小學(xué)奧數(shù)平面幾何五種面積模型等積鳥頭蝶形相似共邊

1、小學(xué)奧數(shù)平面幾何五種模型（等積，鳥頭，蝶形，相似，共邊）目標(biāo)：熟練掌握五大面積模型等積，鳥頭，蝶形，相似（含金字塔模型和沙漏模型），共邊（含燕尾模型和風(fēng)箏模型），掌握五大面積模型的各種變形知識點撥一、等積模型 等底等高的兩個三角形面積相等； 兩個三角形高相等，面積比等于它們的底之比;兩個三角形底相等，面積比等于它們的高之比;如右圖$ a:b 夾在一組平行線之間的等積變形，如右圖&ACD MbCD ；反之，如果SxACD SxBCD，則可知直線AB平行于CD 等底等高的兩個平行四邊形面積相等（長方形和正方形可以看作特殊的平行四邊形）; 三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半； 兩個平行

2、四邊形高相等，面積比等于它們的底之比；兩個平行四邊形底相等，面積比等 于它們的高之比.、鳥頭定理 兩個三角形中有一個角相等或互補(bǔ)，這兩個三角形叫做共角三角形.共角三角形的面積比等于對應(yīng)角（相等角或互補(bǔ)角）兩夾邊的乘積之比.如圖在 ABC中，D,E分別是AB,AC上的點如圖 （或D在BA的延長線上，E在AC上），貝U Saabc : Saade （AB AC）： （AD AE）圖圖三、蝶形定理任意四邊形中的比例關(guān)系（“蝶形定理”）: S! : S, S4 : S3 或者 S1 S3 S2 S4 AO:OC s 3 ： S4 S3蝶形定理為我們提供了解決不規(guī)則四邊形的面積問題的一個途 徑通過構(gòu)造模

3、型，一方面可以使不規(guī)則四邊形的面積關(guān)系與 四邊形內(nèi)的三角形相聯(lián)系；另一方面，也可以得到與面積對應(yīng) 的對角線的比例關(guān)系.梯形中比例關(guān)系（“梯形蝶形定理”）: s ：S3 a2 :b2 Si : S3: S, ： S4 a2: b2: ab: ab ; S的對應(yīng)份數(shù)為a b 2.四、相似模型b）沙漏模型（一）金字塔模型 氐A(chǔ)DE : SabCAF2:AG2.所謂的相似三角形，就是形狀相同，大小不同的三角形 （只要其形狀不改變，不論大小怎樣 改變它們都相似），與相似三角形相關(guān)的常用的性質(zhì)及定理如下：相似三角形的一切對應(yīng)線段的長度成比例，并且這個比例等于它們的相似比；相似三角形的面積比等于它們相似比的

4、平方；連接三角形兩邊中點的線段叫做三角形的中位線.三角形中位線定理：三角形的中位線長等于它所對應(yīng)的底邊長的一半.相似三角形模型，給我們提供了三角形之間的邊與面積關(guān)系相互轉(zhuǎn)化的工具.在小學(xué)奧數(shù)里，出現(xiàn)最多的情況是因為兩條平行線而出現(xiàn)的相似三角形.五、共邊定理（燕尾模型和風(fēng)箏模型）在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一點O，那么ABO:S acoBD : DC .上述定理給出了一個新的轉(zhuǎn)化面積比與線段比的手段，因為ABO和aco的形狀很象燕子的尾巴，所以這個定理被稱為燕尾定理.該定理在許多幾何題目中都有著廣泛的運用，它的特殊性在于，它可以存在于任何一個三角形之中，為三角形中的三角形面積對應(yīng)底

5、邊之間提供互相聯(lián)系的途徑 AD AE DE AB AC BCAF .AG ；典型例題【例1】如圖，正方形ABCD勺邊長為6,AE 1.5,CF 2長方形EFGH勺面積為GG【解析】連接DE DF,則長方形EFGH勺面積是三角形DEF面積的二倍.三角形DEF的面積等于正方形的面積減去三個三角形的面積，Sa def 6 61.5 622 624.5 4 216.5,所以長方形 EFGH面積為33.【鞏固】如圖所示，正方形ABCD的邊長為8厘米，長方形EBGF的長BG為10厘米，那么長方 形的寬為幾厘米BB【解析】本題主要是讓學(xué)生會運用等底等高的兩個平行四邊形面積相等（長方形和正方形可以看作特殊的平

