高中數學人教A版必修5課件：2.1.1 數列的概念與簡單表示法

1、-1- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 第二章第二章數列數列 -2- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 2.1數列的概念與簡單表示法 -3- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 第1課時數列的概念與簡單表示法 -4- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 -5- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 123 1.數列 (1)定義:按照一定順序排列的一列數叫做數列. (2)項:數列中的每一個數都叫做這個數列的項.數列中的每一項都和它的序號 有關,排在第一位的數稱為這個數列的第1項(通常也叫做首項),排在第二位的數稱 為這個數列的第2項排在第n位的數稱為這個數列的第n項. (3)表示:數列的一般形式可以寫

2、成:a1,a2,an,簡記為an.an表示數列中的第 n個數. 名師點撥 數列的特征:(1)每一項都是數;(2)數列中的數有順序,同一組數可組成多個不同 的數列. -6- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 123 2.數列的分類 (1)按數列的項數是否有限,分為有窮數列和無窮數列. 項數有限的數列叫做有窮數列;項數無限的數列叫做無窮數列. (2)按項的變化趨勢分類 -7- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 123 練一練1 下列敘述正確的是() B.數列中的數由它的位置序號唯一確定 C.數列1,3,5,7可表示為1,3,5,7 D.同一個數在數列中不可能重復出現 解析:遞增數列指的是從第2項起

3、,每一項都大于它的前一項,A錯誤.數列1,3,5,7 與由實數1,3,5,7組成的集合1,3,5,7是兩個不同的概念,C錯誤.同一個數在數列中 可能重復出現,如2,2,2,表示由實數2構成的常數列,D錯誤.對于給定的數列,數列 中的數由它的位置序號唯一確定,B正確. 答案:B -8- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 123 -9- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 123 3.數列的通項公式 如果數列an的第n項與序號n之間的關系可以用一個式子來表示,那么這個公 式叫做這個數列的通項公式. 練一練2 已知數列an的通項公式為an=n(n-1),則a3=,30是該數列的第 項. 解析:an=n

4、(n-1),a3=3(3-1)=6. 令an=n(n-1)=30,解得n=6或n=-5(舍去). 答案:66 - 10- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 123 名師點撥 (1)已知通項公式an=f(n),那么只需依次用1,2,3,代替公式中的n,就可以求出這 個數列的各項. (2)一個數列的通項公式可以有不同的形式,如an=(-1)n可以寫成an=(-1)n+2,還可 以寫成 這些通項公式形式上雖然不同,但都表示同一 數列. (3)數列的通項公式也可用一個分段函數表示.例如,數列1,0,1,0,的通項公式 可以表示為 (4)數列的通項公式實際上就是相應函數的解析式. (5)并不是所有的數列

5、都有通項公式,就像并不是所有的函數都能用解析式表示 一樣. - 11- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 探究一探究二探究三探究四 探究一數列的概念及分類探究一數列的概念及分類 對數列概念的理解: (1)有序性:如1,2,3與3,2,1是不同的數列. (3)an與an是兩個不同的概念,an表示數列a1,a2,an,而an只表示數列an的 第n項. (4)數列與數集是兩個不同的概念,它們的主要區(qū)別在于:集合中的元素具有無 序性和互異性,數列中的項是有序的且可以相同,即如果組成兩個數列的數相同而 排列次序不同,那么它們就是不同的數列,另一方面,同一個數在數列中可以重復出 現. - 12- 第1課時

6、數列的概念 與簡單表示法 探究一探究二探究三探究四 典型例題1 已知下列數列: (1)0,0,0,0,0,0; (2)0,-1,2,-3,4,-5,; (4)1,0.2,0.22,0.23,; 其中,是有窮數列,是無窮數列,是遞增數列, 是遞減數列,是常數列,是擺動數列(填序號). 思路分析:觀察數列的項的變化趨勢與規(guī)律,由數列的分類來判斷. - 13- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 探究一探究二探究三探究四 解析:(1)是常數列且是有窮數列; (2)是無窮擺動數列; (4)是無窮遞減數列; (5)是無窮擺動數列. 答案:(1)(2)(3)(4)(5)(3)(4)(1)(2)(5) - 1

7、4- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 探究一探究二探究三探究四 變式訓練1下列說法正確的是(填寫序號). 0,1,2,3,4,5是有窮數列; 按從小到大排列的所有自然數構成一個無窮遞增數列; -2,-1,1,3,-2,4,3是一個項數為5的數列; 數列1,2,3,4,2n是無窮數列. 解析:緊扣數列的有關概念,驗證每一個說法是否符合條件.0,1,2,3,4,5是集 合,而不是數列,故錯誤.按從小到大排列的所有自然數構成一個無窮遞增數列, 故正確.同一個數在數列中可以重復出現,故此數列共有7項,故錯誤.數列 1,2,3,4,2n,共有2n項,是有窮數列,故錯誤. 答案: - 15- 第1課時數

