江蘇省南京市2020-2021學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研試卷高二數(shù)學(xué)(理科

1、江蘇省南京市2020-2021學(xué)年度第一學(xué)期期末調(diào)研試卷高二 數(shù)學(xué)(理科)學(xué)校:姓名：班級：考號：一、填空題1. 已知命題P: 0 , ,寫出命題的否定：一.2. 在平面直角坐標(biāo)系XOy中，拋物線y2=2x的準(zhǔn)線方程為3. 已知/(x)=smx,則廣(O)的值為_.4. 已知復(fù)數(shù)？滿足(z-2)f=l+z (I為虛數(shù)單位)，則乙的實(shí)部為5. 在平面直角坐標(biāo)系XOy中，P是橢圓C：y+r=l上一點(diǎn).若點(diǎn)P到橢圓C的右焦點(diǎn)的距離為2,則它到橢圓C的右準(zhǔn)線的距離為y-,6. 已知實(shí)數(shù)X , y滿足 0 ”是“方程x2-ny2 = 1表示橢圓”的_條 件.(填“充分不必要”，“必要不充分”，“充要”，

2、“既不充分也不必要”)S.在平面直角坐標(biāo)系XOy中，雙曲線-r = 1的頂點(diǎn)到它的漸近線的距離為49. 在平面直角坐標(biāo)系XOy中，點(diǎn)A(4,0),點(diǎn)3(0,2),平面內(nèi)點(diǎn)P滿足PA pB = I5 則PO的最人值是一.10. 在平面直角坐標(biāo)系XOy中，點(diǎn)人，代分別是橢圓+21=(rb0)的左、Cr b右焦點(diǎn)，過點(diǎn)&且與X軸垂直的直線與橢圓交于4，3兩點(diǎn).若為銳角，則該 橢圓的離心率的取值范閑是11. 在平面直角坐標(biāo)系Xoy中，圓Ci -.(x-a)2+(y-a-2)2=l與圓C2:x2 + -2x-3=0有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.12. 如圖，在正四棱錐P-ABCD , PA = AB ,

3、點(diǎn)M為陽的中點(diǎn)，Bb = ABN .若MN丄AD,則實(shí)數(shù)兄二13. 在平面直角坐標(biāo)系XOy中，圓M(-1)2+=1,點(diǎn)4(3,1), P為拋物線=2x 上任意一點(diǎn)(異于原點(diǎn))，過點(diǎn)P作圓M的切線PB, B為切點(diǎn),則PA+PB的最小值 是.14. 已知f(x) = -3a2x-6a2+4c(a0)只有一個零點(diǎn)，且這個零點(diǎn)為正數(shù)，則實(shí)數(shù)Q的取值范圍為二解答題15. 在平面直角坐標(biāo)系XOy中，己知橢圓氏二+買=l(b0)經(jīng)過點(diǎn)4(4,0), Cr Zr其離心率為迴.2(1) 求橢圓E的方程；(2) 已知P是橢圓E上一點(diǎn)，F(xiàn)1,代為橢圓疋的焦點(diǎn)，且ZF1PF2 =-,求點(diǎn)P到V 軸的距離.16. 如圖

4、，正四棱柱ABCD-AiBiClDi的底面邊長為JT ,側(cè)棱長為1,求：(1)直線AC與直線Aq所成角的余弦值;(2 )平面DIAC與平面ABBIAI所成二面角的正弦值.17.在平面直角坐標(biāo)系XOy中，已知圓C經(jīng)過拋物線y = *% 6與坐標(biāo)軸的三個交 占八、(1) 求圓C的方程；(2) 經(jīng)過點(diǎn)p(-2,5)的直線1與圓C相交于A, B兩點(diǎn)，若圓C在A, B兩點(diǎn)處的切線互相垂直，求直線1的方程18.如圖，從一個面積為15兀的半圓形鐵皮上截取兩個高度均為X的矩形，并將截得的 兩塊矩形鐵皮分別以AB, Ad為母線卷成兩個高均為X的圓柱(無底面，連接部分材 料損失忽略不計(jì))記這兩個圓柱的體積之和為V

