均值不等式的推廣

1、均值不等式的推廣【定理】如果a, b是正數(shù)，那么a+b2ab (當且僅當 a=b時取“=”號).定理又可敘述為：兩個正數(shù)的算術平均數(shù) 不小于它們的幾何平均數(shù) .將定理加以推廣：一般地，如果對于n個正數(shù)a1, a2，an (n 2)，把 An=a1+a2+ann,Gn=na1a2an分別叫做這 n 個正數(shù)的算術平均數(shù)與幾何平均數(shù)，那么有 AnGn (當且僅當a仁a2=-= an時等號成立)，即 n個正數(shù)的 算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) .一、結論的證明 證法一：(數(shù)學歸納法)當n=2時，由(a1- a2)2 0,知AnGr,其中等號當且僅當 a1=a2 時成立 .假設命題對于任意 k 個正數(shù)

2、成立,則對于任意 k+1 個正數(shù)al, a2,，ak，有Ak+仁 a1+a2+ +ak+ak+1k+1=a1+a2+ak+ak+1+(k - 1)Ak+12k( v a1+a2+ak+ak+1= ( k+1 ) Ak+1)=a1+a2+akk+ak+1+Ak+1 +Ak+1(k-1) 個k2, ka1a2 ak+kak+1Ak-1k+12ka1a2 akkak+1Ak-1k+1=2ka1a2 akak+1Ak-1k+1,即 Ak+1 2ka1a2akak+1Ak-1k+1,兩邊 2k 次方，得 A2kk+1 a1a2akak+1Ak-1k+1兩邊約去 Ak-1k+1，得 Ak+1k+1 a1a

3、2akak+1,開 k+1 方，得 Ak+1 k+1a1a2akak+1,當且僅當 a仁a2=-=ak,ak+1=Ak+1,即 a仁a2=- =ak+1 時 (或)取等號.所以，當n=k+1時，命題也成立.至此，證明了結論對任何整數(shù) n2都成立，則有AnGn.即n個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù).證法二：(琴生不等式法)琴生不等式：上凸函數(shù)f(x),x1,x2,xn是函數(shù)f(x)在區(qū)間(a,b )內的任意n個點，則有f(x1+x2+xnn) 1n(f(x1)+f(x2)+f(xn).設 f(x)=lnx,f(x) 為上凸函數(shù)，In(x1+x2+ +xnn) 1n(lnx1+lnx2+

4、+lnxn)=1 n(x1x2 +xn) 1n,即 x1+x2+xnnnx1x2xn.貝U AnGn,即 n 個正數(shù)的算術平均數(shù)不小于它們的幾何平均數(shù) . 二、結論的應用【例1】證明：在圓的內接n邊形中，以正n邊形的面積 為最大 .證明：設圓的半徑為r，內接n邊形的面積為S,各邊所對的圓心角分別為e 1, e 2，e n,貝yS=12r2(sin e 1+sin e 2+sin e n).設f(x)=sin e，由于它在(0, n )內上凸，于是根據(jù)上述 結論有sin e 1+s in e 2+si n e nw nsin e 1+ e 2+ e nn=nsin2 n n.所以當e仁e 2=二e n時，s取最大值，也就是以正 n邊 形的面積為最大 .即在圓的內接n邊形中，以正n邊形的面積為最大.【例2】已知n N,求證：(1+1 n)n v (1+1 n+1)n+1.證明：對任意的nN,由上述結論有(1+1 n) n=(1+1 n)n x I v n(1+