《幾何畫板》教程——從入門到精通

1、幾何畫板教程從入門到精通用幾何畫板做數(shù)理實驗首先請下載安裝好幾何畫板軟件，打開幾何畫板，可以看到如下的窗口，各部分的功能如圖所示:幾何畫樓-繪團(tuán)01 F文件E煽輯E顯殺I作El T變換川度星G圖恚W工作H幫跡 -|g|xlMHO匚具/!跚線匸具傭載標(biāo)按住不放可尊出）文本工具?幫助EJI-狀態(tài)欄射 S 段統(tǒng)統(tǒng)選彈&平暮圖 1-0.1我們主要認(rèn)識一下工具箱和狀態(tài)欄，其它的功能在今后的學(xué)習(xí)過程中將學(xué)會使用。23案例一四人分餅有一塊厚度均勻的三角形薄餅，現(xiàn)在要把它平 均分給四個人，應(yīng)該如何分？圖 1-1.1思路：這個問題在數(shù)學(xué)上就是如何把一個三角形分成面積相等的四部分。方案一：畫三角形的三條中位線，分

2、三角形所成的四部 分面積相等，（其實四個三角形全等）。如圖1-1.2。方案二：四等分三角形的任意一邊，由等底等咼的三角 形面積相等，可以得出四部分面積相等，如圖1-1.3。用幾何畫板驗證：第一步：打開幾何畫板程序，這時出現(xiàn)一個新繪圖文件。說明：如果幾何畫板程序已經(jīng)打開，只要由菜單“文件”第二步：（1）在工具箱中選取“畫線段”工具；（2）在工作區(qū)中按住鼠標(biāo)左鍵拖動，畫出一條線段。如圖1-1.4。注意：在幾何畫板中，點用一個空心的圈表示。第三步：（1）選取“文本”工具；（2）在畫好的點上單擊左鍵，可以標(biāo)出兩點的標(biāo)簽，如圖 1-1.5：注意：如果再點一次，又可以隱藏標(biāo)簽，如果想改標(biāo)簽為其它字母，可以

3、這樣做：用“文本”工具雙擊顯示的標(biāo)簽，在彈出的對話框中進(jìn)行修改，（本例中我們不做修改）。如圖1-1.6“新繪圖”，也可以新建一個繪圖文件。Qa圖 1-1.4圖 1-1.5圖 1-1.6在后面的操作中，請觀察圖形，根據(jù)需要標(biāo)出點或線的標(biāo)簽，不再說明圖 1-1.7第四步：（1）再次選取“畫線段”工具，移動鼠標(biāo)與點A重合，按左鍵拖動畫出線段 AC ；畫線段BC,標(biāo)出標(biāo) 簽C,如圖1-1.7。注意：在熟悉后，可以先畫好首尾相接的三條線段后再 標(biāo)上標(biāo)簽更方便。圖 1-1.8第五步：（1）用“選擇”工具單擊線段AB，這時線段上出現(xiàn)兩個正方形的黑塊，表示線段處于被選取狀態(tài)；（2）由菜單“作圖”“中點”，畫出

4、線段AB的中點，標(biāo)上標(biāo)簽。得如圖1-1.8。注意：如果被選取的是點，點的外面會有一個粗黑圓圈。在幾何畫板中，選取線段是不包括它的兩個端點的，以 后的問題都是這樣，如果不小心多選了某個對象，可以 按Shift鍵后用左鍵再次單擊該對象取消選取。圖 1-1.9第六步：用同樣的方法畫出其它兩邊的中點。得如圖1-1.9。技巧：最快的方法是：按住 Shift不放，用“選擇”工具 分別點擊三條線段，可以同時選取這三條線段，再由“作圖”“畫中點”（或按快捷鍵 Ctrl+M），就可以同時畫好三條邊的中點。第七步：用“畫線段”工具連結(jié)DE、EF、FD，得如圖1-1.10 :技巧：畫線段的另一方法，在保證畫線工具出

5、現(xiàn)的是“畫 線段”按鈕（不必選取）的前提下。選取兩點后，由菜單“作圖”“畫線段”，（或按快捷鍵Ctrl+L）,可以畫出連結(jié)兩點的線段。本例最快的做法：1、 選取“畫點”工具，按住Shift鍵不放在工作區(qū)中畫 三個點，這時三個頂點都保持選取狀態(tài)2、按Ctrl+L,可以同時畫出三條邊并且三邊同時被選?。?、按Ctrl+M，可以同時畫出三邊中點且三中點同時被選??；4、 按Ctrl+L,可以同時畫出小三角形三條邊，標(biāo)上標(biāo)簽即 可。圖 1-1.11第八步：按住Shift鍵不放，用“選擇“工具選取點 A、D、F； （2）由菜單“作圖”“多邊形內(nèi)部”填充多邊形內(nèi)部；（3）保持內(nèi)部的選取狀態(tài)，由菜單“度量”“

6、面積”，可以量出ADF的面積，如圖1-1.11。面積 ADF =0.77 cm面積 DBE = 0.77 cm面積 ECF =0.77 cm面積 DEF =0.77 cm第九步：（1）用同樣的方法，填充并度量三角形BDE、ECF、DEF； （2）選取DEF的內(nèi)部，由菜 單“顯示”“顏色”，選擇其它顏色，如藍(lán)色，得到如圖1-1.12。圖 1-1.2注意：在制作過程中，要經(jīng)常保存文件，以免因意外原因造成文件丟失，以下每一個例子都是這樣，不 再加以說明。歸納結(jié)論：拖動頂點A、B、C中的任一個，可以改變?nèi)切蔚拇笮『托螤?，請觀察不同情況下，四部分的面 積是否總是相等？這樣做可以完成分餅的任務(wù)嗎？說明：

