shí)，每維修一臺設(shè)備 預(yù)期增加的報(bào)酬的值。、某廠有一機(jī)修組織專門修理某種類型的設(shè)備。今已知該類型設(shè)備的損壞率服從泊松分布， 平均每天兩臺。又知修復(fù)時(shí)間服從負(fù)指數(shù)分布，平均每臺的修理時(shí)間為 1 天。但 是一個(gè)與機(jī)修人員多少及維修設(shè)備機(jī)械化程度（即與修理組織年開支費(fèi)用 k）等有關(guān)的函數(shù)。已知（k） 0.1 0.00k（k 1900 元）又已知設(shè)備損壞后， 每臺每天的停產(chǎn)損失為 4 肋元，試決定該廠修理