簡(jiǎn)單二元二次方程組

1、文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯歡迎下載支持 二元二次方程組 【教學(xué)內(nèi)容】 簡(jiǎn)單的二元二次方程組 【教學(xué)目標(biāo)】 1 、了解二元二次方程、二元二次方程組的概念，掌握由一個(gè)二元一次方程和一個(gè)二元二次方程組成的方程組的 解法，會(huì)用代入法求方程組的解。 *2、掌握由一個(gè)二元二次方程和一個(gè)可以分解為兩個(gè)二元一次方程的方程組成的方程組的解法。 3、通過(guò)解簡(jiǎn)單的二元二次方程組，使學(xué)生進(jìn)一步理解“消元”“降次”的數(shù)學(xué)方法，獲得對(duì)事物可以轉(zhuǎn)化的進(jìn)一 步認(rèn)識(shí)。 【知識(shí)講解】 2 2 2 2 2 2 2 1 、形如x +y=2, x +y =0,3x +2y+1=0, 4x - 4xy+y +2x -

2、 y - 12=0這些整式方程，每個(gè)方程都含有兩個(gè)未知數(shù)， 并且含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次都是2,像這樣的含有兩個(gè)未知數(shù)，并且含未知數(shù)的項(xiàng)的最高次是2的整式方程，稱為二元二 2 2 2 2 次方程。關(guān)于 x、y的二元二次方程式的一般形式是ax +bxy+cy +dx+ey+f=0 (a、b、c不全為零)其中 ax、bxy、cy叫 做方程的二次項(xiàng)，dx、ey叫做方程的一次項(xiàng)，f叫做常數(shù)項(xiàng)。 2、我們所研究的二元二次方程組一般由兩個(gè)方程聯(lián)立而成，其中一個(gè)是二元二次方程，另一個(gè)可能是二元二次 方程、二元一次方程、一元二次方程或一元一次方程。 二元二次方程組中兩個(gè)方程的公共解叫做這個(gè)二元二次方程組的解。求解

3、二元二次方程組的基本思想是消元或降次， 消元就是把二元化為一元，降次就是把二次降為一次，因此，通過(guò)消元或降次可以將其轉(zhuǎn)化為二元一次方程組或一元二 次方程甚至一元一次方程，以便求解。例如在解方程組x - 2y - 1=0(1)時(shí)，注意到(1)可以轉(zhuǎn)化為x=2y+1(3)，將 式 代入(2) - 2 2 x - y - 4x y+仁0(2) 即可消去(2)中的未知數(shù)x,得到一個(gè)關(guān)于y的一元二次方程。我們把這種解方程組的方法叫代入消元法。而在解方 程組 2 x 2 x 2 y 20(1) 5xy 6y2 時(shí)，顯然無(wú)法直接使用代入法求解, 0(2) 但由于方程(2)可分解為(x - 2y)(x - 3

4、y)=0即x - 2y=0 7 1 或x- 3y=0,這樣一來(lái)，原來(lái)的二元二次方程立即轉(zhuǎn)化為兩個(gè)二元一次方程，通過(guò)因式分解降低了方程的次數(shù)。原方程組 隨之轉(zhuǎn)化為 2 2 x y x 2y 20和 x2 x 3y 20這樣兩個(gè)二元二次方程組，而后可用代入法求解，我們把這種解方程組的方 0 法叫分解降次法。 【例題講解】 例1、解方程組 3x2 2xy 5(1) x y 2(2) 解：由得x=y+2(3) 把 代入(1)得，3(y+2) - 2(y+2) y=5 整理得 y2+8y+7=0 解得 y1= - 1，y2= - 7 扌巴 y1= - 1 代入(3)，得 X1=1 扌巴 y2= - 7

5、代入(3)，得 X2= - 5 原方程組的解為 y2 說(shuō)明：有一個(gè)方程是二元一次方程的二元二次方程組，其解法通常用代入法。 文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯歡迎下載支持 例2、解方程組 x y 1(1) xy 12(2) 解法一：用代入法 由(1)得 x= y- 1 (3) 把(3)代入(2)得(-y- 1)y= - 12 2 即 y +y - 12=0 (y+4)(y- 3)=0 y 1= - 4, y2=3 扌巴y1= 4代入(3)得X1=3 扌巴y2=3代入(3)得X2= 4 疋 3 X2 4 y14 y2 3 原方程組的解為 解法二：根據(jù)一元二次方程的根與系數(shù)間的關(guān)系，可

6、以把x、y看成是t2+t - 12=0的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，解這個(gè)方程得t1=3. x13x24 t2=-4由于原方程組中的兩個(gè)未知數(shù)x和y可以輪換，所以原方程組有兩組解， y24y2 3 說(shuō)明：解形如 x y b型的方程組，除了用代入法可解外，由于已知x與y這兩個(gè)數(shù)的和與積，所以還可以利用 xy c 一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，把x、y看作是一元二次方程 t2- bt+c=0的根，去解這個(gè)關(guān)于t的一元二次方程即可求 得原方程組的解，但要注意到原方程組中的x、y可以輪換，所以原方程組一般有兩組解。 1 1 8 例3、解方程組： x y 1 7 xy 1 1 分析：這個(gè)方程組不是二元二次方程組，而是分

