初高中數(shù)學(xué)銜接課程(5)——一元二次不等式與分式不等式講義

1、的關(guān)系構(gòu)造方程時，未知數(shù)要換成異于X、y的字母，如z初高中數(shù)學(xué)銜接課程第五講方程與不等式5.1二元二次方程組解法方程X2 2xy y2 x y 60是一個含有兩個未知數(shù)，并且含有未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2的整式方程,這樣的方程叫做二元二次方程。其中x2, 2xy , y2 叫做這個方程的 二次項，x, y叫做一次項,6叫做常數(shù)項。我們看下面的兩個方程組：2.2cc22“x4y x 3y10, xy 20,2xy10;x5xy 6y0.第一個方程組是由一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的，第二個方程組是由兩個二元二次方程組成的，像這樣的方程組叫做二元二次方程組。F面我們主要來研究由一個二元二次

2、方程和一個二元一次方程組成的方程組的解法一個二元二次方程和一個二元一次方程組成的方程組一般可以用代入消元 法來解。解方程組x2 4y2 4 0, x 2y 20.例2解方程組xy7,xy12.解：由，得x 7y.把代入，整理，得2y7y 120解這個方程，得y13,y24。把Y13代入，得%4 ；把y 4代入,所以原方程的解是x4,.x2 3,y13,y24.x1 3】解方程組y11(1)xy28(2)O得 x23。解：由，得x= 2y + 2,把代入,整理,得8y2+ 8y = 0,即y(y+ 1) = 0。解得y 0, y?二一1 把y 0代入，得X1 = 2；把y2= 1代入，得X2=

3、0。所以原方程組的解是為 2, ；X2 0,y1 0,y21.說明：在解類似于本例的二元二次方程組時，通常采用本例所介紹的代入消 元法來求解分析：本題可以用代入消元法解方程組，但注意到方程組的特點，可以把x、 y看成是方程z211z 280的兩根，則更容易求解。說明：(1)對于這種對稱性的方程組 x y a，利用一元二次方程的根與系數(shù)xy b(2)對稱形方程組的解也應(yīng)是對稱的，即有解x 4X 4，則必有解y 7【例4】解方程組2 X2 Xy25(x y)xy y243(1)分析：注意到方程x2 y25(x y)，可分解成(x y)(x y 5)0，即得x y 0或x y 50，則可得到兩個二元

4、二次方程組，且每個方程組中均有一個方程為二元一次方程。【例5】解方程組2x xy2xy y124(1)分析：本題的特點是方程組中的兩個方程均缺一次項，我們可以消去常數(shù) 項，可得到一個二次三項式的方程.例 6】解方程組xy X 33xy y 8(1)分析：注意到兩個方程都有xy項，所以可用加減法消之，得到一個二元次方程，即轉(zhuǎn)化為由一個二元一次方程和一個二元二次方程組成的方程組.例7 .解下列方程組：(1)y x 5,X2 y2625;(2)x y 3, xy 10;(2)( 3)2 2L仏154y X 3;(4)y22x,x2 y2 8.5.2、一元二次不等式及其解法初中階段已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次不

5、等式和一元一次不等式組的解法。高中階 段將進一步學(xué)習(xí)一元二次不等式和分式不等式等知識。本講先介紹一些高中新 課標(biāo)中關(guān)于不等式的必備知識。1 .形如ax2 bx c 0(或 0)(其中a 0)的不等式稱為關(guān)于x的一元二次 不等式。2 . 一元二次不等式ax2 bx c ax2 bx c (a 0)及一元二次方程 ax2 bx c以二次函數(shù)y x2 x 6為例：(1) 作出圖象；(2) 根據(jù)圖象容易看到，圖象與 x軸的交點是( 3或2時，y 0。就是說對應(yīng)的一元二次方程 x2根是x0(或 0)與二次函數(shù)0的關(guān)系(簡稱：說X2x當(dāng)解是3當(dāng)x 3或 x 2時，y 0，對應(yīng)圖像位于0的解是x 3或x 2

6、。x 2時，y 0，對應(yīng)圖像位于x軸的下方。就是說x2 x2。一元二次不等式可以結(jié)合相應(yīng)的二次函數(shù)、一元二次方程求解,X一般地，步驟如下：(1) 將二次項系數(shù)先化為正數(shù)；(2) 觀測相應(yīng)的二次函數(shù)圖象。如果圖象與x軸有兩個交點(x1,0),( x2,0)，此時對應(yīng)的一元二次方程有兩不相等的實數(shù)根x,X2(也可由根的判別式0來判斷)。那么(圖 1) :; ax2 bx c 0 (a 0) x 為或x x22i ax bx c 0 (a 0)Xi x X2 如果圖象與X軸只有一個交點(,0)，此時對應(yīng)的一元二次方程有兩個2a相的實數(shù)根xx x2(也可由根的判別式0來判斷)。2a那么(圖 2) :

