【高清】高等數(shù)學(xué)公式大全集

1、導(dǎo)數(shù)公式:(tgx) sec x(ctgx)csc x(secx) secx tgx(cscx)cscx ctgx(ax)axl na(log a x) 1xl na基本積分表：tgxdx ctgxdx secxdx cscxdx dx 2a xdx 2x adx 2a xdx2a x高等數(shù)學(xué)公式In cosx CIn sinx CIn secx tgx CIn cscx ctgx C1x-arctg Caa1x aInC2ax a1a xInC2a a xarcs in仝 C aIn2sin xdxcosx22 a x22 a a2x2dxdxdxo三角函數(shù)的有理式積分:2usinx2，1

2、ucosx2u2，1 u(arcsin x)(arccos x)(arctgx)(arcctgx)dx2 cos xdx2-sin xxdxx2x22 ax2x22 ax21 a2 xn2otgi，111x211x2sec2 xdx tgx C2csc xdx ctgx Csecx tgxdx secx Ccscx ctgxdx cscx Cxaxdx CIn ashxdx chx Cchxdx shx C2 2 In( x 、x a ) C2 2 v 7 x aIn2 a In( x22 a . 一In x22a . x arcs inC2x2 a2) C、x2 a2dx2du1 u223

3、/ 14一些初等函數(shù):x e ex2xxe e2shxx ex echxx ex ex2 1)雙曲正弦：shx雙曲余弦:chx 雙曲正切:thxarshx In (x兩個重要極限:sin x lim1x 0 xlim(1 -)x e 2.718281828459045xarchx In (xx2 1)arthxllnl三角函數(shù)公式:誘導(dǎo)公式：、函數(shù)角AsinCOStgCtg-a-sin aCOS a-tg a-Ctg a90 aCOs asin aCtg atg a90 aCOs a-sin a-Ctg a-tg a180 asin a-COS a-tg a-Ctg a180 a-sin a-

4、COS atg aCtg a270 a-COS a-sin aCtg atg a270 a-COS asin a-Ctg a-tg a360 a-sin aCOS a-tg a-Ctg a360 asin aCOS atg aCtg a-和差角公式:sin()sinCOSCOSsinCOS()COSCOSsinsintg()汽tg1 tgtgCtg()CtgCtg1CtgCtg-和差化積公式:sinsin2 si nCOS22sinsin2 cossin22COS COS 2 COSCOS2 2COSCOS2 si nsin22sin 22sin coscos22cos21ctg2ctg212

5、ctgtg22tg21 tg倍角公式:1 2si n2-半角公式:2 cos2 sinsin33sin4sin3cos34cos3costg33tg tg31 3tg2tg21cosY 21cossin 21 cos1 cossinsin1 coscos21cosX2ctg J2：1cos1 cossin1cossin1 cos-正弦定理:a bsin A sinBcsi nC2R-余弦定理:c2 a2 b2 2abcosC-反三角函數(shù)性質(zhì):arcs inxarccosxarctgxarcctgxLeibniz )公式:(n)(uv)nk (nCnUk) (k)Vk 0(n)(n 1)n(n

6、1) (n 2)u Vnu vuV2!高階導(dǎo)數(shù)公式一一萊布尼茲(n(n1) (nk!Ujn k)v(k)UV(n)中值定理與導(dǎo)數(shù)應(yīng)用：拉格朗日中值定理：f(b) f(a) f ( )(b a)柯西中值定理：丄包他丄F(b) F(a) F ()當(dāng)F(x) x時，柯西中值定理就是 拉格朗日中值定理曲率:弧微分公式：平均曲率：Kds 1 y 2dx,其中 y tg:從M點到M點，切線斜率的傾角變化量;s： MM弧長。M點的曲率：K lims 0直線：K 0;1半徑為a的圓：K -.a定積分的近似計算：b矩形法：f(x)ab梯形法：f(x)ab拋物線法：f(x)a即，-)3b a.、(yo yiyn

