2005-2013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題與答案

1、2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題一選擇題 (本題滿分36分, 每小題6分)1. 函數(shù) 的圖像按向量 平移后, 得到的圖像的解析式為. 那么 的解析式為( )a. b. c. d. 2. 如果二次方程 的正根小于3, 那么這樣的二次方程有( ) a. 5個(gè) b. 6個(gè) c. 7個(gè) d. 8個(gè)3. 設(shè) , 那么 的最小值是( )a. 2 b. 3 c. 4 d. 54. 設(shè)四棱錐 的底面不是平行四邊形, 用平面 去截此四棱錐, 使得截面四邊形是平行四邊形, 則這樣的平面 ( ) a. 不存在 b. 只有1個(gè) c. 恰有4個(gè) d. 有無數(shù)多個(gè)5. 設(shè)數(shù)列 : , n*, 則 被 64 除的

2、余數(shù)為( )a. 0 b. 2 c. 16 d. 486. 一條走廊寬 2 m, 長(zhǎng) 8 m, 用 6 種顏色的 11 m的整塊地磚來鋪設(shè)(每塊地磚都是單色的, 每種顏色的地磚都足夠多), 要求相鄰的兩塊地磚顏色不同, 那么所有的不同拼色方法有( )a. 個(gè) b. 個(gè) c. 個(gè) d. 個(gè)二填空題 (本題滿分36分, 每小題6分)7. 設(shè)向量 繞點(diǎn) 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得向量 , 且 , 則向量 _8. 設(shè)無窮數(shù)列 的各項(xiàng)都是正數(shù), 是它的前 項(xiàng)之和, 對(duì)于任意正整數(shù) , 與 2 的等差中項(xiàng)等于 與 2 的等比中項(xiàng), 則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為_9. 函數(shù) r) 的最小值是 _10. 在長(zhǎng)方體 中, , 點(diǎn)

3、、分別是棱 、 與 的中點(diǎn), 那么四面體 的體積是 _11. 由三個(gè)數(shù)字 、 組成的 位數(shù)中, 、 都至少出現(xiàn) 次, 這樣的 位數(shù)共有 _12. 已知平面上兩個(gè)點(diǎn)集 r, r. 若 , 則 的取值范圍是_三解答題 (第一題、第二題各15分；第三題、第四題各24分)13. 已知點(diǎn) 是 的中線 上的一點(diǎn), 直線 交邊 于點(diǎn), 且 是 的外接圓的切線, 設(shè) , 試求 (用 表示) 14. 求所有使得下列命題成立的正整數(shù) : 對(duì)于任意實(shí)數(shù) , 當(dāng) 時(shí), 總有 ( 其中 ) 15. 設(shè)橢圓的方程為 , 線段 是過左焦點(diǎn) 且不與 軸垂直的焦點(diǎn)弦 若在左準(zhǔn)線上存在點(diǎn) , 使 為正三角形, 求橢圓的離心率 的

4、取值范圍, 并用 表示直線 的斜率 16. (1) 若 n*) 個(gè)棱長(zhǎng)為正整數(shù)的正方體的體積之和等于 2005, 求 的最小值, 并說明理由(2) 若 n*) 個(gè)棱長(zhǎng)為正整數(shù)的正方體的體積之和等于 2002, 求 的最小值, 并說明理由2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試卷一、選擇題(本題滿分36分，每小題6分) 本題共有6小題，每題均給出a、b、c、d四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)是正確的請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題的括號(hào)內(nèi)，每小題選對(duì)得6分；不選、選錯(cuò)或選出的字母超過一個(gè)（不論是否寫在括號(hào)內(nèi)），一律得0分1已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an，則an的最大項(xiàng)是 （ ） aa1 ba2 ca3 da4

5、2函數(shù)y3的圖象是 （ ）xoyxoyxoyxoya b c d3已知拋物線y22px，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，f是焦點(diǎn)，p是拋物線上的點(diǎn)，使得pof是直角三角形，則這樣的p點(diǎn)共有 （ ） a0個(gè) b2個(gè) c4個(gè) d6個(gè)4設(shè)f(x)是定義在r上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，若x1x20，x2x30，x3x10，則（ ）af(x1)f(x2)f(x3)0 bf(x1)f(x2)f(x3)0cf(x1)f(x2)f(x3)0 df(x1)f(x2)f(x3)5過空間一定點(diǎn)p的直線中，與長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1的12條棱所在直線所成等角的直線共有 （ ） a0條 b1條 c4條 d無數(shù)多條6在abc中，tana，c