5、(1) 將U表示成X的函數(shù)關(guān)系式，并寫出X的取值范I韋1；(2) 求兩個圓柱體枳之和U的最大值.2 219.如圖，在平面直角坐標(biāo)系XQy中，J 化分別為橢圓c：+ = 1的左、右焦-43點(diǎn)動直線/過點(diǎn)F.且與橢圓C相交于4, B兩點(diǎn)(直線/與X軸不重合)V(1) 若點(diǎn)4的坐標(biāo)為(O, J亍)，求點(diǎn)B坐標(biāo)；(2) 點(diǎn)M(4,0),設(shè)直線AM ,的斜率分別為，k2,求證：h + y(3) 求AAFIB面積最人時的直線/的方程.20.已知函數(shù)/(x) = rlnx+-, R.(1) 若a = 2,且直線y = x+加是曲線y = f(x)的一條切線，求實(shí)數(shù)加的值；(2) 若不等式wl對任意x(L+)

6、恒成立，求。的取值范圍；(3) 若函數(shù)i(x) = (x)-X有兩個極值點(diǎn)兀，XZ(Xl O , ex 0, evex,的否定是：3x0, ev0, /5.【點(diǎn)睛】本小題主要考查命題的否定.屬于基礎(chǔ)題.命題的否定即命題的對立面.“全稱量詞”與“存 在量詞”正好構(gòu)成了意義相反的表述.如“對所有的都成立”與“至少有一個不成立”：“都是”與“不都是”等，所以“全稱命題”的否定一定是“存在性命題”，“存在性命題” 的否定一定是“全稱命題”.本小題主要考查命題的否定.屬于基礎(chǔ)題.命題的否定即命題的對立面.“全稱量詞”與“存 在量詞”正好構(gòu)成了意義相反的表述.如“對所有的都成立”與“至少有一個不成立”：“

7、都是”與“不都是”等，所以“全稱命題”的否定一定是“存在性命題”，“存在性命題” 的否定一定是“全稱命題”.12. -2【分析】利用拋物線方程求出，即可得到結(jié)果.【詳解】解：拋物線F=2的焦點(diǎn)到其準(zhǔn)線的距離為：P=I.拋物線的準(zhǔn)線方程為：X=-.2故答案為=2【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，考查計(jì)算能力.31【解析】 因?yàn)閒x) = (SinX + COSX),所以/(O) = I.點(diǎn)睛：(1)求曲線的切線要注意“過點(diǎn)P的切線”與“在點(diǎn)P處的切線”的差異，過點(diǎn)P的 切線中，點(diǎn)P不一定是切點(diǎn)，點(diǎn)P也不一定在已知曲線上，而在點(diǎn)P處的切線，必以點(diǎn)P 為切點(diǎn).(2)利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義解題，主要

8、是利用導(dǎo)數(shù)、切點(diǎn)坐標(biāo)、切線斜率之間的關(guān)系來進(jìn)行轉(zhuǎn) 化.以平行、垂直直線斜率間的關(guān)系為載體求參數(shù)的值，則要求掌握平行、垂直與斜率之間 的關(guān)系，進(jìn)而和導(dǎo)數(shù)聯(lián)系起來求解.4. 3【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則得到z,結(jié)合實(shí)部定義得到答案.【詳解】解:由(ZI2i=l+i 得，Z= -_ + 2 =-+2= l + + 2 = 3- i,ii-1所以復(fù)數(shù)的實(shí)部為：3.故答案為3.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，實(shí)部的概念，考查計(jì)算能力，是基礎(chǔ)題.5. 婕3【分析】求出橢圓的離心率，利用橢圓的第二定義，求解即可.【詳解】橢圓C： +r=l,可得e=匹,42由橢圓的第二定義可得：它到橢圓C的右準(zhǔn)線