7、1)nb a 1(yo yn) y1n 2b a3n(y。yn) 2( y2yn 1y4yn 2) 4(y1 y3yn 1)定積分應(yīng)用相關(guān)公式:功：W F s水壓力：F p A引力：F,k為引力系數(shù)f(x)dx函數(shù)的平均值：y均方根：.1f2(t)dtb aa空間解析幾何和向量代數(shù):空間2點的距離：d M 1M 2 向量在軸上的投影：Pr ju ABi.222.(X2Xi)(y2yi)(Z2 Zi)AB cos ,是AB與 u軸的夾角Pr ju(ai a2) Prjai Pr ja2a b cosaxbxaybyazbz,是一個數(shù)量，兩向量之間的夾角:cosaxbxaybyazbz2 2ax

8、ayaz2： bx2bz2cabaxbxaybyazbza b sin例:線速度:w r.向量的混合積:abc (ab) caxbxCxaybyCyazbzCzc cos ,為銳角時,代表平行六面體的體積 。平面的方程：1、點法式：A(x x0) B(y y0) C(z2、一 般方程：Ax By Cz D 03、截距世方程：x y -1abc勺)0,其中 n A, B,C, M0(X0,y,Z0)空間直線的方程:xX。my y z znP二次曲面：21、橢球面：令ay 2 J2 z2 c122、拋物面：x2py 22qz,(|p,q同號)3、雙曲面：2單葉雙曲面：篤a2 y b22 z 2 c

9、12雙葉雙曲面：x2 a2 y b22 z 2 c1(馬鞍面)平面外任意一點到該平 面的距離：dAx。By0Cz。DA2 B2 C2xx0mtt,其中sm,n, p;參數(shù)方程：yyntzz0pt多元函數(shù)微分法及應(yīng)用全微分： dz dx dyx y全微分的近似計算：z dzdu dx dy dzx y zfx(x,y) x fy(x,y) y多元復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法：z fu(t),v(t)dz z u z v dt u t v tz fu(x, y),v(x, y)x當(dāng) u u(x, y), v v(x,y)時，隱函數(shù)方程組：F（x，y，u，v） 0G（x, y,u,v） 0F F j (F，G)

10、u v(u,v)u vFuGuFvGvdu dx dy xydvdx Xdy y隱函數(shù)的求導(dǎo)公式：隱函數(shù)F(x, y) 0,dyFx,獸_(2)+ (FX)dydxFydxxFyyFydx隱函數(shù) F(x,y,z) 0,zFx,ZFyXFzy Fzu1(F,G)v1(F,G)Xj(x,v)Xj(u,x)u1(F,G)v1(F,G)yj(y,v)yj(u,y)微分法在幾何上的應(yīng)用:x空間曲線yz(t)(t)在點M (x0, y0,z0)處的切線方程:(t)x xo(to)y y zzo(to) (to)在點M處的法平面方程:(to)(x xo)(to)(y yo)(to)(z Zo) o若空間曲線

11、方程為:FyFzFzFx FxGyGzGGX,GX；（：,：；o,則切向量TFyGy曲面 F (x, y, z) o上一點 M(Xo,y,Zo),則:1、 過此點的法向量：n Fx(Xo,yo,Zo),Fy(Xo,yo,zo),Fz(Xo,y,zo)2、過此點的切平面方程：Fx(Xo,y,Zo)(xXo) Fy(Xo,y,Zo)(yy)Fz(x, y, zo)(zz)03、過此點的法線方程:XXoz ZoFx(Xo, yo, Zo) Fy(Xo,yo,Zo) Fz(Xo, y,z)方向?qū)?shù)與梯度:函數(shù)z f (x, y)在一點p(x, y)沿任一方向I的方向?qū)?shù)為：一p-cos Xsin y其

12、中為X軸到方向I的轉(zhuǎn)角。函數(shù) z f (x, y)在一點 p( x, y)的梯度：gradf (x, y)它與方向?qū)?shù)的關(guān)系是：grad f (x, y) e,其中e cos isinj，為I方向上的單位向量。是gradf (x,y )在I上的投影。設(shè)fx(x, y)fy(x,y)ACB2口斗A0寸，A則：ACB20時，ACB20時,重積分及其應(yīng)用:DD多元函數(shù)的極值及其求法：0,令:fxx(x0,y) A, fxy(x,y)0,(x。，y。)為極大值0,(x,y。)為極小值無極值不確定B,fyy(Xo,yo)Cf(x,y)dxdyf(r cos,r sin )rdrd曲面z f (x,y)的