7、這是通過實驗來驗證數(shù)學(xué)規(guī)律，不能保證結(jié)論一定是正確，一般來說，有一些結(jié)果經(jīng)過了人而大多數(shù)情況下，實類的長期實踐，大家都公認(rèn)了它的正確性，這時會把這個結(jié)論作為公理直接使用;驗得到的結(jié)果仍然需要進(jìn)行推理證明。那么，實驗有什么用呢？實驗可以幫助我們認(rèn)識規(guī)律，更容易接 受知識，并且常?？梢宰屛覀冋业浇鉀Q問題的方向。如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例一供參考。練習(xí)：1、對于方案二，四等分面積的問題就轉(zhuǎn)化為四等分線段的問題，四等分線段可以用哪些方法？2、為了方便在改變等分的份數(shù)（例如要分成五份）時方法仍然能用，這里介紹利用平行線等分線段的方法把一條線段四等分。第一步：

8、（1）選取“畫射線”工具；（2）移動鼠標(biāo)到與點 A 重合，按住左鍵拖動，畫出一條以點A為端點的射線AD， 得如圖1-1.13。第二步：（1）選取“畫點”工具，移動鼠標(biāo)到射線 AD上, 在靠近點A處單擊畫出一個點 E,得如圖1-1.14 ；按住Shift鍵不放，用“選擇”工具，依次選取點A、E,由菜單“變換”“標(biāo)記向量A-E”。說明：標(biāo)記了一個向量后，可以在后面的平移變換中按 這個向量來平移，保證出現(xiàn)若干段相等的線段， 標(biāo)記向量時，一定要注意選選擇點的先后順序。第三步：（1）用“選擇”工具選取點 E,由菜單“變換”“平移”，在彈出的對話框中點“確定”即可得一點 E （2）選取E ，做同樣的操作可

9、以得E，這樣做下去，直到得到你想要的若干段相等的線段，這里是 四段，如圖1-1.15。第四步：（1）連結(jié)B E ; （2）同時選取線段B E 、點E、 E 、E ,由菜單“作圖”“平行線”，畫出了一組平CC圖 1-1.16BAEEEED行線，如圖1-1.16。第五步：（1）用“選擇”工具單擊平行線和AB相交處，得到三個四等分點； 選取所有平行線、射線 AD及AD上的點（除A外）， 由菜單“顯示”“隱藏對象”，可以隱藏制作過程中的輔助線。得如圖1-1.17。以下只要連結(jié)點 C和三個四等分點就行了， 注意：在最后結(jié)果中不需要看到的對象，一般是把它隱 藏，如果你選取后刪去了它，你會發(fā)現(xiàn)你要的四等分點

10、 也會消失，這是因為這些點是受輔助線控制的，隱藏的 對象只是看不到，但它仍然起作用。隱藏和刪除是不同的。如有問題，請到幾何畫板分版，下載案 例一的練習(xí)供參考。3、自己比較一下這兩種方法，在只需要四等分的情況下，哪種方法更具有一般性？C圖 1-1.17哪種方法方便？，在需要其它等分的情況下,案例二三角形的內(nèi)角和現(xiàn)有一塊三角形的木板，用來制作一個半圓形的木 蓋，請設(shè)計一個浪費比較小并且便于施工的方案。圖 1-2.1思路：以三角形較短一邊的一半為半徑，以三個頂點為圓心畫弧， 得到三個扇形后拼成半圓，如圖1-2.2 :圖 1-2.2那么，如何知道拼成的一定是一個半圓

11、呢？下面用幾何畫板做一個實驗來說明。如果對于任意的方案：畫一個三角形；量三個內(nèi)角的度數(shù)；用幾何畫板的計算功能計算三個內(nèi)角的和。 三角形，總有內(nèi)角和是 180。，那么說明拼成的一定是一個半圓形。用幾何畫板驗證：第一步：新建一個幾何畫板繪圖文件。畫出三角形ABC第二步： 選取“選擇”工具，按住Shift不放,依次選取點B、A、C; (2)由菜單中的“度量”“角度”，量出/ BAC的度數(shù)，用同樣的方法度量其它兩個角。如圖1-2.3說明：由于每個人畫的圖不同，度數(shù)不一定和圖1-2.3 一樣)。注意：選一個角的關(guān)鍵是角的頂點要第二個選。丄 BAC = 45.0? 上 ABC = 74.6? ACB =

12、60.4?圖 1-2.3第三步：由菜單“度量”“計算”彈出一個計算器，依次點擊“/ BAC=”、“ +”、“/ ABC=”“ + ”、“/ ACB=”、“確定”，如圖 1-2.4。說明：“/ BAC=”在本例中是“/ BAC=45.0” ,這里用省略號表示， 是因為每個人畫的圖不同，量出的度數(shù)有可能不同， 以后類似的問題都這樣來表2 BAC = 45.0?上 ABC = 74.6?zACB = 60.4?示。技巧：彈出計算器的方法有：(1)由菜單“度量”“計算” ；(2)雙擊工作區(qū)中的任一度量值，如“ /BAC=”；在工作區(qū)中擊鼠標(biāo)右鍵，由“度量”丄 BAC + 上 ABC + 士 ACB =

13、 180.0?圖 1-2.4序號操作現(xiàn)象三個角的和等于1觀察/ BAC=/ ABC=/ ACB=2用鼠標(biāo)拖動其中一個頂點改變?nèi)?角形變成鈍角三角形/ BAC=/ ABC=/ ACB=3用鼠標(biāo)拖動其中一個頂點改變?nèi)?角形變成直角三角形/ BAC=/ ABC=/ ACB=4用鼠標(biāo)拖動其中一個頂點任意改 變?nèi)切蔚男螤钊齻€內(nèi)角的和總是結(jié)論三角形的內(nèi)角和總是歸納結(jié)論：請按要求操作后填寫下表:如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例二供參考。練習(xí)：1、 自己畫一個凸四邊形，度量它的內(nèi)角，計算內(nèi)角和，驗證凸四邊形的內(nèi)角和是360。如有問題，請到http:/wq.sdedu.