9、的距離為d,_ 2 _4館T故答案為婕.3【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)的應(yīng)用，橢圓的第二定義，考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力.6. 1【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案.【詳解】X 3解：由實(shí)數(shù)兒y滿足x3,作出可行域如圖，由C解得B(3，-1)x+y = 2x+y21 717化z=x+2y為y=-,由圖可知，當(dāng)直線y=一x+-iB (3,1)時，2 222直線在y軸上的截距最小，7有最小值等于z=3+2x ( - 1) =1.【點(diǎn)睛】本題考查了簡單的線性規(guī)劃，考查了數(shù)形結(jié)合的解題思想方法，是中檔題7. 必要不充分【分析

10、】(mQ由橢圓的性質(zhì)有：“方程X2W2 =1表示橢圓”的充要條件為： I ,再判斷0”In 1與的關(guān)系m 1【詳解】f77O解：由橢圓的性質(zhì)有：“方程rR = l表示橢圓”的充要條件為：0又“川0是“ I 的必要不充分條件，m 1所以，“加0”是“方程疋+加尸=1表示橢圓”的必要不充分條件，故答案為必要不充分【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓的性質(zhì)與充分、必要條件，屬簡單題.8. 邁5【分析】根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式進(jìn)行求解即可.【詳解】解:雙曲線l-/=1的一個頂點(diǎn)為A (2, 0),4.雙曲線的一條漸近線為y=-,即 -2y=0, 則點(diǎn)到直線的距離公式d=EMg=跡，+45故答案為跡5【點(diǎn)睛】本題主要考

11、查雙曲線性質(zhì)的應(yīng)用，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ).9. 35【分析】設(shè)P (x,刃，由用PB = I5,得點(diǎn)P的軌跡是以C (2, 1)為圓心，2石為半徑的圓， 得Po的最人值為0C+半徑.【詳解】解:設(shè) P(X, y) 則用=(4 - X, -y),丙=(- , 2 -y)T PA PB = 15, x (x - 4) +y (y - 2) =15, 即( - 2) 2+ (y - 1) 2=20,點(diǎn)P的軌跡是以C (2, 1)為圓心，2J為半徑的圓，的最人值為：OC+半徑=35 .故答案為35 .【點(diǎn)睛】本題考查了向量的數(shù)量積的應(yīng)用，考查了平面上一定點(diǎn)到圓上各點(diǎn)距離的最

12、值問題，考查了 推理能力與計(jì)算能力，屬于中檔題.10. (2-l,l)【分析】22由題設(shè)知 Fl ( -c, 0) , F2 (c, 0) , A ( - c, ) , B ( - c,),由人林B 是銳 aa角三角形，知tanZAF1F2b所以萬一 1,由此能求出橢圓的離心率0的取值范圍. J2c【詳解】解：點(diǎn)7 E分別是橢圓21 = 1 (QbAO)的左、右焦點(diǎn)，Cr Ir過戸且垂直于X軸的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，b2b2：.Fi (-c9 0) 9 F2 (c, 0) , A (c, ) , B (c, 一一),aaV AF15是銳角三角形， ZAFl F245o, AtanZAFi

13、F2l,/r-L1,2c整理，得b22ac,- c20,解得 0J-1,或 0-J-l,(舍)，0b橢圓的離心率e的取值范圍是(JI_1，D .故答案為(近1).【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的離心率的取值范I判的求法，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行 等價轉(zhuǎn)化.11. -2,1【分析】根據(jù)題意，分析兩個圓的圓心與半徑，由圓與圓的位置關(guān)系可得2-1WlGGl2+l,即IW Ca-I)斗5+2) -9,解可得d的取值范圍，即可得答案.【詳解】解：根據(jù)題意，圓 G： (x-) 2+ (y2) 2=1,其圓心Cl為(, +2),半徑為n = 1,圓 C)： x2+y2 - 2% - 3=0,即(X-