6、行四邊形）.三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積 的一半.證明：連接AG .（我們通過 ABG把這兩個長方形和正方形聯(lián)系在一起）1在正方形ABCD中，S- ABG 2 AB AB邊上的高,1二SA ABG?SaBCD （三角形面積等于與它等底等高的平行四邊形面積的一半）同理，Sa ABGSeFGB -2 正方形ABCD與長方形EFGB面積相等. 長方形的寬 8 8 10 6.4（厘米）.【例2】長方形ABCD的面積為36cm2 , E、F、G為各邊中點，H為AD邊上任意一問陰影部分面積是多少【解析】解法一：尋找可利用的條件，連接 BH、HC，如下圖:SabcdS ebfSehbS AHB

7、 S CHB S CHD即 S ehb S bhf1 -BE 2bf2s236S dhgAHB-(S AHB2S fhbIsCHB2S CHB S CHD )S ehb S bhfS dhgS陰影1111-(AB) ( BC) 36 4.5 .2228所以陰影部分的面積是：S陰影18 SebfS dhg-36 18 ；2S ebf18 4.5 13.5IsDHC2解法二：特殊點法找H的特殊點，把H點與D點重合,那么圖形就可變成右圖:這樣陰影部分的面積就是DEF的面積，根據(jù)鳥頭定理,則有:缶影SabCDS AED S BEF S CFD36 1 1 36 - 1 12 2 2 2 236 1 -

8、 36 13.5.2 2【鞏固】在邊長為6厘米的正方形ABCD內(nèi)任取一點P ,將正方形的一組對邊二等分，另一 組對邊三等分，分別與P點連接,求陰影部分面積.【解析】(法1)特殊點法.由于P是正方形內(nèi)部任意一點，可采用特殊點法，假設(shè)P點與A點重合，則陰影部分變?yōu)槿缟现袌D所示，圖中的兩個陰影三角形的面積分別占 正方形面積的1和1 ,所以陰影部分的面積為62 (- 1) 15平方厘米.4646(法2)連接PA、PC .由于PAD與PBC的面積之和等于正方形ABCD面積的一半，所以上、下兩個陰影 三角形的面積之和等于正方形 ABCD面積的丄，同理可知左、右兩個陰影三角形的4面積之和等于正方形ABCD面

9、積的丄，所以陰影部分的面積為62 (1 1) 15平方厘646米.【例3】如圖所示，長方形ABCD內(nèi)的陰影部分的面積之和為 70，AB 8，AD 15，四邊形EFGO的面積為.【解析】利用圖形中的包含關(guān)系可以先求出三角形 AOE、DOG和四邊形EFGO的面積之和，以及三角形AOE和DOG的面積之和，進(jìn)而求出四邊形 EFGO的面積.由于長方形ABCD的面積為15 8 120，所以三角形BOC的面積為120 - 30，所以4三角形AOE和DOG的面積之和為120又三角形AOE、DOG和四邊形EFGO的面積之和為120- -30 ,所以四邊形24EFGO的面積為30 20 10 .另解：從整體上來看

10、，四邊形EFGO的面積 三角形AFC面積 三角形BFD面積 白 色部分的面積，而三角形 AFC面積 三角形BFD面積為長方形面積的一半，即 60, 白色部分的面積等于長方形面積減去陰影部分的面積，即 120 70 50，所以四邊形 的面積為60 50 10.【鞏固】如圖，長方形ABCD的面積是36，E是AD的三等分點，AE 2ED，貝U陰影部分的 面積為.【解析】如圖，連接OE .1：1，所以 S OENOED ；1根據(jù)蝶形定理，ON: ND S COE : S CDE S CAE : S CDEOM ： MA S boe ： S bae二 S bde ： S BAE21:4，所以 S OEM

11、IsOEA -又 S OED13 ， S OEA2S OED6，所以陰影部分面積為：1 1362.7 2 5【例4】已知ABC為等邊三角形，面積為400, D、E、F分別為三邊的中點，已知甲、乙、丙面積和為143,求陰影五邊形的面積.（丙是三角形HBC）【解析】因為D、E、F分別為三邊的中點，所以DE、DF、EF是三角形ABC的中位線，也就與對應(yīng)的邊平行，根據(jù)面積比例模型，三角形ABN和三角形AMC的面積都等于三角形ABC的一半，即為200.根據(jù)圖形的容斥關(guān)系，有S ABC SWS ABN S AMC SAMHN ，即400S丙200 200 Samhn，所以 SWSAMHN .又S陰影S A

12、DFS SAMHN，所以s陰影S adf 143 丄 400434【例5】 如圖，已知CD5， DE 7， EF15，F(xiàn)G 6，線段AB將圖形分成兩部分，左邊部分面積是38,右邊部分面積是65，那么三角形ADG的面積是【解析】連接AF，BD .根據(jù)題意可知，CF 5 715 27 ;DG 7 15 628 ；所以，S BEFCBF，12S BECS CBF ， S AEG2728sADG ，S AEDS ADG，28于是：21 S adg 15Scbf 65 ； : Sadg12 S CBF 38 ；28272827可得S adg 40 故三角形ADG的面積是40.【例6】 如圖在 ABC中，