14、net幾何畫板分版，下載案例二練習(xí)1供參考。2、 用“選擇”工具同時選取點A、B，由菜單“度量”“距離”，可以度量出線段 AB的長度，請你用上面所學(xué)的知識驗證“三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊”。如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例二練習(xí)2供參考。案例三最佳行走路線如圖1-3.1 :你身在草原上，現(xiàn)在要走到公路邊去等車，請設(shè)計一個最佳行走路線。圖 1-3.1CA圖B1-3.3j D1-3.4思路：把人所處位置看作一個點，公路看作一條直線，行走的路線看作線段，由垂線段最短可以找到最 佳行走路線。方案：畫一條直線，過直線外一點引直線的垂線段

15、和斜線段，度量線段的長，動態(tài)驗證垂線段最短。 用幾何畫板驗證：第一步：新建一個幾何畫板繪圖文件。第二步：（1）按住工具箱中的畫線工具不放，在彈出的=c工具條中選取畫直線”工具，按住鼠標(biāo)左鍵拖動畫出一條直線；（2）用“畫點”工具在直線外畫一點，如圖1-3.2。一一AB圖 1-3.2第三步：（1）按Shift鍵，用鼠標(biāo)選取點 C和直線AB， （不要選取點A和B） ； （2）由菜單“作圖”“垂線”，畫出了過點C垂直于AB的直線，如圖1-3.3說明：雖然點 A、B在直線AB上，但選取直線時并沒 有選取直線上的點，在后面的學(xué)習(xí)中，如果要求選取直 線、線段、圓等對象，這時不要把對象上的點也選取， 除非特別

16、指明要選取這些點。第四步：（1）用“選擇”工具單擊垂足處，定義出垂足， 標(biāo)上標(biāo)簽D ； 選取垂線CD（不要選取點C、D）、點A、B,由“顯 示” “隱藏”，把選取的對象隱藏，用“文本”工具 在直線上點一下，標(biāo)出直線的標(biāo)簽j; （3）選“畫線段”工具，連結(jié)線段 CD，如圖1-3.4。說明：點A、B是控制直線AB的點，通過拖動這兩點，可以改變直線的方向和位置， 一般情況下，如果不想再 改變直線的位置，或不再畫其它線經(jīng)過這兩個點， 可以 在制作完成后把它隱藏。第五步：（1）選取“畫線段”工具；（2）移動鼠標(biāo)到點 C處，按下左鍵拖動，當(dāng)鼠標(biāo)位于直線 j上時松開，如 圖 1-3.5。技巧：CE是直線j的

17、斜線段，所以要保證一個端點是 C， 另一個端點E只能在直線j上移動，怎樣才能保證呢？， 在畫圖的過程中，移動鼠標(biāo)到點C時，注意觀察狀態(tài)欄中有“從點C”，這時按下左鍵可以保證一個端點為 C，移動鼠標(biāo)到直線j時，狀態(tài)欄中有“到點位于直線 j”時松開，這樣點E 一定在直線上，不能拖到直線外。 在幾何畫板中，狀態(tài)欄的作用非常重要。第六步：同時選取點 C、D，由“度量”“距離”，量出CD，同理量出 CE,如圖1-3.6。歸納結(jié)論：拖動點E在直線j上移動，觀察 CD與CE的大小，什么時候CD與CE哪一個比較大？以上操作說明：從直線處一點引直線的所有線段中, 的垂線段。圖 1-3.5圖 1-3.6CE=CD

18、 ?，除了這個位置外的其它位置一最短，因而最佳行走路線是走點到直線如有問題，請到幾何畫板分版，下載實例三供參考。 練習(xí)：圖 1-3.71、在圖1-3.6的基礎(chǔ)上，增加一個點 F,通過度量/ CDF、/ CEF，如圖1-3.7，拖動點E,觀察什么情 況下兩個角相等，除了CD夕卜，CE在其它位置能和直線 j垂直嗎？如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例三練習(xí)供參考。案例四橫梁有多長如圖1-4.1，一個三角形屋架，屋面的寬度是13米，立柱長5米，那么橫梁有多長？思路：這是直角三角形中應(yīng)用勾股定理的問題，那么，是不是任意的直角三角形

19、三邊都有這種關(guān)系？方案：大家都已經(jīng)證明過勾股定理，但現(xiàn)在我們用不同的方法來重新認(rèn)識一下這個老朋友。用幾何畫板畫一個直角三角形， 度量三條邊，計算兩直角邊的平方和，計算斜邊的平方，不斷改變圖形的大小形狀（但保持直角不變），驗證定理是否總是成立。用幾何畫板驗證：第一步：新建一個幾何畫板繪圖文件。第二步：在工作區(qū)中畫一條線段AB,如圖1-4.2。匚 B圖 1-4.2第三步：（1）按住Shift，用“選擇”工具選取點 A和 線段AB ； （2）由菜單“作圖”“垂線”，作出點A垂直于線段AB的直線。如圖1-4.3注意：不要選另外一個端點 B，那樣過B點也會有一條 直線與AB垂直，本例中我們不需要同時畫兩

