小學奧數(shù)的二次相遇問題

1、例1、甲、乙兩車分別從A、B兩地同時相向而行，甲、乙兩車的速度比是7: 11, 相遇后繼續(xù)行駛，分別到達A、B兩地后立即返回，第二次相遇時甲車距B地80 千米，A、B兩地相距多少千米？關鍵詞：速度比=路程比兩次相遇 三倍路程第二次相遇時甲、乙兩車的路比為：7:11總路程為兩地距離的3倍.解：設甲乙兩地相距s千米，則共行了 S+80，乙行了 2S-80。（s+80）:（2s-80）=7:11 7（2s-80）=11（s+80）s=480答：A、B兩地 相距480千米例2、一段路程分為上坡、平路、下坡三段，各段路程長為比依次是1： 2： 3。某人走各段路程所用時間之比依次是4： 5： 6。已知他上

2、坡速度每小時3千米，路程全長50千米。問此人走完全程用了多少時間？解:關鍵詞：分數(shù)應用題與行程問題組合上坡路長：50*【1/（ 1+2+3）】 =25/3km上坡的時間：（25/3）/3=25/9小時走完全程的時間：（25/9）/【4/ （4+5+6）】=125/12小時答：此人走完全程用了 125/12小時例3、甲、乙、丙，3人環(huán)湖跑步。從湖邊同一地點出發(fā)，甲與乙、丙，逆向 跑。在甲第一次遇到乙后的1又4分之1分鐘后遇到丙，再3又4分之3分鐘，第二次 遇到乙。已知甲乙的速度比是3： 2,湖的周長是2000米。問乙丙每分鐘各跑多少 米？解：關鍵詞：封閉曲線上的相遇問題從題知，甲乙第一次相遇與第

3、二次相遇間隔得時間為1又4分之1+3又4分之3=5分鐘。甲乙的速度和是：2000吒=400（米/分）甲的速度是：400 X3/（3+2）=240（米/分） 乙的速度是：400 X2/（3+2）=160（米/分） 甲丙的速度和是：2000訊25/4）=320（米/分）丙的速度是：320-240=80（米/分）答：乙每分鐘跑160米，丙每分鐘跑80米設計思想：本課教學設計依據(jù)”利用音像教材培養(yǎng)學生數(shù)學素質 ”的課題研究目標，以現(xiàn)代教 育思想、理論為指導，以認知主義學習理論為基礎 ，以培養(yǎng)智能型、創(chuàng)造型人才為目的 ，試圖通過對教學的科學設計，實現(xiàn)音像教材在教學過程中的有機滲透，充分挖掘音像教材在幫助

4、學生正確理解”相遇問題”的數(shù)量關系，探究解答方法，培養(yǎng)學生知識與能力素質、 身體心理素 質等方面發(fā)揮的作用，全課采用啟發(fā)式電化教學，本教學設計力求體現(xiàn)以下特點：1. 充分體現(xiàn)學生的主體地位，重視挖掘學生的認知潛力。運用現(xiàn)代教育媒體首先設計一道準備題，通過微機演示讓學生感知相通問題的結構特點，然后通過列表、討論、分析，讓學生理解相遇問題的數(shù)量關系，充分發(fā)揮電教媒體的功能優(yōu)勢 ，為學生提供多種信息與表象，在 教師適時啟發(fā)點拔下，通過自己動腦、動手、動口 ，積極思維，探索和發(fā)現(xiàn)相遇問題的解答方 法，在鞏固練習過程中運用所學知識解決與相遇問題類似的實際問題，實現(xiàn)知識、技能和方法的遷移，充分體現(xiàn)了知識與