13、D,E分別是AB,AC上的點，且 AD: AB 2:5 , AE: AC 4:7 ,Sx ADE 16平方厘米，求 ABC的面積.【解析】連接 BE , Sxade : Saabead: AB 2:5 (2 4) :(5 4),Sxabe : Sa abc AE : AC 4 : 7 (4 5): (7 5),所以 Sa ade : Sa abc (2 4) ： (7 5),設(shè) Saade 8 份，則Saabc 35份，Saade 16平方厘米，所以1份是2平方厘米，35份就是70平方 厘米， ABC的面積是70平方厘米.由此我們得到一個重要的定理，共角定理：共 角三角形的面積比等于對應(yīng)角(相

14、等角或互補(bǔ)角)兩夾邊的乘積之比.【鞏固】如圖，三角形 ABC中，AB是AD的5倍，AC是AE的3倍，如果三角形ADE的面積等于1,那么三角形ABC的面積是多少【解析】連接BE .T EC 3AESVABC3SVABE又T AB5ADSVADEABE5SvABC15，&ABC15 & ADE15 【鞏固】如圖，三角形ABC被分成了甲(陰影部分)、乙兩部分，BD DC 4 , BE 3 , AE 6 ,乙部分面積是甲部分面積的幾倍解析】 連接 AD / BE 3 , AE 6-AB 3BE , Svabd3SVBDE又 I BD DC 4,-SvABC 2S/ABD，SvABC 6S/BDE ,

15、S乙 5SP -【例7】 如圖在 ABC中，D在BA的延長線上，E在AC上，且AB: AD 5:2 ,AE: EC 3: 2 , ade 12平方厘米，求 ABC的面積.【解析】連接 BE，ade : SaabeAD： AB 2:5 (2 3):(5 3)Sa ABE : Sa ABC AE: AC 3: (3 2)(3 5): (32) 5 ，所以 Sa ade : Sa abc(32) : 5(32)6 : 25，設(shè)Saade6 份，則 Sa abc25 份，Sa ade12平方厘米，所以 1 份是 2平方厘米， 25份就是 50平方厘米， ABC 的面積是 50平方 厘米由此我們得到一個

16、重要的定理，共角定理：共角三角形的面積比等于對應(yīng)角( 相等角或互補(bǔ)角 )兩夾邊的乘積之比【例8】如圖，平行四邊形 ABCD，BE AB，CF 2CB，GD 3DC，HA 4AD，平行四邊形ABCD的面積是2，求平行四邊形ABCD與四邊形EFGH的面積比.解析】 連接 AC 、 BD 根據(jù)共角定理在 ABC 和 BFE 中，ABC 與 FBE 互補(bǔ),-Sa ABCAB BC111SafBEBE BF133 又 Sa ABC1，所以Sa FBE3 .同理可得 Sagcf8 , Sa dhg15 , Sa aeh8 .所以SefghSabcdSefgh236Saaeh Sacfg Sa dhg Sa

17、bef Sabcd 88 15+3+236 .【例9】如圖所示的四邊形的面積等于多少【解析】題目中要求的四邊形既不是正方形也不是長方形，難以運用公式直接求面積我們可以利用旋轉(zhuǎn)的方法對圖形實施變換：把三角形OAB繞頂點O逆時針旋轉(zhuǎn)，使長為13的兩條邊重合，此時三角形OAB將旋 轉(zhuǎn)到三角形OCD的位置這樣，通過旋轉(zhuǎn)后所得到的新圖形是一個邊長為 12的正 方形，且這個正方形的面積就是原來四邊形的面積 因此，原來四邊形的面積為12 12 144.（也可以用勾股定理）【例10】 如圖所示， ABC中，ABC 90，AB 3，BC 5，以AC為一邊向 ABC外作正方形 ACDE，中心為 O，求 OBC的面

18、積.【解析】如圖，將OAB沿著O點順時針旋轉(zhuǎn)90，到達(dá)OCF的位置.【例11【解析】那么 EAF EAB BAFEABDAE 90，而 AEB也是90，所以四邊形 AFBE由于 ABC 90 , AOC 90，所以 OAB OCB 180 .而 OCF OAB , 所以 OCF OCB 180，那么B、C、F三點在一條直線上.由于OB OF , BOF AOC 90，所以 BOF是等腰直角三角形，且斜邊 BF為5 3 8，所以它的面積為82 1 16 .4根據(jù)面積比例模型，OBC的面積為16 - 10 .8】 如圖，以正方形的邊AB為斜邊在正方形內(nèi)作直角三角形 ABE， AEB 90 , AC

