自動控制原理夏超英第2章習題解答

1、第二章習題解答 2-1試求下列各函數(shù)的拉氏變換。 (a) /(r)= l + 力，(b) /(0 = 3+7r+r2+J(r), (c) /(/) = k+2嚴+F宀 (d) f(t) = (Z+ 1)2 (e) f(t) = sin2t + 2cos2t + e sin2t , (f)=+2/cos/, (g) /(/) = fsin3/-2/cosf , (h) /(F) = 1(/)+ 2/cos2/ 解: 1237?121 F(5)= - + (b) F(5)= l + - + + (c) F(5)= + + _-v SSS5 + 15 + 2 (s + 3y (d) 2+4 (5 +

2、 1)2 +4 f(t) = t2+2t + 9 F(5)= 4 + - + - (e) F(s) = + - + L- S S S5*+4 s (f) 2s、 52+l (g) (2s 52+l； 6s 2?+2 ds ds （心尸 (r + D2 d F(S)= 7+T+ ds5 + 1 (52+l)2 (h) d F(5)= - + - 2s、 52 + 4； 1 6+8 =Z: ds . S (52 +4)2 2-2試求圖2.54所示各信號的拉氏變換。 圖2.54習題2-2圖 解: (b) 嚴 1 e X(S)= 心! (c) (d) (t-T) + (t-2T)(t- 2T) +1(

3、/ 一 2T) = l(r)-2xl(r-r)+ -2y(r-7)l(r-T) + y(r-2r)l(r-27) + l(r-2r) 所以 1 1 1 S HS 匚-2 #不+*力 .1 f 1 19 1嚴 1嚴嚴 2 + -2- + - + s s T s T s T s s 2-3運用部分分式展開，求下列各像函數(shù)的原函數(shù)。 (a) F(s)=-，(b) F(s) =, (c) F(s)= s(s + 2)s(s +1)(5 + 10)丁 + 4s + 20 2(5 + 2), (e) F(s) = T，(f) F(s) = (d) F(S)_(s + 1)(52+4) 解： (a) 部分分

4、式分解有 F(s) = - = 1 + s(s + 2) s 5 + 2 査表得 八)=1嚴 (b)部分分式分解有 10 F(S)_ S(S + 1)(S + 1O) _5+5 + 1+ $ + 10 査表得 ) = 1 1.1111宀 0.1111 嚴 (c)部分分式分解有 35 + 2 F)_ 52+45 + 20 一3($ + 2)2 + 42 (S + 2)2 + 42 1 l7F(5 + 2)2+42 后二正 + ”+護丿 査表得 /(/) = 3e2r cos 4/一 J sin 4/ = 3 1622* (0.949 cos 4/ 一 0.3162 sin 4r) =3.162水

5、力 sin(4r +108.38 ) (d)部分分式分解有 2(5 + 2)0.667-0.6675 + 2.667 F(s) =j (5 + r)(52+4)5 + 1 0.667 =一 0.667 5 + 1 査表得 f(t) = 0.667k - 0.298(0.447 cos 2/ - 0.894sin 2/) = 0.667 - 0.298(sin 2/ +153.4 ) (e)部分分式分解有 ?+22 亠-2亠 廣+2廣+2丿 0.667 5+1 -0.298 0.447 ，S，- -0.894 I 52+22s2+22 F(s) = - = - + - 査表得 7(0 = 1+/

6、 (f)根據位移怎理有 /(r) = (2)l(r2) 2-4用拉氏變換求解下而的常微分方程。 (a) y + y + 3y = 0,y(0) = 1,y(0) = 2 (b) y + 4y + 5y = r,y(0) = 15y(0) = 1 (c) y + y = sinf,y(0) = l(0) = 2 (d) y + 4y + 3y = /嚴,y(o)= 1,y(0) = -4 解： (a) 根據微分泄理，微分方程兩邊拉氏變換得 s2Y(s) 7 2 + sY(s) 一 1 + 3Y(s) = 0 r（5）= 5 + 3 +5 + 3 部分分式分解有 “ 、 s + 35 + 0.5(

7、1.658 Y(5)= =sr + 1.5076r 52+5 + 3(5 + 0.5)2 +1.6582(5 + 0.5)2 +1.6582 拉氏反變換得到 y(f)= 0勺 cos 1.65 +f2kw 將上述兒的結果及其微分代入到上而的第2式，消去兒和人，整理得 nm；y + f(m + m2)y + 伙、“ + k5m2 + kwm2)y + fkwy + kskwy = fkwr + kjcj 根據上而的結果得到傳遞函數(shù)為 y（s） fls + k扎 R mm2s4 + f （/Mj + m2 ）s3 + （ksm + ksm2 + kwm2 ）s2 + fkws + kskw 將各個

