第10章導(dǎo)體和電介質(zhì)習(xí)題解答

1、第10章靜電場(chǎng)中的導(dǎo)體和電介質(zhì)習(xí)題解答在B、C板上分別感應(yīng)異號(hào)電荷_q1和_q2，由電荷守恒得方程10- 1點(diǎn)電荷 q處在導(dǎo)體球殼的中心，殼的內(nèi)、外半徑分別為Ri和R2。試求：（1）r : Ri ；（ 2）Ri : r ： R2 ；（ 3）r R?三個(gè)區(qū)域的電場(chǎng)強(qiáng)度和電勢(shì)。r為觀察點(diǎn)到 q的距離。當(dāng) R1 : r ： R2 時(shí)，E2 = 0 E2 = 0,V2q4 二；0r2-q解：由咼斯定理. E dS二-；0得q(1)當(dāng) r : R1 時(shí)，E12E1Jq(-丄）4脫0r4二；0r4二；0r艮r(nóng)2當(dāng) r -R2時(shí)，E3 q 2 E3 q 2,V3-4ns0r4 昭 0r4 兀 E0rRi-

2、Q- - q 111(2)當(dāng) r : R1 時(shí)，V1E1 dr E2 drE3 dr()”記r24 朧 0 r RR2當(dāng) R1 : r : R2 時(shí),R2V2 二 r E2dr =q4 二；0R2當(dāng)r - R2時(shí),drq4二；0r10-2 一帶電量為q，半徑為rA的金屬球 A,與一原先不帶電、內(nèi)外半徑分別為花和rc的金屬球殼B同心放置，如圖所示，貝U習(xí)題10- 2圖中P點(diǎn) 的電場(chǎng)強(qiáng)度如何？若用導(dǎo)線將 A和B連接起來(lái)，則A球的電勢(shì)為 多少？（設(shè)無(wú)窮遠(yuǎn)處電勢(shì)為零）解：過(guò)P點(diǎn)作一個(gè)同心球面作為高斯面，盡管金屬球殼內(nèi)側(cè) 會(huì)感應(yīng)出異種，但是高斯面內(nèi)只有電荷q。根據(jù)高斯定理可得E4 n2 = q/ sd

3、可得P點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度為q當(dāng)金屬球殼內(nèi)側(cè)會(huì)感應(yīng)出異種電荷-q時(shí)，外側(cè)將出現(xiàn)同種電荷q。用導(dǎo)線將A和B連4 二；r2殼外側(cè)的電荷產(chǎn)生的，這些電荷到球心的距離都是rc，所以A球的電勢(shì)為q4二；10 3 同軸電纜是由半徑為 Ri的直導(dǎo)線和半徑為 R2的同軸薄圓筒構(gòu)成的， 其間充 滿了相對(duì)介電常數(shù)為$的均勻電介質(zhì)，設(shè)沿軸線單位長(zhǎng)度上導(dǎo)線和圓筒的帶電量分別為+入和-入則通過(guò)介質(zhì)內(nèi)長(zhǎng)為 I，半徑為r的同軸封閉圓柱面的電位移通量為多少？該圓柱面上52ID+q 1$S2JJS0J任一點(diǎn)的場(chǎng)強(qiáng)為多少？解：介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移是軸對(duì)稱(chēng)分布的.在內(nèi)外半徑之間作一個(gè)半徑為r、長(zhǎng)為I的圓柱形高斯面，根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理

4、， 通過(guò)圓柱面的電位移通過(guò)等于該面包含的自由電荷，即d = q =入I。設(shè)高斯面的側(cè)面為 So,上下兩底面分別為 Si和S2。通過(guò)高斯面 的電位移通量為 d = ?S D dS=D dSD dSD cS- 2 rID可得電位移為 D = X2 nr 其方向垂直中心軸向外。電場(chǎng)強(qiáng)度為E = D/ $ $ = 2 n oerr方向也垂直中心軸向外。10 4如習(xí)題10 4圖所示，金屬球殼原來(lái)帶有電量Q,殼內(nèi)外半徑分別為 a、b,殼boarq內(nèi)距球心為r處有一點(diǎn)電荷q,求球心o的電勢(shì)為多少?解：點(diǎn)電荷q在內(nèi)殼上感應(yīng)出負(fù)電荷-q，不論電荷如何分布，距 離球心都為a。外殼上就有電荷 q+Q，距離球?yàn)閎o球

