近世代數(shù)習(xí)題解答(張禾瑞)四章

1、近世代數(shù)習(xí)題解答第四章整環(huán)里的因子分解1素元、唯一分解1. 證明：0不是任何元的真因于。證當(dāng)dHO時若（/ = Ob則a = 0故矛盾當(dāng)4=0時，有0 =現(xiàn)）（是單位）就是說0是它自己的相伴元2. 我們看以下的整環(huán)/, /剛好包含所有可以寫成等伽是任意整敵，0的整數(shù)） 形式的有理數(shù)，/的哪些個元是單位，哪些個元是素元？證1） /的單位總可以把加表為m = 2kp（p是0或奇數(shù),比非負(fù)整數(shù)）我們說P = 時，即= 2A是單位，反之亦然2） /的素元依然是m = 2kp（p,k的限制同上）我們要求i ）卩工0ii）卩工1iii）2丈卩只有平凡因于滿足i）iii）的“是奇素數(shù)故m = 2k p而卩是

2、奇素數(shù)是號 是素元，反之亦然，3. /是剛好包含所有復(fù)數(shù)+仞（“0整數(shù)）的整環(huán)，證明5不是/的素元，5有沒有 唯一分解？證（1）/的元g是單位，當(dāng)而且只當(dāng)h2=1時，事實上，若 = a + bi是單位貝iJl = - 片=|卄f即1咔闊$但同彳=/ +滬是一正整數(shù),同樣也是正整數(shù),因此，只有|才=1反之，若 =a2+b2 = ,則 a = ,b = O或a = O,b = 這些顯然均是單位此外，再沒有一對整數(shù)a、b滿足，+/異=1,所以/的單位只有1出。 （2 ）適臺條件|af =5的/的元Q 定是素元。事實上，|2=5則aHO又由（l）a也不是單位若a = 0/l,5 = pf = |0fp

3、q2則|/?2| = 1或葉5|0= =卩是單位亠=曠a =兄是的相伴元|0=5 =吋= 12是單位n卩=fan卩是a的相伴元不管哪種情形，a只有平凡因于，因而Q是素元。（3） /的元5不是素元。 2 2 樣網(wǎng)呵 這當(dāng)當(dāng)若5 = 0a則25 = |0吋 |0|只可能是1,5,25=5由（1） 0是單位=5劊才=1由幾是單位此即0,兄中有一是5的相伴元現(xiàn)在看府=5的情形占=4 +仇,0f = / +廳=5可能叭情形是 a = 慶2 b = =（2+/）a-/）、由（2）知|0=5的0是素元，故知5是素元之積&= 一1方三2b = a = 1.1=2I b = a = 10三蠅/? = -!顯然（

4、4） 5的單一分解5 = (1 + 2/)(1 - 2i) = (-1)(1 + 2/)(-1)(1- 2/)=(-0(1 + 20(0(1 - 2/) = (i)(l + 2/)(-/)(1 - 2/)1,土，均為單位2唯一分解環(huán)1 證明本節(jié)的推論證本節(jié)的推論是；一個唯一分解環(huán)/的個元5皿2,a”在/里一定有最大公因于， q，“2的兩個員大公因于只能査一個單位因于。用數(shù)學(xué)歸納法證當(dāng)11 = 2時，由本節(jié)定理3知結(jié)論正確。假定對“ -1個元素來說結(jié)論正確?？础钡那樾卧O(shè) 糾,“2有是大公因于為仇_1。心，厲的最大公因于為即 |d,i 而 dn_fi(Z = 1,2,“ 一 1)=(/ = 1,2

5、,，一 1)又 da故d是axa2an_van的公因于禮 又也 前這就是說，是5的最大公因于若d是ae -an_van的是大公因于那么dd 且d|d=d = ud d =vd nd = uvd若 d=0 則d =o(/ H 0則uv = 1即是單位故 d = d2 .假定在一個唯一分解環(huán)里q = dbva2 =血2,= dbn證明 當(dāng)而且只當(dāng)是厲宀，”的一個最大公因于的時候，勺上2,，仇互素 證亠假定是q,，勺的一個是大公因于若勺,乞,$不互素則有* =dcr 9bn=dcn而d不是單位那么 q = ddq (/ = 1,- n)這就是說dd是5的公因于所以水/*/即d=ddd 故d d =