14、 1)2+r=4,其圓心 C? (1, 0),半徑 r2=2,若兩圓有公共點(diǎn)，則 2-1CiC22+1,即 (- D 2+ (+2) 29,變形可得：tf+2M0 且 a2+a - 20,解可得:-2b即的取值范圍為-2, 1；故答案為-2, 11.【點(diǎn)睛】判斷圓與圓的位置關(guān)系的常見方法(1) 幾何法：利用圓心距與兩半徑和與差的關(guān)系.(2) 切線法：根據(jù)公切線條數(shù)確定.12. 4【分析】連結(jié)AC,交BD于O,以O(shè)為原點(diǎn)，OA為X軸，OB為y軸，OP為Z軸，建立空間直角坐 標(biāo)系，利用向量法能求出實(shí)數(shù)I【詳解】解：連結(jié)AC,交BD于0,以O(shè)為原點(diǎn)，QA為X軸，OB為y軸，OP為Z軸，建立空間直 角

15、坐標(biāo)系，設(shè) PA=AB=2,則 A (2 O, O) , D (0, 一邁,0) , P (0, 0, ) , M (返)2BD=(0, -22 . 0),設(shè)N(O, b, 0),則顧=(0, b_Q 0),-b = BN, 2 = 2(b-), .b=Q2,兄.NO S 2邁,) =(衛(wèi),屈-2,衛(wèi)),麗= A2A2(-2,-2 0),22-4：MN丄AD ： MN AD= I-=0,A解得實(shí)數(shù)=4.故答案為4【點(diǎn)睛】本題考查實(shí)數(shù)值的求法,考查空河向量、正四棱錐的結(jié)構(gòu)牲等基礎(chǔ)知識,考查運(yùn)算求解能力， 是中檔題.133【分析】設(shè)P(X,刃，可得y2=2x,求得圓M的圓心和半徑，求得切線長PB,

16、化簡可得IPBl為P到y(tǒng)軸的距離，結(jié)合拋物線的定義和三點(diǎn)共線取得最值的性質(zhì)，即可得到所求最小值【詳解】解：設(shè) P (x, y),可得 y2=2x,圓 M： (X-I) 2+y2 =1 的圓心 M (1, 0),半徑為 1,PBl = PM I2 -1 = (-l)2 + r-l = yx2 + y2 -2x =閃，即PBl為P到),軸的距離，拋物線的焦點(diǎn)F(；, 0),準(zhǔn)線方程為A = -L2 2可得 I PA+PB=PA 田 PKl -丄=PA+PF - -,2 27過A作準(zhǔn)線的垂線，垂足為K,可得A, P, K共線時, PAMPK取得最小值A(chǔ)K=-,乙 即有I列+1PBl的最小值為3.故答

17、案為3.【點(diǎn)睛】本題考查拋物線的定義和方程的運(yùn)用，考查直線和圓相切的切線長求法，考查轉(zhuǎn)化思想和三 點(diǎn)共線取得最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題.14. (1,2).【分析】對函數(shù)y = ()求導(dǎo)，并求出極值點(diǎn)，列表分析函數(shù)y = f()的單調(diào)性與極值情況，由 題意得出/W極人值=/(一。)，由此可解出實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】. / (x) = X3 -3a2x-6d2 4 , :. ff(x) = 3x2 -3a2 =3(x-)(x+).令(X) = O,得X = F或x=,當(dāng)X變化時，廣(旳、/(x)的變化情況如下表：(-oo,-)-a(FG)a仏+8)廣(x)+00+/(x)/極大值極小值/由

18、于函數(shù)y = f()只有一個零點(diǎn)，且該零點(diǎn)為正數(shù)，所以，/(x)極人值=/*(一) = 2-6c廠+4。0,化簡得-3 + 20, 解得IVdV2,因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是(1,2),故答案為(1,2).【點(diǎn)睛】本題考查三次函數(shù)的零點(diǎn)問題，解題時要利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)單調(diào)性與極值，結(jié)合題意轉(zhuǎn)化為 極值的符號等價處理，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.15. (1) + = 1 (2)空1643【分析】(1) 橢圓E經(jīng)過點(diǎn)A(4,0),可得=4.橢圓E的離心率e=L = l可得c=23 .即a 2可得橢圓E的方程；fxz + =12(2) 由 ZFiPF2= ,所以甸 Pri = 0,可得 -

