(word完整版)2020年高考理科數(shù)學(xué)《立體幾何》題型歸納與訓(xùn)練,推薦文檔

1、 2020 年高考理科數(shù)學(xué)立體幾何題型歸納與訓(xùn)練【題型歸納】題型一線面平行的證明13例 1 如圖，高為 1 的等腰梯形 abcd 中，amcd ab1.現(xiàn)將amd 沿 md 折起，使平面 amd平面 mbcd，連接 ab，ac.試判斷：在 ab 邊上是否存在點(diǎn) p，使 ad平面 mpc?并說明理由13【答案】當(dāng) ap ab 時(shí)，有 ad平面 mpc.理由如下：ap 1ad平面 mpc，pn平面 mpc，ad平面 mpc.【解析】線面平行，可以線線平行或者面面平行推出。此類題的難點(diǎn)就是如何構(gòu)造輔助線。構(gòu)造完輔助線，證明過程只須注意規(guī)范的符號語言描述即可。本題用到的是線線平行推出面面平行?！疽族e(cuò)點(diǎn)

2、】不能正確地分析 dn 與 bn 的比例關(guān)系，導(dǎo)致結(jié)果錯(cuò)誤?！舅季S點(diǎn)撥】此類題有兩大類方法：1. 構(gòu)造線線平行，然后推出線面平行。此類方法的輔助線的構(gòu)造須要學(xué)生理解線面平行的判定定理與線面平行的性質(zhì)之間的矛盾轉(zhuǎn)化關(guān)系。在此，我們需要借助倒推法進(jìn)行分析。首先，此類型題目大部分為證明題，結(jié)論必定是正確的，我們以此為前提可以得到線面平行。再次由線面平行的性質(zhì)可知，過已知直線的平面與已知平面的交線必定平行于該直線，而交線就是我們要找的線，從而做出輔助線。從這個(gè)角度上看我們可以看出線線平行推線面平行的本質(zhì)就是過已知直線做一個(gè)平面與已知平面相交即可。如本題中即是過 ad 做了一個(gè)平面 adb與平面 mpc

3、 相交于線 pn。最后我們只須嚴(yán)格使用正確的符號語言將證明過程反向?qū)懸槐榧纯?。即先證1 ad 平行于 pn，最后得到結(jié)論。構(gòu)造交線的方法我們可總結(jié)為如下三個(gè)圖形。pabababdedecdp方法二方法三方法一2. 構(gòu)造面面平行，然后推出線面平行。此類方法輔助線的構(gòu)造通常比較簡單，但證明過程較繁瑣，一般做為備選方案。輔助線的構(gòu)造理論同上。我們只須過已知直線上任意一點(diǎn)做一條與已知平面平行的直線即可?？煽偨Y(jié)為下圖abc方法一例 2 如圖，在幾何體 abcde 中，四邊形 abcd 是矩形，ab平面 bec，beec，abbeec2，g，f 分別是線段 be，dc 的中點(diǎn)【答案】解法一：(1)證明：如

4、圖，取 ae 的中點(diǎn) h，連接 hg，hd，由四邊形 abcd 是矩形得，2 abcd，abcd，所以 ghdf，且 ghdf，從而四邊形 hgfd 是平行四邊形，所以 gfdh.又 dh平面 ade，gf平面 ade，所以 gf平面 ade.解法 2：(1)證明：如下圖，取 ab 中點(diǎn) m，連接 mg，mf.又 g 是 be 的中點(diǎn)，可知 gmae.又 ae平面 ade，gm平面 ade，所以 gm平面 ade.在矩形 abcd 中，由 m，f 分別是 ab，cd 的中點(diǎn)得 mfad.又 ad平面 ade，mf平面 ade，【解析】解法一為構(gòu)造線線平行，解法二為構(gòu)造面面平行?！疽族e(cuò)點(diǎn)】線段比

