常用的巧算和速算方法

1、常用的巧算和速算方法【順逆相加】用“順逆相加”算式可求出若干個(gè)連續(xù)數(shù)的和。例如著名的大數(shù)學(xué)家高斯（德國(guó)）小時(shí)候就做過(guò)的“百數(shù)求和”題，可以計(jì)算為1+2+99+100所以，123499100=1011002=5050。 “3+5+7+97+99=？ 3+5797+99=（993）492= 2499。這種算法的思路，見(jiàn)于書(shū)籍中最早的是我國(guó)古代的張丘建算經(jīng)。張丘建利用這一思路巧妙地解答了“有女不善織”這一名題：“今有女子不善織，日減功，遲。初日織五尺，末日織一尺，今三十日織訖。問(wèn)織幾何？”題目的意思是：有位婦女不善于織布，她每天織的布都比上一天減少一些，并且減少的數(shù)量都相等。她第一天織了5 尺布，最

2、后一天織了1 尺，一共織了30 天。問(wèn)她一共織了多少布？張丘建在算經(jīng)上給出的解法是：“并初末日織尺數(shù)，半之，余以乘織訖日數(shù)，即得?！薄按鹪唬憾ヒ徽伞?。這一解法，用現(xiàn)代的算式表達(dá)，就是1 匹=4 丈，1 丈=10 尺，90 尺=9 丈=2 匹1 丈。（答略）張丘建這一解法的思路，據(jù)推測(cè)為：如果把這婦女從第一天直到第30 天所織的布都加起來(lái)，算式就是51在這一算式中，每一個(gè)往后加的加數(shù)，都會(huì)比它前一個(gè)緊挨著它的加數(shù)，要遞減一個(gè)相同的數(shù)，而這一遞減的數(shù)不會(huì)是個(gè)整數(shù)。若把這個(gè)式子反過(guò)來(lái)，則算式便是1+5此時(shí)，每一個(gè)往后的加數(shù)，就都會(huì)比它前一個(gè)緊挨著它的加數(shù)，要遞增一個(gè)相同的數(shù)。同樣，這一遞增的相同的

3、數(shù)，也不是一個(gè)整數(shù)。假若把上面這兩個(gè)式子相加，并在相加時(shí)，利用“對(duì)應(yīng)的數(shù)相加和會(huì)相等”這一特點(diǎn)，那么，就會(huì)出現(xiàn)下面的式子：所以，加得的結(jié)果是630=180（尺）但這婦女用30 天織的布沒(méi)有180 尺，而只有180 尺布的一半。所以，這婦女30 天織的布是1802=90（尺）可見(jiàn)，這種解法的確是簡(jiǎn)單、巧妙和饒有趣味的?！痉纸M計(jì)算】一些看似很難計(jì)算的題目，采用“分組計(jì)算”的方法，往往可以使它很快地解答出來(lái)。例如：求1 到10 億這10 億個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和。這道題是求“10 億個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和”，而不是“10 億個(gè)自然數(shù)之和”。什么是“數(shù)字之和”？例如，求1 到12 這12 個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和，

4、算式是12345+6+78+9+10+1+1+1+12=5l。顯然，10 億個(gè)自然數(shù)的數(shù)字之和，如果一個(gè)一個(gè)地相加，那是極麻煩，也極費(fèi)時(shí)間（很多年都難于算出結(jié)果）的。怎么辦呢？我們不妨在這10 億個(gè)自然數(shù)的前面添上一個(gè)“0”，改變數(shù)字的個(gè)數(shù)，但不會(huì)改變計(jì)算的結(jié)果。然后，將它們分組：0 和999，999，999；1 和999，999，998；2 和999，999，997；3 和999，999，996；4 和999，999，995；5 和999，999， 994； 依次類推，可知除最后一個(gè)數(shù)，1，000，000，000 以外，其他的自然數(shù)與添上的0 共10 億個(gè)數(shù)，共可以分為5 億組，各組數(shù)字之和

5、都是81，如0+9+9+9+999999=811+9+9999+9+9+98=81最后的一個(gè)數(shù)1，000，000，000 不成對(duì)，它的數(shù)字之和是1。所以，此題的計(jì)算結(jié)果是（81500，000，000）1=40，500，000，0001=40，500，000，001【由小推大】“由小推大”是一種數(shù)學(xué)思維方法，也是一種速算、巧算技巧。遇到有些題數(shù)目多，關(guān)系復(fù)雜時(shí)，我們可以從數(shù)目較小的特殊情況入手，研究題目特點(diǎn)，找出一般規(guī)律，再推出題目的結(jié)果。例如：（1）計(jì)算下面方陣中所有的數(shù)的和。這是個(gè)“100100”的大方陣，數(shù)目很多，關(guān)系較為復(fù)雜。不妨先化大為小，再由小推大。先觀察“55”的方陣，如下圖（圖4