6、osb若的最長(zhǎng)邊為1，則最短邊的長(zhǎng)為 （ ） a b c d二、填空題（本題滿分54分，每小題9分） 本小題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上7集合ax|x3n，nn，0n10，by|y5m，mn，0n6則集合ab的所有元素之和為_8設(shè)cos2，則cos4sin4的值是_9(x3x2)3的展開式中，x5的系數(shù)為_10已知?jiǎng)tx2y2的最大值是_11等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=2020，公比q，設(shè)f(n)表示這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)的積，則當(dāng)n_時(shí)，f(n)有最大值12長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，已知ab14，ad13，則對(duì)角線ac1的取值范圍是_三、解答題（本題滿分60分，第13題，第14題各12

7、分，第15題16分，第16題20分）13設(shè)集合ax|log(3x)2，bx|1，若ab，求實(shí)數(shù)a的取值范圍14橢圓1的有焦點(diǎn)為f，p1，p2，p24為24個(gè)依逆時(shí)針順序排列在橢圓上的點(diǎn)，其中p1是橢圓的右頂點(diǎn)，并且p1fp2p2fp3p3fp4p24fp1，若這24個(gè)點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離的倒數(shù)和為s，求s的值abcde15abc中，abac，ad、ae分別是bc邊上的高和中線，且badeac證明是直角16設(shè)p是質(zhì)數(shù)，且p271的不同正因數(shù)的個(gè)數(shù)不超過10個(gè)，求p2007年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試卷一、選擇題（本題滿分36分，每小題6分）1. 已知函數(shù)，則 答： （a）有最小正周期 （b）有最

8、小正周期（c）有最小正周期 （d）無最小周期2. 關(guān)于的不等式任意兩個(gè)解的差不超過，則的最大值與最小值的和是 答： （a） （b） （c） （d） 3. 已知向量a、b，設(shè)ab，ab，ab，則一定共線的 三點(diǎn)是 答： （a） 、 （b） 、（c） 、 （d） 、4. 設(shè)、為平面，、為直線，則的一個(gè)充分條件是 答： （a）， （b），（c）， （d），5. 若、，其中，并且，則實(shí)數(shù)對(duì)表示平面上不同點(diǎn)的個(gè)數(shù)為 答： （a）個(gè) （b）個(gè) （c）個(gè) （d）個(gè) 6. 已知（r），且 則a的值有 答： （a）個(gè) （b）個(gè) （c）個(gè) （d）無數(shù)個(gè)二、填空題（本題滿分54分，每小題9分）7. 設(shè)為等差數(shù)列的前

9、項(xiàng)和，若，則公差為 .8. 設(shè)且的圖象經(jīng)過點(diǎn)，它的反函數(shù)的圖象經(jīng)過點(diǎn)，則等于 . 9. 已知函數(shù)的圖象如圖，則滿足的的取值范圍為 . 10. 圓錐曲線的離心率是 .11. 在中，已知，則的面積為12. 設(shè)命題:，命題: 對(duì)任何r，都有. 命題與中有且僅有一個(gè)成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是 .三、解答題（本題滿分60分，共4小題，每題各15分）13. 設(shè)不等式組 表示的平面區(qū)域?yàn)? 區(qū)域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)到直線和直線的距離之積為. 記點(diǎn)的軌跡為曲線. 過點(diǎn)的直線與曲線交于、兩點(diǎn). 若以線段為直徑的圓與軸相切，求直線的斜率. 14. 如圖，斜三棱柱中，面是菱形，側(cè)面b1ba1c1ac，. 求證：（1）；（2）求點(diǎn)

10、到平面的距離. 15. 已知數(shù)列中，. 求.16. 已知平面上個(gè)圓，任意兩個(gè)都相交. 是否存在直線，與每個(gè)圓都有公共點(diǎn)？證明你的結(jié)論.2008年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題（時(shí)間：2008年4月20日上午8：0010：00）一、選擇題（本題滿分30分，每小題6分）1. 如果實(shí)數(shù)m，n，x，y滿足，其中a，b為常數(shù)，那么mx+ny 的最大值為 a. b. c. d. 120.512. 設(shè)為指數(shù)函數(shù). 在p(1,1)，q(1,2)，m(2,3)，四點(diǎn)中，函數(shù)與其反函數(shù)的圖像的公共點(diǎn)只可能是點(diǎn) a. p b. q c. m d. n3. 在如圖的表格中，如果每格填上一個(gè)數(shù)后，每一橫行成等差數(shù)列，

