XX6解三角形知識(shí)題型歸納

1、解三角形常用知識(shí)點(diǎn)歸納與題型總結(jié)1 三角形三角關(guān)系： A+B+C=180 ; C=180 （A+B）; .角平分線性質(zhì)定理：角平分線分對(duì)邊所得兩段線段的比等于角兩邊之比 .銳角三角形性質(zhì)：若 ABC則60 c; a-bc3、三角形中的基本關(guān)系：sin(A B) =sin C, cos(A B) - -cosC, tan(A B) - - tanC, A B C A B .CA B 丄 C sincos ,cossin,ta ncot 2 2 2 2 2 2(1 )和角與差角公式tan（二丨）=tanx r- tan :1 +tan ： tan :sin(、丄二) =sin ： cos 卩二co

2、s： sin :;cos（圧二 I-）二cos： cos ： +sin ： sin -;（2）二倍角公式sin2 a=2cos a sin acos2：2 2 2= cos -sin 2cos-1 =1 2sin21 - tan2:a1 -cos2二 2,cos :1 cos2：圓的半徑，則有sin A5、正弦定理的變形公式:=2R .sin 二 sin C（3）輔助角公式（化一公式）y = asin x 二 bcosx = . a2 b2 sin(x 二) 其中 tan4、正弦定理：在C中，a、b、c分別為角二、2、C的對(duì)邊，R為心 C的外接化角為邊：a =2Rsin=_, b = 2Rsi

3、n2 , c = 2RsinC ；abc化邊為角：si nZ,sin m,sin C2R2R2R a : b: c 二 sin 一二:sin m:sinC ；a +b +cabc=2Rsin Z sin 2 sin Csinsin 3sin C6、兩類正弦定理解三角形的問題：已知兩角和任意一邊，求其他的兩邊及一角已知兩角和其中一邊的對(duì)角，求其他邊角 .（對(duì)于已知兩邊和其中一邊所對(duì)的角的題型要注意解的情況（一解、兩解、三解）7、三角形面積公式:1 1 1S 日bcsinabsinCacsin 二2=2Rsi nAsi nBsi nC=abc4Rr(a 亠b 亠c) =.p( p -a)( p -

4、b)( p - c)(海倫公式)28、余弦定理：在2 C 中，有a2二 b2 c2 - 2bccos-l ,b2二 a2c2- 2ac cos,c2 = a2 b2 -2abcosC .9、余弦定理的推論：.2 2 2 2 2.2 2.2 2b c -aa c -ba b -ccos, cos, cosC -2bc2ac2ab注明：余弦定理的作用是進(jìn)行三角形中的邊角互化，當(dāng)題中含有二次項(xiàng)時(shí)，常使用余 弦定理。在變形中，注意三角形中其他條件的應(yīng)用：10、余弦定理主要解決的問題： 已知兩邊和夾角，求其余的量。 已知三邊求角11、如何判斷三角形的形狀：判定三角形形狀時(shí)，可利用正余弦定理實(shí)現(xiàn)邊角轉(zhuǎn)化，

5、統(tǒng)一 成邊的形式或角的形式設(shè)a、b、c是心C的角_二、三、C的對(duì)邊，則： 若 a2 bc2，則 C =90：； 若 a2 b2 c2，則 C : 90； 若 a2 b2 : c2，則 C - 90 .12、三角形的五心：垂心三角形的三邊上的高相交于一點(diǎn)重心一一三角形三條中線的相交于一點(diǎn)外心三角形三邊垂直平分線相交于一點(diǎn)內(nèi)心三角形三內(nèi)角的平分線相交于一點(diǎn)旁心三角形的一條內(nèi)角平分線與其他兩個(gè)角的外角平分線交于一點(diǎn)題型之一:求解斜三角形中的基本元素指已知兩邊一角（或二角一邊或三邊），求其它三個(gè)元素問題，進(jìn)而求出三角形的三線（高線、角平分線、中線）及周長等基本問題.sin 2 A1 （15 北京理科）

6、在 ABC 中，a=4 , b =5 , c =6，貝Usin C亠幷八丄lsin 2A2 sin A cos A2a b2 + c2 - a2試題分析：一sin Csin Cc2bc24 2536 - 16162562. （2005年全國高考湖北卷）在厶ABC中，已知AB4.6.6,cos B =36AC邊上的中線BD= 5，求 si nA 的值.分析：本題關(guān)鍵是利用余弦定理，求出AC及BC,再由正弦定理，即得 sinA.解：設(shè)E為BC的中點(diǎn)，連接 DE，貝U DE/AB,且DE = 1 AB = 2-6，設(shè)BE = x23在厶BDE中利用余弦定理可得：BD2二BE2 ED2 _2BEED