8、參數(shù)的數(shù)值代入得到 Y(s)_1306666 + 17333333 麗y 一 s1 + 516衛(wèi) + 56846 +1306666s +17333333 2-7用一根彈簧連接兩個擺，如圖2.57所示，系統(tǒng)在下平衡位宜時彈簧剛好不受力。以作用 力F(/)作為輸入，0(0作為輸出，求系統(tǒng)下平衡位置附近的輸入輸出微分方程并求傳遞函 數(shù)。 圖2.57習題2-7圖 解：在下平衡位宜附近，8嚴0, QaO, sinqq, sin$2$，下平衡位置附近系統(tǒng) 的微分方程為 ml2O=一転2(& -&2)-加gq +/F ml202 = 一kef (Q _ q) -2gq 從上述第2式解出勺為 代入到上述第1式

9、得到 m2l402 +2ml2(ka2 +mg)S2 +(2ka2mg +m2g2)02 = ka2!F 根據上而的結果得到傳遞函數(shù)為 G)2(s)_ F(s) m2l4s4 + 2ml2(ka2 +mg)s2 +(2ka2mg +m2g2) 28試證明圖2.58中(a)的電網絡與(b)的機械系統(tǒng)有相同的數(shù)學模型。 解：對于圖2.57 (a)所示電路，根據復阻抗的概念有 以)_ U 丄+尺 C2s - Cj5 尺+丄 C.5 RiRrCiCqS- + (KG + R、C?)s +1 R1R2GC2S- + (RG + R、C? + R、C? )s +1 于是，輸入輸出微分方程描述為 RRCGi

10、i。+(盡G +R2C2+RC2)仏 uo=R.RC4ii +(&C| +R2C2)% +U, 對于圖2.57 (b)所示電路彈簧阻尼器系統(tǒng)，根據牛頓定律有 f2(xi-xo) + k2(xi-xo) = f(xo-x) fxo-x) = kxx 式中x為阻尼器人上端的位置。為消去中間變疑X，先由第1式有 左=九_(呂_乙)一牛(石_兀) JJ 將結果代入到上而的第2式解出 “護 7)+ 兀,) 即有 丘=(呂_乙)+牛(石_匕) 將結果代入到上而的第1式有 ffA +(2 +M +吋)勺+也心=2乂 +(也+弘)咅+好2兀 i + 叭 v - v + fl f fl) U fu JJ2 J

11、f2) 它和圖2.58中(a)的電網絡有相似的數(shù)學模型。 29運算放大器是有源器件，實際中通常以供電電源的地作為參考點，如圖2.58 (a)所示, 坷、”2和叫分別是反向輸入端、正向輸入端、輸出端對參考點的電壓，則有 uo = K(u2u) 式中K為運算放大器的差動放大倍數(shù), 在很寬的頻率范帀內它是一個很大的值。 /2厶 ：_I I 圖2.58習題29圖 圖2.58 (b)所示為運算放大器的典型應用電路，圖中乙為輸入復阻抗，Z?為輸岀復 阻抗。運算放大器的輸入阻抗很高，輸岀阻抗很低，差動放大倍數(shù)很大。所以從兩輸入端流 入或流出的電流都很小，正向輸入端的電位”2接近于零，而且在運算放大器正負供電

12、電源 限泄的線性輸出范圉內，電壓差$-坷也很小，反向輸入端的電位也接近于零，稱為虛 地。于是有下述關系存在 皿)/ 乙(S) 人-一/ -Z2() Zi(5)= Z2(5) 所以有 Us) _ -Z2(s) SG) 乙 即圖2.58 (b)所示運算放大器電路的傳遞函數(shù)為輸岀復阻抗Z?與輸入復阻抗乙之比的負 值。 (a) 設輸入復阻抗和輸岀端復阻抗是電阻心和冬，試求傳遞函數(shù)。 (b) 設輸入復阻抗是電阻心，輸出端復阻抗是電容C?,試求傳遞函數(shù)。 (c) 設輸入復阻抗是電阻輸出端復阻抗是電阻忌和電容串聯(lián)，試求傳遞函數(shù)。 (d) 設輸入復阻抗是電阻&和電容G并聯(lián)，輸出端復阻抗是電阻忌，試求傳遞函數(shù)。