11、每一縱列成等比 數(shù)列，那么的值為 答： a. 1 b. 2 c. 3 d. 44. 如果的三個(gè)內(nèi)角的余弦值分別是的三個(gè)內(nèi)角的正弦值，那么 a. 與都是銳角三角形b. 是銳角三角形，是鈍角三角形c. 是鈍角三角形，是銳角三角形d. 與都是鈍角三角形5. 設(shè)a，b是夾角為30的異面直線，則滿足條件“，且”的平面， a. 不存在 b. 有且只有一對(duì) c. 有且只有兩對(duì) d. 有無數(shù)對(duì)二、填空題（本題滿分50分，每小題10分）6. 設(shè)集合，其中符號(hào)表示不大于x的最大整數(shù)，則_. 7. 同時(shí)投擲三顆骰子，于少有一顆骰子擲出6點(diǎn)的概率是_(結(jié)果要求寫成既約分?jǐn)?shù)）.8. 已知點(diǎn)o在內(nèi)部，.的面積之比為_.9

12、. 與圓外切，且與y軸相切的動(dòng)圓圓心的軌跡方程為_.10. 在中，若tanatanb=tanatanc+tanctanb，則 =_. 三、解答題（本題滿分70分，各小題分別為15分、15分、20分、20分）11. 已知函數(shù)在時(shí)有最大值1，并且時(shí)，的取值范圍為. 試求m，n的值.12. a、b為雙曲線上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足。 （）求證：為定值； （）動(dòng)點(diǎn)p在線段ab上，滿足，求證：點(diǎn)p在定圓上.13. 如圖，平面m、n相交于直線l. a、d為l上兩點(diǎn)，射線db在平面m內(nèi)，射線dc在平面n內(nèi). 已知，且， 都是銳角. 求二面角的平面角的余弦值（用，的三角函數(shù)值表示）.14. 能否將下列數(shù)組中的數(shù)填入3

13、3的方格表，每個(gè)小方格中填一個(gè)數(shù)，使得每行、每列、兩條對(duì)角線上的3個(gè)數(shù)的乘積都相等？若能，請(qǐng)給出一種填法；若不能，請(qǐng)給予證明. （）2,4,6,8,12,18,24,36,48；（）2,4,6,8,12,18,24,36,72.2009年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽(2009年5月3日8001000)一、填空題(每小題7分，共70分) 1已知sincos1，則cos() 2已知等差數(shù)列an的前11項(xiàng)的和為55，去掉一項(xiàng)ak后，余下10項(xiàng)的算術(shù)平均值為4若a15，則k 3設(shè)一個(gè)橢圓的焦距、短軸長(zhǎng)、長(zhǎng)軸長(zhǎng)成等比數(shù)列，則此橢圓的離心率e 4已知，則實(shí)數(shù)x 5如圖，在四面體abcd中，p、q分別為棱b

14、c與cd上的點(diǎn)，且bp2pc，cq2qdr為棱ad的中點(diǎn)，則點(diǎn)a、b到平面pqr的距離的比值為 6設(shè)f(x)log3x，則滿足f(x)0的x的取值范圍是 7右圖是某種凈水水箱結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)草圖，其中凈水器是一個(gè)寬10cm、體積為3000cm3的長(zhǎng)方體，長(zhǎng)和高未定凈水水箱的長(zhǎng)、寬、高比凈水器的長(zhǎng)、寬、高分別長(zhǎng)20cm、20cm、60cm若不計(jì)凈水器中的存水，則凈水水箱中最少可以存水 cm38設(shè)點(diǎn)o是abc的外心，ab13，ac12，則 9設(shè)數(shù)列an滿足：an1an2an12(n1，2，)，a2009，則此數(shù)列的前2009項(xiàng)的和為 10設(shè)a是整數(shù)，0b1若a22b(ab)，則b 二、解答題(本大題共4

15、小題，每小題20分，共80分) 11在直角坐標(biāo)系xoy中，直線x2y40與橢圓1交于a，b兩點(diǎn)，f是橢圓的左焦點(diǎn)求以o，f，a，b為頂點(diǎn)的四邊形的面積12如圖，設(shè)d、e是abc的邊ab上的兩點(diǎn)，已知acdbce，ac14，ad7，ab28，ce12求bc13若不等式k對(duì)于任意正實(shí)數(shù)x，y成立，求k的取值范圍14 寫出三個(gè)不同的自然數(shù)，使得其中任意兩個(gè)數(shù)的乘積與10的和都是完全平方數(shù)，請(qǐng)予以驗(yàn)證； 是否存在四個(gè)不同的自然數(shù)，使得其中任意兩個(gè)數(shù)的乘積與10的和都是完全平方數(shù)？請(qǐng)證明你的結(jié)論2010年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題一、填空題（本題滿分70分，每小題7分）1方程的實(shí)數(shù)解為 2函數(shù)r的