20、條垂線。 技巧：只有這樣畫的圖才能在你拖動點改變圖形的大小 和形狀時總是保持垂直的關(guān)系，如果只是畫出一條自己看上去“垂直”的直線，就不能在改變形狀時保持垂直 關(guān)系。第三步：（1）選“畫點”工具；（2）移動鼠標(biāo)到垂線上 單擊，如圖圖1-4.4注意：觀察狀態(tài)欄中出現(xiàn) “點位于直線上”時單擊，這樣畫的點永遠(yuǎn)位于直線上，不會拖到外面。VA B圖 1-4.3 B圖 1-4.4第三步：（1）選取垂線CD,由“顯示” “隱藏直線”， 把垂線隱藏；（2）用畫線段工具畫出線段 AC、線段BC，如圖 1-4.5。技巧：最后的圖中應(yīng)該是線段，但為了保證變化過程中保持垂直關(guān)系，必須先畫輔助垂線， 最后在不需要時把AB

21、圖 1-4.5它隱藏。第四步：用“文本”工具單擊三角形的三邊，得到如圖1-4.6所示，j圖 1-4.6第五步：用“文本”工具雙擊標(biāo)簽 n在彈出的對話框中作如下 改動：如圖1-4.7。圖 1-4.7圖 1-4.8用同樣的方法改j為c,改m為b,如圖1-4.8。說明：這樣做是為了照顧我們的數(shù)學(xué)習(xí)慣，或者是題目本身的要求，這種改點或線的標(biāo)簽的方法，在操作過程中會經(jīng)常用到。第七步：同時選取線段a、b、c，由菜單“度量” “長 度”，可以同時量出三條邊的長度，如圖1-4.9cc = 2.70 cm a = 3.03 cm b = 1.39 cm圖 1-4.9第八步：彈出計算器，依次點擊“b=”、“人”、

22、“2”、“ + ”、“c=”、“人”、“2”，然后按“確定”，可以計算 出b2+c2的值；同樣可以算出 a2的值，得到如圖1-4.10,說明：這里“ A ”表示乘方運(yùn)算。cc = 2.70 cm a = 3.03 cmb = 1.39 cm2 2 2b + c = 9.20 cm a 2 = 9.20 cm圖 1-4.1012米,歸納結(jié)論:序號操作現(xiàn)象b2+c2與a2相等嗎？1觀察b2+c2= a2=2用鼠標(biāo)拖動點B到另一位置。b2+c2= a2=3用鼠標(biāo)拖動點B到另一位置。b2+c2= a2=4任意拖動三角形頂點改變直角三角形的形狀，結(jié)論b2+c2a2可以看到，總是有兩直角邊的平方和等于斜邊

23、的平方，本例中的橫梁用勾股定理算得一半為全長為24米。如有問題，請到http:/wq.sdedu. net幾何畫板分版，下載實例四供參考。 練習(xí)：1、量出直角三角形的兩銳角的度數(shù)，驗證直角三角形的兩銳角互余。如有問題，請到http:/wq.sdedu. net幾何畫板分版，下載案例四練習(xí)1供參考。2、學(xué)畫一個矩形，先完成本例到第三步得圖1-4.11，這里只是把原來的點C改成了 D。圖 1-4.11（1）選取點D和線段AB，由“作圖”“平行線”，畫出過D平行AB的直線；（2）選取點B和直線AD， 同樣畫出過點 B平行于AD的直線；（3）用“選擇” 工具定義出第四個頂點，標(biāo)記標(biāo)簽為C;如圖1-4.

24、12（4）隱藏三條直線，畫出線段 AD、DC、CB，即得矩 形 ABCD，如圖 1-4.13。說明：拖動點A、B可以改變矩形的大小和位置并可以DC圖 1-4-13旋轉(zhuǎn)一定的角度；拖動點 D只能改變矩形在縱向上的 大小，拖動點 C不會改變矩形的大小，但可以改變矩 形的位置，但無論如何改變， 這個圖形一定是矩形， 你可以通過度量角和邊來證實這一點。3、先畫出如圖1-4-14的圖形，然后用類似于第2題的方法畫一個平行四邊形,圖 1-4-14案例五三角形的高三角形的高可能出現(xiàn)在哪些位置？思路：應(yīng)該對于直角、銳角、鈍角三種不同類形的三角作不同的回答。方案：如果用筆在紙上畫圖，只能三種類型中各畫一個圖來說

25、明，現(xiàn)在借助幾何畫板，我們可以動態(tài)地改變?nèi)切蔚男螤?，使不同類形的三角形的高可以動態(tài)改變。用幾何畫板驗證：第一步：（1）選取“畫點”工具畫三個點；（2）選取“畫 直線”工具后，什么都不用做；（3）選取“選擇”工具， 在屏幕上拉一個虛線框框住畫好的三點；（4）由菜單“作圖” “畫直線”（快捷鍵是Ctrl+L），可以畫出 過這三點的三條直線，標(biāo)上標(biāo)簽，如圖1-5.1。技巧：（1）如果要選取的對象比較多，可以用“選擇” 工具在工作區(qū)中拉一個虛線框框住這些對象，這時可能會多選了一些你并不想選的，可以按Shift鍵后，單擊該對象取消選擇狀態(tài)；（2）上面第二步選“畫直線”工 具的操作會影響菜單中會不會出出

