《圓》章節(jié)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

1、For pers onal use only in study andresearch; not for commercial use圓章節(jié)知識(shí)點(diǎn)一、圓的概念1. 平面內(nèi)到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。其中，定點(diǎn)稱為圓心，定長(zhǎng)稱為半徑，以點(diǎn)o為圓心的圓記作“L o”讀作“圓o”2. 確定圓的基本條件：（1 ）、圓心：定位置，具有唯一性，（2 ）、半徑：定大小。3. 半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓，兩個(gè)等圓能夠完全重合。4連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做 弦，經(jīng)過圓心的弦叫做 直徑，圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫 做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，弧用符號(hào)“”表示，圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成為兩條 等弧，每一條弧

2、都叫做半圓，大于半圓的弧稱為 優(yōu)弧，小于半圓的弧稱為 劣弧。在同圓或等圓 中， 能過重合的兩條弧叫做 等弧。理解：弧在圓上，弦在圓及圓上：弧為曲線形，弦為直線形。5.不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓且唯個(gè)。6三角形的三個(gè)頂點(diǎn)確定一個(gè)圓， 經(jīng)過三角形各頂點(diǎn)的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心是三角形三邊垂直平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的 外心，這個(gè)三角形叫做這個(gè)圓的內(nèi)接三角形。與三角形三邊都相切的圓叫做這個(gè)三角形的內(nèi)切圓，內(nèi)切圓的圓心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)，叫做三角形的內(nèi)心。三角形的內(nèi)切圓是三角形內(nèi)面積最大的圓，圓心是三個(gè)角的角平分線的交點(diǎn)，他到三條邊的距離相等：內(nèi)心到三頂點(diǎn)的連線平分這三個(gè)角。

3、（補(bǔ)充）圓的集合概念 1、圓可以看作是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合;2、圓的外部：可以看作是到定點(diǎn)的距離大于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合；3、圓的內(nèi)部：可以看作是到定點(diǎn)的距離小于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合 軌跡形式的概念：1、圓：至U定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的軌跡就是以定點(diǎn)為圓心，定長(zhǎng)為半徑的圓；2、垂直平分線：到線段兩端距離相等的點(diǎn)的軌跡是這條線段的垂直平分線（也叫 中垂線）；3、角的平分線：到角兩邊距離相等的點(diǎn)的軌跡是這個(gè)角的平分線；4、到直線的距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這條直線且到這條直線的距離等于定 長(zhǎng)的兩條直線；5、到兩條平行線距離相等的點(diǎn)的軌跡是：平行于這兩條平行線且到兩條直線距離 都相等的一條直線。、點(diǎn)

4、與圓的位置關(guān)系點(diǎn)與圓的位置關(guān)系是由這個(gè)點(diǎn)到圓心的距離d與半徑r的大小關(guān)系決定的。1、點(diǎn)在圓內(nèi)d : r點(diǎn)C在圓內(nèi);2、點(diǎn)在圓上d = r點(diǎn)B在圓上;3、點(diǎn)在圓外d r點(diǎn)A在圓外;解題注意點(diǎn)和圓的位置不確定性。圓的對(duì)稱性圓是軸對(duì)稱圖形，他有無(wú)數(shù)條對(duì)稱軸,每一條過圓心的直線都是他的對(duì)稱軸。圓是以圓心為對(duì)稱中心的中心對(duì)稱圖形，圓繞圓心旋轉(zhuǎn)任意一個(gè)角度，都能夠與原來的圖形重合，這種性 質(zhì)叫做圓的旋轉(zhuǎn)不變性。圓既是軸對(duì)稱圖形，又是中心對(duì)稱圖形。、直線與圓的位置關(guān)系：相交，相切，相離如果圓0的半徑為r，圓心0到直線I的距離為d，那么:1、直線與圓相離= d r = 無(wú)交點(diǎn)；2、直線與圓相切= d = r

5、= 有一個(gè)交點(diǎn);四、圓與圓的位置關(guān)系設(shè)兩圓半徑分別為R和r，圓心距為d,那么:外離（圖1）無(wú)交點(diǎn)外切（圖2）有一個(gè)交點(diǎn)相交（圖3）有兩個(gè)交點(diǎn)R - r : d內(nèi)切（圖4）有一個(gè)交點(diǎn)d ： R - r內(nèi)含（圖5）無(wú)交點(diǎn)R五、垂徑定理（非常重要）垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦且平分弦所對(duì)的弧。推論1:（ 1）平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。唬?）弦的垂直平分線經(jīng)過圓心，并且平分弦所對(duì)的兩條弧；（3）平分弦所對(duì)的一條弧的直徑，垂直平分弦，并且平分弦所對(duì)的另一條弧以上共4個(gè)定理，簡(jiǎn)稱2推3定理：此定理中共 5個(gè)結(jié)論中，只要知道其中 2個(gè)即 可推出其它3個(gè)結(jié)論，即：AB是直徑