16、單調(diào)減區(qū)間是 .3在中，已知，則 .4函數(shù)在區(qū)間上的最大值是 ，最小值是 5在直角坐標(biāo)系中，已知圓心在原點(diǎn)、半徑為的圓與的邊有公共點(diǎn)，其中、，則的取值范圍為 （第7題）6設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)閞，若與都是關(guān)于的奇函數(shù)，則函數(shù)在區(qū)間上至少有 個(gè)零點(diǎn). 7從正方體的條棱和條面對(duì)角線中選出條，使得其中任意兩條線段所在的直線都是異面直線，則的最大值為 8圓環(huán)形手鐲上等距地鑲嵌著顆小珍珠，每顆珍珠鍍金、銀兩色中的一種其中鍍金銀的概率是 9在三棱錐中，已知， ，且已知棱的長(zhǎng)為，則此棱錐的體積為 10設(shè)復(fù)數(shù)列滿足，且若對(duì)任意n* 都有，則的值是 二、解答題（本題滿分80分，每小題20分）11直角坐標(biāo)系中，設(shè)、是橢

17、圓上的三點(diǎn)若，證明：線段的中點(diǎn)在橢圓上12已知整數(shù)列滿足，前項(xiàng)依次成等差數(shù)列，從第項(xiàng)起依次成等比數(shù)列 (1) 求數(shù)列的通項(xiàng)公式； (2) 求出所有的正整數(shù)，使得abcdefhg13如圖，圓內(nèi)接五邊形中，是外接圓的直徑，垂足. 過點(diǎn)作平行于的直線，與直線、分別交于點(diǎn)、 證明： (1) 點(diǎn)、共圓； (2) 四邊形是矩形14求所有正整數(shù)，使得與都是完全平方數(shù)2011年高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)試題1、 填空題（本題共10小題，每小題7分，要求將答案直接寫在橫線上）1 復(fù)數(shù) 2已知直線是圓的一條對(duì)稱軸，則實(shí)數(shù) .2 3某班共有30名學(xué)生，若隨機(jī)抽查兩位學(xué)生的作業(yè)，則班長(zhǎng)或團(tuán)支書的作業(yè)被抽中的概率是 （結(jié)果用

18、最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示） 34已知，則 5 已知向量a，b滿足，則以向量與表示的有向線段為鄰邊的平行四邊形的面積為 6設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn若sn是首項(xiàng)及公比都為2的等比數(shù)列，則數(shù)列an3的前n項(xiàng)和等于 7設(shè)函數(shù)若f(a)f(b)，且0ab，則ab的取值范圍是 8設(shè)f (m)為數(shù)列an中小于m的項(xiàng)的個(gè)數(shù)，其中，則 .9 一個(gè)等腰直角三角形的頂點(diǎn)分別在底邊長(zhǎng)為4的正三棱柱的三條側(cè)棱上，則此直角三角形的斜邊長(zhǎng)是 10已知m是正整數(shù)，且方程有整數(shù)解，則m所有可能的值是 2、 解答題（本大題共4小題，每小題20分，共80分）11已知圓與拋物線有公共點(diǎn)，求實(shí)數(shù)h的取值范圍12設(shè)若時(shí)，且在區(qū)間上的最大值為1，求

19、的最大值和最小值13如圖，p是內(nèi)一點(diǎn)（1）若p是的內(nèi)心，證明：；（2）若且，證明：p是的內(nèi)心abcp證明：（1）14已知是實(shí)數(shù)，且存在正整數(shù)n0，使得為正有理數(shù)證明：存在無窮多個(gè)正整數(shù)n，使得為有理數(shù)www.zxsx.c2012高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試卷一、填空題（70分）1、當(dāng)時(shí)，函數(shù)的最大值為_.2、在中，已知?jiǎng)t_.3、從集合中隨機(jī)選取3個(gè)不同的數(shù)，這3個(gè)數(shù)可以構(gòu)成等差數(shù)列的概率為_.4、已知是實(shí)數(shù)，方程的一個(gè)實(shí)根是（是虛部單位），則的值為_.5、在平面直角坐標(biāo)系中，雙曲線的右焦點(diǎn)為，一條過原點(diǎn)且傾斜角為銳角的直線與雙曲線交于兩點(diǎn).若的面積為，則直線的斜率為_.6、已知是正實(shí)數(shù)，的取值范