7、:ax2 bx c 0 (a 0) x !I2a ,ii| ax2 bx c 0 (a 0) 無解； 如果圖象與x軸沒有交點，此時對應(yīng)的一元二次方程沒有實數(shù)根 (也可由根的判別式0來判斷)。那么(圖3) :;ax2bx c0 (a0)x取一切實數(shù)：|IIi；ax2bx c0 (a0)無解；如果單純的解一個一元二次不等式的話，可以按照一下步驟處理：(1) 化二次項系數(shù)為正；(2) 若二次三項式能分解成兩個一次因式的積， 則求出兩根x,x2 那么0 型的解為x x,或x X2(俗稱兩根之外)；“ 0”型的解為X! x X2(俗稱兩根 之間)；【例1】解不等式x2 x 60?！纠?】解下列不等式：(

8、1) (x 2)(x 3)6(2)(x-1)(x+2)(x-2)(2x+1)分析：要先將不等式化為 ax2 bx c 0(或0)的形式，通常使二次項系 數(shù)為正數(shù)。【例3】解下列不等式：(2) x2 4x 40(3) x2 x 20(1) x2 2x 80【例4】已知對于任意實數(shù)x , kx2 2x k恒為正數(shù)，求實數(shù)k的取值范圍例5、函數(shù)y = x2 2ax+ 1(a為常數(shù))在一2 x1上的最小值為n,試將n用a 表示出來。分析：由該函數(shù)的圖象可知，該函數(shù)的最小值與拋物線的對稱軸的位置有關(guān)， 于是需要對對稱軸的位置進行分類討論。解：T y= (x a)2+ 1 a2, 拋物線y = x2 2a

9、x + 1的對稱軸方程是x = a。 若一2 a 1時，由圖2.3-3可知,當(dāng)x = 1時，該函數(shù)取最小值n= -2a+2。4a 5, a 2,綜上，函數(shù)的最小值為n 1 a2, 2 a 1,2a 2, a 1.圖 2.3 3yi.x丄a/2 O廠(1)5.3分式不等式的解法1,簡單分式不等式【例1】解下列不等式:x 22x 3說明:轉(zhuǎn)化為整式不等式時，一定要先將右端變?yōu)?0。 本例也可以直接去分母，但應(yīng)注意討論分母的符號:x3(x 2) 12 0x20或3(x 2) 1 x2、可化為1 .去分母化分式方程為一元14x【例2】解方程害x 2 x24分析：去分母，轉(zhuǎn)化為整式方程 說明：(1)去分

10、母解分式方程的步驟： 把各分式的分母因式分解； 去括號，元二次方程的分式方程一次方程2x 2在方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母； 把所有項都移到左邊，合并同類項；解一元二次方程；驗根。2 用換元法化分式方程為一元二次方程2【例3】解方程說2分析：本題若直接去分母,會得到一個四次方程，解方程很困難。但注意2到方程的結(jié)構(gòu)特點，設(shè)x 1y，即得到一個關(guān)于y的一元二次方程。最后在已知y的值的情況下，用去分母的方法解方程xy的值，而沒有求到原方程的解,說明：用換元法解分式方程常見的錯誤是只求出 即x的值。2 2【例4】解方程8(x2 2x)1)11 .x 1 x 2x分析：注意觀察方程特點，可以看到分式

11、2 2=與七互為倒數(shù)。因此,說明：解決分式方程的方法就是采取去分母、換元等法，將分式方程轉(zhuǎn)化為整 式方程，體現(xiàn)了化歸思想.3、可化為一元二次方程的無理方程根號下含有未知數(shù)的方程，叫做無理方程.1 平方法解無理方程【例1】解方程.x 7 x 1分析：移項、平方，轉(zhuǎn)化為有理方程求解.說明：含未知數(shù)的二次根式恰有一個的無理方程的一般步驟：移項，使方程的左邊只保留含未知數(shù)的二次根式，其余各項均移到方程的右邊；兩邊同時平方，得到一個整式方程；解整式方程；驗根.【例2】解方程 3x 23分析：直接平方將很困難.可以把一個根式移右邊再平方，這樣就可以轉(zhuǎn) 化為上例的模式，再用例4的方法解方程.2.換元法解無理

12、方程【例3】解方程3x2 15x 2 x2 5x 12分析：本題若直接平方，會得到一個一元四次方程，難度較大.注意觀察方程中含未知數(shù)的二次根式與其余有理式的關(guān)系，可以發(fā)現(xiàn)： 3x2 15x 3 3(x2 5x 1).因此，可以設(shè)、x2 5x 1 y，這樣就可將原方程 先轉(zhuǎn)化為關(guān)于y的一元二次方程處理.說明：解決根式方程的方法就是采取平方、換元等法，將根式方程轉(zhuǎn)化為有理 方程，體現(xiàn)了化歸思想.4、含有字母系數(shù)的一元二次不等式【例1】求關(guān)于x的不等式m2x 2 2mx m的解?！纠?】已知關(guān)于x的不等式k2 kx x 2的解為x 1，求實數(shù)k的值。2分析：將不等式整理成ax b的形式，可以考慮只有當(dāng)a 0時，才有形如 x b的解，從而令-1 。aa 2課堂小練(2) x x2+ 6V 0;2(4) x 6x+ 9+ 2在OWxW2上的最大值k。+ 2x 30；2(5