5、能力素質的培養(yǎng)過程。2. 充分發(fā)揮教師的主導作用，在教師的指導下，通過相遇問題的學習及解決問題思維訓練，培養(yǎng)學生勤學善思、主動進取的良好學習習慣和學習興趣，利用現(xiàn)代教育媒體創(chuàng)設情境，使學生在樂中學習，在提高學習效率的同時，培養(yǎng)了學生的身體心理素質。教學目的：1. 理解相遇問題中速度、時間、路程這三個數(shù)量間的相依關系，以及相向而行”、”相遇等術語的含義。2. 能根據(jù)相遇問題的題意用線段圖分析數(shù)量關系，并說出解題步驟。3. 能正確解答相遇問題中求路程的應用題。4. 在培養(yǎng)學生邏輯思維能力的同時注重培養(yǎng)學生的自我探究和創(chuàng)造精神。教學重點：相遇問題中數(shù)量關系的理解和解題思路的分析。電教媒體:微機及配套

6、大屏幕、投影儀、投影片。教學過程：一、展示設疑（一）前提診測（投影片）1. 張華每分鐘走65米，走了 4分鐘，一共走了多少米？ （65 X 4=260米 ）提問:為什么這樣列式？誰會用一個數(shù)量關系式表示 ？（板書:速度X時間=路程）2. 李誠每分鐘走70米，走了 4分鐘，？（由學生補充問題再列式計算 ）評析：舊知的再現(xiàn)，針對性強，抓住與新知密切相關的速度、時間、路程的數(shù)量關系，為學習新知識作了適當?shù)匿亯|。（二）引人課題我們以前學習的都是一個人或一個物體運動的情況，如果是兩個人或兩個物體同時相對運動將會出現(xiàn)什么情況呢 ？這就是我們今天要學習的應用題。（板書課題：應用題）二、引導思疑1. 創(chuàng)設動態(tài)

7、情境，準確理解題意。微機屏幕顯示準備題：張華家距李誠家390米，兩人同時從家里出發(fā)，向對方走去。張華 每分走60米,李誠每分走70米。師:請同學們看屏幕，張華、李誠是怎樣走的？結果會怎樣？（微機演示）屏幕顯示張華、李誠兩家用太陽表示并不斷閃爍 ，當發(fā)出一聲悅耳的響聲后， 張華、李誠分別從兩家同時出發(fā)，相對而行，經(jīng)過3分鐘后兩人相遇，這時又發(fā)出一聲悅耳的響 聲，張華走的路程用藍色表示，李誠走過程的路程用紅色表示，屏幕底色是淺黃色，色彩清晰艷麗。學生觀察后提問：有幾個人在運動？出發(fā)時間怎樣？從哪里出發(fā)？出發(fā)后方向怎樣？結果怎 樣？板書:人:兩個時間：同時地點：兩地方向:相向（相對）結果：相遇評析：

8、運用微機所具有的聲、光、色、形的特點，創(chuàng)設動態(tài)情境 ，抓住相遇問題”的關 鍵，加深學生對兩地、同時、相遇關鍵詞的分析和領會，形象深刻地提示了事物的發(fā)展、 變化與結果， 使學生準確理相遇應用題的結構特點 ，充分發(fā)揮現(xiàn)代教育技術手段的功能優(yōu)勢 ，為后面的例 題教學掃除了障礙。2. 觀察、思考、分析、填表。教師利用微機逐分逐分地演示兩人走的時間與路程變化情況，讓學生一邊觀察一邊思考完成下準備題中的表格。根據(jù)以上微機的演示讓學生填寫下面他們兩人走的時間和路程的變化情況表。走的時間 張華走的路程 李誠走的路程 兩人所走的路程的和 現(xiàn)在兩人的距離填完上表后讓學生討論： 出發(fā)3分鐘后，兩人之間的距離變成了多

9、少 ？ 兩人所走的路程的和與兩家的距離有什么關系？評析：素質教育重視學生的主體地位 ，重視挖掘學生的認知潛力，準備題的設計正是考 慮了這一要求。通過微機演示讓學生感知相遇問題的結構特點，然后通過列表、討論、分析每經(jīng)過1分、2分、3分兩人之間的距離變化，從而準確理解到：相遇時兩人所走的路程的和就是兩家的距離這一重要的數(shù)量關系。這里充分運用電教媒體的優(yōu)勢 ，適時啟發(fā)、點拔,給予學生方法上的指導，引導學生思維活動上路,從而為下面的例題提供豐富的信息與表象。三、引思解疑I. 出示例5:小強和小麗同時從自己家里走向學校。小強每分走65米,小麗每分走70米,經(jīng)過4分,兩人在校門口相遇。他們兩家相距多少米？