5、例關(guān)系【思維點(diǎn)撥】同例一題型二 線線垂直、面面垂直的證明例 1 如圖，在三棱錐 p abc 中，paab，pabc，abbc，paab=bc=2，d 為線段 ac 的中點(diǎn)，e 為線段 pc 上一點(diǎn)(1)求證：pabd；(2)求證：平面 bde平面 pac【答案】(1)證明：因?yàn)?paab，pabc，abbcb，所以 pa平面 abc.又因?yàn)?bd平面 abc，所以 pabd.(2)證明：因?yàn)?abbc，d 為 ac 的中點(diǎn)，所以 bdac.由(1)知，pabd，又 acpaa，所以 bd平面 pac.因?yàn)?bd平面 bde，所以平面 bde平面 pac.【解析】(一)找突破口第(1)問：欲證線

6、線垂直，應(yīng)轉(zhuǎn)化到證線面垂直，再得線線垂直；第(2)問：欲證面面垂直，應(yīng)轉(zhuǎn)化到證線面垂直，進(jìn)而轉(zhuǎn)化到先證線線垂直，借助(1)的結(jié)論和已知條件可證；(二)尋關(guān)鍵點(diǎn)有什么想到什么注意什么信息：paab，pabc線面垂直的判定定理，可證 (1)證明線面平行的條件：一3 pa平面 abc直線在平面外，一直線在平面的中點(diǎn)可得 bdac(2)證明線面垂直時(shí)的條件：證明線線垂直，可轉(zhuǎn)化到證明 直線垂直于平面內(nèi)兩條相交一直線垂直于另一直線所在 直線(3)求點(diǎn)到面的距離時(shí)要想到借助錐體的“等體積性”平面，再由線面垂直的定義可得面面垂直的判定定理，線線垂直線面垂直面面垂直線面平行的性質(zhì)定理，線面平行，則線線平行，可

7、得 pade【易錯(cuò)點(diǎn)】規(guī)范的符號語言描述，正確的邏輯推理過程。【思維點(diǎn)撥】(1)正確并熟練掌握空間中平行與垂直的判定定理與性質(zhì)定理，是進(jìn)行判斷和證明的基礎(chǔ)；在證明線面關(guān)系時(shí)，應(yīng)注意幾何體的結(jié)構(gòu)特征的應(yīng)用，尤其是一些線面平行與垂直關(guān)系，這些都可以作為條件直接應(yīng)用(2)證明面面平行依據(jù)判定定理，只要找到一個(gè)面內(nèi)兩條相交直線與另一個(gè)平面平行即可，從而將證明面面平行轉(zhuǎn)化為證明線面平行，再轉(zhuǎn)化為證明線線平行(3)證明面面垂直常用面面垂直的判定定理，即證明一個(gè)面過另一個(gè)面的一條垂線，將證明面面垂直轉(zhuǎn)化為證明線面垂直，一般先從現(xiàn)有直線中尋找，若圖中不存在這樣的直線，則借助中線、高線或添加輔助線解決(4)證明

8、的核心是轉(zhuǎn)化，空間向平面的轉(zhuǎn)化，面面線面線線題型三 空間向量例 1 如圖，四面體 abcd 中，abc 是正三角形，acd 是直角三角形，abd = cbd ，ab=bd.(1)證明：平面 acd平面 abc；(2)過 ac 的平面交 bd 于點(diǎn) e，若平面 aec 把四面體 abcd 分成體積相等的兩部分，求二面角 d ae c 的余弦值4 【答案】(1)證明：由題設(shè)可得，abdcbd，從而 addc.又acd 是直角三角形，所以adc90.取 ac 的中點(diǎn) o，連接 do，bo，則 doac，doao.又因?yàn)閍bc 是正三角形，所以 boac.所以dob 為二面角 d ac b 的平面角在

9、 rtaob 中，bo ao ab .222又 abbd，所以 bo do bo ao ab bd ，222222故dob90.所以平面 acd平面 abc.(2)由題設(shè)及(1)知，oa，ob，od 兩兩垂直以 o 為坐標(biāo)原點(diǎn)， oa 的方向?yàn)?x 軸正方向，| oa |為單位長度，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系 o xyz，則 a(1,0,0)，b(0， 3，0)，c(1,0,0)，d(0,0,1)12由題設(shè)知，四面體 abce 的體積為四面體 abcd 的體積的 ，從 而 e 到平面 abc 的距離為 d 到平面 abc 的123 1 距離的 ，即 e 為 db 的中點(diǎn)，得 e 0， ， .

