2.3.2雙曲線簡單幾何性質(zhì)教學(xué)的設(shè)計

1、x的取值范圍是什么?a或xa從標(biāo)準(zhǔn)方程能否得出這個結(jié)論呢?b21,即 x2a2雙曲線的簡單幾何性質(zhì)一、學(xué)習(xí)目標(biāo)知識目標(biāo)：了解雙曲線的簡單幾何性質(zhì)，如范圍、對稱性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率。能力目標(biāo)：通過觀察、類比、轉(zhuǎn)化、概括等探究，提高學(xué)生運(yùn)用方程研究雙曲線的性質(zhì)的能力情感目標(biāo)：使學(xué)生在合作探究活動中體驗成功 ，激發(fā)學(xué)習(xí)熱情，感受事物之間處處存在聯(lián)系二、學(xué)習(xí)重點(diǎn)、難點(diǎn)1. 教學(xué)重點(diǎn)：雙曲線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、漸近線、離心率等幾何性質(zhì)；2. 教學(xué)難點(diǎn)：雙曲線的漸近線 .三、學(xué)習(xí)過程：(一) 復(fù)習(xí)式導(dǎo)入：在橢圓部分，我們曾經(jīng)從圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程兩個角度來研究橢圓的幾何性質(zhì)。那么，你認(rèn)為應(yīng)該X y2研究雙

2、曲線 2 1(a 0,b 0)的哪些性質(zhì)呢？范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率等.a b這就是我們今天要共同學(xué)習(xí)的內(nèi)容：雙曲線的簡單幾何性質(zhì)(二) 新課：我們先來研究一下焦點(diǎn)坐標(biāo)在x軸上的雙曲線的簡單幾何性質(zhì)。2 21雙曲線篤 與1(a 0,b 0)的簡單幾何性質(zhì)a b(1) 范圍從圖形看,師生：xy的范圍呢？ y R(2) 對稱性從圖形看，雙曲線關(guān)于什么對稱性？生：關(guān)于x軸、y軸和原點(diǎn)都是對稱的那么，類比橢圓幾何性質(zhì)的推導(dǎo)，從標(biāo)準(zhǔn)方程如何得出這個結(jié)論呢？x, y分別代提示：用 y代替原方程中的 y，若方程不變，則該曲線關(guān)于x軸對稱。同理，若用 x代替原方程中的x，若方程不變，則該曲線關(guān)于 y軸對稱。

3、若用 替原方程中的x, y，若方程不變，則該曲線關(guān)于原點(diǎn)對稱。所以，雙曲線是關(guān)于 x軸、y軸和原點(diǎn)都是對稱的。 x軸、y軸是雙曲線的對稱軸，原點(diǎn)是對稱 中心，又叫做雙曲線的中心。(3) 頂點(diǎn)橢圓的頂點(diǎn)有幾個？ (4個)它是如何定義的？(橢圓與對稱軸的交點(diǎn)) 類比橢圓頂點(diǎn)的定義，我們把雙曲線與對稱軸的交點(diǎn)，叫做雙曲線的頂點(diǎn)。由圖形可以看到，雙曲x2 y線二 2 1（a 0,b 0）的頂點(diǎn)有幾個？頂點(diǎn)坐標(biāo)是？（ a,0）a b雖然對比橢圓，雙曲線只有兩個頂點(diǎn)，但我們?nèi)匀话眩?, b）標(biāo)在圖形上。為了后面定義漸近線表述的方便，定義如圖矩形為雙曲線的特征 矩形。橢圓中有長軸和短軸的概念，并且長軸比短軸

4、長。雙曲線中也有類 似的定義。如圖，線段 AA叫做雙曲線的實(shí)軸，它的長為2a，a叫做半實(shí)軸長；線段 B1B2叫做雙曲線的虛軸，它的長為2b, b叫做雙曲線的半虛軸長我們知道，雙曲線定義中a和b的大小關(guān)系是不確定的。但是它們之間存在一種特殊的關(guān)系：a=b。此時實(shí)軸2a和虛軸2b也是相等的。實(shí)軸與虛軸等長的雙曲線叫等軸雙曲線等軸雙曲線的方程為x2 y2 m（m 0）（4）漸近線圖2:標(biāo)準(zhǔn)位置下的雙曲線的漸近線應(yīng)該是什么呢？通過操作確認(rèn)，發(fā)現(xiàn)漸近線是雙曲線特征 矩形的對角線，其方程是 y bxa定義：特征矩形的兩條對角線叫做雙曲線的漸近線。x2 y2bx y雙曲線二2 1（a 0,b 0）的漸近線方