6、AB _ CD CE = DE弧BC二弧BD弧AC二弧ADD中任意2個(gè)條件推出其他3個(gè)結(jié)論。推論2:圓的兩條平行弦所夾的弧相等。即:在O O 中， AB /CD/MAC 二弧 BD解題技巧：在圓中，解有關(guān)弦的問題時(shí)，常常需要做“垂直于弦的直徑”作為輔助線。六、圓心角定理 頂點(diǎn)在圓心的角叫做 圓心角。圓心角的度數(shù)與他所對(duì)的弧的度數(shù)相等。圓心角定理：在 同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弦相等，所對(duì)的弧相等，弦心距相等。 此定理也稱1推3定理，即上述四個(gè)結(jié)論中，只要知道其中的1個(gè)相等，則可以推出其它的 3個(gè)結(jié)論，即： AOB DOE : AB =DE ；OC =OF :弧BA二弧BD七、圓周角定理C

7、A1、圓周角定理：同弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角（或弧的 度數(shù)）的一半。即：. AOB和.ACB是弧AB所對(duì)的圓心角和圓周角. AOB =2 ACB2、圓周角定理的推論:推論1 :同弧或等弧所對(duì)的圓周角相等；同圓或等圓中，相等的圓周角所對(duì)的弧是等弧；即：在O O中，二C、. D都是所對(duì)的圓周角推論2:半圓或直徑所對(duì)的圓周角是直角；圓周角是直角所對(duì)的弧是半圓，所對(duì)的弦是直徑。即：在O O中，：AB是直徑或 C =90 C =90/.AB是直徑推論3 :若三角形一邊上的中線等于這邊的一半，那么這個(gè)三角形是直角三角形。即：在 ABC 中，：OC =OA =OB ABC是直角三角形或 C = 90

8、注：此推論實(shí)是初二年級(jí)幾何中矩形的推論：在直角三角形中斜邊上的中線等于斜邊的一半 的逆定理。注：忽略一條弦所對(duì)的弧有兩條，所對(duì)的圓周角邊有兩種不同的角。八、圓內(nèi)接四邊形一般的，如果一個(gè)多邊形的所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)圓上，那么這個(gè)多邊形叫做圓的內(nèi)接多邊形,這個(gè)圓叫做多邊形的外接圓。E圓的內(nèi)接四邊形定理：圓的內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。 推論：圓內(nèi)接四邊形任何一個(gè)外角都等于他的內(nèi)對(duì)角。 即：在O O中，四邊形ABCD是內(nèi)接四邊形 C BAD =180 B . D =180.DAE =/C九、切線的性質(zhì)與判定定理 直線和圓有唯一公共點(diǎn)(即直線和圓相切)時(shí)，這條直線叫做圓的切線，這個(gè)唯一的公共點(diǎn) 叫做切點(diǎn)。(1

9、 )切線的判定定理：過半徑外端且垂直于半徑的直線是圓的切線;兩個(gè)條件：過半徑外端且垂直半徑，二者缺一不可即： MN _OA且MN過半徑OA外端(2)性質(zhì)定理：圓的切線垂直于過切點(diǎn)的半徑(如上圖)推論1 ：過圓心垂直于切線的直線必過切點(diǎn)。推論2 :過切點(diǎn)垂直于切線的直線必過圓心。以上三個(gè)定理及推論也稱二推一定理：即：過圓心；過切點(diǎn)；垂直切線，三個(gè)條件中知道其中兩個(gè)條件就能推出最后一個(gè)。通常敘述為：見切點(diǎn)連半徑得連接圓心與切點(diǎn)間的線段是解圓的切線問題時(shí)常用的輔助線,垂直”解決與圓的切線有關(guān)的問題時(shí)，常需要補(bǔ)充的線是作過切點(diǎn)的半徑九、切線長(zhǎng)定理圓的切線長(zhǎng)。在經(jīng)過圓外一點(diǎn)的圓的切線上，這點(diǎn)到切點(diǎn)之間的

10、線段的長(zhǎng)叫做這點(diǎn)到A切線長(zhǎng) 定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條切線，它們的切 相等，圓心和圓外這一點(diǎn)的連線平分兩條切線的夾角。即： PA、PB是的兩條切線PA =PBPO平分 BPA十一、圓幕定理(1 )相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。即：在O O中，弦AB、CD相交于點(diǎn)P ,PA 卩B =PC PD(2 )推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成 的兩條線段的比例中項(xiàng)。即：在O O中，直徑AB _CD ,COpCE2 二 AE BE(3)切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。即：在O O中， PA是切線，PB是