5、心的電勢(shì)是所 有電荷產(chǎn)生的電勢(shì)疊加，大小為1_q1 _q 1 Q q4 二；0 r 4二；0 a 4二；0 b210 5如習(xí)題10 5圖所示，三塊平行金屬板 A、B和C,面積都是S = 100cm , A、. .、 _8 、B相距d1 = 2mm , A、C相距d2 = 4mm , B、C接地，A板帶有正電荷 q = 3 10_ C，忽略邊緣效應(yīng).求(1) B、C板上的電荷為多少？(2) A板電勢(shì)為多少？解：(1)設(shè)A的左右兩面的電荷面密度分別為叼和匝，所帶電量分別為q1 = cnS 和 q2 = (2Sq = q i + q2 = cS +c2SA、B間的場(chǎng)強(qiáng)為Ei = oi/qA、C間的場(chǎng)

6、強(qiáng)為E2 = o/ q設(shè)A板與B板的電勢(shì)差和 A板與C板的的電勢(shì)差相等，設(shè)為AU，則U = Eidi = E2d2,即odi = C2d2 -解聯(lián)立方程和得o = qd2/S(di + d2)所以qi = oiS = qd2/(d 計(jì)d2)= 2 10-8(C)-8q2 = q - qi = i W (C)B、C板上的電荷分別為-8qB = -q i = -2 iW (C)-8qc = -q 2 = -i iW (C)10-6無(wú)限大均勻帶電平面A,帶電量為q,在它的附近放一塊與A平行的金屬導(dǎo)體兩板電勢(shì)差為AU :=E idi = odi/ = qdid2/ S(d計(jì)d2)由于k =:9 W09

7、 = i/4 n 0所以0 :-9=i0 /36n因此AU=i44 n= 452.4(V)由于B板和C板的電勢(shì)為零，所以Ua = AU = 452.4(V)板B,板B有一定的厚度，如習(xí)題 iO 6圖所示。則在板 B的兩個(gè)表面i 和2上的感應(yīng)電荷分別為多少？解：由于板B原來(lái)不帶電，兩邊感應(yīng)出電荷后，由電荷守恒得qi + q2 = 0雖然兩板是無(wú)限大的，為了計(jì)算的方便，不妨設(shè)它們的面積為S,則面電荷密度分別為o = qi/S o = q2/S、 o= q/S它們產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)大小分別為Ei = oi/ Q、E2 =創(chuàng) q、E = o /0 q在B板內(nèi)部任取一點(diǎn) P,其場(chǎng)強(qiáng)為零，其中i面產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)向右，

8、2面和A板產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)向 左，取向右的方向?yàn)檎?，可得Ei - E2 -E = 0即o - o - o= 0或者說(shuō) qi - q2 + q = 0解得電量分別為q2 = q/2, qi = -q2 = -q/210 7如習(xí)題i0 7圖所示，兩平行金屬板帶有等量異號(hào)電荷，若兩板的電勢(shì)差為i20V，兩板間相距為i.2mm,忽略邊緣效應(yīng)，求兩個(gè)金屬板的四個(gè)表面 的電荷面密度各為多少？解：由于左板接地，所以 o = 0由于兩板之間的電荷相互吸引，右板右面的電荷會(huì)全部吸引到右板左面，所以由于兩板帶等量異號(hào)的電荷，所以C2 = - C3兩板之間的場(chǎng)強(qiáng)為E = CB/ 33而E = U/d所以面電荷密度分別為-