10、2理解題意，畫出線段圖。 讓學生說說小強和小麗是怎樣運動的？題中的已知條件和問題分別是什么？ 根據(jù)學生的回答，微機屏幕顯示線段圖（標出運動方向、有關數(shù)據(jù)及問題）。 讓學生根據(jù)線段圖復述題意，同時想象兩人同時從家里走向學校的過程。（3）分析數(shù)量關系及解題方法。問：怎樣求兩家的距離？啟發(fā)學生說出兩種解法： 求兩人各自的路程，再加起來。64 X 4+70X4 求每分兩人所走的路程和，再求4分兩人所走路程的和。（65+70） X44.比較兩種算法。讓學生說說兩種解法分別先求什么，再求什么？再引導學生觀察兩種解法的算式之間有什么聯(lián)系?（為什么兩種解法算式不同卻結果相等？）（符合乘法分配律）評析：前面準備

11、題已通過微機向學生提供了直觀、多彩、形象、生動的表象，又通過填表、分析，學生已準確理解了相遇問題的數(shù)量關系，例5的解答已經(jīng)是水到渠成。然而教師并不急于呈現(xiàn)答案，而是注重知識的獲取過程。先啟迪學生復述題意、想象兩人同時相向而行 的情景，再畫出線段圖，進一步激發(fā)學生解題的積極性與主動性，最后通過學生自身努力找到答案,化解難點，真正體現(xiàn)了啟發(fā)式電化教學解決難點的媒體策略思想。整個例題的解答都是學生在教師的引導下充分運用前面提供的表象自我探究、自我發(fā)現(xiàn)，這樣,有效地促進了學生把外部感知活動內(nèi)化為內(nèi)部的思維活動，從而形成合理的知識結構，使學生的認知水平發(fā)展到意義建構的較高層次。5做一做（投影）甲乙兩人同

12、時從兩地面對面走來，經(jīng)過6分鐘兩人相遇（如圖）,求兩地間的路程.每分60米每分75米a. 相遇時甲行了多少米？()x ()=()米b. 75 x 6表示()c. 兩地間的路程:()x ()+() x ()=()米另一種解法：a. 兩人每分所走的路程的和是 :()+()=() 米b. 兩地間的路程是()+() x ()=()米兩車同時從兩地相對開出,4小時相遇，一輛汽車每小時行48千米，另一輛汽車每小時行52千米,求兩地之間相距多少千米?(兩種方法解答)兩次相遇行程問題的解法鄭桂元在小學階段關于行程的應用題是作為一種專項應用題出現(xiàn)的，簡稱“行程問題”。有一種“行程問題”中出現(xiàn)了第二次相遇 (即兩

13、次相遇)的情況， 較難理解。其實此類應題只要 掌握正確的方法，解答起來也十分方便。例1甲、乙兩車同時從 A、B兩地相向而行，在距 A地80千米處相遇，相遇后兩車繼續(xù)前進，甲車到達 B地、乙車到達 A地后均立即按原路返回，第二次在距B地60千米處相遇。求A、B兩地間的路程。分析與解根據(jù)題意可畫出下面的線段圖:即率*3個全程，第一次相遇距由圖中可知，甲、乙兩車從同時出發(fā)到第二次相遇，共行駛了A地80千米，說明行完一個全程時，甲行了8O千米。兩車同時出發(fā)同時停止，共行了3個全程，說明兩車第二次相遇時甲共行了8x3= 240 (千米)，從圖中可以看出來甲車實際行了一個全程多60千米，所以A、B兩地間的