19、2+=12,由 x2 v2 ,得 P到y(tǒng)2 + = 11164軸的距離.【詳解】(I) 因?yàn)闄E圓Ei4 + = 1經(jīng)過點(diǎn)4(4,0), Cr /?所以竺=1,解得a = 4.Cr又橢圓E的離心率e = -=,所以c = 23 . a 2所以 b2 = a2-c2 = 4.因此橢圓E的方程為+ = 1 164(2) 方法一：由橢圓E的方程話+普=1,知坊(一2必0),鬥(2,0).設(shè)P(x,y)因?yàn)閆FlPF2=-9 所以；PF2=O,所以-+r=12.乙IV ) J16+T1, 得 F=M.-2=123所以IXl =乎，即P到y(tǒng)軸的距離為乎.2 2方法二 由橢圓E的方程+ = 1 ,知c =

20、2J 設(shè)P(x,y)164因?yàn)閆FiPF2 = y , O為坊竹的中點(diǎn)，所以 OP = C = 2書,從而 x2+y2=12.J16+T1, 得 F=M.，X3- + =12所以IXl=半，即P到y(tǒng)軸的距離為羋.方法三：由橢圓E的方程+ = 1,知c = 2J, F=43 FF,=43設(shè)P(XOT) 164因?yàn)?ZF1PF2 =-,所以 PF; + PF = 48 .由橢圓的定義可知，Pfi + PF2 = 2a = S,所以 2戶林 PF2 =(PFI + PFJ 一(P 斤 + P2) = 16,所以三角形的面積S = PF1PF2 = 4 .又 S = FIF2y = 23 y,所以 2

21、3y=4,所以卜| =半.代入+ 2_ = 1 得，X2=.1643所以k=,即P到)軸的距離為匕.丨丨33【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的幾何性質(zhì)，關(guān)鍵是利用橢圓的定義和向量數(shù)量積.屬于中檔題.16. (1)至(2)迺152【分析】(1) 以麗，DC DDi為正交基底建立空間直角坐標(biāo)系D - XyZt利用向量法能求出直線AlC與直線ADl所成角的余弦值：(2) 求出平面DIAC的一個法向量和平面ABB1A1的一個法向量，利用向量法能求出平面DIAC與平面ABBIAI所成二面角的正弦值.【詳解】(1)如圖，正四棱柱ABCD-AlBlClDi的底面邊長為,側(cè)棱長為1,故以DAyDCyDDl為正交基底建立空

22、間直角坐標(biāo)系D-X) 則D(0,0,0), A(2,), A1(2,0j), c(o,o),$(OOl).因?yàn)?AC = (O,2,)-(2,0,1) =(-2,2-1), 碼= (0,0,l)-(,0,0) =(-2,0,l), 所以 AlC ADl = (-2) (-2)+ (-1) 1 = 1,IACI = 2 + 2 + l = 5,阿=J2 + O + 1 = T,從而 cosC, ADI = ACMO -ACR1_ 1553 7(C兀又異面直線所成的角的范【韋I是0,亍所以直線AC與直線Az)I所成角的余弦值為15(2) AC = (-2,2,), A = (-2,0j),設(shè)平面D

23、IAC的一個法向量為H =(X,”Z),iC = O,n ADI = 0、從而-yf2x + y2y = 0,-Vx+z = O,取x = l,可得y = h z = 2 .即n = (l,L).在正四棱柱ABCD-AQCQL中，ZM丄平面ABBIAl,又 DA = (2,0,0) = 2 (1,0,0),所以斤= (IoO)為平面AlAl的一個法向量因?yàn)?CoSmL = f= hz7_ TC所以Wl 9 W2 =/ 1 _ 1 一112I-且OS因此平面DM與平面AB昭所成二面角的正弦值為半【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值的求法，考查二面角的正弦值的求法，考查空間中線線、 線面、而而間