6、1d是單位矛盾y假定勺,互素令是q,4”的最大公因于則有外/ 即d*/q =d ci =dde (i=l,2,-n)勺=4q=4是久也的公因于于是m是單位d = sd那么d是4,，色的黒大公因于3. 假定/是一個整環(huán)，（“）和（仍是/的兩個主理想證明（“）=（b）當(dāng)而且只當(dāng)b是I的相伴元的時候證”亠“假定S） = （b）a = cb,b = caa = cc acc = 1c,c是單位所以方是的相伴元假定 = &/（ 單位）Z?e（）, （”）ua = b,（a） u （a）故（a） = 9）3主理想1 假定/是一個主理想環(huán)，并且（小 =d證明 是和“的一個最大公因于，因此和b的何是大公因于都

7、可寫成以下形式：d =sa+tb （5,/g/）證由于（） = （）有已（）, = 4b e （db = bd是，b的公因于 仿由（， = （）知化（a,b）故有 d = sa + tb設(shè)仏是的任一公因于由（A）知d*/即d是gb的最大公因于又d =引（0單位）= （sa + /b） = （ss ）“ + （Q ）b = sa + tb,（s,t e /）2 . 一個主理想環(huán)的每一個最大理想都是由一個元素所生成的。證 設(shè)（卩）是主理想環(huán)/的最大理想，并設(shè)（）工0若P是單位,則（P）= 1若P不是素元則 =be ,b,c是p的真因于（“）u（b）大理想.（）= /Di是單位，矛盾。3.我們看兩個

8、主理想環(huán)/和人 是/的于環(huán)，假定和b是人的兩個元,是這兩個元在/里的一個呈大公因于。證明：d也是這兩個元在I里的一個最大公因于。證/()是主理想環(huán)的子環(huán)，所以在人里由本節(jié)習(xí)題1知是。上的景大公因于，而且最大公因于有以下形式：(1 = sa + tb(s.t e /0)A)u I.d也是匕方在/里的公因于。設(shè)/是在/里任意公因于則 a = aldl9b = bdi那么 =sax + 仏=(sat + tbx) dd故是在/里的最大公因于。4歐氏環(huán)1. 證明:一個域一定是一個歐氏環(huán).證設(shè)F是域，則F定是整環(huán)gfmn是某一個固定20的整數(shù)，這符臺條件(i )ii) a e F,“ H 0對 F 的任

9、何元 Z?都有b = a(aih) + O這里r = 02. 我們看有理數(shù)域F上的一元多頊?zhǔn)江h(huán)Fx理想等于怎樣的一個主理想? 證 我們說(x2+1,x任取0 = c +山 c,d 整教+x證明由所有復(fù)數(shù)a + bia,b是整數(shù))所作成的環(huán)是一個歐氏環(huán) 取(處7)= ”|) 證 a = a +bia,b 整數(shù)令 0(a) = |a=a +b設(shè) a 工 0 則 |a=a2 +b2 0 + 1) = Fa X2 + 1,X5 + A3 + 1 互素-x3(a2 + 1) + 1(x5 + + + 1) = 1即 1 e (x2 +l,x5 +x +1)因而(x2 + l,x + x3 + 1) =

10、(1) = F(x)ac + bd f ad 一 be 其中Q =一 上=r t . cr + b cr+Zr 故小是有理數(shù)取A = x+yi.x.y是有理數(shù)，且滿足條件則 J3 = Aa+rja因為卩入g的實部與虛部系救均為整數(shù)，所以&的實部與 虛部系數(shù)亦均為整數(shù)2=|2-A|2= (a - a)2 + (b - y)2 (|)2 + (21 T |詢何 ,設(shè) qa = r J3 = Aa + r |廠| 即0(門如) “I 使 G X -2忑y是可以做到的ac + bd er +b2x注意:取 A = x + yi 憶一)慎的整敢 例如p -A| 只要取x = 即可使t/ -X ! )anx1 + + ()=(n + m)abx + + (ajb + 5%)故有(ii) fWgM = f WgW + g (x)f(x)現(xiàn)在證明 IfW1 =tf(xy-lf(x)用數(shù)學(xué)歸納法證f =