26、“畫直線”的選項， 如果你沒有做這一步，菜單中通常出現(xiàn)“畫線段”，也就是說，幾何畫板中的有些菜單命令和按鈕的顯示狀態(tài) 是相關(guān)的。第二步：過點 A作直線BC的垂線，并單擊垂足，定 義出垂足D，用同樣的方法作出垂線BE和CF，如圖1-5.2，第三步：按住 Shift鍵，用“選擇”工具選取所有的直 線，注意不要選到點；由菜單“顯示”“隱藏直線”，可以隱藏所有直線，得到如圖1-5.3 AFEBD C圖 1-5.3第四步：(1)同時選取點A、B, 選取“畫線段”工 具，然后按Ctrl+L，畫出線段AB;(3)用同樣的方法畫 出線段BC、AC、AD、BE、CF，得到如圖1-5.4。技巧：上面說 Ctrl+

27、L是畫直線，但當(dāng)你先畫了 “畫線 段”的工具后，它的功能會自動變邊畫線段。注意：為什么不一開始就畫三條線段組成三角形呢？這 是本例的要點，因為如果一開始畫的是線段，點D、E、F被定義為垂線和線段的交點，如果你拖動三角形變?yōu)?鈍角三角形，垂線和線段沒有交點， 這樣會導(dǎo)致有兩條 高消失。現(xiàn)在的點 D、E、F分別是垂線和直線的交點， 再拉動三角形成鈍角三角形時，高不會消失。第五步：(1)拖動點A，使/ ACB變 成鈍角，(如圖1-5.5); (2)選取點C 和D，按Ctrl+L ,畫出線段 CD ; (3)保 持線段CD的選取狀態(tài)，由菜單“顯 示”“線型”“虛線”，改 CD為虛線，符合通常的習(xí)慣，用

28、同樣的方法畫線虛線段 CE ,圖 1-5.5A圖 1-5.4第六步：拖動點 A使使/ ABC變成鈍角后用同樣的方 法作出虛線段BF。最后完成圖1-5.6歸納結(jié)論;序號操作三角形三條高的 位置三條高(或高的延長 線)交于一點嗎？1觀察2用鼠標(biāo)拖動點C到另一位置。 使厶ABC仍為銳角三角形，再觀 察，3用鼠標(biāo)拖動點A到另一位置。 使厶ABC變?yōu)橹苯侨切?，再觀 察，4用鼠標(biāo)拖動點 A到另一位置。使 / ABC為鈍角，再觀察結(jié)論三角形的三條高或高的延長線如有問題，請到http:/wq.sdedu. net幾何畫板分版，下載案例五供參考。 練習(xí)：觀察三角形的三條中線，三條角平分線的位置關(guān)系。其中畫中點

29、的方法：選取線段，由菜單“作圖”“中點”（或按Ctrl+M ）可以作出線段的中點，接著就可以畫中線了；畫角平分線的方法：如按 Shift，依次點選點B、A、C,可以作出/ BAC的平分線，確定角平分 線和對邊的交點后，隱藏角平分線，再連出線段就行了。1請自己畫一個三角形作出它的三條中線，然后按要求填寫實驗報告。序號操作三角形三條中線 的位置三條中線交于一點嗎？1觀察2用鼠標(biāo)拖動點C到另一位置。 使厶ABC仍為銳角三角形，再觀 察，3用鼠標(biāo)拖動點A到另一位置。 使厶ABC變?yōu)橹苯侨切危儆^ 察，4用鼠標(biāo)拖動點 A到另一位置。使 / ABC為鈍角，再觀察結(jié)論三角形的三條中線如有問題，請到http

30、:/wq.sdedu. net幾何畫板分版，下載案例五練習(xí)1供參考。2、請自己畫一個三角形，作出它的三條角平分線，然后按要求填寫實驗報告。序號操作三角形三條角平 分線的位置三條角平分線交于一 點嗎？1觀察2用鼠標(biāo)拖動點C到另一位置。 使厶ABC仍為銳角三角形，再觀 察，3用鼠標(biāo)拖動點A到另一位置。 使厶ABC變?yōu)橹苯侨切危儆^ 察，4用鼠標(biāo)拖動點 A到另一位置。使 / ABC為鈍角，再觀察結(jié)論三角形的三條角平分線.如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例五練習(xí) 2供參考。案例六掛畫的學(xué)問要把一幅畫掛在墻上， 畫的上下邊框要和橫梁平行，左右與立柱的距離相等， 應(yīng)

31、該如何釘上掛釘?圖 1-6.1思路：這個問題可以轉(zhuǎn)化為和線段的垂直平分線有關(guān)的問題。方案：掛繩拉緊后，掛點到像框邊框兩端的距離應(yīng)該相等，考慮到平行和等距的條件，只要橫梁的中垂線與邊框中垂線二線合一就行了，所以只要畫橫梁的中垂線，把掛繩的中點定位在橫梁中垂線上即可。下面驗證“線段垂直平分線上的點，到線段兩端的距離相等”。用幾何畫板驗證：第一步：畫一條線段 AB。如圖1-6.2aB圖 1-6.2第二步：（1）用選擇工具選取線段 AB，（2）由菜單“作圖”沖點”（快捷鍵是 Ctrl+M），畫出線段 AB的中點C,如圖1-6.3A注意：不要多選其他對象，如果你多選了其他對象，“中如圖1-6.3點”這個

32、選項是灰色的不可用，一般來說，只要選擇的對象不符合要求的條件，就不可能使用相應(yīng)的菜單項。第三步：(1)用“選擇”工具按住左鍵拉一個框經(jīng)過點 C和線段AB (但不要框住 A、B兩點)，這樣可以同時 選取點C和線段AB，(2)由菜單“作圖”“垂線”，畫出過點C垂直于線段 AB的垂線，即是線段AB的垂 直平分線。如圖1-6.4圖 1-6.4注意：如果你畫的圖不是這樣，過點A或B也有了垂線，那是因為你多選了點A或點B。第四步：選取“畫點”工具，在中垂線上畫一點，標(biāo)記為P,如圖1-6.5ClC圖 1-6.5圖 1-6.7第五步：(1)畫出線段PA、PB ； (2)選取點P、A，由菜單 “度量”“距離”，