14、路程就是：240 60= 180 (千米)例2.甲、乙兩車同時從 A、B兩地相向而行，在距 A地80千米處相遇，相遇后兩車繼 續(xù)前進，甲車到達 B地、乙車到達 A地后均立即按原路返回，第二次在距A地60千米處相遇。求A、B兩地間的路程。L -1r1It* 41 *【JS HIVs 1 墾1虛 A千米B由圖中可知，甲、乙兩車從同時出發(fā)到第二次相遇，共行駛了分析與解根據(jù)題意可畫出線段圖:甲菲一- 乙豐3個全程，第一次相遇距A地80千米，說明行完一個全程時，甲行了80千米。兩車同時出發(fā)同時停止，共行了3個全程。說明兩車第二次相遇時甲車共行了：80X3= 240 （千米），從圖中可以看出來甲車實際行了

15、兩個全程少60千米，所以A、B兩地間的路程就是：（240+ 60）吃=150 （千米）可見，解答兩次相遇的行程問題的關鍵就是抓住兩次相遇共行三個全程，然后再根據(jù)題意抓住第一次相遇點與三個全程的關系即可解答出來。（作者單位：安徽省蚌埠市第三實驗小學）行程問題：在環(huán)形跑道上，兩人都按順時針方向跑時，每十二分鐘相遇一次，如果兩人速度不變，其中一人改成按逆時針方向跑，每隔4分鐘相遇一次，問兩人各跑一圈需要幾分鐘？2011-7-26 13:30最佳答案兩人每分鐘一共跑1韶=1/4圈，快的比慢的每分鐘多跑1 +12 = 1/12圈，可得：快的每分鐘跑 （1/4+1/12）吃=1/6圈，慢的每分鐘跑 （1/

16、4-1/12）吃=1/12 圈,所以，快的跑一圈需要1 +1/6） = 6分鐘，慢的跑一圈需要 1 +1/12） = 12分鐘。什么是環(huán)形跑道問題?環(huán)形跑道問題，從同一地點出發(fā)，如果是相向而行，則每合走一圈相遇一次；如果是同向而行，貝U每追上一圈相遇一次這個等量關系往往成為我們解決問題的關鍵。MSI甲和乙兩人分別從圓形場地的直徑兩端點同時開細勻速按相反的方向繞此IS 形路線運動，當乙走了 1叩米以后，他們第T欠相遇，在甲走完一周前印米處交 第二袂相遇.求此酬場地的周長.【諭】第一汝相遇時，兩人讎了半個圓周第二芮冃遇時，兩人又麻了一個周， 所以從第一相遇至怫二諛棉遇時乙走的路程是第T先相遇時走的

17、2倍.所以第二 次相遇時，乙一共走了山XQ+i）今00米，兩人刖總路程和再一周半，又甲所走 路程比一周少60米*說明乙的路程比半周多60米，那么區(qū)I形場馳的半周檜為 300-60 = 240周長為 240x 2 = 430 米.環(huán)形跑道問題的例題講解例題：乙兩車同時從同一點 出發(fā)，沿周長6千米的圓形跑道以相反的方向行駛.甲車每小時行駛65千米，乙車每小時行駛55千米一旦兩車迎面相遇，則乙車立刻調頭；一旦甲車從后面追上乙車，則甲車立刻調頭，那么兩車出發(fā)后第11次相遇的地點距離 點有多少米？（每一次甲車追上乙車也看作一次相遇）解析：第一次是一個相遇過程，相遇時間為：6+（ 65+55） =0.05

18、小時，相遇地點距離 A點：55X 0. 05=2.75千米.然后乙車調頭，成為追及過程，追及時間為：6+（ 65-55 ） =0.6小時，乙車在此過程中走的路程為：55X 0.6=33千米，即5圈又3千米，那么這時距離A點3-2.75=0.25 千米此時甲車調頭，又成為相遇過程，同樣方法可計算出相遇地點距離A點0.25+2.75=3千米，然后乙車掉頭，成為追及過程，根據(jù)上面的計算，乙車又要走5圈又3千米，所以此時兩車又重新回到了A點，并且行駛的方向與最開始相同所以，每4次相遇為一個周期，而11 + 4=23,所以第11次相遇的地點與第3次相遇的地點是相同的，與A點的距離是3000米.【幅8】甲

