高考數(shù)學(xué)例析反函數(shù)的幾種題型及解法

1、與許多的競(jìng)技項(xiàng)目不同，高爾夫與其說是一場(chǎng)與別人的對(duì)抗，更像是一次自己與自己的較量，它需要足夠的耐心和專注，鍛煉一個(gè)人獨(dú)立思考的能力，培養(yǎng)一個(gè)人積極進(jìn)取的心態(tài)。有人形容高爾夫的18洞就好像人生，障礙重重，坎坷不斷。然而一旦踏上了球場(chǎng)，你就必須集中注意力，獨(dú)立面對(duì)比賽中可能岀現(xiàn)的各種困難，并且承擔(dān)一切后果。也許，常常還會(huì)遇到這樣的情況：你剛剛還在為抓到一個(gè)小鳥球而歡呼雀躍，下一刻大風(fēng)就把小白球吹跑了；或者你才在上一個(gè)洞吞了柏忌，下一個(gè)洞你就為抓了老鷹而興奮不已。例析反函數(shù)的幾種題型及解法反函數(shù)是高中數(shù)學(xué)中的重要概念之一，也是學(xué)生學(xué)習(xí)的難點(diǎn)之一。在歷年高考中也占有一定的比例。為了更好地掌握反函數(shù)相關(guān)

2、的內(nèi)容，本文重點(diǎn)分析關(guān)于反函數(shù)的幾種題型及其解法。這說明，在高爾夫球場(chǎng)上，短暫的領(lǐng)先并不代表最終的勝利；而一時(shí)的落后也不意味著全盤失敗。只有憑借毅力，堅(jiān)持到底，才有可能成為最后的贏家。這些磨練與考驗(yàn)使成長(zhǎng)中的青少年受益匪淺。在種種歷練之后，他們可以學(xué)會(huì)如何獨(dú)立處理問題；如何調(diào)節(jié)情緒與心境，直面挫折，抵御壓力；如何保持積極進(jìn)取的心態(tài)去應(yīng)對(duì)每一次挑戰(zhàn)。往往有著超越年齡的成熟與自信，獨(dú)立性和處理問題的能力都比較強(qiáng)。一. 反函數(shù)存在的充要條件類型例1.(2004年北京高考)函數(shù) f (X要條件是()A. a - =， 11C. a， 1 I2, 二= x2-2ax-3在區(qū)間11，2 上存在反函數(shù)的充B

3、. a ：= 2，D. a 11, 21解析：因?yàn)槎魏瘮?shù) f()x =x2-2ax-3不是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，但在其定義域的 子區(qū)間-：，a 1或 a,訂上遼上是單調(diào)函數(shù)。而已知函數(shù)f (x)在區(qū)間1，2上存在反函數(shù)所以 1，2丨 -：，a 或者 112 I la，:即a - 1或a _ 2故選(C)評(píng)注：函數(shù)y二f (x)在某一區(qū)間上存在反函數(shù)的充要條件是該函數(shù)在這一區(qū)間上是一 一映射。特別地：如果二次函數(shù)y二f (x)在定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，那么函數(shù)f (x)必存在反函數(shù)；如果函數(shù)f (x)不是定義域內(nèi)的單調(diào)函數(shù)，但在其定義域的某個(gè)子區(qū)間上是單調(diào)函 數(shù)，那么函數(shù)f (x)在這個(gè)子區(qū)間上必存

4、在反函數(shù)。二. 反函數(shù)的求法類型例2.(2005年全國卷)函數(shù) y =3 x2 - 1(X _ 0)的反函數(shù)是()A. y = (x 1)3 x _ -1)B. yT)3(x _ -1)C. y = J(x +1)3 x 王 0)D. y = 7(x 1)f x 一 0)與許多的競(jìng)技項(xiàng)目不同，高爾夫與其說是一場(chǎng)與別人的對(duì)抗，更像是一次自己與自己的較量，它需要足夠的耐心和專注，鍛煉一個(gè)人獨(dú)立思考的能力，培養(yǎng)一個(gè)人積極進(jìn)取的心態(tài)。有人形容高爾夫的18洞就好像人生，障礙重重，坎坷不斷。然而一旦踏上了球場(chǎng)，你就必須集中注意力，獨(dú)立面對(duì)比賽中可能岀現(xiàn)的各種困難，并且承擔(dān)一切后果。也許，常常還會(huì)遇到這樣的

5、情況：你剛剛還在為抓到一個(gè)小鳥球而歡呼雀躍，下一刻大風(fēng)就把小白球吹跑了；或者你才在上一個(gè)洞吞了柏忌，下一個(gè)洞你就為抓了老鷹而興奮不已。解析：由X乞0可得3 X2 _0，故y _ _1從 y =Wx2 _1 解得 X = J(y +1)3因x _0所以 x = 一(y 1)3即其反函數(shù)是y =J(x1)3(x _ -1)故選(B) 評(píng)注：這種類型題目在歷年高考中比較常見。在求反函數(shù)的過程中必須注意三個(gè)問題：(1) 反函數(shù)存在的充要條件是該函數(shù)在某一區(qū)間上是一一映射；(2) 求反函數(shù)的步驟：求原函數(shù)的值域，反表示，即把x用y來表示，改寫，即把x與y交換，并標(biāo)上定義域。其中例3在反表示后存在正負(fù)兩種