9、7-2C8 = eE = U/d = 8.84 W (C m )-7-2cs = -(S = -8.84 1W (Cm )10 8 一球形電容器，內(nèi)外球殼半徑分別為 Ri和Rs,球殼與地面及其他物體相距很遠(yuǎn)。將內(nèi)球殼用細(xì)導(dǎo)線接地。 試證：球面間電容可用公式 C二4 眾RsoRiR3Rs - Ri 表示。（提示：可看作兩個(gè)球電容器的并聯(lián)，且地球半徑RRs）證明 方法一：并聯(lián)電容法.在外球外面再接一個(gè)半徑為R3大外球殼，外殼也接地.內(nèi)球殼和外球殼之間是一個(gè)電容器，電容為Ci=4 二；011/ R -1/ R2R R2R2 _ ri外球殼和大外球殼之間也是一個(gè)電容器，電容為Cs11/ Rs -1/R

10、3R3趨于外球殼是一極，由于內(nèi)球殼和大外球殼都接地，共用一極，所以?xún)蓚€(gè)電容并聯(lián)當(dāng) 無(wú)窮大時(shí)，Cs = 4 noRs .并聯(lián)電容為R RC 二GCs =4二；01 s 4二；oRsRs R14二；0氏Rs _RI方法二：電容定義法假設(shè)外殼帶正電為q，則內(nèi)殼將感應(yīng)電荷 q。內(nèi)球的電勢(shì)是兩個(gè)電荷產(chǎn)生的疊加的結(jié)果。由于內(nèi)球接地，所以其電勢(shì)為零；由于內(nèi)球是一個(gè)等勢(shì)體，其球心 的電勢(shì)為q . q4 二；4JR因此感應(yīng)電荷為根據(jù)高斯定理可得兩球殼之間的場(chǎng)強(qiáng)為qRq2 = 24 二；0r4 二；0&r負(fù)號(hào)表示場(chǎng)強(qiáng)方向由外球殼指向內(nèi)球殼.取外球殼指向內(nèi)球殼的一條電力線，兩球殼之間的電勢(shì)差為RRiU 二 E d

11、EdrR2R2Ri二.（一R2旦 2）dr4 二；0R2 r耳（丄遲匚警牛 0 R2 RiR24 0 R2球面間的電容為c _ q _ 4 二；0R2U R - Ri10-9如習(xí)題10- 9圖所示,球形電容器的內(nèi)、外半徑分別為Ri和R2,其間一半為真空，另一半充滿相對(duì)介電常數(shù)為牟的均勻電介質(zhì)，求該電容器的電容。解：球形電容器的電容為C =4二；0ii/ Ri i/ R2Ri R2R2 - Ri對(duì)于半球來(lái)說(shuō)，由于相對(duì)面積減少了一半，所以電容也減少一半。2兀8 o Ri R2CiR2 Ri當(dāng)電容器中充滿介質(zhì)時(shí)，電容為2o；rRiR2C 2 -R2 -Ri由于內(nèi)球是一極，外球是一極，所以?xún)蓚€(gè)電容器并

12、聯(lián)c =Ci c220（i；r）R,R2R2 -R）10- 10女口習(xí)題10- 10圖所示，板面積為 S的平行板電容器, 常數(shù)分別為 可和*厚度分別為d1和d2,求該電容器的電容。板間有兩層介質(zhì)，介電解：假設(shè)在兩介質(zhì)的介面插入一薄導(dǎo)體，可知兩個(gè)電容器串聯(lián)，電容分別為Ci = aS/di 和總電容的倒數(shù)為總電容為C2 = 2S/d21 1 1 =+C1 C2；2dt亠】d2；1 ；2 SC _；1；2Ss2d&1d2的，其間充滿了介電常數(shù)為a的介質(zhì)，其長(zhǎng)為”和-”略去邊緣效應(yīng)。求：(1)兩極板間的電勢(shì)差U ；(2)介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度E和電位移D ；(3)電容Co圓柱形電容器是由半徑為10- 11R

