幾何的極值問題[教學(xué)材料]

1、幾何中的最值問題（講義）一、知識(shí)點(diǎn)睛幾何中最值問題包括：“面積最值”及“線段（和、差）最值”. 求面積的最值，需要將面積表達(dá)成函數(shù)，借助函數(shù)性質(zhì)結(jié)合取值范圍求解； 求線段及線段和、差的最值，需要借助“垂線段最短”、“兩點(diǎn)之間線段最短”及“三角形三邊關(guān)系”等相關(guān)定理轉(zhuǎn)化處理.一般處理方法：線段最值線段和差、周長最值幾何變換、等線段轉(zhuǎn)移構(gòu)建三角形轉(zhuǎn)化 折轉(zhuǎn)直；集中線段長；目標(biāo)線段轉(zhuǎn)化為相關(guān)線段.集中線段長常用定理：兩點(diǎn)之間，線段最短（兩個(gè)定點(diǎn)）垂線段最短（一個(gè)定點(diǎn)、一條定直線）三角形三邊關(guān)系（兩邊長固定或其和、差固定）|PA-PB|最大，需要點(diǎn)在同側(cè)PA+PB最小，需要點(diǎn)在異側(cè) 1. 如圖，圓柱形

2、玻璃杯，高為12cm，底面周長為18cm，在杯內(nèi)離杯底4cm的點(diǎn)C處有一滴蜂蜜，此時(shí)一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿4cm與蜂蜜相對(duì)的點(diǎn)A處，則螞蟻到達(dá)蜂蜜的最短距離為_cm 第1題圖 第2題圖2. 如圖，正方形ABCD的邊長是4，DAC的平分線交DC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P，Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值為 .3. 如圖，在銳角ABC中，BAC=45，BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，點(diǎn)M，N分別是AD和AB上的動(dòng)點(diǎn)，則BM+MN的最小值為_ 第3題圖 第4題圖4. 如圖，在菱形ABCD中，AB=2，A=120，點(diǎn)P、Q、K分別為線段BC、CD、BD上的任意一點(diǎn)，則PK+QK的最小值為 .

3、5. 如圖，當(dāng)四邊形PABN的周長最小時(shí)，a= 第5題圖 第6題圖6. 如圖，正方形ABCD的邊長為1，點(diǎn)P為邊BC上任意一點(diǎn)（可與點(diǎn)B或點(diǎn)C重合），分別過點(diǎn)B、C、D作射線AP的垂線，垂足分別是B、C、D，則BB+CC+DD的最大值為 ，最小值為 7. 如圖，兩點(diǎn)A、B在直線MN外的同側(cè)，A到MN的距離AC=8，B到MN的距離BD=5，CD=4，P在直線MN上運(yùn)動(dòng)，則的最大值等于 第7題圖 第8題圖8. 點(diǎn)A、B均在由面積為1的相同小矩形組成的網(wǎng)格的格點(diǎn)上，建立平面直角坐標(biāo)系如圖所示若P是x軸上使得的值最大的點(diǎn)，Q是y軸上使得QA+QB的值最小的點(diǎn)，則9. 如圖，在ABC中，AB=6，AC=

4、8，BC=10，P為邊BC上一動(dòng)點(diǎn)，PEAB于E，PFAC于F，M為EF中點(diǎn)，則AM的最小值為_ 第9題圖 第10題圖10. 如圖，已知AB=10，P是線段AB上任意一點(diǎn)，在AB的同側(cè)分別以AP和PB為邊作等邊APC和等邊BPD，則CD長度的最小值為 11. 如圖，點(diǎn)P在第一象限，ABP是邊長為2的等邊三角形，當(dāng)點(diǎn)A在x軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn)B隨之在y軸的正半軸上運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)P到原點(diǎn)的最大距離是_. 第11題圖 第12題圖12. 動(dòng)手操作：在矩形紙片ABCD中，AB=3,AD=5如圖所示，折疊紙片，使點(diǎn)A落在BC邊上的A處，折痕為PQ，當(dāng)點(diǎn)A在BC邊上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)P、Q也隨之移動(dòng)

5、若限定點(diǎn)P、Q分別在AB、AD邊上移動(dòng)，則點(diǎn)A在BC邊上可移動(dòng)的最大距離為 13. 如圖，直角梯形紙片ABCD，ADAB，AB=8，AD=CD=4，點(diǎn)E、F分別在線段AB、AD上，將AEF沿EF翻折，點(diǎn)A的落點(diǎn)記為P（1）當(dāng)P落在線段CD上時(shí)，PD的取值范圍為 ；（2）當(dāng)P落在直角梯形ABCD內(nèi)部時(shí)，PD的最小值等于多少？ 14. 如圖，四邊形ABCD是正方形，ABE是等邊三角形，M為對(duì)角線BD（不含B點(diǎn)）上任意一點(diǎn)，將BM繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)60得到BN，連接EN、AM、CM.（1）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMCM的值最??；（2）當(dāng)M點(diǎn)在何處時(shí)，AMBMCM的值最小，并說明理由.15. 如圖，已知平面直角坐標(biāo)系中A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A（2，-3），B（4，-1）.（1）若P（p，0）是x軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)p_時(shí)，PAB的周長最短；（2）若C（a，0），D（a+3，0）是x軸上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則當(dāng)a_時(shí)，四邊形ABDC的周長最短；（3）設(shè)M，N分別為x軸和y軸上的動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)問：是否存在這樣的點(diǎn)M（m，0），N（0，n），使四邊形ABMN的周長最短？若存在，請(qǐng)寫出m和n的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.1. 1523445 62，75839105