6、.1）所示。容易看到，對(duì)角線上五個(gè)“5”之和為25。這時(shí)，如果將對(duì)角線下面的部分（右下部分）用剪刀剪開(kāi)，如圖4.2 那樣拼接，那么將會(huì)發(fā)現(xiàn)，這五個(gè)斜行，每行數(shù)之和都是25。所以，“55”方陣的所有數(shù)之和為255=125，即53=125。于是，很容易推出大的數(shù)陣“100100”的方陣所有數(shù)之和為1003=1，000，000。（2）把自然數(shù)中的偶數(shù)，像圖4.3 那樣排成五列。最左邊的叫第一列，按從左到右的順序，其他叫第二、第三第五列。那么2002 出現(xiàn)在哪一列：因?yàn)閺? 到2002，共有偶數(shù)20022=1001（個(gè)）。從前到后，是每8 個(gè)偶數(shù)為一組，每組都是前四個(gè)偶數(shù)分別在第二、三、四、五列，后四

7、個(gè)偶數(shù)分別在第四、三、二、一列（偶數(shù)都是按由小到大的順序）。所以，由10018=1251，可知這1001 個(gè)偶數(shù)可以分為125 組，還余1 個(gè)。故2002 應(yīng)排在第二列?！緶愓伤恪坑谩皽愓椒ā鼻伤悖３Ｄ苁褂?jì)算變得比較簡(jiǎn)便、快速。例如（1）99.9+11.1=（9010）+（9+1）（0.9+0.1）=111（2）9979986=（9+1）（973）（9982）=101001000=1110（3）125125125125120125125125=155125125125（120+5）125125+125-5=1258-5=1000-5=995 【恒等變形】恒等變形是一種重要的思想和方法，也

8、是一種重要的解題技巧。它利用我們學(xué)過(guò)的知識(shí)，去進(jìn)行有目的的數(shù)學(xué)變形，常常能使題目很快地獲得解答。例如（1）183268=（1832-32）（68+32）=1800100=1900（2）359.7-9.9=（359.7+0.1）-（9.9+O.1）=359.8-10=349.8【拆數(shù)加減】在分?jǐn)?shù)加減法運(yùn)算中，把一個(gè)分?jǐn)?shù)拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減或相加，使隱含的數(shù)量關(guān)系明朗化，并抵消其中的一些分?jǐn)?shù)，往往可大大地簡(jiǎn)化運(yùn)算。（1） 拆成兩個(gè)分?jǐn)?shù)相減。例如又如【同分子分?jǐn)?shù)加減】同分子分?jǐn)?shù)的加減法，有以下的計(jì)算規(guī)律：分子相同，分母互質(zhì)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加（減）時(shí)，它們的結(jié)果是用原分母的積作分母，用原分母的和（或差）乘以這

9、相同的分子所得的積作分子。分子相同，分母不是互質(zhì)數(shù)的兩個(gè)分?jǐn)?shù)相加減，也可按上述規(guī)律計(jì)算，只是最后需要注意把得數(shù)約簡(jiǎn)為既約（最簡(jiǎn)）分?jǐn)?shù)。由上面的規(guī)律還可以推出，當(dāng)分子都是1，分母是連續(xù)的兩個(gè)自然數(shù)時(shí)，這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的差就是這兩個(gè)分?jǐn)?shù)的積，根據(jù)這一關(guān)系，我們也可以簡(jiǎn)化運(yùn)算過(guò)程。例如【先借后還】“先借后還”是一條重要的數(shù)學(xué)解題思想和解題技巧。例如做這道題，按先通分后相加的一般辦法，勢(shì)必影響解題速度?，F(xiàn)在從“湊整”著眼，采用“先借后還”的辦法，很快就將題目解答出來(lái)了?！緝煞?jǐn)?shù)相除】有些分?jǐn)?shù)相除，可以采用以下的巧算方法：（1）分子、分母分別相除。在個(gè)別情況下，分?jǐn)?shù)除法可沿用整數(shù)除法的做法：用分子相除的商作分

10、子，用分母相除的商作分母。不過(guò)，這只有在被除數(shù)的分子、分母，分別是除數(shù)的分子、分母的整數(shù)倍數(shù)的情況下，計(jì)算才比較簡(jiǎn)便。例如小數(shù)的速算與巧算湊整【知識(shí)精要】湊整法是小數(shù)加減法速算與巧算運(yùn)用的主要方法。用的時(shí)候主要看末位。但是小數(shù)計(jì)算中“小數(shù)點(diǎn)”一定要對(duì)齊。【例題精講】湊整法例1、 計(jì)算5.6+2.38+4.4+0.62?！痉治觥?.6 與4.4 剛好湊成10，2.38 與0.62 剛好湊成3，這樣先湊整運(yùn)算起來(lái)會(huì)更加簡(jiǎn)便?！窘獯稹吭?（5.6+4.4）+（2.38+0.62）=10+3=13【評(píng)注】湊整，特別是“湊十”、“湊百”等，是加減法速算的重要方法。例2、計(jì)算：1.999+19.99+199.9+1999?！痉治觥恳?yàn)樾?shù)計(jì)算起來(lái)容易出錯(cuò)。剛好1999 接近整千數(shù)2000，其余各加數(shù)看做與它接近的容易計(jì)算的整數(shù)。再把多加的那部分減去?！窘獯稹?1.999+19.99+199.9+1999=2+20+200+2000-0.001-0.01-0.1-1=2222-1.111=2220.889【