19、、BD交于O .已知 AE、BE的長分別為3cm、5cm，求三角形 OBE的面積.如圖，連接DE，以A點為中心，將 ADE順時針旋轉(zhuǎn)90至U ABF的位置.13，是直角梯形，且AF AE 3，所以梯形AFBE的面積為:3 53 112( cm2).2又因為ABE是直角三角形，根據(jù)勾股定理,AB2 AE2 BE232 5234，所以S ABDAB217( cm2).2那么S BDES ABDS ABE S ADES ABDSaFBE17 12 5( cm2)，所以S OBE1SBDE2.5 ( cm2).【例12】 如下圖，六邊形 ABCDEF中，AB ED , AF CD , BC EF ,且

20、有AB平行于ED , AF平行于CD , BC平行于EF，對角線FD垂直于BD，已知FD 24厘米，BD 18 厘米，請問六邊形ABCDEF的面積是多少平方厘米【解析】如圖，我們將 BCD平移使得CD與AF重合，將DEF平移使得ED與AB重合，這樣EF、BC都重合到圖中的AG 了 .這樣就組成了一個長方形 BGFD，它的面積 與原六邊形的面積相等，顯然長方形 BGFD的面積為24 18 432平方厘米，所以六 邊形ABCDEF的面積為432平方厘米.【例13】 如圖，三角形ABC的面積是1，E是AC的中點，點D在BC上，且BD: DC 1:2， AD與BE交于點F .則四邊形DFEC的面積等于

21、.【解析】方法一：連接CF，根據(jù)燕尾定理,ABFBDSa ABF設(shè)Sa BDF1份，則SA DCF2份,Sa acfSA ABFDC3份,2Sa cbfEE1,Sa aefSaefc3份，如圖所標(biāo)所以SDCEF技ABC1212方法二：連接DE，由題目條件可得到Sa abd1S3 Da ABC& ADE1S ADC21 2SSA ABC2 31 bf3，所以EESa abdADE解法一： AO：OC Sabd：Sbdc1:3 OC 2 3 6，二 OC:OD 6:32:1 .1 S11 S111 S1sa debsa becSA ABC22323212 S DEF而 SCDESa ABC1 53

22、 所以則四邊形DFEC的面積等于12 -【鞏固】如圖，長方形ABCD的面積是2平方厘米,EC 2DE，F(xiàn)是DG的中點.陰影部分的面積是多少平方厘米？【解析】設(shè) Sa def1份，則根據(jù)燕尾定理其他面積如圖所示S陰影詁BCD12厘米.【例14】 四邊形ABCD的對角線AC與BD交于點0（如圖所示）.如果三角形ABD的面積 等于三角形BCD的面積的1，且A0 2 , D0 3，那么CO的長度是DO的長度的3倍.【解析】在本題中，四邊形ABCD為任意四邊形，對于這種”不良四邊形”，無外乎兩種處理方法：利用已知條件，向已有模型靠攏，從而快速解決；通過畫輔助線來 改造不良四邊形.看到題目中給出條件 SV

23、ABD : Svbcd 1:3，這可以向模型一蝶形定 理靠攏，于是得出一種解法.又觀察題目中給出的已知條件是面積的關(guān)系，轉(zhuǎn)化為 邊的關(guān)系，可以得到第二種解法，但是第二種解法需要一個中介來改造這個”不良 四邊形”，于是可以作AH垂直BD于H，CG垂直BD于G ,面積比轉(zhuǎn)化為高之比.再 應(yīng)用結(jié)論：三角形高相同，則面積之比等于底邊之比，得出結(jié)果.請老師注意比較 兩種解法，使學(xué)生體會到蝶形定理的優(yōu)勢，從而主觀上愿意掌握并使用蝶形定理解 決問題.解法二：作 AH BD于H , CG BD于G . SABD-s1CG，二 s aod3-S doc31二 AO -CO，二 OC 2 3 6，二 OC :OD

24、 6:32:1 .3【鞏固】如圖，四邊形被兩條對角線分成 4個三角形，其中三個三角形的面積已知,求：三角形BGC的面積；AG:GC【解析】根據(jù)蝶形定理，Svbgc 1 2 3，那么Svbgc6 ；根據(jù)蝶形定理，AG:GC 12:361: 3 .【例15】 如圖，平行四邊形 ABCD的對角線交于 O點，ACEF、OEF、ODF、BOE 的面積依次是2、4、4和6.求：求 OCF的面積；求 GCE的面積.【解析】根據(jù)題意可知，ABCD的面積為2 4 4 6 16，那么 BCO和CDO的面積都是16 2 8,所以O(shè)CF的面積為8 4 4 ;由于 BCO的面積為8， BOE的面積為6，所以 OCE的面