7、cosBED ,5 =x2 8 2 2l66 x，解得 x = 1 , x - - 7 (舍去).3 363故 BC=2，從而 AC2 二AW BC2 2ABBCCOSB-28,即 AC 二口.又sinB 二,3362 .21故2sin A在厶ABC中,3 70,sin A =-.3014已知 a = 2 , b= 2. 2 , C = 15 ，求 A。答案：二 B A 且 0 ： A ： 180,二 A =30題型之二：判斷三角形的形狀：給出三角形中的三角關(guān)系式，判斷此三角形的形狀.1. (2005年北京春季高考題)在 ABC中，已知2 sin A cos B = sinC，那么 ABC 一

8、定是()A 直角三角形B 等腰三角形C.等腰直角三角形D 正三角形解法 1：由 2 sinAcosB 二 sinC = sin(A + B) = sinAcosB + cosAsinB,即 sinAcosB cosAsinB= 0，得 sin(A B)= 0，得 A = B.故選(B).解法2：由題意，得cosB =證T話，再由余弦定理，得cosB =a2c2 - b22aca2c2 - b22ac，即 a2 = b2, 得 a = b，故選(B). 2a(如解法1)，統(tǒng)評(píng)注：判斷三角形形狀，通常用兩種典型方法：統(tǒng)一化為角，再判斷 化為邊，再判斷(如解法2).題型之三：解決與面積有關(guān)問題主要是

9、利用正、余弦定理，并結(jié)合三角形的面積公式來解題.1.1（2012 標(biāo)理科圻）（本小題鎬分12分）已知叭*分別為4407三個(gè)內(nèi)角4武的對(duì)邊，ezcos C+ TSsin C-r=0.1）求心 （2）若A月方的醫(yī)題為J5 ；求肉c【解析】（1）由正弦定理得匸/cos C+ Tizsiii C-b l = 0 sin cos-sinsin 矗= r=F Ux *Cd& A o +*= 4 必=工匚2.在 ABC 中，si nA cosA , AC =2 , AB = 3，求 tan A 的值和:ABC 的面 2積。答案：S .ABC = 1 AC AB sin A =丄 2 3 -2 = _3（卅2

10、 、6）22443. （07 浙江理 18）已知 ABC 的周長為.2 1，且 sin A sin B 二2 sin C .（I）求邊AB的長；1（II）若 ABC的面積為一 sinC，求角C的度數(shù).6解：（I）由題意及正弦定理，得 AB BC A 2 1 , BC AC =2aB ,兩式相減，得AB -1 .11 1（II ）由 ABC 的面積一BCLAC_sinCsinC，得 BCLAC =-,263由余弦定理，得cosC 二2 2 2AC BC - AB2ACLBC（AC BC）2 -2ACLbC - AB2 _ 12ACLBC2所以C二60；.題型之四：三角形中求值問題1. （2005

11、年全國高考天津卷）在 ABC中，/ A、乙B、乙C所對(duì)的邊長分別為 a、b、c , c 1t設(shè)a、b、c滿足條件b2 cb -a2和3，求一 A和tan B的值.b 2分析：本題給出一些條件式的求值問題，關(guān)鍵還是運(yùn)用正、余弦定理.2 2 2解：由余弦定理因此, b +c a cos A =2bc在厶 ABC 中，/ C=180 -Z A -Z B=120 -Z B.由已知條件，應(yīng)用正弦定理1c sin Csin(120 - B)2b sin Bsin Bsin 120 cosBcos120si nB.311cotB,解得 cot B = 2,從而 tan B =-sin B2 22B +C2.

12、 AABC的三個(gè)內(nèi)角為 A、B、C，求當(dāng)A為何值時(shí)，cos A 2cos取得最大值,2并求出這個(gè)最大值。解析：由 A+B+C= n，得 B+C=2 A，所以有 cosB+C =sinA。B+CcosA+2cos2_=cosA+2s in=1 2si n2!+ 2si nAa亍2(si nq1 232)+ 2；當(dāng) sinA = ，即即 A=3 時(shí),cosA+2cos取得最大值為 |。3在銳角 ABC中，角A B, C所對(duì)的邊分別為a, b, c ,已知tan2sin2 的值;2 2(2)若 a = 2 , Saabc2，求 b 的值。解析：（1）因?yàn)殇J角厶Q / QABC 中，A + B + C