10、故 ad (1，0,1)， ac (2,0,0)， ae 1， ， .2 2 2 2 3 1設(shè) n(x ，y ，z )是平面 dae 的法向量，111x z 0，1 1n ad 0，3 3則即可取 n 1， ，1 .31x y z 0.1 1 1n ae 0，222x 0，2m ac 0，即設(shè) m(x ，y ，z )是平面 aec 的法向量，則312222x y z 0，2 2 2m ae 0，2可取 m(0，1， 3)nm33 377則 cosn，m .|n|m|2123由圖知二面角 d ae c 為銳角，7所以二面角 d ae c 的余弦值為 .7【解析】(一)找突破口5 第(1)問：欲證

11、面面垂直，應(yīng)轉(zhuǎn)化去證線面垂直或證其二面角為直角，即找出二面角的平面角，并求其大小為 90；第(2)問：欲求二面角的余弦值，應(yīng)轉(zhuǎn)化去求兩平面所對應(yīng)法向量的夾角的余弦值，即通過建系，求所對應(yīng)法向量來解決問題(二)尋關(guān)鍵點(diǎn)有什么想到什么注意什么的直角(1)建系時(shí)要證明哪三條線兩兩垂直，進(jìn)而可作為坐標(biāo)軸(2)兩平面法向量的夾角不一定是所求的二面角，也有可能是兩法向量夾角的補(bǔ)角，因此必須說明角的范圍邊角相等關(guān)系可證兩三角形全等，進(jìn)而可證 addc，adc90信息： abdcbd，abbd或定義法由體積的大小關(guān)系轉(zhuǎn)化到點(diǎn)到面的距離的大小關(guān)系，進(jìn)而知點(diǎn) e 為 db 的中點(diǎn)信息：體積相等【易錯(cuò)點(diǎn)】正確建立空

12、間直角坐標(biāo)系，確定點(diǎn)的坐標(biāo)，平面法向量的計(jì)算?！舅季S點(diǎn)撥】1利用空間向量求空間角的一般步驟(1)建立恰當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系；(2)求出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，寫出相關(guān)向量的坐標(biāo)；(3)結(jié)合公式進(jìn)行論證、計(jì)算；(4)轉(zhuǎn)化為幾何結(jié)論2求空間角應(yīng)注意的 3 個(gè)問題(1)兩條異面直線所成的角 不一定是直線的方向向量的夾角 ，即 cos |cos |.(2)直線與平面所成的角的正弦值等于平面的法向量與直線的方向向量夾角的余弦值的絕對值，注意函數(shù)名稱的變化(3)兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，有可能為兩法向量夾角的補(bǔ)角【鞏固訓(xùn)練】題型一線面平行的證明如圖，在正方體 abcda b c d 中，s 是 b d

13、 的中點(diǎn)，e、f、g 分別是 bc、dc、sc 的中點(diǎn)，求1.1 11111證：6 (1)直線 eg平面 bdd b ；11(2)平面 efg平面 bdd b .11【答案】詳見解析【解析】(1)如圖，連接 sb，e、g 分別是 bc、sc 的中點(diǎn)，egsb.又sb平面 bdd b ，eg平面 bdd b ，直線 eg平面 bdd b .11111 1(2)連接 sd，f、g 分別是 dc、sc 的中點(diǎn)，fgsd.又sd平面 bdd b ，fg平面 bdd b ，fg平面 bdd b ，11111 1又 eg平面 efg，fg平面 efg，egfgg，平面 efg平面 bdd b .112.如

14、圖，四棱錐 pabcd 的底面是邊長為 1 的正方形，側(cè)棱 pa底面 abcd，且 pa2，e 是側(cè)棱 pa 上的中點(diǎn)求證：pc平面 bde； 又 e 是 pa的中點(diǎn)，pcoe.pc平面 bde，oe平面 bde，pc平面 bde.3.如圖，在四棱柱 abcda b c d 中，底面 abcd 是等腰梯形，dab60，ab2cd2，m 是線段1111ab 的中點(diǎn)求證：c m平面 a add ；111【答案】詳見解析11111因?yàn)?cdc d ，cdc d ，1111111111因此 c md a，又 c m平面 a add ，d a平面 a add ，11111111所以 c m平面 a ad