7、式方程組，但如果把 ,看作未知數(shù)，則 8是兩數(shù)之和，7是兩 x y 數(shù)之積，這樣就可歸積為 x y b型的方程組了，可以仿照例 2用代入法或利用一元二次方程的根與系數(shù)關(guān)系求解。 xy c 1 1 解：8 , x y 丄7 xy 1 1 2 是方程z-8z+7=0的兩個(gè)根 x y 解得：Z1=1, Z2=7 3 1 x 1 y 經(jīng)檢驗(yàn)，它們都是原方程的解。 例4、若方程組 y 4X 2y 1 有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)解，試求 y mx 2(2) m的取值范圍 2 解：把(2)代入(1)得，(mx+2) 4x 2(mx+2)+1=0 2 2 整理得 m x+(2m-4)x+仁 原方程組有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)

8、解 此一元二次方程必有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根 (2m 4)2 4m2 m1 且 m 說(shuō)明：有關(guān)方程組的解的情況的討論通常都是用代入法轉(zhuǎn)化為 元二次方程的解的情況的討論。 2 2 6x 5xy y (1) 例5、解萬(wàn)程組 2 2 x y 11x y 2 0(2) 解：由(1)得(2x - y)(3x - y)= 所以(1)可以轉(zhuǎn)化為 2x - y=或3x - y= 原方程組可化為2； y2 x y 11x y 2 3x 2 x 11x y 2 用代入法解這兩個(gè)方程組, 得原方程組的解為: y1 1 5 . ; 2 X2 y2 例6、解方程組 x2 xy X3 y3 2 y 12 25 X 2 得(x

9、+y) (1) - (2)X 2 得(x-y) 原方程組可化為 分別解這四個(gè)方程組, 解法二：(1) + (2 )X 2 得(x+y) 原方程組可化為： 以下仿例2求解。 解法一：(1) + (2) X4 y4 (1) 2 =49, x+y= 7 2=1, x-y= 1 可得原方程組的解為: 2=49, x+y= 7 1 )化簡(jiǎn)得: 12 解法三：由(2)得：x= 代入( y 文檔來(lái)源為：從網(wǎng)絡(luò)收集整理.word版本可編輯歡迎下載支持 2 y (y 4-25y 2+144=0 2 2 -9）（y -16）=0 求出y后再分別代回（2）求解。 解法四： 2 2 2 2 由（2）得 （x ） （y

10、 ）=144，令 u=x , v=y 得：八25 uv 144 以下仿例2求出u和v，最后再求出原方程組的解。 例7、解方程組X 1 y 1 5 x y 13（2） 分析：若將（2）化為x=13 - y，而后代入（1）得14 y y 15利用平方法可以解出 y，但求解y的過(guò)程比較 復(fù)雜，這種解法不太好。如果我們將 -x 1設(shè)為a, . y 1設(shè)為b,利用換元法可得 b2 這樣一個(gè)簡(jiǎn)單的二元 13 9 二次方程組，求出a, b后再代回求x, y,可以比較迅速且準(zhǔn)確地解出原方程組。建議同學(xué)們用上述兩種方法解這個(gè)方程 組，比較和體會(huì)一下不同解法的優(yōu)劣。 【一周一練】 一、填空題：（每小題4分，計(jì)16

11、分） 一22x 1 1、關(guān)于x、y的二兀一次方程 ax -2y =-7的一個(gè)解為，那么a= y 2 x y 11 2、方程組的解為。 xy 12 3、若(2x2-3y 2-10y+5) 2+. X 2y =0,貝U x=, y= 2 4、若方程組 y x有兩組相同的解，則 k=。 3y k x 二、選擇題：（每小題4分，計(jì)24分） 1、下列方程中，二元二次方程是（） 2 1222x y 5 A、x + =1B、x - y =1C、x +3x - 4=0D、 yy x 2 2、利用代入法解方程組 x2 y 17 y2169 ，消去 x可得方程（ 2 A y +17y+60=0 2 B、y -17

12、y+60=0 2 C、 2y +17y+120=0 D 2 、2y -17y+120=0 3、如果方程組 X y a無(wú)實(shí)數(shù)解，則a、b應(yīng)滿足的條件是（ xy b 2 A b 4 2 C、b= 2 D、b 4 4、當(dāng)2m=n時(shí)，方程組 4x 2x 的解的情況是( m A 、有一個(gè)實(shí)數(shù)解 C 、沒(méi)有實(shí)數(shù)解 B、有兩個(gè)實(shí)數(shù)解 D、不能確定 5、如果 1、 3、 5、 6、 是方程組 如果方程組 3x2 xy a的一個(gè)解，那么這個(gè)方程組的另一個(gè)解是 29 的兩個(gè)實(shí)數(shù)解是 x1 X2 2 那么 y2 2 1的值是() 、2 B 3 、解下列方程組: 53 c 3 (每小題 x x2 x2 xy 2y y2 25 2xy 12 xy 6 y2 19 10 3 8分, 48分) 2、 4、 2 x 2 x 4xy 10 3y2 x 1. y 1 x y 37 x(x y(x z(x z) z) z) 15 18 四、當(dāng)m取何值時(shí), 方程組 6x mx 4y 3 (1) (2) (3) 只有一個(gè)解，并求出此解; 有兩個(gè)不同的解； 無(wú)解。 練答案 一、1、a=12 x1 12 X2 y11 y2 12 x=2， y=1 9 、k= 4 、1、X1 i x2 2i 3 2 、 Xi 3 X2 3 X3 ,5 X4 、5 yi 2 y2 i i- 3 yi i y2 i y