19、、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上的點衛(wèi)同時出發(fā)背向而行，$分鐘后兩人第歸欠 相遇.已知每秒鐘甲匕運多行山米，那么兩人第2袂相的地點與月點扌餾道上 的最短距離是多少？【分町由題意可知甲每眾中比乙多跑6米.第三次相遇時兩人共跑了3x400 = 1200所 以兩人速度和為1加山8 = 睛/分），所以乙的謹度為QD -喬2 = 72 （米/分）兩 人第2歡相遇時共走J 800Tf；!二走J 72x（800十150）= 384（米）*所QZ兩人第2諛 相遇的地點與眉點沿跑道上的最短距離是血-加弘（米）環(huán)形跑道問題練習題（附答案和詳解）1. 在400米的環(huán)形跑道上， A B兩點相距100米，。甲、乙兩人分別

20、從 A、B兩點同時出 發(fā)，按照逆時針方向跑步，甲每秒跑 5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒鐘。 那么，甲追上乙需要的時間是多少秒？答案：假設沒有休息 那么100/ （ 54） =100秒鐘 在100/5=20秒100/20-仁4 （次）1 00+4*10=140秒2. 小明在360米的環(huán)形跑道上跑一圈，已知他前半時間每秒跑 5米，后半時間每秒跑4米,為他后半路程用了多少時間？答案：x + 4= （ 360-x ）+ 5X =160 （360+2 -160 ）+ 5+ 160+ 4= 44分3. 林琳在450嗎長的環(huán)形跑道上跑一圈，已知她前一半時間每秒跑 5米，后一半時間每秒跑4

21、米，那么她的后一半路程跑了多少秒答案：設總時間為X,則前一半的時間為 X/2，后一半時間同樣為X/2X/2*5+X/2*4=360X=80總共跑了 80秒前40秒每秒跑5米, 40秒后跑了 200米后40秒每秒跑4米, 40秒后跑了 160米后一半的路程為360/2=180米后一半的路程用的時間為（200-180）/5+40=44秒4. 小君在360米長的環(huán)形跑道上跑一圈。已知他前一半時間每秒跑5米，后一半時間每秒跑4米。那么小君后一半路程用了多少秒？答案：設時間X秒5X=360-4X 9X=360 X=40 后一半時間的路程 =40*4=160米 后一半路 程=360/2=180米 后一半路

22、程用每秒跑 5米路程=180-160=20米 后一半路程用每秒跑 5米時間 =20/5=4秒 后一半路程時間=4+40=44秒 答：后一半路程用了 44秒5. 小明在420米長的環(huán)形跑道上跑了一圈，已知他前一半時間每秒跑 8米，后一半時間每秒跑6米.求他后一半路程用了多少時間？答案：設總用時X秒。前一半時間和后一半時間都是X/2。然后前一半跑8*（X/2）米，后一半跑6*（X/2）米，總共加起來等于420米。所以列下方程8*（X/2）+6*（X/2）=420. 解得X=6 0。所以后一半跑了 30秒。又因為后一半為 6M/S，所以后一半跑了 6*30=180M。6. 二人沿一周長400米的環(huán)形

23、跑道均速前進，甲行一圈 4分鐘，乙行一圈7分鐘，他們同時同地同向出發(fā)，甲走10圈，改反向出發(fā)，每次甲追上乙或迎面相遇時二人都要擊掌。問第十五次擊掌時，甲走多長時間乙走多少路程？答案：前10圈甲跑一圈擊掌一次，即10下 此時已跑了 5+5/7圈；后面2人跑了 2/7時擊掌一次，然后 2人共一圈擊掌 1 次 耗時 （4+2/7）/ （ 1/4+1/7）=30/7*（ 11/28）=165/98 ；甲共總走了 40+165/98 H 已走了 （ 40+165/98）*（ 400/7） M環(huán)形跑道問題練習題2 （附答案和詳解）1.甲、乙兩人從400米的環(huán)形跑道上一點A背向同時出發(fā)，8分鐘后兩人第五次相遇，已知每秒鐘甲比乙多走0.1米，那么兩人第五次相遇的地點與點A沿跑道上的最短路程是多少米；答案：設乙的速度是