15、d .111題型二 線線垂直、面面垂直的證明1.如圖，在四棱錐 pabcd 中，pa底面 abcd，abad，accd，abc60，paabbc，e 是 pc 的中點(diǎn)(1)證明：cdae；(2)證明：pd平面 abe；【答案】詳見解析【解析】(1)在四棱錐 pabcd 中，因?yàn)?pa底面 abcd，cd平面 abcd，故 pacd，accd，paaca，8 cd平面 pac，而 ae平面 pac，cdae，(2)由 paabbc，abc60，可得 acpa，e 是 pc 的中點(diǎn)，aepc，由(1)知，aecd，且 pccdc，所以 ae平面 pcd，而 pd平面 pcd，aepd，pa底面 a

16、bcd，pd 在底面 abcd 內(nèi)的射影是 ad，abad，abpd，又abaea，綜上可得 pd平面 abe.2.如圖，在三棱錐 pabc 中，papbpcac4，abbc2 2.求證：平面 abc平面 apc；【答案】詳見解析【解析】(1)證明：如圖所示，取 ac 中點(diǎn) o，連接 op，ob.22222op ob 12416pb ，opob.222acobo，op平面 abc.op平面 pac，平面 abc平面 apc.3.如圖所示，四棱錐 pabcd 中，底面 abcd 為平行四邊形，ab2ad2，bd 3，pd底面 abcd.證明：平面 pbc平面 pbd；9 【答案】詳見解析【解析】

17、(1)證明：q cb =1,cd = 2, bd = 3cd bc bd ，bcbd.222，又pd底面 abcd，pdbc.又pdbdd，bc平面 pbd.而 bc平面 pbc，平面 pbc平面 pbd.題型三空間向量1 111是棱 aa 的中點(diǎn)如圖所示11【答案】詳見解析uuuuruuur11uuur于是， dc (2,0,2)， dc (2,0，2)， db (2，2，2)1uuuur uuuruuuur uuurdc0，11因此，dc dc，dc db.111(2)設(shè) n(x，y，z)是平面 abd 的法向量，uuuruuurx1，2x2y0，2z0.y1，所以取 y1，可得z0，即平

18、面 abd 的一個(gè)法向量是 n(1,1,0)uuuuruuuur由(1)知， dc 是平面 dbc 的一個(gè)法向量，記 n 與 dc 的夾角為 ，1112則 cos ， .結(jié)合三棱柱可知，二面角 abdc 是銳角，233故所求二面角 abdc 的大小是 .2.如圖 1，在 rtabc 中，acb30，abc90，d 為 ac 中點(diǎn)，aebd 于點(diǎn) e，延長 ae 交 bc 于點(diǎn) f，將abd 沿 bd 折起，使平面 abd平面 bcd，如圖 2 所示10 (1)求證：ae平面 bcd；(2)求二面角 adcb 的余弦值；(3)在線段 af 上是否存在點(diǎn) m 使得 em平面 adc？若存在，請指明

19、點(diǎn) m 的位置；若不存在，請說明理由【答案】詳見解析如圖，以e 為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以 ef，ed，ea 所在直線為x 軸、y 軸、z 軸，建立空間直角坐標(biāo)系 exyz，不妨設(shè) abbddcad2，則 beed1.2 3由圖 1 條件計(jì)算得 ae 3，bc2 3，bf，則 e(0,0,0)，d(0,1,0)，b(0，1，0)，a(0,0， 3)，3uuuruuur 3f，0，0 ，c( 3，2,0)， dc ( 3，1,0)， ad (0,1， 3)由 ae平面 bcd 可知平面 dcb 的法3uuur uuur向量為 ea ， ea (0,0， 3)，設(shè)平面 adc 的法向量為 n(x，y，z)， 3xy0，則y 3z0.令 z1，則 y 3，x1，所以 n(1， 3，1)uuur因?yàn)槠矫?dcb 的法向量為 ea ，uuur55所以 cosn， ea .5所以二面角 adcb 的余弦值為 .5uuuuruuur(3)設(shè) am af ，其中 0,1uuur由于 af 3，0， 3 ，3uuuuruuur 3所以 am af ，0， 3 ，其中 0,1311 uuuur uuur uuuur所以 em3l,0,(1 l) 3= ea + am-.3uuuur3334由 em n0，即 (1) 3