24、的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題.17. (l)x2y2-x+5y-6 = 0 (2)% = -2和4% + 3y- 7 = 0.【分析】(1)方法一、求得拋物線與坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)，設(shè)出圓的一般式方程，代入三點(diǎn)坐標(biāo)，解 方程組可得D，E，F(xiàn),即可得到所求圓方程；方法二、由拋物線方程與圓的一般式方程，可令y=0,可得D F9再由拋物線與y軸的交點(diǎn)，可得&即可得到所求圓方程;(2)求圓C的圓心和半徑，圓C在A, B兩點(diǎn)處的切線互相垂直，可得ZACB= P求得C到直線/的距離，討論直線/的斜率是否存在，由點(diǎn)到直線的距離公式，計(jì)算可得所求直線 方程.【詳解】(1)方法一：拋物&y =x

25、2-X-6與坐標(biāo)軸的三個交點(diǎn)坐標(biāo)為(-2,0), (3,0), (0,-6). 設(shè)圓C的方程為x2+y2 + Dx + Ey + F = 0,(D = -If 解得 E=SfF = 6,4-2D + F = Of 則 9 +3D+F = 0,36 6E + F = 0,所以圓C的方程為%2y2-% + 5y-6 = 0方法二：設(shè)圓C的方程2+y2 + Dx + Ey + F = 0. 令y = 0,得2 + Dx + F = 0 因?yàn)閳AC經(jīng)過拋物線y = %2-%-6與軸的交點(diǎn)， 所以2 + Dx +F = 0與方程/ -x-6 = 0同解，所以D = 1, F = 6.因此圓C: / +y2

26、+ Ey _ 6 = 0因?yàn)閽佄锞€y = %2-%-6與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(0,-6),又所以點(diǎn)(0,-6)也在圓C上，所以36-6E-6 = 0,解得E = 5.所以圓C的方程為%2+y2-% + 5y-6 = 0.(2)由(1)可得，圓：C: (x-1)2+(3, + )2 = .故圓心C(P-半徑曠=青 因?yàn)閳AC在4, B兩點(diǎn)處的切線互相垂直，所以ACB = P所以C到直線啲距離d =青X號=?當(dāng)直線Z的斜率不存在時，Lx =-2 ,符合題意： 當(dāng)直線Z的斜率存在時，設(shè)Z：y-5 = /c(%+2),即c%-y+(2c + 5) = 0, 所以+5 _ st解得k=4kl23A所以直線 Z

27、：y-5 = -K%+2),即 4% + 3y-7 = 0.綜上，所求直線Z的方程為 =2和4% + 3y 7 = 0方法三：當(dāng)直線Z的斜率存在時，設(shè)直線Z的方程為y-5 = k(x + 2), AcXlIyIy F(%2,y2),將直線Z的方程代入圓C的方程得：X2 + (kx + 2上 + 5)2 % 5(cx + 2上 + 5) 6 = 0,即(1 + k2)x2 + (4k2 + 15/c - l)x + (4k2 + 30k + 44) = 04k2+15k-l4k2+30k+44%】+七=_ -，%聲2 =屮2因?yàn)閳AC在點(diǎn)兒B兩點(diǎn)處的切線互相垂直，所以G4丄CB, 所以SJ CB

28、= 0. BP(XI - )(%2 -+ Oi + )(372 +=0,所以(1 扌)Cv2 一 扌)+ (XI 2k +y)(fX2 + 2上 + )= 0,I!卩(1 + c2)x1%2 + (2c2 + /c (% + %2)+ 4以 + 3 Ok += 0,即4以 + 30k +44 + (2k2 + 存-(4fe211) + 4k2 + 30fc + =0,(1 + k2)(16fc2 + 120/c + 201) - (4fc2 + ISk -l)2 = 0,即 150k + 200 = 0,解得k=所以直線人 y 5 = ?(% +2),即4% + 3y - 7 = 0.當(dāng)直線Z