6、情況，由反函數(shù)存在的充要條件可知，只能根據(jù)函數(shù)的定義域(x乞0 )來確定x =J(y 1)3，再結(jié)合原函數(shù)的值域即可得出正確結(jié)論。另外，根據(jù)反函數(shù)的定義域即為原函數(shù)的值域，所以求反函數(shù)時(shí)應(yīng)先求出原函數(shù)的值域，不應(yīng)該直接求反函數(shù)的定義域。例如：求yx= 2- 2x- 3(x _ -1)的反函數(shù)。由x空-1可得y|y _01反表示解出x -1 . y 4由 x _ -1 應(yīng)取 x1 二- y 4即 x =1 - y 4所以y = 1 一 . x 4(x _ 0)為其反函數(shù)。(3) f ( x)與f J(x)互為反函數(shù)，對(duì)于函數(shù)y = f (x T)來說，其反函數(shù)不是y = f (x T)，而是 y

7、 = f 4(x) -1。同理 y = f (x T)的反函數(shù)也不是 y = f (x 1)， 而是 y = f (X 1 三. 求反函數(shù)定義域、值域類型例3. (2004年北京春季)若f (X)為函數(shù)f(X)二lg(x 1)的反函數(shù)，貝U廠1 (x)的 值域?yàn)?。解析：通法是先求?f ( x)的反函數(shù) f 4(X =10x-1，可求得 廠1 ( x)的值域?yàn)?(T,：:)，而利用反函數(shù)的值域就是原函數(shù)的定義域這條性質(zhì)，立即得1 ( x)的值域?yàn)?-1， ：)。評(píng)注：這種類型題目可直接利用原函數(shù)的定義域、值域分別是反函數(shù)的值域和定義域 這說明，在高爾夫球場(chǎng)上，短暫的領(lǐng)先并不代表最終的勝利；而一

8、時(shí)的落后也不意味著全盤失敗。 只有憑借毅力，堅(jiān)持到底，才有可能成為最后的贏家。這些磨練與考驗(yàn)使成長(zhǎng)中的青少年受益匪淺。在種 種歷練之后，他們可以學(xué)會(huì)如何獨(dú)立處理問題；如何調(diào)節(jié)情緒與心境，直面挫折，抵御壓力；如何保持積 極進(jìn)取的心態(tài)去應(yīng)對(duì)每一次挑戰(zhàn)。往往有著超越年齡的成熟與自信，獨(dú)立性和處理問題的能力都比較強(qiáng)。與許多的競(jìng)技項(xiàng)目不同，高爾夫與其說是一場(chǎng)與別人的對(duì)抗，更像是一次自己與自己的較量，它需要足夠的耐心和專注，鍛煉一個(gè)人獨(dú)立思考的能力，培養(yǎng)一個(gè)人積極進(jìn)取的心態(tài)。有人形容高爾夫的18洞就好像人生，障礙重重，坎坷不斷。然而一旦踏上了球場(chǎng)，你就必須集中注意力，獨(dú)立面對(duì)比賽中可能岀現(xiàn)的各種困難，并且

9、承擔(dān)一切后果。也許，常常還會(huì)遇到這樣的情況：你剛剛還在為抓到一個(gè)小鳥球而歡呼雀躍，下一刻大風(fēng)就把小白球吹跑了；或者你才在上一個(gè)洞吞了柏忌，下一個(gè)洞你就為抓了老鷹而興奮不已。這說明，在高爾夫球場(chǎng)上，短暫的領(lǐng)先并不代表最終的勝利；而一時(shí)的落后也不意味著全盤失敗。只有憑借毅力，堅(jiān)持到底，才有可能成為最后的贏家。這些磨練與考驗(yàn)使成長(zhǎng)中的青少年受益匪淺。在種種歷練之后，他們可以學(xué)會(huì)如何獨(dú)立處理問題；如何調(diào)節(jié)情緒與心境，直面挫折，抵御壓力；如何保持積極進(jìn)取的心態(tài)去應(yīng)對(duì)每一次挑戰(zhàn)。往往有著超越年齡的成熟與自信，獨(dú)立性和處理問題的能力都比較強(qiáng)。 )上是減函數(shù) )上是減函數(shù) :： ) 上是增函數(shù) ： ) 上是增