20、圍是_.7、在四面體中，,該四面體的體積為_.8、已知等差數(shù)列和等比數(shù)列滿足：則_.（）9、將這個(gè)數(shù)排成一列，使任意連續(xù)個(gè)數(shù)的和為的倍數(shù)，則這樣的排列有_種.10、三角形的周長(zhǎng)為，三邊均為整數(shù)，且，則滿足條件的三元數(shù)組的個(gè)數(shù)為_.二、解答題（本題80分，每題20分）11、在中，角對(duì)應(yīng)的邊分別為，證明：（1）（2）12、已知為實(shí)數(shù)，函數(shù).若.（1）求實(shí)數(shù)；（2）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（3）若實(shí)數(shù)滿足，求證：13、如圖，半徑為的圓上有一定點(diǎn)為圓上的動(dòng)點(diǎn).在射線上有一動(dòng)點(diǎn),.線段交圓于另一點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).求線段長(zhǎng)的取值范圍.14、設(shè)是正整數(shù)，是方程的兩個(gè)根.證明：存在邊長(zhǎng)是整數(shù)且面積為的直角三角形.2

21、013年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題（5月5日8:00至10:00）一填空題：本大題共10小題，每小題7分，共70分1設(shè)方程的根大于，且小于，則實(shí)數(shù)的范圍是 2從6雙不同號(hào)碼的鞋中取出4只，至少配成一雙的概率為 3設(shè)實(shí)數(shù)，滿足，則的最大值與最小值之差是 4若存在正實(shí)數(shù)，滿足（是虛數(shù)單位，），則的最小值是 5若三角形的三邊，成等差數(shù)列，則的取值范圍是 6若數(shù)列滿足，（），則滿足條件的的所有可能值之積是 7已知，則 8設(shè)，且滿足，則的最大值為 9已知正四面體的棱長(zhǎng)為9，點(diǎn)是面上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，滿足到面、的距離成等差數(shù)列，則到面距離的最大值是 10將小王和小孫現(xiàn)在的年齡按從左到右的順序排列得到一個(gè)四

22、位數(shù)，這個(gè)四位數(shù)為完全平方數(shù)，再過31年，將他們倆的年齡以同樣方式排列又得到一個(gè)四位數(shù)，這個(gè)數(shù)仍為完全平方數(shù)，小王現(xiàn)在的年齡是 二解答題：本大題共4小題，每小題20分，共80分11設(shè)為實(shí)數(shù)，橢圓與橢圓交于點(diǎn)和，的左頂點(diǎn)為，的右頂點(diǎn)為（如圖），若四邊形是正方形，求實(shí)數(shù)12如圖，梯形中，、關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱的點(diǎn)分別是、，、關(guān)于對(duì)角線對(duì)稱的點(diǎn)分別是、證明：四邊形是梯形13設(shè)實(shí)數(shù)，滿足證明：14正100邊形的每個(gè)頂點(diǎn)染紅、黃、藍(lán)三色之一證明：必存在四個(gè)同色點(diǎn)，恰為某等腰梯形的頂點(diǎn)2005年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試題參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)說明：1. 評(píng)閱試卷時(shí), 請(qǐng)依據(jù)本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn) 選擇題、填空題只設(shè)6分和

23、0分兩檔 其他各題的評(píng)閱, 請(qǐng)嚴(yán)格按照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的評(píng)分檔次給分, 不要再增加其他中間檔次2. 如果考生的解答方法和本解答不同, 只要思路合理, 步驟正確, 在評(píng)卷時(shí)可參照本評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)適當(dāng)劃分評(píng)分檔次, 3分為一個(gè)檔次, 不要再增加其他中間檔次 一選擇題 (本題滿分36分, 每小題6分)1. 函數(shù) 的圖像按向量 平移后, 得到的圖像的解析式為. 那么 的解析式為a. b. c. d. 答: b 解： , 即 . 故選 b2. 如果二次方程 n*) 的正根小于3, 那么這樣的二次方程有 a. 5個(gè) b. 6個(gè) c. 7個(gè) d. 8個(gè)答: c 解：由 , 知方程的根為一正一負(fù)設(shè) ，則 , 即 由于

24、 n*， 所以 或 . 于是共有7組 符合題意 故選 c 3. 設(shè) , 那么 的最小值是a. 2 b. 3 c. 4 d. 5答: c 解：由 , 可知,所以， . 故選 c4. 設(shè)四棱錐 的底面不是平行四邊形, 用平面 去截此四棱錐, 使得截面四邊形是平行四邊形, 則這樣的平面 a. 不存在 b. 只有1個(gè) c. 恰有4個(gè) d. 有無數(shù)多個(gè)答: d 解：設(shè)四棱錐的兩組不相鄰的側(cè)面的交線為 、, 直線 、 確定了一個(gè)平面 作與 平行的平面 , 與四棱錐的各個(gè)側(cè)面相截，則截得的四邊形必為平行四邊形 而這樣的平面 有無數(shù)多個(gè)故選 d5. 設(shè)數(shù)列 : , n*, 則 被 64 除的余數(shù)為a. 0 b