29、的斜率不存在時，Z： % =-2,符合題意：綜上，所求直線啲方程為x = _2和4x + 3y-7 = 0.【點(diǎn)睛】30 aI本題考查圓的方程的求法，注意運(yùn)用待定系數(shù)法和方程思想，考查直線和圓的位置關(guān)系，注 意運(yùn)用分類討論思想方法和點(diǎn)到直線的距離公式，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題18. (1) V = (x) = -(60x-5x3) XE 0【分析】(1) 設(shè)半圓形鐵皮的半徑為幾自下而上兩個矩形卷成的圓柱的底面半徑分別為寫 出丫關(guān)于X的函數(shù)關(guān)系，并寫出X的取值范I韋1；(2) 利用導(dǎo)數(shù)判斷V (%)的單調(diào)性，得出V (X)的最人值【詳解】(1)設(shè)半圓形鐵皮的半徑為廠，自下而上兩個矩形卷成的圓柱的

30、底面半徑分別為人，乙因?yàn)榘雸A形鐵皮的面積為15龍，所以；龍尸=15龍，即尸=30.2因?yàn)?rl = 2r- 所以=l30- ,同理2力=2Jrz -(2jv),，即 ri = 30-4x2 .,所以X的取值范圍是0,所以卷成的兩個圓柱的體積之和V = /() = (t + Tng= -(60x-5x3).因?yàn)? 2x0;當(dāng)x 2,時，z(x)0,所以/(%) = 9x+l在l,+s)上單調(diào)遞增, XX所以當(dāng)尸+1 = 1，即r=o時,9(尸+ 1)+Jr取最小值io. 7 / + 1即當(dāng)r = O時，AB的面積取最人值，此時直線/的方程為X = I.方法二：AFIB 的面積 5 = y1-y2

31、 = y1-y2乙Gt9,)2 一 E =4屁山亠打V 3+4 2丿因?yàn)?尸+44,所以O(shè)V-,3 廣+443F4 = 即T時WF的面積取最大值.因此，AAFIB的面積取最人值時，直線/的方程為x = l.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓的簡單性質(zhì)，考查直線與橢圓位置關(guān)系的應(yīng)用，訓(xùn)練了利用換元法及導(dǎo)數(shù)求函 數(shù)的最值，考查計(jì)算能力，屬難題.20. (1) m = Q (2) l,+o) (3) (2,e + -e【分析】(1) 代入d的值，根據(jù)切線方程得到關(guān)于XO的方程，求出切點(diǎn)坐標(biāo)，解出加即可：(2) 問題轉(zhuǎn)化為+- 10,記g (x) =alnx+-l,通過討論。的范圍，求出函數(shù)XX的單調(diào)區(qū)間，從而確定

32、d的范圍即可；(3) 法一：求出力(X2)- Ii (x)的解析式，記7 (x) =2 (x+ )加1+丄一Xn .心1,XX根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出a的范I韋I即可； 法二：由力(X) =/ (x) - x=alnx+丄一x, x0,以及力(X)有兩個極值點(diǎn)小X2 (xl),從而 h(%：)- h (M) 等價于 h (r) = U 總+ - ) z+-r-, r,記加() = (+-)加+丄一,根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求tteXX出d的范闈即可.【詳解】191(1)當(dāng) a = 2 時，f( = 2nx + - , f,(x) =XX X1 ) 設(shè)直線y = Xrn與曲線y = (x)相切于點(diǎn)0,21hv0 + -,AO即兀2Xq + 1 = 0,解得x0 = l,即切點(diǎn)為(14),因?yàn)榍悬c(diǎn)在y = x+?上，所以1=1+加