13、 解： (a) 此時乙=&, Z2= R2,故有 U_ -ZqG) _ -R Us) Z|(s)& 是一個比例環(huán)節(jié)。 (b) 此時乙=尺，乙=丄，故有 C2s Ut(s) _ -Z,(5)_ _1_ S(s) Z|(s) RC2s 是一個積分環(huán)節(jié)，積分時間常數(shù)為RG。 (c) 此時Z嚴R乙=乩+丄，故有 C2s 人+丄z、 U(s) 一乙 G) C.s 乩 C, + l /?.1 ) Uj (s) Zj (5)RRGs R RC2s) 是一個比例+積分環(huán)節(jié)，比例系數(shù)為RJR、,積分時間常數(shù)為RG。 (d) 此時乙=&|丄=一垃一,乙=&,故有 Cs RGs + l Ua _ ZG) EG) Z

14、(s) R, RCs + 一空 + RXs J 是一個比例+微分環(huán)節(jié)，比例系數(shù)為RJR、,時間常數(shù)為KG。 210由運算放大器組成的同向輸入和差分輸入放大器電路如圖2.59 (a), (b)所示，試求各 自的傳遞函數(shù)(4(s)/S(y) 1 1 (a)(b) HI 2.59 習題 2-10 解： 對于圖2.59 (a)所示同向輸入的放大器電路，運算放大器正向輸入端“+”和反向輸 入端“-”基本同電位，且正負輸入端間的輸入阻抗很大，因此有 乙G) Lio =U, Z|(s) + Z,s) 因此有 Uo(S)_ Z2(5) S(s) Z1(5)+ Z2(5) 式中Zg Z2(5)為電路中的復阻抗。

15、 對于圖2.59 (b)所示差分輸入的放大器電路，同樣因為運算放大器正向輸入端和反向 輸入端基本同電位，且正負輸入端間的輸入阻抗很大，有 乙G) (、 乙(巧 W.=_ 111)F Un Z(s) + Z2s) ZM + Z2(s) 式中，坷、心、心分別為同向輸入阻抗左端對地.反向輸入阻抗左端對地、運算放大器輸 出端對地的電壓因此有 Z(s) + Z2(s) 乙($) Z(s) + Z2(s) 即 因為Ut =u2-u9所以 /($)_ Zg U)Z(s) 2-11設晶閘管三相橋式全控整流電路的輸入量為控制角Q ,輸出量為空載整流電壓它 們之間的關系為 ed = cos a 式中Eq是控制角a

16、 = 0時的空載整流電壓值。試推導整流裝麗在靜態(tài)工作點(， L + /7? + 0.0261n(106xZ + l) = H dt 反映系統(tǒng)動態(tài)特性的方框圖如下圖所示。 (b)從靜態(tài)工作點w() = 2.39V, /o = 2.19xlO-3A,算得非線性元件二極管的靜態(tài)工作點 為心=心= 0.2V , h=io = 29 x 10“ A,非線性元件二極管在靜態(tài)工作的線性化 模型為 * =0“ Az = Azrf = N劉n o二 碩“ = io二_典莎= 0.0169 0.026 0.026 各變量用增量替代，將上而的結果代入得 Am-59.2A/ = /?A/ + L dt 即有 AZ(5

17、)_1000 UG) $ + l06xl0& 2-18由運算放大器組成的控制系統(tǒng)模擬電路如圖2.63所示，試求閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù) 匕/匕。 圖2.63習題218圖 解：第1級運放的傳遞函數(shù)為 第2級運放的傳遞函數(shù)為 第3級運放的傳遞函數(shù)為 閉環(huán)系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為 1 G(s) = K 1 凡(G$R +1) 1 U=s)_ -GOGgGjG) -隔 Ur(s) 1+G| (s)G2 (s)G3(5) RRCiC2s2 +RC2s + RR2 2-19根據電樞控制的直流電動機的微分方程 ur = Ri + L + e. a a a dt h 勺=CcCD % = CJ z dco 叫嚴+ at 以