5、程是 y x即0abaa b2y 1（a 0，b 0）2x注：通過變形，對比雙曲線方程與漸近線方程， 可以發(fā)現(xiàn)：將雙曲線方程 a2中的1改為0后得到新的方程冷a2篤 0（a 0,b 0），它的解就是兩條漸近線方程。（此處提供了一種求雙曲線的漸近線方程的方法,避免記憶公式）0（簡述作c，叫做雙曲線的離心率。aba y焦點(diǎn)在y軸上的雙曲線的漸近線y bx即;等軸雙曲線x2 y2 m（m 0）的漸近線方程是y漸近線的作用：利用漸近線可以較準(zhǔn)確的畫出雙曲線的草圖。 圖過程）（5）離心率2c類比橢圓，我們把雙曲線的焦距與實(shí)軸長的比e經(jīng)2a橢圓離心率的范圍是什么？ （0 e 1 ）。它對橢圓的形狀有何影響

6、？（影響橢圓的扁平程度,e越大橢圓越扁）。那么，雙曲線的離心率的范圍是什么呢?0 a c e 12 2_2一 .C2 1 ,e2 1，不難發(fā)現(xiàn)：e越?。ㄔ浇觓a由等式c2 a2 b2，可得：-a近于1），-就越接近于0,雙曲線開口越小；e越大，-就越大，雙曲線開口越大。所以，雙曲線aa的離心率反映的是雙曲線的開口大小。通過對這些性質(zhì)的探究，就可以更好的理解雙曲線圖形與這些基本量之間的關(guān)系，更加準(zhǔn)確的作出雙曲線的圖形。e對雙曲線的形狀有何影響呢？得出結(jié)論：e是表示雙曲線開口大小的一個量，e越大開口越大。（三）例題解析例1.求雙曲線9y2 16x2 144的半實(shí)軸長和半虛軸長、焦點(diǎn)坐標(biāo)、離心率、漸

7、近線方程2 2由此可知，半實(shí)軸長a 4,半虛軸長 b 3. Qc .a2 b25所以，焦點(diǎn)坐標(biāo)是（0, 5）C5yx離心率e,漸近線方程是0a 44 3注：此問題由學(xué)生口答。x2練習(xí)：求雙曲線92y162的漸近線方程變式：已知雙曲線的漸近線方程為寸氣0,且雙曲線過點(diǎn)A（3,2、3），求此雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程解：設(shè)所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為2 2X -(0),由題意得916解：把方程9y2 16X2144化為標(biāo)準(zhǔn)方程卷71.(3)292、3)22 21xy所以，所求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為149416解得4165例2 .如圖，設(shè)M x, y與定點(diǎn)F 5,0的距離和它到直線I : X的距離的比是常數(shù)，求點(diǎn)M

8、54的軌跡方程.x, y，則i122亠16匚亠16MFv x 5y ,到直線l:x 的距離dx 55分析：若設(shè)點(diǎn)M則容易得點(diǎn)M的軌跡方程.x2y例3 .過雙曲線-臺1的右焦點(diǎn)F2傾斜角為30的直線交雙曲線于A,B兩點(diǎn)求I AB解：直線AB: y3)(五)作業(yè)布置課本 P61 A 3,4 B 1、3y w (x 3)2由 2 3 2消去 y，得5x2 6x 27 0X-匕136解得Xi3, x2代入直線 AB 得 A( 3, 2 .3),B(9, )55所以， AB J(xi X2)2(yi y2)21635(四)課堂小結(jié)通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲？1雙曲線的簡單幾何性質(zhì)2雙曲線與漸近線(1