13、 =二，sinA=:，所以31cosA =3.2 B + CsinA2丄2 A+ sin22 B + C . 2 A tan+ sin222 B + Ccos2=1S +1(1- cosA)=+ 1 71 cosA 33，貝V bc= 3。31 1 2.2(2)因?yàn)?Sabc =叮2,又 S abc = bcsi nA = bc *2a2= b2 + c2 2bccos A 中,13將a= 2, cosA =, c= 代入余弦定理:3b得 b 6b + 9 = 0 解得 b =、 3。點(diǎn)評(píng)：知道三角形邊外的元素如中線長、面積、周長等時(shí)，靈活逆用公式求得結(jié)果即可。4在 ABC中，內(nèi)角A, B,

14、C對(duì)邊的邊長分別是 a, b, c ,已知c = 2 , C二二3（I）若 ABC的面積等于，求a, b ；(n)若 sin C - sin( B -A) = 2sin 2A，求 ABC 的面積.本小題主要考查三角形的邊角關(guān)系，三角函數(shù)公式等基礎(chǔ)知識(shí)， 考查綜合應(yīng)用三角函數(shù)有關(guān)知識(shí)的能力.解：（I）由余弦定理及已知條件得，a2 ba4 ,又因?yàn)?ABC的面積等于,3，所以*absin C =，得ab = 4 ., 2 2聯(lián)立方程組a b ab 4,解得_2 , b=2.ab = 4,(n)由題意得 sin( B A) sin( B - A)二 4sin A cos A ,即 sin B cos

15、 A = 2sin Acos A , 當(dāng) cosAd 時(shí)，Ba 二心,廠士 ,2633當(dāng)cos A = 0時(shí)，得sin B = 2sin A，由正弦定理得 b = 2a , 聯(lián)立方程組解得a= , 心b=2a,3-12分B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，已知所以 ABC的面積S =absinC二223題型之五（解三角形中的最值問題）1.（ 2013江西理）在厶ABC 中，角A，cosC (cos A in A)cos B = 0 .（1）求角B的大??；若a c =1，求b的取值范圍 答案：（1）602. （ 2013新課標(biāo)n ） ；.在內(nèi)角的對(duì)邊分別為,已知，-i （I）求;（n）若3=7,求厶

16、 面積的最大值.答案：（1） 45+1(I )由已知及AMKflsin A 二 sin RgC sin (inff.sin A $in( *C) - sin ScosC B mC 由Q.和CcQO町褂Xe(0. x).所以0#I 近(| ) AXZTCM面枳S產(chǎn)sic亍atUCft及余他定理料4./.S2xC3f乂 a: *c:弓 2ac 故當(dāng)H僅當(dāng)”皿耳號(hào)版工囚此厶4眩10!的肚人値為邁兒3. AffC9角兒B、Q所對(duì)的邊分別是，久G且(HF丄X.2/ C求sin2=_ + cos2的值：(2)若尼2.求bARC而積的鼠大侑3、解： 由余弦定理$ conB=2力+sin 2 +cos2B=

17、-r4cos$(2)宙丄，得sin幾亜.44Vb=2,8y/l512 j1a +*右ac十4$2ac,得 acW 3 ,SAABC=acsinB 3 (a=c 時(shí)取等號(hào)) 返故SAABC的最大值為34.胡況m 已刼內(nèi) ft Ax R所村 h-jiiv 別為輸 b、|nJw = /2sinZ/3cos2B n tan2B 一 逅=TTTTV02Bn，二 2F亍匸銳角 B一-亠廠TT亠5TT(2)tl taa2B = -V3 n B-戒飛-當(dāng)Bm時(shí)f已知b=2f由余弦定理卩得:4= a2 + c2 ac:-2ac ac =刊c(當(dāng)且僅當(dāng)a=c = 2時(shí)等號(hào)成立)V AABC 的面積 SAABC =

18、 r acsiiiB =ac/3ABC的面梆眾人值為也為B時(shí)*已知b=2t由余弦定理.得*4a2 Q4筋ek$2眈4小眈=(2 I詬)肚泮H,僅專込=需一芒時(shí)等號(hào)成工 A1C4(2 55)分*/ AABC 的面積 S AABC = - acsinB =23C23B f/- AABC的面枳最大值為2萌5.(2014新課標(biāo)I理)已知a,b,c分別為 ABC的三個(gè)內(nèi)角 代B,C的對(duì)邊，a=2，且(2 b)(sin A -sin B) =(c -b)sin C，則 ABC 面積的最大值為【解析】：由心 2且(2+(sinsinj5)sin C.即W亠勿口月_口仃/*) 一 (廠一龍)打口廠由及正第定理