18、轉速co = dO,nldt作為輸岀，畫出直流電動機的結構圖，并由結構圖求出電動機的傳遞函 數(shù) 0($)/)和 C(s)/Mz(s)。 解：設系統(tǒng)初始條件為零，上述方程取拉氏變換得到 ua (s) - Eb (s) = RaIa (s) + Lasla(5) G) = CQ(s) Mm(5)= JmsQ(s) + fQ(s) 據此繪制電動機的動態(tài)結構圖如下圖所示。 匕(S) 由電動機的動態(tài)結構圖得到傳遞函數(shù) C(s) 5 Ua($)JmLaS +(AA + 幾)$ + 凡 + CmCe G(s) Js + R M L (s)JmaS + (J 代 + 幾)S + fla + GG ax 2-2

19、0某位宜隨動系統(tǒng)結構圖如圖2.64所示。已知給怎電位器的最大工作角度q 功率放大級放大系數(shù)為 (a) 試求傳遞系數(shù)K。、第一級和第二級放大器的比例系數(shù)和K2。 (b) 試繪制系統(tǒng)的動態(tài)結構圖。 (C)化簡系統(tǒng)的動態(tài)結構圖，求傳遞函數(shù)G,(5)/Of(5)o f15v 圖2.64習題2-20圖 解： (a) 心=巴匕= 5.2,=- = -3, K,=-豈=-2。 嗎 6.28(訕10-10 360() (b) 設電樞控制的直流電機的簡化模型為 心 人少+ 1 繪制系統(tǒng)的動態(tài)結構圖如下圖所示。 由系統(tǒng)的動態(tài)結構圖得到傳遞函數(shù) %) WK心n G) 7；$ +(KK 凡+ l)s + KKKK 足

20、 2-21已知系統(tǒng)的動態(tài)結構圖如圖2.65 (a), (b)、(c)、(d) (e)所示，試通過結構圖等效 變換求傳遞函數(shù)C($)/?($) (a) 恥) (b) (c) (d) (e) 圖2.65習題2-21圖 (a)根據向同類相鄰點移動的原則，將左而的綜合點移動到右而的綜合點，結構圖等效變 換為 求得傳遞函數(shù)為 C(5)_ Gj + G2 (5) i + g2g? (b)應用反饋連接的等效變換法則簡化反饋通路，結構圖等效變換為 求得傳遞函數(shù)為 (c) 根據向同類相鄰點移動的原則.將第1個綜合點向后移動到第2個綜合點，結構圖等 效變換為 求得傳遞函數(shù)為 C(s)qGz+GpGq R(s) +

21、 G2H+Gfi2H2 (d) 根據向同類相鄰點移動的原則，將第2個綜合點向前移動到第1個綜合點，將第2個 取岀點向后移動到第3個取出點，結構圖等效變換為 求得傳遞函數(shù)為 c(5)_gG R(s) + GH + G2H2 + G.H. + Gfi.H.H. (e) 根據向同類相鄰點移動的原則，將第2個綜合點向前移動到第1個綜合點，結構圖等 效變換為 求得傳遞函數(shù)為 CO Gq+GG (5) + GG2H 2-22試通過結構圖化簡求圖2.66 (a) (b)所示系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(s)/R(s)和C(s)/N(s)。 解： (a)令N = 0,合并反饋通路結構圖變換為 得到傳遞函數(shù)為 CG) _

22、GG 麗l + GGT+GG 令/? = 0合并化簡反饋通路，結構圖變換為 得到傳遞函數(shù)為 C(5)(l + gHJ + GG N(s)二 l + qGM+g (b)令N = 0,根據向同類相鄰點移動的原則，將第2個綜合點向后移動到第2個綜合點, 結構圖等效變換為 得到傳遞函數(shù)為 C(s) _ GQG +GG +Gg R(s)1 + GG4 +GG4 令R = o,根據向同類相鄰點移動的原則，結構圖等效變換為 得到傳遞函數(shù)為 N CG) 7 N(Q 1 + G口+GG 2-23畫出圖2.66 (a), (b)所示系統(tǒng)的信號流圖，并用梅遜增益公式求各系統(tǒng)的傳遞函數(shù) C(s)/R(s)和 C($)

23、/N(f) o 解： (a) 0 2.66 (a)所示系統(tǒng)的信號流圖為 R($)O O N(S) G, G、 9 I O C(s) 用梅遜增益公式求得傳遞函數(shù)為 C(s)G,G2 靈&1 + GG 耳+GG C(s) _-(l + GlG2H1) + G3G2 N(s) l + gHi+g (b)圖2.66 (b)所示系統(tǒng)的信號流圖為 用梅遜增益公式求得傳遞函數(shù)為 O C(5) C(5)_ GiG-G4 +GQ4 + GG4 /?($)1 + G7G4 C(s) _ aF()1 + G2G4+G3G4 2-24試繪制圖2.67中各系統(tǒng)的信號流圖，并用梅遜增益公式求各系統(tǒng)的傳遞函數(shù) C(s)/