25、積為8 6 2，根據(jù)蝶形定理， EG : FG S coe :S cof 2:4 1:2， 所以S GCE : S GCF EG : FG 1:2 ，那么 Sgce 二 Scef 3221 233【例16】 如圖，長方形ABCD中，BE: EC 2:3 , DF : FC 1:2，三角形DFG的面積為2平方厘米，求長方形ABCD的面積.【解析】連接AE，F(xiàn)E .因為 BE: EC 2:3， DF : FC 1:2，3111所以DEF(5 3 2總方形ABCDS長方形ABCD.1因為Sv AEDABCD， AG: GF2打5:1，所以 5礙10平方厘米,1所以S/ AFD12平方厘米.因為 S/

26、AFD S長方形 ABCD ，所以長方形ABCD的面積是726平方厘米.【例17】 如圖，正方形ABCD面積為3平方厘米，M是AD邊上的中點.求圖中陰影部分的面積.1:2，根據(jù)梯形蝶形定理可以知道1:2:2:4 ，設(shè) Sa agm 1 份，則【解析】因為M是AD邊上的中點，所以AM : BCS AMG:SAABG :SA MCG : SA BCG1: 12): 02): 2Samcd1 2 3份，所以正方形的面積為12 2 4 3 12份，S陰影2 2 4份,所以 S陰影：S正方形1: 3， 所以S陰影1平方厘米.【鞏固】在下圖的正方形ABCD中，E是BC邊的中點，AE與BD相交于F點，三角形

27、BEF的面積為1平方厘米，那么正方形 ABCD面積是平方厘米.2【解析】連接DE，根據(jù)題意可知BE:AD 1:2，根據(jù)蝶形定理得S梯形（1 2）9（平方厘米）,SA ecd 3（平方厘米），那么Swabcd 12 （平方厘米）【例18】 已知ABCD是平行四邊形，BC:CE 3: 2，三角形ODE的面積為6平方厘米.則 陰影部分的面積是平方厘米.【解析】連接AC .由于 ABCD是平行四邊形， BC:CE 3: 2，所以CE: AD 2:3，根據(jù)梯形蝶形定理 ，SvcOE : Svaoc : Svdoe : Svaod 22 :2 3: 2 3: 32 4:6:6:9，所以Svaoc6（平方厘

28、米），Svaod 9（平方厘米），又Svabc Svacd 6 9 15（平方厘米），陰影部分面積為6 15 21（平方厘米）.【鞏固】右圖中ABcD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示（單位：平方厘米），陰影部分的面積是平方厘米.【分析】連接AE .由于AD與Bc是平行的，所以AEcD也是梯形，那么S ocd S oae .根據(jù)蝶形定理，S ocd S OAE S ocE S OAD 4 9 36，故 S OCD 36，所以S OCD 6（平方厘米）.【鞏固】右圖中ABCD是梯形，ABED是平行四邊形，已知三角形面積如圖所示 （單位：平方厘米），陰影部分的面積是平方厘米.【解

29、析】連接AE .由于AD與BC是平行的，所以AECD也是梯形，那么S ocd S oae .根據(jù)蝶形定理，S OCD S OAE S OCE S OAD 2816，故 S OCD 16，所以 S OCD4（平方厘米）.11另解：在平行四邊形 ABED中，S ade -Seabed - 16 8 12（平方厘米）,22所以S AOE S ADE S AOD 1284（平方厘米），根據(jù)蝶形定理，陰影部分的面積為8 2 4 4（平方厘米）【例19】 如圖，長方形ABCD被CE、DF分成四塊，已知其中3塊的面積分別為2、5、8平方厘米，那么余下的四邊形 OFBC的面積為 方厘米.【解析】連接DE、CF

30、 四邊形EDCF為梯形，所以S eod Svfoc，又根據(jù)蝶形定理,S EOD S FOCS EOF S COD ， 所以S EOD S FOCS EOF S COD 2 816，所以 S eod 4（平方厘米），Secd 4 8 12（平方厘米）.那么長方形ABCD的面積為12 2 24平方厘米,四邊形OFBC的面積為24 5 2 8 9（平方厘米）.【例20】 如圖，ABC是等腰直角三角形，DEFG是正方形，線段AB與CD相交于K點已知正方形DEFG的面積48，AK: KB 1:3，貝U BKD的面積是多少【解析】由于DEFG是正方形，所以DA與BC平行，那么四邊形ADBC是梯形.在梯形A