25、. 2 c. 16 d. 48答: c 解：數(shù)列 為：2,16,130,1072,8962,75856,649090,，被 64 除的余數(shù)為 2,16, 2,48,2,16,2,48,四項(xiàng)一個(gè)循環(huán)， 又 2005 被 4 除余 1, 故選 c6. 一條走廊寬 2 m, 長(zhǎng) 8 m, 用 6 種顏色的 11 m的整塊地磚來鋪設(shè)(每塊地磚都是單色的, 每種顏色的地磚都足夠多), 要求相鄰的兩塊地磚顏色不同, 那么所有的不同拼色方法有a. 個(gè) b. 個(gè) c. 個(gè) d. 個(gè)答: d 解：鋪第一列(兩塊地磚)有 30 種方法；其次鋪第二列設(shè)第一列的兩格鋪了 、ab兩色(如圖)，那么，第二列的上格不能鋪

26、色 若鋪 色，則有 6-1=5 種鋪法；若不鋪 色，則有 =16種方法 于是第二列上共有 5+16=21 種鋪法 同理， 若前一列鋪好，則其后一列都有 21 種鋪法因此，共有 種鋪法 故選 d二填空題 (本題滿分36分, 每小題6分)7. 設(shè)向量 繞點(diǎn) 逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 得向量 , 且 , 則向量 _ 解：設(shè) , 則 , 所以 即 解得 因此 故填 8. 設(shè)無窮數(shù)列 的各項(xiàng)都是正數(shù), 是它的前 項(xiàng)之和, 對(duì)于任意正整數(shù) , 與 2 的等差中項(xiàng)等于 與 2 的等比中項(xiàng), 則該數(shù)列的通項(xiàng)公式為_ 解：由題意知 ， 即 由 得 , 從而 又由 式得 , 于是有 ,整理得 . 因 , 故 所以數(shù)列 是以2為

27、首項(xiàng)、4為公差的等差數(shù)列，其通項(xiàng)公式為 ，即 . 故填 n*)9. 函數(shù) r) 的最小值是 _ 解：令 ，則 當(dāng) 時(shí)， ，得 ；當(dāng) 時(shí)， ，得 又 可取到 , 故填 10. 在長(zhǎng)方體 中, , 點(diǎn) 、分別是棱 、 與 的中點(diǎn), 那么四面體 的體積是 _解：在 的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn) ，使 易證，平面 故 而 ，g到平面 的距離為 故填 11. 由三個(gè)數(shù)字 、 組成的 位數(shù)中, 、 都至少出現(xiàn) 次, 這樣的 位數(shù)共有 _解：在 5 位數(shù)中, 若 1 只出現(xiàn) 1 次，有 個(gè)；若 1 只出現(xiàn) 2 次，有 個(gè)； 若 1 只出現(xiàn) 3 次，有 個(gè)則這樣的五位數(shù)共有 150 個(gè).故填 150個(gè)12. 已知平面上兩

28、個(gè)點(diǎn)集 r, r. 若 , 則 的取值范圍是_解：由題意知 是以原點(diǎn)為焦點(diǎn)、直線 為準(zhǔn)線的拋物線上及其凹口內(nèi)側(cè)的點(diǎn)集， 是以 為中心的正方形及其內(nèi)部的點(diǎn)集(如圖) 考察 時(shí), 的取值范圍:令 , 代入方程 , 得 ，解出得 所以，當(dāng) 時(shí), 令 ，代入方程 , 得 . 解出得所以，當(dāng) 時(shí), 因此, 綜合 與 可知，當(dāng) ，即 時(shí), 故填 三解答題 (第一題、第二題各15分；第三題、第四題各24分)13. 已知點(diǎn)是的中線上的一點(diǎn), 直線交邊 于點(diǎn), 且是 的外接圓的切線, 設(shè) , 試求 (用 表示) 證明：在 中，由menelaus定理得因?yàn)?，所以 6分由 ，知 ，則所以， 即 12分因此， 又

29、， 故 15分14. 求所有使得下列命題成立的正整數(shù) : 對(duì)于任意實(shí)數(shù) , 當(dāng) 時(shí), 總有 ( 其中 ) 解： 當(dāng) 時(shí)，由 ，得 所以 時(shí)命題成立 3分當(dāng) 時(shí)，由 ，得.所以 時(shí)命題成立 6分當(dāng) 時(shí)，由 ，得所以 時(shí)命題成立 9分當(dāng) 時(shí)，令 ，,則 .但是, ，故對(duì)于 命題不成立綜上可知，使命題成立的自然數(shù)是 15分15. 設(shè)橢圓的方程為 , 線段 是過左焦點(diǎn) 且不與 軸垂直的焦點(diǎn)弦. 若在左準(zhǔn)線上存在點(diǎn) , 使 為正三角形, 求橢圓的離心率 的取值范圍, 并用 表示直線 的斜率. 解： 如圖, 設(shè)線段 的中點(diǎn)為 過點(diǎn) 、 分別作準(zhǔn)線的垂線, 垂足分別為 、, 則 6分假設(shè)存在點(diǎn) ，則 ， 且