24、R(s)和 E(s)/R(s) o (a) (b) 圖2.67習題2-24圖 解： (a) 共有3個回路，回路傳遞函數(shù)為分別為-佔,-G.H2, -GGQHiH?,其中2 個互不相接觸回路的傳遞函數(shù)的乘積為0 由R到C共有2個前向通路，這2個前向通路的傳遞函數(shù)及相應的余子式分別為 /=G,G2G3,鳥=1, P2=G4G., A2 =1 + 6,77, o 故得傳遞函數(shù) C(s) _GQG +&6(1 + 6“) (7) = l + G.H, +G.H2 +G,G2G3H1H2 +G,H,G3/72 由R到E共有2個前向通路，這2個前向通路的傳遞函數(shù)及相應的余子式分別為 i=1 + G02，P

25、2=-G4G.H2H A2=1o 故得傳遞函數(shù) E(s) Q + GEJ-GGHH (5) _ 1 + G./7, +G.H2 +Gfi2GyHH2 +G,/7lG3/72 (b) 共有5個回路，回路傳遞函數(shù)為分別為Gfi2, -Gfi2, -Gfi2, G|, -G2,沒有 互不相接觸的回路。 由R到C共有4個前向通路，這4個前向通路的傳遞函數(shù)及相應的余子式分別為 A,=l, P2=G2, A2=l, P3 = G,G2, A3=l, P4 = Gfi2, A4=la 故得傳 遞函數(shù) C(s)_ -G, +G2+ 2G,G2 R(s) + 3Gfi2-G+G2 由/?到共有1個前向通路，這1

26、個前向通路的傳遞函數(shù)及相應的余子式分別為A = 1, i=1 + G|G2。故得傳遞函數(shù) E(s) _ + Gfi2 R(s) + 3Gfi2-G+G2 2-25試用梅遜增益公式求圖2.68中各系統(tǒng)的傳遞函數(shù)C(5)/?(5)。 -0.5 解： (a)共有3個回路，回路傳遞函數(shù)為分別為一-GQQH,沒有不相 接觸的回路。由R到C共有2個前向通路，這2個前向通路的傳遞函數(shù)及相應的余子式分 別為 / = Gfi2Gfi4G5,P2=G6, A2 = 1 + GyHx + G2G3/72 + G.G.H. 0 故得傳 遞函數(shù) C(s) _ Gflfififi, +G4 + G3耳 +GG2G,H2

27、+G3G4HJ Rs)1 + GH + GQ2G3/ + GG/ (b)共有9個回路，回路傳遞函數(shù)為分別為一GH，Gg GH -Gfi4G5H4, , Gfi.G.H.H, -Gfifififi.H, -Gfifi.H, G0H，其中 2個互不相接觸回路的傳遞函數(shù)的乘積為G2Hfi4H2 , G.Hfi.H. , G.Hfi.H., Hfi.Hfififi. , -H2GaHHaG, , 3個互不相接觸回路的傳遞函數(shù)的乘積為 G2Hfi4H2G6Hy o由R到C共有4個前向通路，這4個前向通路的傳遞函數(shù)及相應的余子 式分別為 Px = Gfififififi. , A,=l , P2 = G7

28、G3G4G5G6 , A2=l , E = GQG , 3R + GM2，A=GQGQe，A4 = 1 + G4H,O 故得傳遞函數(shù) C(s) _GG2G3G4GG + GGGqGG + GGGe(1 + G”) -QG(1 + GH2) 亦_ +G3G4G5G6G7H5 +G1GsG6H5 GEH +G2HG4H2 +G4H2G6H3+G2HGhH, +H2G4H,Gfifi6 -H.G.H.Hfi + G2HfiAHG(H. (c)共有3個回路，回路傳遞函數(shù)為分別為-10, -2, -0.5,其中2個互不相接觸回路 的傳遞函數(shù)的乘積為-lOx-0.5, -2x-0.5o由R到C共有2個前向通路，這2個前向通 路的傳遞函數(shù)及相應的余子式分別為R=5xl0,亠=1 + 0.5, =10 x2, A,=l +