10、函數(shù)fx( )1二og2(x 1)的反函數(shù)，若)A. 1B. 2C. 3D. log23這一性質(zhì)求解。四. 反函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性類型ex e例4.函數(shù)y的反函數(shù)是()2A. 奇函數(shù)，在(0，B. 偶函數(shù)，在(0，C. 奇函數(shù)，在(0，D. 偶函數(shù)，在(0，解析：因?yàn)閑x在(0)上是增函數(shù)，e在(0, ：)上是減函數(shù)x .x所以y =e _e 在(0，,：)上是增函數(shù)2x_xe e易知y = e 為奇函數(shù)2利用函數(shù)y = f (x)與f，(x)具有相同的單調(diào)性，奇函數(shù)的反函數(shù)也為奇函數(shù)這兩條 性質(zhì)，立即選(C)。五. 反函數(shù)求值類型例5. (2005年湖南省高考)設(shè)函數(shù) f ( x)的圖象關(guān)于

11、點(diǎn)(1，2)對(duì)稱，且存在反函數(shù) f tx，f(4 =0,貝y f*(4)=。解析：由f (4) = 0，可知函數(shù)f (x)的圖象過點(diǎn)(4，0)。而點(diǎn)(4，0)關(guān)于點(diǎn)(1，2)的對(duì)稱點(diǎn)為(-2，4)。由題意知點(diǎn)(-2，4)也在函數(shù)f (x)的圖象上，即有f(-2) = 4， 所以 f (4) - -2。評(píng)注：此題是關(guān)于反函數(shù)求值的問題，但又綜合了函數(shù)圖象關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問題。在反函數(shù)求值時(shí)經(jīng)常要用到這條性質(zhì)：當(dāng)函數(shù)f(x)存在反函數(shù)時(shí)，若a = f(b)，則b = f (a)。女口( 2004年湖南省高考)設(shè) f ( x)是函數(shù)1 f 4(a) H f 4(b -8，則 f (a b)的值為(分析：

12、直接利用：若 a = f (b)，則b = f (a)。選(B) o六. 反函數(shù)方程類型M1例6. (2004年上海市高考)已知函數(shù)f(x)=|og3 +2 ：，則方程f 1 (X)=4的解IX丿x=。解析：當(dāng)函數(shù)f (x)存在反函數(shù)時(shí)，若a = f (b)，則b = f J(a)。所以只需求出f (4) 的值即為 廠1 (x) =4中的x的值。易知f (4) =1，所以x = 1即為所求的值。評(píng)注：此題除了這種方法外，也可以用常規(guī)方法去求。即先求出反函數(shù)廠1 (x)的解析式，再解方程 廠1 (x) =4，也可得x=1。七. 反函數(shù)不等式類型7.(2005年天津市高考)設(shè) 廠1 (x)是函數(shù)f

13、 ()x =x . xa a(a 1)的反函數(shù)，則2T (x)1成立時(shí)x的取值范圍是(A.a2 -1I 2a+ O0B.C.a2 -12aD.(a，二)解析：由a 1，知函數(shù)f (x)在故由 f 1 (x) 1，有 x f ()1R上為增函數(shù)，所以 廠1 (x)在R上也為增函數(shù)。而 f ()1a2 -12a可得xa2 -12a故選(A) 評(píng)注：此題除了這種方法外，也可以用常規(guī)方法去求，但比較繁瑣。而下面的題目選 用常規(guī)方法解則更為簡(jiǎn)便。女口( 2004年湖南省高考)設(shè) 廠1 (x)是函數(shù)f(X)二x的反函數(shù)，則下列不等式中恒 成立的是(A. f J(x) _2x -1B. f (x) 2x 1

14、C. (x)2x-1D. f v(x) - 2x 1分析：依題意知f (x = xx( - 0)。畫出略圖，故選(A)。例8.y二f丄(1 X)的圖象是()解析：由題意知f(x) =2x則 f(1 -x) =21 =241)G)所以y = f(1 x)的圖象可由x的圖象向右平移1個(gè)單位而得到。八. 反函數(shù)的圖象類型( 2004年福建省高考)已知函數(shù)y =log2x的反函數(shù)是y = f J(x)，則故選(C) o評(píng)注：解反函數(shù)的圖象問題，通常方法有：平移法，對(duì)稱法等。對(duì)稱法是指根據(jù)原、 反函數(shù)的圖象關(guān)于直線 y = x對(duì)稱來求解；特殊地，若一個(gè)函數(shù)的反函數(shù)是它本身，則它的 圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，這種函數(shù)稱為自反函數(shù)。九. 與反函數(shù)有關(guān)的綜合性類型例9. (2003年黃岡市?？?設(shè)x R，f( x)是奇函數(shù)，且f(2小七十。(1 )試求f (X)的反函數(shù)廠1(x)的解析式及廠1 (x)的定義域;(2)設(shè) gx ) =log 2f (X)乞g(x)恒成立，求實(shí)數(shù)k的取值范圍。解析：(1)因?yàn)閒 ( x)是奇函數(shù)，且x R所以f(0 7，所以f (X)二2x香1可求得f(x (-1，1)令y = 2上，反解出2x +12x 二 1_y，x 二 lo