30、 ， 即 ，所以， 12分于是， 故若 (如圖)，則 18分若 ，則由對(duì)稱性得 24分又 , 所以，橢圓 的離心率 的取值范圍是， 直線 的斜率為 16. (1) 若 n*) 個(gè)棱長(zhǎng)為正整數(shù)的正方體的體積之和等于 2005, 求 的最小值, 并說明理由；(2) 若 n*) 個(gè)棱長(zhǎng)為正整數(shù)的正方體的體積之和等于 2002, 求 的最小值, 并說明理由解： (1) 因?yàn)?, ，故 因?yàn)?，所以存在 ， 使 6分若 ，因 , 則最大的正方體邊長(zhǎng)只能為 或 ，計(jì)算，而 與 均不是完全立方數(shù), 所以 不可能是 的最小值 9分若 ，設(shè)此三個(gè)正方體中最大一個(gè)的棱長(zhǎng)為 , 由 , 知最大的正方體棱長(zhǎng)只能為 、

31、 或 由于 , , , 所以 由于 , , , , 所以 由于 , , , 所以 由于 , , 所以 因此 不可能是 的最小值綜上所述， 才是 的最小值. 12分(2) 設(shè) 個(gè)正方體的棱長(zhǎng)分別是 ， 則 由 ， ，得 15分又當(dāng) n* 時(shí)，所以 ， ， . 21分 式模 , 由 、 可知, 而 ，則 24分因此 為所求的最小值2006年全國高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽江蘇賽區(qū)初賽試卷一、選擇題(本題滿分36分，每小題6分) 本題共有6小題，每題均給出a、b、c、d四個(gè)結(jié)論，其中有且僅有一個(gè)是正確的請(qǐng)將正確答案的代表字母填在題的括號(hào)內(nèi)，每小題選對(duì)得6分；不選、選錯(cuò)或選出的字母超過一個(gè)（不論是否寫在括號(hào)內(nèi)），一律

32、得0分1已知數(shù)列an的通項(xiàng)公式an，則an的最大項(xiàng)是 （ ） aa1 ba2 ca3 da4解：an，當(dāng)n2時(shí)，an取最大值，故選b2函數(shù)y3的圖象是 （ ）xoyxoyxoyxoya b c d解：由于|log3x|0，故y1，只有a滿足此條件，故選a3已知拋物線y22px，o是坐標(biāo)原點(diǎn)，f是焦點(diǎn)，p是拋物線上的點(diǎn)，使得pof是直角三角形，則這樣的p點(diǎn)共有 （ ） a0個(gè) b2個(gè) c4個(gè) d6個(gè)解：作垂直于x軸的焦點(diǎn)弦交拋物線于點(diǎn)p1、p2，則p1of、p2of是直角三角形對(duì)于拋物線上異于o、p1、p2的點(diǎn)q，顯然qfo90，qof90，從而若qof為直角三角形，則只能是fqo90設(shè)點(diǎn)q坐標(biāo)

33、為(，y)(y0，p)，則有()y20， 由y0得，0，此方程無實(shí)解，從而這樣的點(diǎn)p只能2個(gè)，選b4設(shè)f(x)是定義在r上單調(diào)遞減的奇函數(shù)，若x1x20，x2x30，x3x10，則（ ）af(x1)f(x2)f(x3)0 bf(x1)f(x2)f(x3)0cf(x1)f(x2)f(x3)0 df(x1)f(x2)f(x3)解：則x1x2，知f(x1)f(x2)f(x2)f(x1)f(x2)0；同理，f(x2)f(x3)0，f(x3)f(x1)0；所以，f(x1)f(x2)f(x3)0選b5過空間一定點(diǎn)p的直線中，與長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1的12條棱所在直線所成等角的直線共有 （ ） a0

34、條 b1條 c4條 d無數(shù)多條解：首先，過角的頂點(diǎn)與角的兩邊成等角的直線在角所在平面的射影是角(或其外角)的平分線故若以長(zhǎng)方體的過一個(gè)頂點(diǎn)的三個(gè)平面為坐標(biāo)平面建立空間坐標(biāo)系，則方程|x|y|z|共有8解，此8解共組成4條直線，故選c6在abc中，tana，cosb若的最長(zhǎng)邊為1，則最短邊的長(zhǎng)為 （ ） a b c d解：作輔助圖如右：取高cda，則ad2a，bd3a，最短邊aca；由5a1，得a，故選d二、填空題（本題滿分54分，每小題9分） 本小題共有6小題，要求直接將答案寫在橫線上7集合ax|x3n，nn，0n10，by|y5m，mn，0n6則集合ab的所有元素之和為_解：ab15；故所求