31、DBC中， BDK和 ACK的面積是相等的.而 AK : KB 1:3，所以 ACK的面積是ABC面積的 1，那么BDK的面積也是 ABC面積的-.1 344由于ABC是等腰直角三角形，如果過 A作BC的垂線，M為垂足，那么M是BC的中點，而且AM DE，可見ABM和ACM的面積都等于正方形DEFG面積的一半,所以ABC的面積與正方形DEFG的面積相等，為48.那么BDK的面積為48 1 12 .4【例21】 下圖中，四邊形ABCD都是邊長為1的正方形，E、F、G、H分別是AB , BC ,CD，DA的中點，如果左圖中陰影部分與右圖中陰影部分的面積之比是最簡分?jǐn)?shù)m，那么，（m n）的值等于.n

32、【解析】左、右兩個圖中的陰影部分都是不規(guī)則圖形，不方便直接求面積，觀察發(fā)現(xiàn)兩個圖中的空白部分面積都比較好求， 所以可以先求出空白部分的面積，再求陰影部 分的面積.如下圖所示，在左圖中連接EG .設(shè)AG與DE的交點為M .左圖中AEGD為長方形，可知 AMD的面積為長方形AEGD面積的，所以三角形4AMD的面積為12 111 .又左圖中四個空白三角形的面積是相等的，所以左圖2 48中陰影部分的面積為1 1 4 1 .8 2如上圖所示，在右圖中連接 AC、EF .設(shè)AF、EC的交點為N .可知EF / AC且AC2EF .那么三角形BEF的面積為三角形ABC面積的-，所以三4角形BEF的面積為12

33、 1 1241，梯形AEFC的面積為2 8 8 .在梯形AEFC中，由于EF :AC 1:2，根據(jù)梯形蝶形定理，其四部分的面積比為:112 :1 2:1 2: 22 1: 2: 2: 4 ,所以三角形EFN的面積為311 ,那么四邊形81 22424BENF的面積為1舟1 .而右圖中四個空白四邊形的面積是相等的，所以右圖中 陰影部分的面積為1141那么左圖中陰影部分面積與右圖中陰影部分面積之比為那么m n 3 2 5 .DF FB ,【例22】 如圖， ABC中，DE , FG , BC互相平行，AD則 ADE : S四邊形DEGF : ?四邊形FGCB【解析】設(shè) Sa ade1 份,根據(jù)面積

34、比等于相似比的平方,所以 ADE : S AFGAD2 : AF21:4 , S ade : Sa abc AD2 : AB21:9 ,因此Sa afg4份,Sa abc9 份,進(jìn)而有S四邊形DEGF3份，S四邊形FGCB 5份，所以Sa ADE : S四邊形DEGF : S四邊形FGCB1:3: 5【鞏固】如圖， DE平行BC，且 AD 2 , AB5，AE 4，求AC的長.【解析】由金字塔模型得 AD: AB AE: ACDE: BC 2:5，所以 AC 4 2 510【鞏固】如圖, ABC 中，DE , FG , MN,PQ , BC互相平行,AD DF FM MP PB，則Sa ADE

35、 : S四邊形DEGF : S四邊形FGNM:S四邊形MNQP : S四邊形PQCB【解析】設(shè)Sa ade1份，Sa ade: Sa afgAD2：AF21:4，因此Sa AFG4份，進(jìn)而有S四邊形DEGF3份，同理有s四邊形 FGNM5份， S四邊形MNQP7份， S四邊形PQCB 9份.所以有【例23】 如圖，已知正方形ABCD的邊長為4，F(xiàn)是BC邊的中點，E是DC邊上的點,且DE:EC 1:3，AF與BE相交于點G，求Saabg【解析】方法一：連接AE，延長AF，DC兩條線交于點M，構(gòu)造出兩個沙漏，所以有AB:CM BF : FC 1:1，因此 CM4，根據(jù)題意有CE 3，再根據(jù)另一個沙

36、漏有GB:GE AB:EM4:7，所以 Sa abgSx ABE411(44 2)3211方法二:連接AE,EF，分別求Sa abf4 224，Sa AEF444 123 22 47，根據(jù)蝶形定理Sa abf : & AEFBG：GE 4: 7，所以Sa abgSA ABE411(4 42)3211【例24】 如圖所示，已知平行四邊形 ABCD的面積是1，E、F是AB、AD的中點，BF交EC于M，求 BMG的面積.【解析】解法一：由題意可得，E、F是AB、AD的中點，得EF/BD，而FD :BC FH : HC 1:2，并得G、H是BD的三等分點，所以BGGH，所以BG: EFBM : MF

