專題五幾何中中點(diǎn)的妙用

1、中 點(diǎn) 的 妙用 聯(lián)想是一種非常重要的數(shù)學(xué)品質(zhì)。善于聯(lián)想，才能更好的尋求解決問題的方法。同學(xué)們 當(dāng)你遇到中點(diǎn)時(shí)，你會(huì)產(chǎn)生哪些聯(lián)想呢？學(xué)習(xí)完這個(gè)專題后，能給你帶來一定的啟示 看到中點(diǎn)該想到什么？ 1等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三線合一”的性質(zhì)； 2、 直角三角形中遇到斜邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“斜邊上的中線，等于斜邊的一半”； 3、 三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三角形的中位線定理”； 4、 兩條線段相等，為全等提供條件（遇到兩平行線所截得的線段的中點(diǎn)時(shí)，常聯(lián)想“八 字型”全等三角形）； 5、有中點(diǎn)時(shí)常構(gòu)造垂直平分線； 6有中點(diǎn)時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)面積的一半（中線平分三角形的面積）； 7、倍長(zhǎng)中線

2、 8、圓中遇到弦的中點(diǎn)，常聯(lián)想“垂徑定理” 線 一、等腰三角形中遇到底邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想“ 合一”的性質(zhì) 1 所示，在 ABC中, AB=AC=5 BC=6 MNL AC于點(diǎn)N,貝U MN等于( 912 B 9 C 12 D 55 ) 16 5 “斜 1、如圖 為BC中點(diǎn), A. 5 二、直角三角形中遇到斜邊上的中點(diǎn)，常聯(lián)想 邊上的中線，等于斜邊的一半” 2、如圖，在Rt/ ABC中，/ A=90 ,AC=AB,M 分別在AC AB上。且AN=BMO為斜邊BC的中點(diǎn)， OMN勺形狀，并說明理由. 3、如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2,將長(zhǎng)為2的線段 兩端放在正方形相鄰的兩邊上同時(shí)滑動(dòng)如果點(diǎn)Q從點(diǎn)

3、A出 A B滑動(dòng)到點(diǎn)B為止，那么 發(fā)，沿圖中所示方向按 Ar B C D A滑動(dòng)到點(diǎn)A為 止，同時(shí)點(diǎn)F從點(diǎn)B出發(fā)，沿圖中所示方向按B C D Q 臺(tái)匕】汪 第8題圖 在這個(gè)過程中，線段QF的中點(diǎn)M所經(jīng)過的路線圍成的圖形的面積為D A. 2B. 4 二-1 C.二D. 三、三角形中遇到兩邊的中點(diǎn)，常聯(lián)想“三 4、（直接找線段的中點(diǎn)，應(yīng)用中位線定理） CM 如圖，已知四邊形ABC的對(duì)角線AC與 BD相交于點(diǎn)B且AC=BF M N分別是AB CD的中點(diǎn)，MN分別交BD AC于點(diǎn)E、F.你第 出OE與OF的大小關(guān)系并加以證明嗎？ 5、（利用等腰三角形的三線合一找中點(diǎn)，應(yīng)用中位線定理） 如圖所示，在三角

4、形ABC中, AD是三角形ABC2 BAC的角 平分線，BDLAD點(diǎn)D是垂足，點(diǎn)E是邊BC的中點(diǎn)，如果 AB=6,AC=14 求 DE的長(zhǎng) 6、（利用平行四邊形對(duì)角線的交點(diǎn)找中點(diǎn)，應(yīng)用中位線定理） 如圖所示，AB/ CD BC/ AD，DEI BE , DF=EF甲從B出發(fā)，沿著BA AD DF的方向運(yùn) 動(dòng)，乙B出發(fā)，沿著BC CE EF的方向運(yùn)動(dòng)，如果兩人的速度是相同的，且同時(shí)從 B出發(fā), 則誰先到達(dá)F點(diǎn)？ 7、（綜合使用斜邊中線及中位線性質(zhì)，證明相等關(guān)系問題） 如圖，等腰梯形ABCD中, CD/ AB對(duì)角線AC BD相交于點(diǎn)0, ACD =60，點(diǎn)s、P、Q分別是DO AO BC的中點(diǎn).

5、求證： SPC是等邊三角形。 四、兩條線段相等，為全等提供條件（遇到兩平行線所截得的線段 的中點(diǎn)時(shí)，常聯(lián)想“八字型”全等三角形） 8、如圖：梯形 ABCC中，/ A=90 ,AD/BC,AD=1,BC=2,CD=3, E為AB中點(diǎn)，求證：DEL EC 9、如圖甲，在正方形 ABCD和正方形CGEF（CGBC中，點(diǎn) B C、G在同一直線上，M是AE的中點(diǎn)，（1）探究線段MD MF的位置及數(shù)量關(guān)系，并證明； （2）將圖甲中的正方形CGEF繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使正方形CGEF勺對(duì)角線CE恰好與正方形 ABCD勺邊BC在同一條直線上，原問題中的其他條件不變。 （1）中得到的兩個(gè)結(jié)論是否發(fā)生 變化？寫出你