8、列的概念 與簡單表示法 探究一探究二探究三探究四 探究二根據數列的前幾項寫出通項公式探究二根據數列的前幾項寫出通項公式 1.數列的通項公式表示的是項與項數之間的關系. 2.根據數列的前幾項寫通項公式,體現了由特殊到一般的規(guī)律.解題時,一定要注 意觀察項與項數的關系和相鄰項間的關系.具體思路為: (1)先統(tǒng)一項的結構,如都化成分數、根式等. (2)分析這一結構中變化的部分與不變的部分,探索變化部分的規(guī)律與對應序號 間的關系. (3)對于符號交替出現的情況,可先觀察其絕對值,再用(-1)k處理符號. (4)對于周期出現的數列,考慮拆成幾個簡單數列和的形式,或者利用周期函數 的知識解答. - 16-

9、 第1課時數列的概念 與簡單表示法 探究一探究二探究三探究四 3.常見數列的通項公式 (1)數列-1,1,-1,1,的通項公式是an=(-1)n,數列1,-1,1,-1,的通項公式是an=(- 1)n+1或(-1)n-1. (2)數列1,2,3,4,的通項公式是an=n. (3)數列1,3,5,7,的通項公式是an=2n-1. (4)數列2,4,6,8,的通項公式是an=2n. (5)數列1,2,4,8,的通項公式是an=2n-1. (6)數列1,4,9,16,的通項公式是an=n2. - 17- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 探究一探究二探究三探究四 思路分析:經過觀察、分析尋找每一項與

10、其項數的統(tǒng)一規(guī)律. - 18- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 探究一探究二探究三探究四 解:(1)數列的項有的是分數,有的是整數,可將各項都統(tǒng)一成分數再觀 察: ,所以,它的一個通項公式為 (2)數列各項的絕對值分別為1,3,5,7,9,是連續(xù)的正奇數,其通項公式為2n-1;考 慮(-1)n+1具有轉換符號的作用,所以數列的一個通項公式為an=(-1)n+1(2n-1). (3)各項加1后,分別變?yōu)?0,100,1 000,10 000,此數列的通項公式為10n,可得原數 列的一個通項公式為an=10n-1. - 19- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 探究一探究二探究三探究四 (4)數

11、列中每一項均由三部分組成,分母是從1開始的奇數列,其通項公式為2n-1; 分子的前一部分是從2開始的自然數的平方,其通項公式為(n+1)2,分子的后一部分 是減去一個自然數,其通項公式為n,綜合得原數列的一個通項公式為 (5)這個數列的前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數,且奇數項為負, 偶數項為正,所以它的一個通項公式是 - 20- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 探究一探究二探究三探究四 方法總結 此類問題主要靠觀察(觀察規(guī)律)、比較(比較已知數列)、歸納、轉化(轉化為 特殊數列)、聯想(聯想常見的數列)等方法.具體方法為:(1)分式中分子、分母的特 征;(2)相鄰項的變化特征;

12、(3)拆項后的特征;(4)各項的符號特征和絕對值特征;(5) 化異為同.對于分式,還可以考慮對分子、分母各個擊破,或尋找分子、分母之間的 關系. - 21- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 探究一探究二探究三探究四 - 22- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 探究一探究二探究三探究四 - 23- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 探究一探究二探究三探究四 探究三數列通項公式的應用探究三數列通項公式的應用 1.數列是特殊的函數,特殊性表現在它的定義域為正整數集N*(或它的有限子 集).當自變量n從小到大依次取值時,對應的函數值就構成數列,因此數列的通項公 式就是相應函數的解析式,即an=f(

13、n). 2.判斷給定的項是否是數列中的項,實質就是一個解方程的過程.若解得的n是 正整數,則該項是此數列中的項;否則,就不是該數列中的項. - 24- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 探究一探究二探究三探究四 典型例題3 已知數列 (1)求這個數列的第10項; (2) 是不是該數列中的項,為什么? (3)求證:數列中的各項都在區(qū)間(0,1)內. 思路分析:對于(1)(2)將n代入或列方程求解;對于(3),將通項化簡,根據n1求出 項的取值范圍. - 25- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 探究一探究二探究三探究四 - 26- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 探究一探究二探究三探究四 -

14、27- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 探究一探究二探究三探究四 - 28- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 探究一探究二探究三探究四 - 29- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 探究一探究二探究三探究四 - 30- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 探究一探究二探究三探究四 - 31- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 1 2 3 4 5 1.下列敘述正確的是() A.數列1,3,5,7與7,5,3,1是相同的數列 B.數列0,1,2,3,可以表示為n C.數列0,1,0,1,是常數列 D.數列2n是遞增數列 解析:數列中的項是有序的,故A錯;B中數列可以表示為n-1;C中數列為擺動數列, 故選D. 答案:D - 32- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 1 2 3 4 5 - 33- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 1 2 3 4 5 3.已知數列an的通項公式為an=log3(2n+1),則a3=. 解析:an=log3(2n+1),a3=log3(23+1)=log39=2. 答案:2 - 34- 第1課時數列的概念 與簡單表示法 1 2 3 4 5 4.已知