37、2:3，所以 BM2 -BF5S BFD1s21ABDsYABCD2 2又因為BG -BD，所以S BMG3BFD130解法二：延長CE交DA于I如右圖,可得，AI:BC AE:EB1:1從而可以確定的點的位置,BM : MFBC:IF 2:3，BM2BF， BG -BD5（鳥頭定理），可得S BMG2 15 3Sbdf1- SY ABCD4130【例25】 如圖，ABCD為正方形,AMNB DEFC1cm且MN 2 cm，請問四邊形PQRS的面積為多少【解析】（法-）由ab/cd，有mnDC，所以PC2PM，又 罟，所以MQ QC -MC，所以 PQ 1 MC -MC2231mc，所以 Ss

38、pqr 占 Samcf 的 i，所以 Sspqr 11（11 2）獲代-(法 2)如圖，連結(jié) AE，則 Sabe 1 4 4 8( cm2)，2而更ER，所以更些AB EFEF EF2，Sabr -Sabe -816 (cm2).3 33而 S MBQSans -34-3( cm2)2 2因為MNDC PC 所以MP1 -嚴(yán)，則 Smnp - 2 4卅），陰影部分面積等于S ABRS ANS S MBQSmnp 1633-2 (cm2).33【例26】如右圖，三角形ABC 中, BD:DC4:9 , CE: EA 4:3，求 AF : FB .【解析】根據(jù)燕尾定理得S AOB : S AOCB

39、D . CD 4:912: 27（都有 AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以 5 aoc ： boc 27:16 AF : FB【點評】本題關(guān)鍵是把 AOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題 中屢見不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨 大力量！【鞏固】 如右圖，三角形 ABC中，BD:DC 3: 4， AE:CE 5:6，求AF : FB .【解析】根據(jù)燕尾定理得Sa AOB： Sa aoc BD :CD 3: 4 15:20（都有 AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）SA AOC : Sa boc20:1810:9 AF : FB【鞏固】

40、 如右圖，三角形 ABC中，BD:DC 2:3 , EA:CE 5:4，求AF : FB .【解析】根據(jù)燕尾定理得SaAOB0AOC BD :CD 2:3 10:15（都有 AOB的面積要統(tǒng)一，所以找最小公倍數(shù)）所以 Sa AOC : Sa boc 15:8 AF : FB【點評】本題關(guān)鍵是把 AOB的面積統(tǒng)一，這種找最小公倍數(shù)的方法，在我們用比例解題 中屢見不鮮，如果能掌握它的轉(zhuǎn)化本質(zhì)，我們就能達(dá)到解奧數(shù)題四兩撥千斤的巨 大力量！【例27】 如右圖，三角形ABC中，AF: FB BD: DC CE: AE 3:2，且三角形ABC的面積 是1，則三角形ABE的面積為，三角形AGE的面積為，三角

41、形GHI的面積為【分析】連接AH、BI、CG .222由于 CE : AE 3: 2，所以 AE AC，故 S ABE S ABC555根據(jù)燕尾定理 ，S ACG : S ABG CD : BD 2 ：3 ， S BCG : S ABG CE : EA 3: 2，所以S ACGS ABG : S BCG4:6:9，則 Sacg419，S BCG_919那么 Sage 2Sagc -；551995同樣分析可得S ach ，則EG :EH19S ACG : S ACH4 : 9 ， EG : EB S ACG : S ACB 4:19 ，所以 EG:GH:HB 4:5:10，同樣分析可得 AG:G

42、I:ID 10:5:4 ,所以SBIES BAE1010S GHIS BIE191919【鞏固】如右圖，三角形 ABC中，AF:FB BD: DCCE: AE 3:2，且三角形 GHI的面積是1，求三角形ABC的面積.【解析】連接BG Sagc 6份根據(jù)燕尾定理,Sa AGC : Sa BGCAF : FB 3: 26 : 4， Sa abg : Sa agcBD : DC 3: 29:6 BGC4（份），Sa abg9（份），則 Sa abc19 （份），因此Sa agcSA ABC19 6 6 6119192 2S ABC S ABC .12 47同理連接AI、CH得S竺 ,_?竺 衛(wèi)，所

43、以_空Sa abcABCABC三角形GHI的面積是1,所以三角形ABC的面積是19【鞏固】如圖，ABC中BD 2DA，CE 2EB，AF 2FC，那么 ABC的面積是陰影三角形面積的倍.【分析】如圖，連接AI .根據(jù)燕尾定理，S BCI :S aci BD: AD 2:1，Sbci：Sabi CF : AF 1: 2，所以 ，S ACI : S bci : S ABI 1:2:4， 那么 ，S BCI同理可知ACG和ABH的面積也都等于ABC面積的|，所以陰影三角形的面積等【鞏固】【解析】于ABC面積的1 2 3 -，所以7ABC的面積是陰影三角形面積的7倍.如圖在 ABC中,DCEAFBDB

