2020年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義：第13講-怎樣求最值

1、 2020 年初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽講義：第 13 講-怎樣求最值在生活實(shí)踐中，人們經(jīng)常面對(duì)帶有“最”字的問(wèn)題，如在一定的方案中，花費(fèi)最低、消耗最少、產(chǎn)值最高、獲利最大等；解數(shù)學(xué)題時(shí)，我們也常常碰到求某個(gè)變量的最大值或最小值之類(lèi)的問(wèn)題，這就是我們要討論的最值問(wèn)題，求最值問(wèn)題的方法歸納起來(lái)有如下幾點(diǎn)：1運(yùn)用配方法求最值；2構(gòu)造一元二次方程，在方程有解的條件下，利用判別式求最值；3建立函數(shù)模型求最值；4利用基本不等式或不等分析法求最值注：數(shù)學(xué)中最大值、最小值問(wèn)題，運(yùn)用到社會(huì)實(shí)踐、生活實(shí)際中所體現(xiàn)出來(lái)的就是最優(yōu)化思 想，所謂最優(yōu)，就是我們所期望的目標(biāo)量能達(dá)到最大或最小一次函數(shù)、反比例函數(shù)并無(wú)最值，但當(dāng)自變量取

2、值范圍有條件限制的，最值在圖象的端點(diǎn)處取得；定義在全體實(shí)數(shù)上的二次函數(shù)最值在拋物線的頂點(diǎn)處取-得即：對(duì)于（ ）2y = ax + bx + ca 0(1)若 a0，則當(dāng)時(shí)，4ac；-b2bx = -=y2a最小值4a(2)若 a 0b0a2 0ab2 + 2 2aba0， ，則a x+ 2x babb 0 0x以上各式等號(hào)當(dāng)且僅當(dāng)a = b (或)時(shí)成立ax=x b第 4 頁(yè) 共 11 頁(yè) 學(xué)歷訓(xùn)練1當(dāng) 變化時(shí)，分式 3x2 + 6x + 5 的最小值為x1x2 + +1x22如圖，用12 米長(zhǎng)的木方，做一個(gè)有一條橫檔的矩形窗子，為使透進(jìn)的光線最多，選擇窗子的長(zhǎng)、寬各為、米3已知實(shí)數(shù) 、 、

3、滿(mǎn)足，則 的最大值abca + b + c = 0a2 + 2 + 2 = 6abc為4已知 、 、 為三個(gè)非負(fù)實(shí)數(shù)，且滿(mǎn)足3x + 2y + z = 5，若x + y - z = 2xyz，則 的最大值與最小值的和為()s = 2x + y - zsa 1 b 5c1d36285已知四邊形 abcd 的對(duì)角線 ac 與 bd 相交于點(diǎn) o，若 s=4，aobs=9，則四邊形 abcd 的面積 s的最小值為(d36)codabcd四邊形a2lb25c266正實(shí)數(shù) 、 滿(mǎn)足 =1，那么的最小值為()11yxy+x4y4 4xa 1b 5c1d 5e2284第 5 頁(yè) 共 11 頁(yè) 7啟明公司生產(chǎn)

4、某種產(chǎn)品，每件產(chǎn)品成本是 3 元，售價(jià)是 4 元，年銷(xiāo)售量為 10 萬(wàn)件為了獲得更好的效益，公司準(zhǔn)備拿出一定的資金做廣告根據(jù)經(jīng)驗(yàn)，每年投入的廣告費(fèi)是 (萬(wàn)元)時(shí)，產(chǎn)品的年銷(xiāo)售xx27量將是原銷(xiāo)售量的 倍，且7 ，如果把利潤(rùn)看作是銷(xiāo)售總10yyx10 10額減去成本費(fèi)和廣告費(fèi)：(1)試寫(xiě)出年利潤(rùn) s (萬(wàn)元)與廣告費(fèi) (萬(wàn)元)的函數(shù)關(guān)系式，并計(jì)算廣x告費(fèi)是多少萬(wàn)元時(shí)，公司獲得的年利潤(rùn)最大，最大年利潤(rùn)是多少萬(wàn)元?(2)把(1)中的最大利潤(rùn)留出 3 萬(wàn)元作廣告，其余的資金投資新項(xiàng)目，現(xiàn)有 6 個(gè)項(xiàng)目可供選擇，各項(xiàng)目每股投資金額和預(yù)計(jì)年收益如下表：項(xiàng)目每股(萬(wàn)元)收益(萬(wàn)元)055l如果每個(gè)項(xiàng)目只能投