11、割線2 PA =PC 卩B(4) 割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng) 的積相等(如上圖)。即：在O O中，I PB、PE是割線PC PB =PD PE十二、兩圓公共弦定理兩圓相切時(shí)，連心線必過切點(diǎn)，這一性質(zhì)是由圓的對(duì)稱性決定, 圖形，對(duì)稱軸是經(jīng)過兩圓圓心的直線。圓公共弦定理：相交兩圓的連心線垂直平分兩圓的公共弦。如圖：O1O2垂直平分AB。即：.O01、O O2相交于A、B兩點(diǎn)QO2垂直平分 AB兩個(gè)圓組成的圖形是軸對(duì)稱注：兩圓相交時(shí)，依照兩圓圓心和公共弦的位置，可分為兩種情況:兩圓圓心在公共弦同側(cè)，兩圓圓心在公共弦異側(cè)。十三、圓的公切線兩圓公切線長(zhǎng)的計(jì)

12、算公式：(1)公切線長(zhǎng)： Rt O1O2C 中，AB2 二 CQ2 二.OQ22 -CO22 ;A(2)外公切線長(zhǎng)：CO2是半徑之差;內(nèi)公切線長(zhǎng)：CO2是半徑之和十四、圓內(nèi)正多邊形的計(jì)算各邊相等，各角也相等的多邊形叫做正多邊形。把一個(gè)圓分成相等的弧， 依次連接各分點(diǎn)所得的多邊形是這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓叫 做正多邊形的外接圓。經(jīng)過各分點(diǎn)做圓的切線，以相鄰切線的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的多邊形是這個(gè)圓的外切多邊形，這個(gè)圓叫做多邊形的內(nèi)切圓。正多邊形的外接圓(或內(nèi)切圓)的圓心叫做正多邊形的中心。正多邊形外接圓的半徑叫做正 多邊形的半徑。正多邊形每一邊所對(duì)的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角，正多邊形內(nèi)切圓半

13、徑叫做正多邊形的 邊心距。正n邊形的半徑R與邊心距r把正n邊形分成2n個(gè)全等的直角三角形。360180關(guān)系式：中心角 ：n二；邊長(zhǎng)an=2Rsin;nn邊心距 rn = Rcos18; R2 = r2(-an)2;周長(zhǎng) Cn = nan;n2面積 Sn=；anrn = C. 2 2(1) 正三角形在O O中厶ABC是正三角形，有關(guān)計(jì)算在 RtBOD中進(jìn)行：OD : BD: OB = 1: . 3:2 ;(2) 正四邊形同理，四邊形的有關(guān)計(jì)算在Rt，O A曲進(jìn)行，O E: AE: O A 1 : 1 :2(3) 正六邊形同理，六邊形的有關(guān)計(jì)算在RC OA中進(jìn)行，AB:OB:OA =1: 73:2

14、 .Qz卜五、扇形、圓柱和圓錐的相關(guān)計(jì)算公式nn r1、扇形：(1)弧長(zhǎng)公式：l1802n兀R(2 )扇形面積公式： S -3601lR2n:圓心角 R:扇形多對(duì)應(yīng)的圓的半徑l :扇形弧長(zhǎng) S :扇形面積2、圓柱:(1 )圓柱側(cè)面展開圖5表 = S 2S = 2 二 rh 2 二2(2)圓柱的體積：V -：r h底面圓周長(zhǎng)母線長(zhǎng)C1(2 )圓錐側(cè)面展開圖2(1) S表 = % S底=Rr r1 2(2) 圓錐的體積：V r h補(bǔ)充:圓中四心：外心：各邊垂直平分線的交點(diǎn)內(nèi)心：各角角平分線的交點(diǎn)垂心：各邊高線的交點(diǎn)重心：各邊中線的交點(diǎn)僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal

15、 use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Forschung, zu kommerziellen Zwecken verwendet werden.Pour l e tude et la recherche uniquementa des fins personnelles; pasa des fins commerciales.to員bko gA.nrogeHKO TOpMenob3ymrnflCH6yHeHuac egoB u HHuefigoHMUCnO 員 B30BaTbCEb KOMMepqeckuxue 貝 ex.以下無(wú)正文僅供個(gè)人用于學(xué)習(xí)、研究；不得用于商業(yè)用途For personal use only in study and research; not for commercial use.Nur f u r den pers?nlichen f u r Studien, Fors