35、和(3627)(0530)152258設(shè)cos2，則cos4sin4的值是_解：已知即cos2sin2cos4sin42cos2sin2； 又，cos2sin21 cos4sin42cos2sin21 ()2： cos4sin49(x3x2)3的展開式中，x5的系數(shù)為_解：(x3x2)3x33x23x23x9x427x6x5的系數(shù)2710已知?jiǎng)tx2y2的最大值是_解：滿足條件的點(diǎn)集組成的圖形為圖中陰影部分及其邊界其中點(diǎn)(3，0)與原點(diǎn)距離最大，故(x2y2)max911等比數(shù)列an的首項(xiàng)為a1=2020，公比q，設(shè)f(n)表示這個(gè)數(shù)列的前n項(xiàng)的積，則當(dāng)n_時(shí)，f(n)有最大值解：由于f(4k)

36、0，f(4k1)0，(kn*)f(4k)aq2k(4k1)；f(4k1)aq2k(4k1)故a1q4k于是f(12)f(13)，且當(dāng)k3時(shí)，f(4k1)f(4k)；又aq30，有f(9)f(12)；aq2(8k3)， 故f(8)f(12)，且k3時(shí)，f(4k4)f(4k)，從而f(12)最大12長(zhǎng)方體abcda1b1c1d1中，已知ab14，ad13，則對(duì)角線ac1的取值范圍是_解：設(shè)長(zhǎng)方體的三度分別為x，y，z，對(duì)角線acd則可得x2z216，y2z29d2x2y2z225z2，但0z3，從而16d2254d5所求取值范圍為(4，5)三、解答題（本題滿分60分，第13題，第14題各12分，第

37、15題16分，第16題20分）13設(shè)集合ax|log(3x)2，bx|1，若ab，求實(shí)數(shù)a的取值范圍解：由log(3x)203x41x3由1(xa)(x3a)0 當(dāng)a0時(shí)，解為ax3a； 當(dāng)a0時(shí)，解為； 當(dāng)a0時(shí)，解為3axa若ab，則當(dāng)a0時(shí)，有a11a0；當(dāng)a0時(shí)，有3a30a1所以，a的取值范圍為(1，0)(0，1)14橢圓1的有焦點(diǎn)為f，p1，p2，p24為24個(gè)依逆時(shí)針順序排列在橢圓上的點(diǎn)，其中p1是橢圓的右頂點(diǎn)，并且p1fp2p2fp3p3fp4p24fp1，若這24個(gè)點(diǎn)到右準(zhǔn)線的距離的倒數(shù)和為s，求s的值解法一：已知橢圓的a3，b2，c，e，p對(duì)于橢圓上任一點(diǎn)p，|fp|r，p

38、到準(zhǔn)線的距離|ph|d，fp與ox正向夾角為，則有 rcosdp，e于是， d(1ecos)p，(1ecos)所以， s(1ecos)cos 故 s2180 解法二：設(shè)過焦點(diǎn)且斜率為k的直線交橢圓于a、b兩點(diǎn)則有 代入： 4x29k2(x)2360即， (49 k2)x218xk245k2360 所以， x1x2，x1x2 而點(diǎn)p到準(zhǔn)線距離dx， 故直線與橢圓的兩個(gè)交點(diǎn)到準(zhǔn)線距離的倒數(shù)和為 而過焦點(diǎn)且傾斜角90時(shí)，兩交點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離c，故90及270的兩個(gè)點(diǎn)到準(zhǔn)線距離倒數(shù)和也所以，s126；s2180解法三：令代入橢圓方程得，t2(4cos29sin2)8tcos160同上15abc中，abac，ad、ae分別是bc邊上的高和中線，且badeac證明是直角證明一：延長(zhǎng)ae到f，使efae，延長(zhǎng)ad到k，使dkad連fk，fb因fbacafbeac又bd垂直平分ak，故akbbad，因badeac，所以akbafb所以a、f、k、b四點(diǎn)共圓fkbcfka90故af為該圓直徑e為此圓圓心故eaebec，即點(diǎn)c在此圓上此圓為abc的外接圓，bc為圓的直徑所以bac為直角證明二：取abc的外接圓，延長(zhǎng)ae交圓于點(diǎn)f，連fb，則cbfcafbad，但badabd90，從而fbcabc9