33、量得PA，同樣量出PB。第六步：(1)同時選取點P和中垂線；(2)由菜單“編輯” “操作類按鈕”“動畫”，在彈出的對話框中，設(shè)置如倉P徒著直後出颶冃虞慢迪務(wù)初圖 1-6.6圖 1-6.6這樣在屏幕上會出出一個“動畫”按鈕，當(dāng)雙擊這個按鈕時，點P會在直線上雙向地移動。便于我們動態(tài)地觀察。最后結(jié)果如圖1-6.7。注意：不要多選其它對象，這里只需要點P在中垂線上運(yùn)動。歸納結(jié)論:序號操作現(xiàn)象結(jié)論(是否相等)1拖動點P到另一位置，這時PA=PB=PAPB2拖動點P到第一個位置這時PA=PB=PAPB3拖動點P到第三個位置這時PA=PB=PAPB4雙擊“動畫”按鈕，點P在AB的中垂 線上不停的運(yùn)動，PAP

34、B結(jié)論只要點P在線段AB的中垂線上，實驗過程中PAPB.如有問題，請到http:/wq.sdedu. net幾何畫板分版，下載案例六供參考。 練習(xí)：1我們將在前面作圖的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步驗證等腰三角形、 第七步：（1）選取垂直平分線，將它隱藏；（2）畫出線段PC。得到如圖1-6.8。等邊三角形的一些性質(zhì)。圖 1-6.8第八步：用量距離的方法量 AC、BC,量/ PAB、/ PBA、/ APB、/ PCB、/ APC、/ BPC 的度數(shù)，得到如圖1-6.9。軒動畫|PA = 3.17 cmPB = 3.17 cmAC = 1.47 cmBC = 1.47 cm上 PCB = 90.00?丄 PAB

35、= 62.47?X PBA = 62.47?Z APC = 27.53? BPC = 27.53?/ BPA = 55.06?圖 1-6.9歸納結(jié)論:序號操作現(xiàn)象結(jié)論1用鼠標(biāo)拖動（或雙擊動畫 按鈕）不斷地改變點 P位 置。PA和PB總是相等嗎？ PAB是三角形。2/ PAB和/ PBA總是相等嗎？等腰三角形的兩底角3/ PCB總是等于90度嗎？PC是等腰三角底邊上 的4AC和CB的長總是相等 嗎？PC是等腰三角形底邊 上的.5/ APC和/ BPC總是相 等嗎？PC是等腰三角形頂角 的.結(jié)論等腰三角形的兩底角，底邊上的高、底邊上的中線、頂角平分線三線也可以拖動使/ APB=60 0,再觀察邊角

36、的變化。如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例六練習(xí)1供參考。2、學(xué)畫一個菱形，接第1題，先畫出如圖1-6.10的圖形，由于點 P在線段AB的垂直平分線上，所以PA=PB。D圖 1-6.10（1）選擇線段AB，由“變換”“標(biāo)記鏡面”，標(biāo)記AB為鏡面，線段上出現(xiàn)閃爍后消失的兩個方框。說明：標(biāo)記鏡面后，一個對象如果關(guān)于這個鏡面反射，這時就好象人照鏡子一樣，人離鏡面近，人 像離鏡面也近，用數(shù)學(xué)的說法，鏡面就是對稱軸，反射可以得到對稱點或?qū)ΨQ圖形。技巧：標(biāo)記鏡面的另兩種方法：（1 ）直接雙擊直線（線段、射線）；（2 ）選取直線（線段、射線）后用快捷鍵Ctrl+G.（2

37、）同時選取點 P、線段PA、PC、PB；（3）由“變 換” “反射”，得到如圖1-6.11。（4）用“文本”工具改各點標(biāo)簽為你想要的，例如得圖 1-6.12。說明：在幾何畫板中，畫特殊四邊形的方法不只一種， 但不管用哪種方法，都要符合圖形的幾何關(guān)系，也就是當(dāng)改變大小了位置時，矩形仍是矩形，菱形仍是菱形。DD圖 1-6.11圖 1-6.12如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例六練習(xí)2供參考。案例七抽水房的位置在一條河的同一旁有兩個村莊A和B，現(xiàn)在要在河邊建一個抽水房，應(yīng)該建在什么位置,才能使所用的水管的錢最少 ？圖 1-7.325圖 1-7.1思路：用錢最少,

38、使AC+BC最小。C，般要求所用的水管最短，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題，即是在表示河流的直線上找一個點方案：作點A關(guān)于河流的對稱點 A連A 交河流于C,計算AC+CB ;在河流上另取一點 D，計算AD+DB，通過拖動點 D在直線上移動，驗證 AC+CB最小，從而說明 C為最佳點。 用幾何畫板驗證：第一步：（1）畫出表示村莊的點 A、B ； （ 2）畫一條直&B線表示河流，隱藏直線上的兩個點，設(shè)置直線的標(biāo)簽為“河流”，如圖1-7.2。A弋河流圖 1-7.2說明：標(biāo)簽可以用中文表示， 這種技巧常用來標(biāo)注點或 線等對象的功能，例如：給某一點標(biāo)上“拖動我改變圖 形”。第二步：（1）選取表示河流的直線; 失的兩個方