13、面積Adxdyx (x, y)dD(x,y)dD 平面薄片的轉(zhuǎn)動慣量：對于X軸I X平面薄片的重心：x匹My2 (x,y)d ,D平面薄片(位于 xoy平面)對z軸上質(zhì)點 M (0,0,a), (a(x,y)xdFxD /22(x y柱面坐標(biāo)和球面坐標(biāo):3a2)2Fy(x, y)yd3D/222 ?(x y a )2y (x, y)dD(x,y)dD對于y軸I y0)的引力:Fzx2 (x,y)dDF億尺忑，其中:(x,y)xdfa D ,2(xx r cos柱面坐標(biāo)：y r sinf (x, y, z)dxdydzF(r, ,z)rdrd dz,z z其中： F(r, ,z) f (rcos

14、 ,rsin ,z)xrsin cos球面坐標(biāo)：yr sin sin ,dvrdr si nddr r2 sin drd dz r cos2r(,)f (x, y,z)dxdydzF (r,)r2sindrd dddF(r, , )r2sindr00 0重心：x1x dv,y1ydv,z1z dv,其中MxdvMMM轉(zhuǎn)動慣量：Ix/ 2 2、(y z )dv,Iy(x22 z)dv,I z(x2y2) dv曲線積分：第一類曲線積分(對弧 長的曲線積分)：設(shè)f (x,y)在L上連續(xù)，L的參數(shù)方程為：X (t), ( t)，則:y (t)f (x, y)dsLf (t), (t)、2(t)2(t)

15、dt (特殊情況:x ty (t)第二類曲線積分(對坐設(shè)L的參數(shù)方程為y標(biāo)的曲線積分)：7則：P(x,y)dx Q(x, y)dyL兩類曲線積分之間的關(guān)P (t).(t)(t) Q (t), (t)(t)dtQdy系：PdxLL上積分起止點處切向量 的方向角。Q P格林公式：()dxdy - Pdxd x y l當(dāng)P y,Q x,即：-丄2時， x y平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件:1、G是一個單連通區(qū)域；(Pcos QcosLQdy格林公式：(衛(wèi)D X得到D的面積：A2、P(x,y), Q(x,y)在G內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù))ds其中)dxdy ydxdyD1O2l和分別為:Pdx QdyLx

16、dy ydx,且-Q = -P。注意奇點，如(0,0)，應(yīng)y減去對此奇點的積分，注意方向相反! 二元函數(shù)的全微分求積：Q P在 =一時，Pdx Qdy才是二兀函數(shù)u(x, y)的全微分，其中:x y(x,y)u(x, y) P(x,y)dx Q(x, y)dy,通常設(shè) x0 y0 0。曲面積分：對面積的曲面積分：2 2f(x,y,z)dsfx,y,z(x,y) 1 Zx(x, y) Zy (x, y)dxdyDxy對坐標(biāo)的曲面積分：P(x,y,z)dydz Q(x, y, z)dzdx R(x, y,z)dxdy,其中：R(x,y,z)dxdyRx, y, z(x,y)dxdy,取曲面的上側(cè)時

17、取正 號；DxyP(x,y,z)dydzPx(y,z),y,zdydz取曲面的前側(cè)時取正 號；DyzQ(x,y,z)dzdxQx, y(z,x),zdzdx取曲面的右側(cè)時取正 號。Dzx兩類曲面積分之間的關(guān) 系：Pdydz Qdzdx Rdxdy (Pcos Qcos Rcos )ds高斯公式:PQR()dv Pdydz Qdzdx Rdxdy 二(Pcos Qcosxyz高斯公式的物理意義通量與散度：散度：div ,即：單位體積內(nèi)所產(chǎn)生 的流體質(zhì)量，若x y z通量： A ndsAnds(Pcos Qcos Rcos )ds，Rcos )dsdiv 0,則為消失因此，高斯公式又可寫 成： d