6、的猜想并加以證明 F 構(gòu)造垂直 10、如圖所示，在 B 平分線 ABC 中, AD是BCB邊上弊, F D A C B.AC=2 BCG 圖甲圖G 求證： ADC為等邊三角形。圖 六、有中點(diǎn)時(shí)，常會(huì)出現(xiàn)面積的一半（中線平分三角形的面積） 11、（1）探索：已知ABC的面積為a， 如圖1,延長(zhǎng) ABC的邊BC到點(diǎn)D,使CD=BC連接DA 若ACD的面積為3，則S1 = （用含a的代數(shù)式 表示） 如圖2,延長(zhǎng) ABC的邊BC到點(diǎn)D,延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E, 使CD=BC AE=CA連接DE若也DEC的面積為S2，則S2 = （用含a的代數(shù)式表示） 在圖2的基礎(chǔ)上延長(zhǎng) AB到點(diǎn)F,使BF=AB連接FD,

7、FE,得至U DEF （如圖3）,若陰影部分 的面積為S3, S3= （用含a的代數(shù)式表示） 發(fā)現(xiàn)：像上面那樣，將ABC各邊均順次延長(zhǎng)一倍，連接所得端點(diǎn)，得到DEF （如圖4）, 此時(shí)，我們稱ABC向外擴(kuò)展了一次?？梢园l(fā)現(xiàn)，擴(kuò)展一次后得到的DEF的面積是原來 ABC面積的倍 應(yīng)用：如圖5,若厶ABC0積為1,第一次操作：分別延長(zhǎng) AB, BC, CA至點(diǎn)A, B, C, 使得AB=AB, BC= BC, CA=CA順次連結(jié)A , B1, C,得到 ABC.第二次操作：分別延長(zhǎng) A1B1, B1C1, CA1 至點(diǎn) A?, B2, C2,使 AB= A1B1, BC= B1C1, CA= C1A

8、1,順次連結(jié) A?, B2, C2, 得到AB2G,第三次操作，按此規(guī)律，要使得到的三角形的面積超過 2010,最少要經(jīng)過 次操作. 12、如圖所示，已知梯形 ABCD AD/ BC,點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接AE、BE, 、 1 求證： SABE= S四邊形ABCDA 2/ 13、如圖，M是-ABCD中 AB邊的中點(diǎn)。CM交BD 于點(diǎn)E,則 圖中陰影部分面積與匚ABCDS積之比為 D圈 4 14、如圖所示，點(diǎn)E、F分別是矩形ABCD勺邊AB BC的中點(diǎn)， 連AF、CE交于點(diǎn)G,則S四邊形AGCD等于：A、5 B、 -C、- D 2 、 S矩形ABCD6 54 3 AM 七、倍長(zhǎng)中線 15、如圖，

9、 ABC中, D為 BC中點(diǎn)，AB=5 AD=6 AC=13 求證：AB丄AD 16、如圖，點(diǎn) D E三等分 ABC的 BC邊，求證：AB+ACAD+AE 17、如圖，D為線段AB的中點(diǎn)，在AB上取異于D的點(diǎn)C,分別以AC BC為斜邊在AB同側(cè) 作等腰直角三角形ACE與 BCF連結(jié)DE DF EF, 求證： DEF為等腰直角三角形。 八、圓中遇到弦的中點(diǎn)，常聯(lián)想“垂徑定理” 18、半徑是5 cm的圓中，圓心到8 cm長(zhǎng)的弦的距離是 19、 半徑為5cm的圓0中有一點(diǎn)P, OP=4則過P的最短弦長(zhǎng), 最長(zhǎng)弦是, 20、 如圖，在圓O中，AB AC為互相垂直且相等的兩條弦， ODLAB OELAC

10、垂足分別為 D E,若AC=2cm則圓O的半徑為cm 21、如圖，在。O中，直徑AB和弦CD的長(zhǎng)分別為10 cm和8 cm,則A、B兩點(diǎn)到直線CD的 距離之和是. 22、如圖，O O的直徑 AB和弦 CD相交于 E,若 AE= 2cm, BE= 6cm, / CEA= 30, 求：CD的長(zhǎng)； 23、 某市新建的滴水湖是圓形人工湖。為測(cè)量該湖的半徑，小杰和小麗沿湖邊選取A、B、C 三根木柱，使得A、B之間的距離與A、C之間的距離相等，并測(cè)得 BC長(zhǎng)為240米，A到 BC的距離為5米，如圖5所示。請(qǐng)你幫他們求出滴水湖的半徑。 倍長(zhǎng)中線： 1. （2011平谷二模）24.已知：如圖，正方形 ABC沖，E為對(duì)角線BD上一點(diǎn)， 過E點(diǎn)作EFLBD交BC于F,連接DF, G為DF中點(diǎn)，連接EQ CG （1） 求證：egfCG （2） 將圖中厶BEF繞B點(diǎn)逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)45o,如圖所示，取D中點(diǎn)連接EG, CG問 （1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說明理由. （3）將圖中厶BEF繞B點(diǎn)旋轉(zhuǎn)任意角度，如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的 結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明） E EF 圖 圖 C