5、一股，且要求所有投資項(xiàng)目的，收益總額不得低于 16 萬(wàn)元，問(wèn)有幾種符合要求的投資方式?寫(xiě)出每種投資方式所選的項(xiàng)目第 6 頁(yè) 共 11 頁(yè) 82019 年 9 月我市某農(nóng)場(chǎng)有 20 名職工，50 畝土地，這些地可種蔬菜、煙葉或小麥，種這幾種農(nóng)作物每畝地所需職工數(shù)和產(chǎn)值預(yù)測(cè)如下表：作物品種蔬菜每畝地預(yù)計(jì)產(chǎn)值1100 元14小麥600 元請(qǐng)你設(shè)計(jì)一個(gè)種植方案，使每畝地都種上農(nóng)作物，20 位職工都有工作，且使農(nóng)作物預(yù)計(jì)總產(chǎn)值最多9如圖，有長(zhǎng)為 24m 的籬笆，一面利用墻(墻的最大可用長(zhǎng)度 為 l0m)，a圍成中間隔有一道籬笆的長(zhǎng)方形花圃，設(shè)花圃的寬為 xm，面積為 sm 2(1)求 s 與 x 的函數(shù)

6、關(guān)系式；(2)如果要圍成面積為 45m 的花圃，ab 的長(zhǎng)是多少米?2(3)能?chē)擅娣e比 45m 更大的花圃嗎?如果能，請(qǐng)求出最大面積，并說(shuō)2明圍法；如果不能，請(qǐng)說(shuō)明理由10設(shè) 、 是關(guān)于 的一元二次方程2 + + = 2x ax a的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則x1xx2的最大值為(x - 2x )(x - 2x )1221第 7 頁(yè) 共 11 頁(yè) 11若拋物線與 軸的交點(diǎn)為 a、b，頂點(diǎn)為 c，則2y = x - (k -1)x - k -1xabc 的面積最小值為12已知實(shí)數(shù) 、 滿(mǎn)足，且，則 的最大值aba2 +ab b+ 2 =1t ab a b= - 2 - 2t為，最小值為13如圖，b 船在

7、a 船的西偏北 45處，兩船相距 10 km，若 a2船向西航行，b 船同時(shí)向南航行，且 b 船的速度為 a 船速度 2 倍，那么 a、b 兩船的最近距離為km14銷(xiāo)售某種商品，如果單價(jià)上漲m，則售出的數(shù)量就將減少 ，m150為了使該商品的銷(xiāo)售金額最大，那么 的值應(yīng)該確定為m15某租賃公司擁有汽車(chē) 100 輛，當(dāng)每輛車(chē)的月租金為 3000 元時(shí)，可全部租出；當(dāng)每輛車(chē)的月租金每增加 50 元時(shí)，未租出的車(chē)將會(huì)增加一輛租出的車(chē)每輛每 月需要維護(hù)費(fèi) 150 元，未租出的車(chē)每輛每月需要維護(hù)費(fèi) 50 元(1)當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為 3600 元時(shí)，能租出答案)；輛車(chē)(直接填寫(xiě)(2)設(shè)每輛車(chē)的月租金為 x(

8、x3000)元，用含 的代數(shù)式填空：x第 8 頁(yè) 共 11 頁(yè) 所有未租出的車(chē)輛每月的維護(hù)費(fèi)租出的車(chē)每輛的月收益(3)當(dāng)每輛車(chē)的月租金定為多少元時(shí)，租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少元?16甲、乙兩種商品，經(jīng)營(yíng)銷(xiāo)售這兩種商品所能獲得的利潤(rùn)依次是 (萬(wàn)p元)和 (萬(wàn)元)，它們與投入資金 (萬(wàn)元)的關(guān)系有經(jīng)驗(yàn)公式1 ，5qx=px3 5q =x今有3萬(wàn)元資金投入經(jīng)營(yíng)甲、乙兩種商品，為獲得最大利潤(rùn)，對(duì)甲、乙兩種商品的資金投入分別應(yīng)為多少?能獲得多大的利潤(rùn)?17如圖，城市a位于一條鐵路線上，而附近的一小鎮(zhèn)b需從a市購(gòu)進(jìn)大量生活、生產(chǎn)用品，如果鐵路運(yùn)費(fèi)是公路運(yùn)費(fèi)的一半問(wèn)該如何從b修筑一條公路到鐵路邊，使從a到b的運(yùn)費(fèi)最低?18設(shè) ， ， 是整數(shù)，并滿(mǎn)足：xxx12n（1）（2）（3