18、ivAdv AndsR人/ F()dydz (y zz-R)dzdx:xQ(上xdxdy)dxdyQ PdxcosQdycosRdzycosdydzdzdx上式左端又可寫成：xyzxyzPQRPQR空間曲線積分與路徑無關(guān)的條件：-RQPRQ Pyzzxx y斯托克斯公式一一曲線積分與曲面積分的關(guān)系:i旋度：rotA 一 xP向量場A沿有向閉曲線的環(huán)流量：: Pdx Qdy Rdz - A tds常數(shù)項級數(shù)：等比數(shù)列：1 q q2等差數(shù)列：2 3調(diào)和級數(shù)：-23(n 1)n2丄是發(fā)散的n級數(shù)審斂法:1正項級數(shù)的審斂法 根植審斂法（柯西判 別法）：1時，級數(shù)收斂設(shè)：”m n un，則1時，級數(shù)發(fā)散

19、1時，不確定2、比值審斂法：1時，級數(shù)收斂 設(shè)： limU，則1時，級數(shù)發(fā)散Un1時，不確定3、定義法：sn u u2un;limsn存在，貝叫攵斂；否則發(fā) 散。n交錯級數(shù)U1 U2 U3 U4（或U1 U2 U3,Un 0）的審斂法萊布尼茲定理:Un Un 1如果交錯級數(shù)滿足|imu 0,那么級數(shù)收斂且其和s U1,其余項rn的絕對值rj Un1絕對收斂與條件收斂:（1）u1 U2 Un ，其中Un為任意實數(shù)；（2）U1U2U3Un如果（2）收斂，則（1）肯定收斂，且稱為絕對 收斂級數(shù);如果（2）發(fā)散，而（1）收斂，則稱（1）為條件收斂級數(shù)。調(diào)和級數(shù)：級數(shù)：p級數(shù)1發(fā)散，而 收斂;nn丄收斂

20、;n1 ：PnPP1時發(fā)散1時收斂幕級數(shù):1 x x2|x 1時，收斂于對于級數(shù)aa-|X2a2x|x 1時，發(fā)散，如果它不是僅在原點 收斂，也不是在全 R時收斂nanX數(shù)軸上都收斂，則必存在R,R時發(fā)散，其中R稱為收斂半徑。R時不定0時，R -求收斂半徑的方法：設(shè)limnan 1函數(shù)展開成幕級數(shù):函數(shù)展開成泰勒級數(shù):(n 1)余項：Rn(n 1)!Xoan其中an， an 1是(3)的系數(shù)，則f (x)f(X0)(X X。)-(x X。)22!0時，R時，R 0f(x0)(x x0)nn!()(x x0)n1,f(x)可以展開成泰勒級數(shù)的充要條件是：lim Rnn0時即為麥克勞林公式:f(x

21、) f(0) f (0)x2!f (n) (0) nXn!些函數(shù)展開成幕級數(shù):(1 x)m1 mx m(mJ)x22!m(m 1) (m n 1) xnxn!x 1)sinx x3 X3!5 X5!2n 1歐拉公式:ixe cosxi sinx三角級數(shù):f(t)AoAn sin( nn 1aAp an1)n1x(2n 1)!cosx或si nxixe2ixixe e2ix e其中，a。正交性：1,sin x,cosx,sin 2x, cos2x 上的積分=0。An Sin n，bn(an cosnx bn sin nx)n 1An Cos n， tsin nx, cosnx 任意兩個不同項的乘

22、積X。傅立葉級數(shù):f(x)ao(an cos nx bn s inn x), 周期1anf (x)cos nxdx(n 0,1,2其中bnf (x)sinnxdx(n 1,2,31丄321 12242J 124122113211F142(相加)62一(相減)12正弦級數(shù):an0,bnf (x)sin nxdx1,2,3f (x)bnsin nx是奇函數(shù)余弦級數(shù):bn0, anf(x)cosnxdx00,1,2f(x)a02an cos nx是偶函數(shù)周期為21的周期函數(shù)的傅立葉級數(shù):a0f(x) Ean其中bnn x (an cosn 1l1 1n X-f(x)cos dx l lll1n x.-f (x)sin dx l iln x bn sin l(n(n)，周期0,1,2 )1,2,3 )21微分方程的相關(guān)概念：一階微分方程：y f(x, y) 或 P(x, y)dx Q(x, y)dy 0可分離變量的微分方程：一階微分方程可以化 為g(y)dy f (x)dx的形式，解法：g(y)dy f(x)dx 得：G(y) F(x) C稱為隱式通解。齊