39、框。（2）由菜單“變換”標(biāo)記鏡面”，直線上出現(xiàn)閃爍后消第三步：（1）選取點A，由菜單“變換”“反射”，.B得點A關(guān)于直線（河流）的對稱點；（2）用文本工具A標(biāo)出標(biāo)簽，默認(rèn)的是字母 A得到如圖1-7.3河流A第四步：（1 ）用“畫線段”工具連結(jié) A ; （2）用“選 擇”工具在線段和河流相交處單擊，作出線段和河流的交點，標(biāo)出交點的標(biāo)簽 C,如圖1-7.4。R圖 1-7.4第五步：（1）用“畫點” 為D ；（ 2）用“畫線段” 如圖1-7.5。圖 1-7.5第六步：（1）同時選取點A、點C；（ 2） 由菜單“度量 “距離”，量出AC ；（ 3） 用同樣的方法量出 A 、CB、AD、A 、DB，如圖

40、 1-7.6。說明：量出點 A、C的距離，由數(shù)學(xué)定義 可知，這就是線段的長；量線段的長還可 以直接選取線段 AC，（不要選取點A、C）,“度量” “長度”，但這樣的方法無法直 接量出圖1-7.6中CB的長，還要進(jìn)一步 作圖。AD =0.89 c m AD=0.89 c mm第七步：（1）調(diào)出計算器；（2 ）依次點擊AC=“CB=”、“確定”，可 以計算出AC+CB的值；（3 ）同樣去計算A C+CB、 AD+DB 、A D+DB ,拖動到適當(dāng)位 置得到如圖1-7.8。AC = 0.45 c m AC = 0.45 c mCB =0.92 c mDB = 0.63 cA圖 1-7.6AD =0.

41、89 c m AD = 0.89 cAD + DB =.52 c mAC + CB = 1.37 c mAD + D B =.52 c mAC + CB =.37 c mAC = 0.45 c m AC = 0.45 c mDB = 0.63 c m圖 1-7.839歸納結(jié)論:（一）序號操作現(xiàn)象D點是否是最佳點1觀察AC+CB=AD+DB=2拖動點D遠(yuǎn)離點C,上面的兩個和差距 變（大或?。?拖動點D靠近點C，上面的兩個和差距 變（大或小）4拖動點D與點C重合，上面的兩個和結(jié)論以上現(xiàn)象說明，只有取點處，才能使所用的水管最短，（二）序號操作現(xiàn)象有無相等的關(guān)系1觀察AC+CB= A C+CB= AD

42、+DB= A D+DB=2拖動點D遠(yuǎn)離點C，AC+CB= A C+CB= AD+DB= A D+DB=3拖動點D靠近點C，AC+CB= A C+CB= AD+DB= A D+DB=4拖動點D與點C重合，AC+CB= A C+CB= AD+DB= A D+DB=結(jié)論以上現(xiàn)象說明，研究 AC+CB、AD+DB的關(guān)系，可以轉(zhuǎn)為研究 A +CB和 A+DB的關(guān)系，而這個關(guān)系可以簡單地用三角形的兩邊之和第三邊來說明。如有問題，請到http:/wq.sdedu. net幾何畫板分版，下載案例七供參考。練習(xí)：畫一條直線，在直線的一旁畫一個三角形，標(biāo)記直線為“鏡面”（即對稱軸），選取三角形的全部（包括頂點和邊

43、），“反射”出它關(guān)于直線對稱的圖形，1、 用鼠標(biāo)拖動改變?nèi)切蔚男螤?，體會“對稱的圖形是全等形”，2、 連結(jié)對稱點，通過過量角和量線段，體會“對稱點的連線被對稱軸垂直平分”。如有問題，請到http:/wq.sdedu. net幾何畫板分版，下載案例七練習(xí)供參考。案例八選擇廠址如圖，河南區(qū)新建一個工廠， 在公路西側(cè)，到公路的距 離與到河岸的距離相等，并且與河上公路橋的距離為300米，在圖上標(biāo)出工廠的位置，并說明理由。比例尺 是 1: 20000圖 1-8.1思路：這里可以把橋看作是一個角的頂點，河岸和公路分別是角的兩邊，問題轉(zhuǎn)化為:在角平分線上找一點，使它到頂點的距離是 300米。 方案：(1

44、)畫出角的平分線，以頂點為圓心； 求。用幾何畫板驗證：第一步：新建一個幾何畫板文件。第二步：選“畫射線”工具，畫一個角，如圖(2) 1.5cm為半徑畫圓，定義圓與角平分線的交點即為所1-8.2。A第三步：(1)用“選擇”工具依次選取點B、A、C;(2 )由菜單“作圖”“角平分線”，畫出了/ BAC的平分線，如圖1-8.3。第四步：用“畫點工具”在角平分線上畫一個點，標(biāo)出 標(biāo)簽。得到如圖1-8.4。A第五步：（1 ）用“選擇”工具同時選取點 D和射線AB ；（2）由“作圖”“垂線”，畫出過點 D垂直于射線AB的直線；（3）用“選擇”工具單擊垂足處，定義表 示垂足的點，并用“文本” 工具標(biāo)上標(biāo)簽；

45、（4）選取畫 好的垂線，把它隱藏，并用“畫線段”工具畫出垂線段DE，用同樣的方法畫出垂線段 DF，得到如圖1-8.5A第六步：（1）選取點D和射線AD，（ 2）由“編輯”“操作類按鈕”“動畫”，在彈出的對話框中設(shè)置點D在射線AD上雙向慢速運(yùn)動。得到如圖1-8.6。ZAE D =90.00?第七步：度量出/ AED、/ AFD，線段 DE、DF，最 后的結(jié)果如圖1-8.7。操作驗證：雙擊“動畫”按鈕或用鼠標(biāo)拖動點 D移動， 可以發(fā)現(xiàn) DE、DF總是分別垂直于角的兩邊，并且 DE=DF這說明了我們要找的點可以定位于角平分線 上。第八步：在工作區(qū)中畫一條線段GH量出距離，通過調(diào)整G H的位置，使 G