13、i的導(dǎo)線和與它同軸的內(nèi)半徑為R2的導(dǎo)體圓筒構(gòu)成I。沿軸線單位長(zhǎng)度上的導(dǎo)線和圓筒分別帶電解：介質(zhì)中的電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移是軸對(duì)稱(chēng)分布的. 在內(nèi)外半徑之 間作一個(gè)半徑為r、長(zhǎng)為I的圓柱形高斯面，側(cè)面為 S。，上下兩底面 分別為S1和S2。通過(guò)高斯面的電位移通量為化SD dSD dS+ D知L D Q加心高斯面包圍的自由電荷為 根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理 可得電位為 方向垂直中心軸向外。電場(chǎng)強(qiáng)度為方向也垂直中心軸向外。 取一條電力線為積分路徑，電勢(shì)差為R2U 二 E dl 二 Edr 二q =入I=qD = ”2 nrE = D/ = ”2 ne,rdrr2FIn2二；電容為c=gUIn (R2/RJ在真空時(shí)

14、的電容為q2二；olC0 UIn (R2/R1)所以倍數(shù)為C/C。= 21012在半徑為Ri的金屬球外有一層相對(duì)介電常數(shù)為$的均勻介質(zhì)，介質(zhì)層的內(nèi)、外半徑分別為R1和R2。設(shè)金屬球帶電 Qo,求：（1）介質(zhì)層內(nèi)、夕卜D、E、P的分布;（2）介質(zhì)層內(nèi)、外表面的極化電荷面密度。解：（1 ）在介質(zhì)內(nèi)，電場(chǎng)強(qiáng)度和電位移以及極化強(qiáng)度是球?qū)ΨQ(chēng)分布的。在內(nèi)外半徑之間 作一個(gè)半徑為r的球形高斯面，通過(guò)高斯面的電位移通量為毬 d = D dS = 1 ,DdS = 4二r $ D高斯面包圍的自由電荷為q = Qo根據(jù)介質(zhì)中的高斯定理d = q可得電位為D = Q o/4 n方向沿著徑向，用矢量表示為3D = Q

15、or /4 nr電場(chǎng)強(qiáng)度為E = D/ o $ = Qor/4 n 0&r 方向沿著徑向。由于D = soE + P所以P = D -E = (1 -丄)Qo r4二 r3在介質(zhì)之外是真空，真空可當(dāng)作介電常量r=1的介質(zhì)處理，所以D = Qor /4 nr, E = Qor/4 n or3, P =。Qo產(chǎn)生的場(chǎng)為（2）在介質(zhì)層內(nèi)靠近金屬球處，自由電荷Eo = Qor/4 n or3極化電荷qi產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為3E = qir/4 n or 總場(chǎng)強(qiáng)為E = Qor/4 n os $r3由于E = E o + E解得極化電荷為q1 （ -1）Qo%介質(zhì)層內(nèi)表面的極化電荷面密度為4 - R1；r 4

16、- R1在介質(zhì)層外表面，極化電荷為q2 - - qi面密度為q2 (i i ) Q04 二 R；r 4 二 R；10- 13 兩個(gè)電容器電容之比 Ci:C2 = 1:2，把它們串聯(lián)后接到電源上充電，它們的靜 電能之比為多少？如果把它們并聯(lián)后接到電源上充電，它們的靜電能之比又是多少？解：兩個(gè)電容器串聯(lián)后充電，每個(gè)電容器帶電量是相同的，根據(jù)靜電能量公式W =Q2/2C,得靜電能之比為Wi：W2 = C2：Ci = 2:1兩個(gè)電容器并聯(lián)后充電，每個(gè)電容器兩端的電壓是相同的，根據(jù)靜電能量公式W = CU 2/2，得靜電能之比為Wi：W2 = Ci：C2 = 1:210- 14 一平行板電容器的極板面積