19、得=w+勿(“一力)一巾廣:、P一朮一be、故 cos A +=丄，/. Zzl60 P :. H 4? _ = hcm 24 -拐十F-屜工金：比-屁sin M W巧，6山 .在內(nèi)角的對(duì)邊分別為,且=(1)求角A的大小若a=4,求_b-c的最大值答案：(1) 60(2)87. (2007全國1理)設(shè)銳角三角形 ABC的內(nèi)角A, B, C的對(duì)邊分別為a，b, c, a=2bsinA.(I)求 B的大??；(n)求cosA+sinC的取值范圍.解析：(I)由 a 二 2bsin A，根據(jù)正弦定理得 sin A 二 2sin Bsin A ,所以 sin B = 1 ,2n由 ABC為銳角三角形得B

20、 =-6JI(n) cos A sin C = cos A sin 二-AI 6=cos A sin A161 3廠 =cos A cos A si nA = 3 si nIAji +3由 ABC為銳角三角形知,.口 JJ解得 A :32所以sin i A3 由此有232所以ji0 A ：2ji:A -jiA25 二?ji-:二.6所以，cos A si nC的取值范圍為 36a/3(L中，A/J=Y，C/J=l , AC= 7 .（1）求舁対值*耳 若亠 _占.再4二問 求腳謝長，146P解：（1）在中，則余弦定理，得cosZ=/匕唱十昇少2AC-AD由題設(shè)cosZZ=Zlz4 訝2V7(2

21、)設(shè)曲Cj、則 q =乙RADSD因?yàn)?cosZ=r2LLs cosZZ=-714sinZCAD & g?zC4Q = L()所以V217sinZ4/= Ji 曲 N的6 J】_（宀、迺1414V77于是 skiff = siii(Z = sin Z/tosZ-cosZ/inZ/j1sVTi 2/7萬 Vli()147147在站夂一中，由正菽定理BC ACsins sinZ討fsiiiQsinZ(Z46BC=題型之七：正余弦定理解三角形的實(shí)際應(yīng)用利用正余弦定理解斜三角形，在實(shí)際應(yīng)用中有著廣泛的應(yīng)用，如測量、航海、幾何等方面都要用到解三角形的知識(shí)，例析如下：（一.）測量問題1.如圖1所示，為了測

22、河的寬度，在一岸邊 選定A、B兩點(diǎn)，望對(duì)岸標(biāo)記物 C,測得/ CAB=30，/ CBA=75 , AB=120cm，求河 的寬度。A圖1DB分析：求河的寬度，就是求厶 ABC在AB邊上的高，而在河的一邊, / CAB、/ CBA，這個(gè)三角形可確定。AC已測出 AB長、AB解析：由正弦定理得 -si nNCBA si nACB1 . 1S abc AB AC sin CAB AB CD，解得1-2 2點(diǎn)評(píng)：雖然此題計(jì)算簡單，但是意義重大，屬于（二 .）遇險(xiǎn)問題2某艦艇測得燈塔在它的東 15。北的方向，此艦艇以 30海里/小時(shí)的速度向正東前進(jìn)，30分鐘后又測得燈塔在它的東30北。若此燈塔周圍10海

23、里內(nèi)有暗礁，問此艦艇繼續(xù)向東航行有無觸礁的危險(xiǎn)？解析：如圖艦艇在 在東15北的方向上； 達(dá)B點(diǎn)，測得S在東A點(diǎn)處觀測到燈塔S 艦艇航行半小時(shí)后到 30北的方向上。在, AC=AB=120m ,CD=60m。不過河求河寬問題又東西 ABC 中，可知 AB=39X20tx(_2),2128t -60t-27=0, (4t- 3) (32t+9) =0,解得3t=49,t= 一32(舍)33 AC=28 4=21 n mile，BC=20X4=15 n mile。根據(jù)正弦定理，得s一專315 -2215-3石，又一=120, B 為銳角，3 =arcsin5爲(wèi)又5運(yùn)孑14i匕1414142144甲船沿南偏東 一arcsin5?的方向用3h可以追上乙船。4 144點(diǎn)評(píng)：航海問題常涉及到解三角形的知識(shí)，本題中的/ ABC、AB邊已知，另兩邊未知,古希臘哲學(xué)大師亞里士多德說：人有兩種，一種即 吃飯是為了活著”一種是 活著是為了吃飯”一個(gè)人之所以偉大，首先是因?yàn)樗谐诔Ｈ说男?。志?dāng)存高遠(yuǎn)”風(fēng)物長宜放眼量”這些古語皆鼓舞人們要樹立雄無數(shù)個(gè)自己，萬千種模樣，萬千愫情懷。有的和你心手相牽，有的和你對(duì)抗，有的給你雪中送炭