46、H=1.5cm。如圖1-8.8 說明：取GH=1.5cm是因為比例尺是 1 : 20000。ZAFD =90.00?DF = 1 .27 c mDE =1 .27 c m圖 1-8.7GH =1 .50 c mG ：7 H第九步：（1）同時選取點 A和線段GH （不要選點 G 和H ）; （2）由“作圖”“以圓心和半徑畫圓”，得到一個以點A為圓心，半徑是1.5cm的圓；（3）用“選 擇”工具單擊圓與角平分線的相交處， 定義出的交點I 即為所求。如圖1-8.9第十步：（1）選取圓把它隱藏；（2）度量AI ； （3）選取點I和射線AB，由“度量” “距 離”，可以量出點I到射線的距離，同理量出 點

47、到角的另一邊的距離，如圖1-8.10由圖可知，點I為所求的點。說明：本例是為了幫助學(xué)習(xí)角平分線的有關(guān)作圖，復(fù)習(xí)角平分線的性質(zhì)，所以設(shè)計了較多的 步驟，如果只是為了解決問題本身，可以在畫好角平分線后轉(zhuǎn)入第八步，可以快速確定出點AI = 1.50 cmGH = 1.50 cm距離（I 至到AB） = 0.98 cmGH 距離（I 至ijAC） = 0.98 cm如有問題，請到http:/wq.sdedu. net幾何畫板分版，下載案例八供參考。練習(xí):1、如圖1-8.11是兩個互為鄰補(bǔ)角的角，分別畫出它們的角平分線，驗證所畫角平分線的關(guān)系。圖 1-8.11如有問題，請到http:/wq.sdedu.

48、net幾何畫板分版，下載案例八練習(xí)1供參考。2、驗證平行線的性質(zhì)第一步：（1）畫一條直線；（2）在直線外畫一點。如圖C1-8.12。QBOA圖 1-8.12第二步：(1)選取點C和直線AB ; (2)由“作圖” “平行線”，得如圖1-8.130C-AB圖 1-8.13第三步：畫第三條直線和這兩條平行線相交,如圖1-8.14請自己度量同位角、內(nèi)錯角，同旁內(nèi)角，計算同旁內(nèi)角的和，拖動點改變圖形，驗證平行線的性質(zhì)。如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例八練習(xí)2供參考。圖 1-9.4案例九古建筑的窗格在古建筑中，?？梢钥吹竭@樣的窗格，如圖1-9.1，這其中有什么數(shù)學(xué)知

49、識呢？思路：夕卜圈是一個矩形，相當(dāng)于連結(jié)矩形四邊的中點，得到一個四邊形，再連結(jié)它的四邊的中點。方案：（1）先畫一個平行四邊形，順次連結(jié)四邊中點，再順次連結(jié)所得四邊形四邊中點，度量三個四邊 形的四邊和一個內(nèi)角，此步可以用來說明“順次連結(jié)平行四邊形四邊中點得到什么樣的圖形”；（2） 通過拖動點的位置，使最大的四邊形的一個內(nèi)角的度數(shù)為90。，這時可以觀察里面的兩個四邊形, 此步可以說明：“順次連結(jié)矩形四邊中點得到什么樣的圖形” 、“順次連結(jié)菱形四邊中點得到什么樣的圖 形”；（3） 繼續(xù)拖動點的位置，保持最大四邊形的內(nèi)角是900的前提下，使它的鄰邊相等，這時最大的四邊形是正方形，此步可以說明：“順次連

50、結(jié)正方形四邊中點得到什么樣的圖形”。用幾何畫板驗證：第一步：畫一個平行四邊形，（1） 先畫好線段AB、BC ；（2） 分別過點C作線段AB的平行線，過點A作線 段BC的平行線；（3）用“選擇”工具定義得交點D，如圖1-9.2。第二步：（1 ）隱藏直線AD、DC ；（ 2 ）連結(jié)線段AD、DC,得如圖1-9.3。注意：隱藏直線時不要誤選點A、D、C，這三點不能隱藏。第三步：（1）選取平行四邊形的四邊，由“作圖”“中點”，畫出四邊中點，用線段順次連結(jié)；（2）再選取所連四條線段， 同樣定義中點，順次連結(jié)， 如圖1-9.4。第四步：(1)同時選點A、B, 由“度量”“距離”，量出AB的長，用同樣的方法

51、量出 每個四邊形的四條邊；LI = 1.23 cm ij = 1.02 cmKJ = 1.23 cm LK = 1.02 cm/KLI = 64.91?AB = 2.46 cm BC = 2.04 cmHE = 1.22 cmEF = 1.90 cmDC = 2.46 cm AD = 2.04 cmGF = 1.22 cmHG = 1.90 cm/DAB = 64.91?圖 1-9.5ZHEF = 101.76?(2)按住Shift，依次選點 D、 A、B,量出/ DAB，同樣量 / HEF、/ KLI ;得如圖 1-9.5。(2)拖動點A成圖1-9.7位置,3)拖動點A成圖1-9.8位置, 以上操作說明：四條線段首尾相接圖 1-9.6CECEBC如有問題，請到幾何畫板分版，下載案例八練習(xí)2、更深入的探究：順次連結(jié)什么樣的