9、)雙曲線2 x-2 m0)的漸近線方程是2 x2 m22(2)漸近線是y0的雙曲線方程可設(shè)為弓(mnmn0)登封市20142015學(xué)年課堂教 學(xué)達(dá)標(biāo)評優(yōu)活動參評教學(xué)設(shè)計雙曲線的簡單幾何性質(zhì)單位：登圭寸一中學(xué)科：數(shù) 學(xué)主講人：張鳳娟雙曲線的簡單幾何性質(zhì)教學(xué)反思本節(jié)內(nèi)容是人教 A 版選修 2-1 第二章第三節(jié)雙曲線的第二課時，本節(jié)課是在學(xué)習(xí)了“橢圓的幾 何性質(zhì)和雙曲線的定義、方程”后進(jìn)行的，課程標(biāo)準(zhǔn)要求了解雙曲線的定義、幾何圖形和標(biāo)準(zhǔn)方程， 知道雙曲線的有關(guān)性質(zhì) .與已學(xué)的橢圓和后續(xù)的拋物線比較，本節(jié)課的要求相對較低。但是本節(jié)課滲透的思想方法是相當(dāng)重要的。一方面，本節(jié)課是利用雙曲線的方程研究其幾何

10、性 質(zhì)。這是解析幾何研究的兩個主要問題之一，通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)有利于進(jìn)一步深化坐標(biāo)法和數(shù)形結(jié) 合的思想；另一方面，通過類比橢圓學(xué)習(xí)雙曲線的幾何性質(zhì)，有利于培養(yǎng)學(xué)生科學(xué)的思維方法。平面解析幾何研究的主要問題之一就是：通過方程，研究平面曲線的性質(zhì)。課程標(biāo)準(zhǔn)明確要求： 學(xué)生要掌握圓錐曲線的性質(zhì)，初步掌握根據(jù)曲線的方程，研究曲線的幾何性質(zhì)的方法和步驟。根據(jù) 這些教學(xué)原則和要求，以及學(xué)生的學(xué)習(xí)現(xiàn)狀，我制定了本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)。（1）知識目標(biāo)： 使學(xué)生能運(yùn)用雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程討論雙曲線的范圍、對稱性、頂點(diǎn)、離心率、漸近線等幾何性質(zhì)； 掌握雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程中 a,b,c 的幾何意義，理解雙曲線的漸近線的概念； 能運(yùn)

11、用雙曲線的幾何性質(zhì)解決雙曲線的一些基本問題。（2）能力目標(biāo)： 在與橢圓的性質(zhì)的類比中獲得雙曲線的性質(zhì)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察能力，想象能力，數(shù)形結(jié)合能力， 分析、歸納能力和邏輯推理能力，以及類比的學(xué)習(xí)方法； 使學(xué)生進(jìn)一步掌握利用方程研究曲線性質(zhì)的基本方法，加深對直角坐標(biāo)系中曲線與方程的概念的 理解。（3）情感目標(biāo)： 通過本課時對雙曲線幾何性質(zhì)的研究、探討，讓不同層次的學(xué)生都能切實(shí)體驗成功的喜悅，感受數(shù) 學(xué)的美和魅力，激發(fā)創(chuàng)造的激情，培養(yǎng)審美的情趣。根據(jù)本節(jié)的教學(xué)內(nèi)容和課程標(biāo)準(zhǔn)以及高考的要求，結(jié)合學(xué)生現(xiàn)有的實(shí)際水平和認(rèn)知能力，我把 對雙曲線的幾何性質(zhì)的理解和簡單應(yīng)用作為本節(jié)課的重點(diǎn)。漸近線是雙曲線的特有

12、性質(zhì)，也是教學(xué)的難點(diǎn)，但課程標(biāo)準(zhǔn)要求相對較低，不要求嚴(yán)格證明， 為了突破難點(diǎn)，通過問題引導(dǎo)學(xué)生從已有認(rèn)知水平出發(fā)，來發(fā)現(xiàn)雙曲線的漸近線，然后充分利用多 媒體展示，幫助學(xué)生進(jìn)一步直觀理解漸近線“漸近”的含義。這節(jié)課內(nèi)容是通過雙曲線方程推導(dǎo)、研究雙曲線的性質(zhì)，本節(jié)內(nèi)容類似于“橢圓的簡單的幾何 性質(zhì)”，教學(xué)通過類比，讓學(xué)生自己進(jìn)行探究，得到類似的結(jié)論。在教學(xué)中，凡是難度不大，經(jīng)過學(xué) 習(xí)學(xué)生自己能解決的問題，應(yīng)該讓學(xué)生自己解決，這樣有利于調(diào)動學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，激發(fā)他們的 學(xué)習(xí)積極性，同時也有利于學(xué)習(xí)建立信心，使他們的主動性得到充分發(fā)揮，從中提高學(xué)生的思維能 力和解決問題的能力。漸近線是雙曲線特有的性質(zhì)，我們常利用它