17、為S,板間距離為d,接在電源上維持其電壓為U。將一塊厚度為d、相對(duì)介電常數(shù)為 的均勻電介質(zhì)板插入電容器的一半空間內(nèi)，求電容器的 靜電能為多少？解：平行板電容器的電容為C = S/d,當(dāng)面積減少一半時(shí)，電容為Ci = oS/2d另一半插入電介質(zhì)時(shí)，電容為C2 = 0 rS/2d兩個(gè)電容器并聯(lián)，總電容為C = C i + C2 = (i + 年)soS/2d靜電能為2 2 W = CU /2 = (i + &) oSU /4d10- 15 一平行板電容器的極板面積為S,板間距離為d,兩板豎直放著。若電容器兩板充電到電壓為 U時(shí)，斷開(kāi)電源，使電容器的一半浸在相對(duì)介電常數(shù)為&的液體中。求：(1) 電容

18、器的電容 C;(2) 浸入液體后電容器的靜電能；(3) 極板上的自由電荷面密度。解：(i )如前所述，兩電容器并聯(lián)的電容為C = (i + &) S2d.(2 )電容器充電前的電容為Co = oS/d,充電后所帶電量為Q = CoU當(dāng)電容器的一半浸在介質(zhì)中后，電容雖然改變了，但是電量不變，所以靜電能為2 2 2 2W = Q /2C = C 0 U /2C =SU /(i + r)d(3)電容器的一半浸入介質(zhì)后，真空的一半的電容為Ci = 0S/2d介質(zhì)中的一半的電容為C2 = rS/2d設(shè)兩半的所帶自由電荷分別為Qi和Q2,貝UQi + Q2 = Q由于C = Q/U，所以U = Q i/C

19、i = Q2/C2解聯(lián)立方程得CiQC0UQi G +C2 i +C2 /Ci真空中一半電容器的自由電荷面密度為Qi2CoU2 名 0Ui =S/2 (i C2/CJS (i；Jd同理，介質(zhì)中一半電容器的自由電荷面密度為2CoU2SoSrU:-2 :(Ci/C2 i)S (i；r)d10- 16 一平行板電容器的極板面積為200cm2，板間距離為 i.Omm，電容器內(nèi)有一塊i.Omm厚的玻璃板(點(diǎn)=5)。將電容器與300V的電源相連。求：(1) 維持兩極板電壓不變抽出玻璃板，電容器的能量變化為多少？(2) 斷開(kāi)電源維持板上電量不變，抽出玻璃板，電容器的能量變化為多少？解：平行板電容器的電容為C

20、0 = 0 rS/d靜電能為W = CU2/2玻璃板抽出之后的電容為C= )S/d(i)保持電壓不變抽出玻璃板，靜電能為W= CU 2/2電能器能量變化為2W = W - W0 = (C - C0)U2/22-5=(i - r) eSU /2d = -3.i8 i (J)(2)充電后所帶電量為Q = C 0U保持電量不變抽出玻璃板，靜電能為W = Q2/2C電能器能量變化為W 二W -W0 =(五-i)uC2電耳su2=(y i)= i.592d-4W (J)10- 17設(shè)圓柱形電容器的內(nèi)、外圓筒半徑分別為a、b。試證明電容器能量的一半儲(chǔ)存在a : r ： . ab的圓柱殼內(nèi)。人場(chǎng)強(qiáng)為解：設(shè)圓柱形電容器電荷線密度為能量密度為w = ee2/2體積元為dV = 2 n rdr能量元為dW = wdV在半徑a到R的圓柱體儲(chǔ)存的能量為W = v wdV = vR 2 2 扎I扎I4二；dr 二a 4二；or當(dāng)R = b時(shí)，能量為j4二；ob Ina當(dāng)R二、ab時(shí)，能量為W2亠n4二；o | In8二；0所以W2 = Wi/2，即電容器能量的一半儲(chǔ)存在半徑R= . ab的圓柱體內(nèi)10- 18兩個(gè)同軸的導(dǎo)