44、ECFA求aAGBC的面積的值連接BG設(shè)Sa bgc份，根據(jù)燕尾定理SA AGC : Sa bgcAF : FB2 :1 , Sa ABG : Sa agcBD： DC 2:1 ,得 Saagc2（份），Sa abg4（份），則 Sa abc7（份），因此SaagcSa abc2 ,同理連接AI、CH得Sa ABHSA ABC27SA ABCSa bic2,所以A7SA ABC【點評】如果任意一個三角形各邊被分成的比是相同的，那么在同樣的位置上的圖形，雖 然形狀千變?nèi)f化，但面積是相等的，這在這講里面很多題目都是用“同理得到” 的，即再重復(fù)一次解題思路，因此我們有對稱法作輔助線 【例28】 如圖

45、，三角形ABC的面積是1，BD DE EC，CF FG GA，三角形ABC被分成9部分，請寫出這9部分的面積各是多少？【解析】設(shè)BG與 AD交于點P,BG與AE交于點Q,BF與AD交于點M BF與AE交于點N.連接 CP CQ CM CN根據(jù)燕尾定理，Sa abp :Sacbp AG : GC 1: 2 ，Sa abp:Sa acpBD : CD1:2，設(shè)Sa abp1 （份），則 Sa abc 1 22 5（份），所以 Sa abp15同理可得，Sa abq,71Sa abn,而 Sa abg21,3所以S 2Sa apq71 _35 35Sa aqg12 13721【鞏固】如圖,ABC的面

46、積為1 ,點D、E是BC邊的三等分點，點F、G是AC邊的三等同理，Sa bpm3Sa bdm,所以S四邊形PQMN12393521273570- 1395- 11511115S四邊形MNED ,&邊形NFCE,&邊形GFNQ3357042321426321642分點，那么四邊形JKIH的面積是多少【解析】連接CK、CI、CJ .根據(jù)燕尾定理，S ack : S abkCD : BD 1: 2，S ABK : S cbkAG : CG 1:2，所以 S ack : S ABK : S cbk 1:2:4，那么S ackS agk1ACK21類似分析可得Sagi215又 S ABJ : S cbj

47、AF ：CF2:1，S ABJ : S ACJBD :CD2:1可得S acj那么，ScgkJ1 丄 174 2184根據(jù)對稱性,可知四邊形CEHJ的面積也為17，那么四邊形JKIH周圍的圖形的面積84之和為Scgkj172 S AGI S ABE 8415 3 S，所以四邊形jkih的面積為“61917070【例29】 右圖， ABC中，G是AC的中點，D、E、F是BC邊上的四等分點，AD與BG 交于M ， AF與BG交于N，已知 ABM的面積比四邊形 FCGN的面積大7.2平方 厘米，則 ABC的面積是多少平方厘米【解析】連接CM、CN .根據(jù)燕總尾疋理，Sabm ： cbm AG ： G

48、C 1:1 ， Sabm : Sacm BD ： CD 1：3，所以1 ；SaabmSaabc ；5再根據(jù)燕尾定理，SA ABN SacbnAG : GC1:1，所以 Sa ABN : SA FBNSACBN : & FBN4 :3 ，所以AN : NF4:3，那么Sa ang142所以SA AFC24 3725 15SfCGN1Sa afcSa abcSa ABC 77 428根據(jù)題意，有-Sa7.2，可得Sa ABC 336 （平方厘米）5 28【例30】 如圖，面積為I的三角形ABC中, D E、F、G H I分別是AB BC CA的三等分點，求陰影部分面積.【解析】三角形在開會，那么就

49、好好利用三角形中最好用的比例和燕尾定理吧！令BI與CD的交點為M, AF與CD的交點為N, BI與AF的交點為P, BI與CE的交點為Q連接AM BN CP求S四邊形ADMI :在 ABC中，根據(jù)燕尾定理,Sa abm : SACBMAI :CI1: 2 SA ACM : SACBMAD : BD 1: 2設(shè) SA ABM1（份），則 Sa cbm2 （份）,SA ACM1 （份），SAABC4（份）,所以Sa ABMSa ACM4Sa ABC，所以 Sa adm丄 Sa ABM3Sa abc， Sa aim12丄 Sa abc，12所以s四邊形 ADMI111（）ABCSa ABc ,12126同理可得另外兩個頂點的四邊形面積也分別是 ABC面積的-6求S五邊形DNPQE :在 ABC中，根據(jù)燕尾定理Sa ABN : Sa ACNBF : CF1:2 Sa ACN :Sa BCNAD : BD1: 2 ,S五邊形DNPQE所以Sa adn-Sa abn31 !Sa abc37 Sa abc,同理 Sa beqSa abc21在 ABC中，根據(jù)燕尾定理Sa abp : Sa acp